专题03 勾股定理及其应用（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪科版

专题03 勾股定理及其应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 勾股数（树）问题 题型11 梯子滑落与风筝问题 题型2 用勾股定理理解三角形 题型12 旗杆与大树折断问题 题型3 勾股定理中面积问题 题型13 小鸟飞行问题 题型4 勾股定理的证明 题型14 水杯中筷子问题 题型5 赵爽弦图 题型15 受台风影响问题 题型6 勾股定理与无理数 题型16 航海问题 题型7 勾股定理与网格问题 题型17 汽车超速问题 题型8 勾股定理中折叠问题 题型18 河宽与选址问题 题型9 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 题型19 最短路径问题 题型10 台阶地毯长度问题 题型20 勾股定理的逆定理实际问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 勾股定理 2. 勾股数（树）问题 3. 与赵爽弦图有关的计算 4. 折叠问题 5. 最短路径问题 6. 实际应用 7. 网格计算 1. 概念辨析：选择题考勾股定理适用条件（仅限直角三角形）、逆定理判定直角，易错混淆斜边与直角边。 2. 基础计算：填空直接给两边求第三边，隐含斜边最长隐藏条件。 3. 折叠题型：期末必考中档解答，设未知数借助折叠前后边长相等，勾股建方程求解。 4. 最短路径：立体展开转化平面直角三角形，中考选择高频考点。 5. 实际应用题：解答题依托生活场景（台风、航海、梯子）建模构造直角三角形。 6. 综合拓展：和一元二次方程、四边形、动点几何结合小压轴，用勾股列方程求边长参数 考情解码：勾股定理为沪科版八年级下册几何核心章节，承接直角三角形性质、全等三角形知识，是后续解直角三角形、四边形、圆的计算基础，为初中平面几何计算的关键工具。 考题覆盖选择、填空、解答全题型，由单一边长计算逐步转向折叠建模、立体转化、生活实际建模、跨方程综合；高频易错点：①乱用勾股定理到非直角三角形；②分不清斜边直角边，公式代错边；③立体最短路径不会正确展开侧面；④折叠题不会利用全等转化相等线段。 期中、期末及中考高频考查，常和一元二次方程、矩形、动点结合出小型综合解答题，核心考查构造直角三角形、数形结合的建模思想。 知识点一 勾股定理 勾股定理：如果直角三角形两直角边长为，斜边长为，那么： 。 常见变形： 常见勾股数：；规律：勾股数同乘正整数，仍是勾股数，如 。 【易错提醒】 （1）勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形绝对不能使用； （2）算出边长平方后，直接把平方值当作边长，忘记最后开方求边长。 即时即练如图，中，，，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为(     ) A．4 B． C． D． 知识点二 勾股定理逆定理 勾股定理逆定理：如果三角形三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，且边长为的边所对的角是直角。 拓展判定：若：锐角三角形（对角为锐角）；若：钝角三角形（对角为钝角）。 【易错提醒】 （1）使用逆定理必须先找最长边，验证最长边平方是否等于另外两边平方和，随意取值判断会出错； （2）只能判定三角形是直角三角形，不能直接说“直角在某条边”，正确为：最长边所对的角为直角。 即时即练的三边长分别为，，，下列条件：①，，；②，，；③，；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点三 勾股定理及逆定理实际应用 折叠问题：矩形/直角三角形折叠，出现相等线段，设未知数，在新Rt△中列勾股方程求解。 航海、方位角问题：南北⊥东西，构成直角；根据路程=速度×时间算出两边长，勾股求两点直线距离；逆定理判断航行夹角是否为直角。 旗杆、梯子下滑问题：梯子长度不变（斜边定值），梯子底端移动、顶端下滑，两次分别用勾股列式计算移动长度。 最短路径：圆柱/长方体侧面展开成矩形，构造直角三角形，斜边=最短路线；台阶爬行：展开台阶为长方形，用勾股算最短距离。 利用逆定理：判断零件、地块是否直角；给出三边长度，验算平方关系，判定是否含直角，用于求多边形面积（分割成直角三角形）。 【易错提醒】 （1）不会构造直角三角形：航海、折叠、梯子、距离、高度等应用题，不会通过作垂线构造直角三角形，无法解题； （2）未取舍不合理解：边长为正数，求出负数解直接舍去，实际问题边长、距离不能为负。 即时即练如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 题型1 勾股数（树）问题 例1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，， B．5，6，7 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 例2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 （1） 熟记常用勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17； （2）勾股数倍数仍为勾股数，可直接快速口算边长； （3）勾股数必须为正整数，小数、分数不属于勾股数。 【变式训练1-1】下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 【变式训练1-2】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为____________． 题型2 用勾股定理理解三角形 例3．在中，，若，，求的周长． 例4．在中，，，，求的长． 【技巧总结】 （1）先找最长边，再用边长平方关系判断三角形类型； （2） 最长边²=另两边平方和→直角三角形； （3） 最长边²＞另两边平方和→钝角三角形；反之锐角三角形。 【变式训练2-1】如图，在中，，，，于点D． (1)求的长． (2)求的长． 【变式训练2-2】在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 题型3 勾股定理中面积问题 例5．如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） A．5 B．12 C．13 D．25 例6．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【技巧总结】 （1）直角三角形面积：两直角边乘积的一半，不用斜边计算； （2）斜边高公式：，利用面积相等法求高； （3）多正方形、多阴影面积题：利用“直角边正方形面积和=斜边正方形面积”秒杀。 【变式训练3-1】如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为______． 【变式训练3-2】如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的中心（正方形两条对角线的交点），则此时乙中有水部分的面积为_____．    【变式训练3-3】如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为___． 题型4 勾股定理的证明 例7．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【技巧总结】 （1）所有证法核心：面积等积变换，大图形面积=各小图形面积和； （2）做题只需找准等量面积关系，化简即可推出。 【变式训练4-1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 【变式训练4-2】古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    题型5 赵爽弦图 例8．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，小正方形的边长是2，则弦的长度是（    ） A．10 B．12 C．16 D． 例9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是______． 【技巧总结】 （1）大正方形面积=斜边平方，小正方形面积=直角边差的平方； （2）四个直角三角形全等，利用整体减部分求边长、面积； （3）已知内外正方形边长，可直接求直角三角形两直角边。 【变式训练5-1】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【变式训练5-2】补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 题型6 勾股定理与无理数 例10．如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 例11．在数轴上作出表示的点． 【技巧总结】 （1）无理数边长同样满足勾股定理，不用近似小数计算； （2）可利用勾股定理在数轴上精准构造无理数长度线段。 【变式训练6-1】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【变式训练6-2】综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 题型7 勾股定理与网格问题 例12．如图，正方形网格小方格的边长为1，网格中有四条线段两个端点都在小正方形的顶点上，则这四条线段中长为有理数的有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 例13．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）网格线段：横纵差为直角边，直接套勾股定理求斜线长； （2）网格判断直角：通过三边网格长度，用逆定理验证直角； （3）网格面积用割补法，再结合边长求解。 【变式训练7-1】图1，图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画一个面积为2的直角三角形；在图2中画一条长度等于的线段． 【变式训练7-2】图①、图②、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画多边形，使多边形的每个顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个腰长为3的等腰三角形，使点在其对称轴上； (2)在图②中，画一个腰长为的等腰三角形，使点在其对称轴上； (3)在图③中，画一个面积为的四边形，使四边形为轴对称图形且点在其对称轴上． 题型8 勾股定理中折叠问题 例14．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例15．如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为________． 【技巧总结】 （1）折叠必出等量：对应边、对应角相等； （2）设未知数表示折叠后缺失边长，在直角三角形中列勾股方程； （3） 优先锁定折叠形成的直角三角形，是解题唯一突破口。 【变式训练8-1】综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【变式训练8-2】如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 题型9 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 例16．以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 例17．已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【技巧总结】 （1）第一步先找最长边，只用最长边平方验证； （2） 满足即为直角三角形； （3）验证前先判断三边能否构成三角形，避免无效计算。 【变式训练9-1】若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（    ） A． B．，， C．，， D．， 【变式训练9-2】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 题型10 台阶地毯长度问题 例18．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【技巧总结】 （1）台阶地毯总长=所有水平总长+所有竖直总高； （2）无需逐阶计算，整体平移求和即可快速得出结果。 【变式训练10-1】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 【变式训练10-2】如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      题型11 梯子滑落与风筝问题 例19．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 例20．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线___________． 【技巧总结】 （1）梯子、风筝线为斜边，墙/地面为直角边，固定直角模型； （2）滑动前后斜边长度不变，利用不变量列方程求解变化量。 【变式训练11-1】如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【变式训练11-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 题型12 旗杆与大树折断问题 例21．如图，从电杆离地面米处向地面拉一条米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电杆底部的距离？ 例22．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 【技巧总结】 （1）折断旗杆上段为斜边，下段地面距离为直角边； （2）设折断高度为x，总高=下段+上段斜边长度。 【变式训练12-1】为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【变式训练12-2】如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【变式训练12-3】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 题型13 小鸟飞行问题 例23．如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）大树折断类同旗杆模型，构建直角三角形； （2）小鸟最短飞行距离：两点直线距离，直接勾股计算。 【变式训练13-1】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行_______ 米． 题型14 水杯中筷子问题 例24．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【技巧总结】 （1）杯底直径、杯高为两直角边，杯中筷子斜长为斜边； （2） 筷子总长=杯中斜边长度+杯外露出长度。 【变式训练14-1】《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（　　） A． B． C． D． 题型15 受台风影响问题 例25．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【技巧总结】 （1）构造点到直线最短距离（垂线段），用勾股求解； （2）垂线段长度＜台风半径，则受影响；反之不受影响； （3）利用弦长公式求影响时长、影响路程。 【变式训练15-1】如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【变式训练15-2】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 题型16 航海问题 例26．如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【技巧总结】 （1）方位角必找垂直关系，南北与东西方向天然垂直； （2）根据速度时间求两段路程，作为直角边，求两点直线距离； （3）用逆定理判断航行夹角是否为直角。 【变式训练16-1】如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 【变式训练16-2】如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 题型17 汽车超速问题 例27．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【技巧总结】 （1）固定观测点、路面距离构造直角三角形； （2）求出行驶路程，结合时间算速度，对比限速判是否超速。 【变式训练17-1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【变式训练17-2】学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 题型18 河宽与选址问题 例28．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 例29．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【技巧总结】 （1）河宽为垂直直角边，不可直接用斜线代替； （2）选址最短、等距问题，构造对称点，用勾股求最短路径。 【变式训练18-1】（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 【变式训练18-2】如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 题型19 最短路径问题 例30．如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 例31．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程为 __________ 【技巧总结】 （1）立体图形必须展开成平面，再用两点之间线段最短； （2）圆柱、长方体需分类讨论不同展开方式，取最短值。 【变式训练19-1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【变式训练19-2】直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 【变式训练19-3】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 题型20 勾股定理的逆定理实际问题 例32．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【技巧总结】 （1）实际场景中需先测量三边长度，再用逆定理判定垂直、直角； （2）工程、测量、定位题型，核心是证直角、证垂直。 【变式训练20-1】为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【变式训练20-2】如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 1．以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（     ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．2，， 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 3．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 4．如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（    ） A．17 B．14 C．15 D．16 5．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 6．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 7．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位，书中记载了一道“荡秋千”问题．其译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千长为x尺，则可列方程为_______________． 8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上． (1)求四边形的面积； (2)探究四边形对角线、的位置关系． 9．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 10．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 11．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 12．如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 13．对于一个给定的图形，找到两种面积计算方法，计算结果一定是相等的，由此可以得到一个等式，进而解答问题，这种方法叫作等面积法．请据此解答下列问题． (1)已知在中，，，，为边上的高，求的长． (2)如图，所示都是边长为的正方形，这两个图直观地证明了（     ） A．    B． C．        D．． (3)如图2，已知是等边三角形，，点P是外一点，过点P作三边所在直线的垂线：，，，垂足分别为D，E，F．直接写出的值． 14．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 15．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理及其应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 勾股数（树）问题 题型11 梯子滑落与风筝问题 题型2 用勾股定理理解三角形 题型12 旗杆与大树折断问题 题型3 勾股定理中面积问题 题型13 小鸟飞行问题 题型4 勾股定理的证明 题型14 水杯中筷子问题 题型5 赵爽弦图 题型15 受台风影响问题 题型6 勾股定理与无理数 题型16 航海问题 题型7 勾股定理与网格问题 题型17 汽车超速问题 题型8 勾股定理中折叠问题 题型18 河宽与选址问题 题型9 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 题型19 最短路径问题 题型10 台阶地毯长度问题 题型20 勾股定理的逆定理实际问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 勾股定理 2. 勾股数（树）问题 3. 与赵爽弦图有关的计算 4. 折叠问题 5. 最短路径问题 6. 实际应用 7. 网格计算 1. 概念辨析：选择题考勾股定理适用条件（仅限直角三角形）、逆定理判定直角，易错混淆斜边与直角边。 2. 基础计算：填空直接给两边求第三边，隐含斜边最长隐藏条件。 3. 折叠题型：期末必考中档解答，设未知数借助折叠前后边长相等，勾股建方程求解。 4. 最短路径：立体展开转化平面直角三角形，中考选择高频考点。 5. 实际应用题：解答题依托生活场景（台风、航海、梯子）建模构造直角三角形。 6. 综合拓展：和一元二次方程、四边形、动点几何结合小压轴，用勾股列方程求边长参数 考情解码：勾股定理为沪科版八年级下册几何核心章节，承接直角三角形性质、全等三角形知识，是后续解直角三角形、四边形、圆的计算基础，为初中平面几何计算的关键工具。 考题覆盖选择、填空、解答全题型，由单一边长计算逐步转向折叠建模、立体转化、生活实际建模、跨方程综合；高频易错点：①乱用勾股定理到非直角三角形；②分不清斜边直角边，公式代错边；③立体最短路径不会正确展开侧面；④折叠题不会利用全等转化相等线段。 期中、期末及中考高频考查，常和一元二次方程、矩形、动点结合出小型综合解答题，核心考查构造直角三角形、数形结合的建模思想。 知识点一 勾股定理 勾股定理：如果直角三角形两直角边长为，斜边长为，那么： 。 常见变形： 常见勾股数：；规律：勾股数同乘正整数，仍是勾股数，如 。 【易错提醒】 （1）勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形绝对不能使用； （2）算出边长平方后，直接把平方值当作边长，忘记最后开方求边长。 即时即练如图，中，，，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为(     ) A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到，由，得到，因此，即可求出． 【详解】解：作于交延长线于G， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识点二 勾股定理逆定理 勾股定理逆定理：如果三角形三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，且边长为的边所对的角是直角。 拓展判定：若：锐角三角形（对角为锐角）；若：钝角三角形（对角为钝角）。 【易错提醒】 （1）使用逆定理必须先找最长边，验证最长边平方是否等于另外两边平方和，随意取值判断会出错； （2）只能判定三角形是直角三角形，不能直接说“直角在某条边”，正确为：最长边所对的角为直角。 即时即练的三边长分别为，，，下列条件：①，，；②，，；③，；④，．能判断是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐个判断每个条件，即可得到直角三角形的个数． 【详解】解：①∵ , , ∴ ∴ 是直角三角形； ②∵ , , ∴ , , ∴ 不是直角三角形； ③∵ , , 三角形内角和为 ∴ ∴ 是直角三角形； ④∵ , , 三角形内角和为 ∴ 解得 , ∴ 是直角三角形； 综上，能判断是直角三角形的共3个． 知识点三 勾股定理及逆定理实际应用 折叠问题：矩形/直角三角形折叠，出现相等线段，设未知数，在新Rt△中列勾股方程求解。 航海、方位角问题：南北⊥东西，构成直角；根据路程=速度×时间算出两边长，勾股求两点直线距离；逆定理判断航行夹角是否为直角。 旗杆、梯子下滑问题：梯子长度不变（斜边定值），梯子底端移动、顶端下滑，两次分别用勾股列式计算移动长度。 最短路径：圆柱/长方体侧面展开成矩形，构造直角三角形，斜边=最短路线；台阶爬行：展开台阶为长方形，用勾股算最短距离。 利用逆定理：判断零件、地块是否直角；给出三边长度，验算平方关系，判定是否含直角，用于求多边形面积（分割成直角三角形）。 【易错提醒】 （1）不会构造直角三角形：航海、折叠、梯子、距离、高度等应用题，不会通过作垂线构造直角三角形，无法解题； （2）未取舍不合理解：边长为正数，求出负数解直接舍去，实际问题边长、距离不能为负。 即时即练如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 题型1 勾股数（树）问题 例1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，， B．5，6，7 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，三个数不是整数，不是勾股数，不符合题意； B选项，，，，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意； C选项，，且均为正整数，是勾股数，符合题意； D选项，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 例2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得大正方形的面积等于正方形、、、的面积的和，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 【技巧总结】 （1） 熟记常用勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17； （2）勾股数倍数仍为勾股数，可直接快速口算边长； （3）勾股数必须为正整数，小数、分数不属于勾股数。 【变式训练1-1】下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 【答案】B 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A．， ∵， ∴ 不是勾股数； B．∵，且5，12，13都是正整数， ∴5，12，13是勾股数； C．∵0.6，0.8，1不都是正整数， ∴0.6，0.8，1不是勾股数； D．， ∴1，2，3不能构成三角形， ∴1，2，3不是勾股数． 【变式训练1-2】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为____________． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 题型2 用勾股定理理解三角形 例3．在中，，若，，求的周长． 【答案】的周长为 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再将三边长度相加得到三角形的周长． 【详解】解：，，， ， 的周长为． 例4．在中，，，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理，能够正确使用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 又∵，， ∴． 【技巧总结】 （1）先找最长边，再用边长平方关系判断三角形类型； （2） 最长边²=另两边平方和→直角三角形； （3） 最长边²＞另两边平方和→钝角三角形；反之锐角三角形。 【变式训练2-1】如图，在中，，，，于点D． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：， ． 【变式训练2-2】在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 题型3 勾股定理中面积问题 例5．如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（   ） A．5 B．12 C．13 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选：D． 例6．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴阴影部分的面积 ． 故选B． 【技巧总结】 （1）直角三角形面积：两直角边乘积的一半，不用斜边计算； （2）斜边高公式：，利用面积相等法求高； （3）多正方形、多阴影面积题：利用“直角边正方形面积和=斜边正方形面积”秒杀。 【变式训练3-1】如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为______． 【答案】13 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理及正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得阴影部分的面积为． 故答案为：13． 【变式训练3-2】如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的中心（正方形两条对角线的交点），则此时乙中有水部分的面积为_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理．丙部分的面积是，甲部分的面积是，根据已知条件得到丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半，即丙中有水部分的面积为，据此计算于是得到结论． 【详解】解：∵， ∴丙部分的面积是，甲部分的面积是， ∵水面刚好经过丙的中心O， ∴丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半， 即丙中有水部分的面积为， ∴乙中有水部分的面积为， 故答案为：． 【变式训练3-3】如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 题型4 勾股定理的证明 例7．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； （2）解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 【技巧总结】 （1）所有证法核心：面积等积变换，大图形面积=各小图形面积和； （2）做题只需找准等量面积关系，化简即可推出。 【变式训练4-1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据梯形与三角形的面积公式即可得到结论； 【详解】解：因为梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 所以， 所以． 【变式训练4-2】古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，首先根据正方形和三角形的面积公式，用含，，的代数式分别表示，，再根据题意列方程即可得到结论． 【详解】证明：根据题意得，图1中空白部分的面积， 图2中空白部分的面积， 由，得， ． 题型5 赵爽弦图 例8．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，小正方形的边长是2，则弦的长度是（    ） A．10 B．12 C．16 D． 【答案】A 【分析】观察图形发现，小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，则，利用勾股定理求出弦的长度即可． 【详解】解：观察图形发现，小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，即， 则， 弦的长度是． 例9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是______． 【答案】76 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出，，，根据勾股定理求出，再求出这个风车的外围（实线）周长即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴这个风车的外围（实线）周长是：． 故答案为：76． 【技巧总结】 （1）大正方形面积=斜边平方，小正方形面积=直角边差的平方； （2）四个直角三角形全等，利用整体减部分求边长、面积； （3）已知内外正方形边长，可直接求直角三角形两直角边。 【变式训练5-1】【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 【变式训练5-2】补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以为边长的大正方形的面积等于把边长为、的两个正方形连在一起的面积是，即可作答． （2）根据正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； （2）解：观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 题型6 勾股定理与无理数 例10．如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 例11．在数轴上作出表示的点． 【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可知，作直角边分别为1，4的直角三角形，斜边长即为，以点O为圆心，斜边长为半径画弧与正半轴的交点即为所求，据此作图即可． 【详解】解：如图，取，且，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示，点C即为所求． 【技巧总结】 （1）无理数边长同样满足勾股定理，不用近似小数计算； （2）可利用勾股定理在数轴上精准构造无理数长度线段。 【变式训练6-1】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 【变式训练6-2】综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)， (2)①作图见解析，；②作图见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示无理数， 对于（1），根据勾股定理求出对角线的长，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，即可得出答案； 对于（2）①，将图3分成4个直角三角形和1个小正方形，再图4中拼成正方形，进而得出正方形的边长； ②以数1为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作. 【详解】（1）解：对角线的长为， 所以点A，点B表示的数是； 故答案为：； （2）解：①如图所示， 正方形的面积为5，所以边长； 故答案为：； ②如图所示，点M即为所求作． 题型7 勾股定理与网格问题 例12．如图，正方形网格小方格的边长为1，网格中有四条线段两个端点都在小正方形的顶点上，则这四条线段中长为有理数的有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】D 【分析】如图，先标注字母，再利用勾股定理计算每条线段的长，再判断即可. 【详解】解：如图，标注字母， ，，， . ∴这四条线段中长为有理数的有条. 例13．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 【技巧总结】 （1）网格线段：横纵差为直角边，直接套勾股定理求斜线长； （2）网格判断直角：通过三边网格长度，用逆定理验证直角； （3）网格面积用割补法，再结合边长求解。 【变式训练7-1】图1，图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画一个面积为2的直角三角形；在图2中画一条长度等于的线段． 【答案】见解析 【分析】画两个直角边长都为2的直角三角形即可得到面积为2的直角三角形．根据勾股定理，只需构造一个以1和4为直角边长的直角三角形，斜边长度等于的线段． 【详解】解：如图，，线段为所求． 由图可得，， ∴． 由图可得． 【变式训练7-2】图①、图②、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画多边形，使多边形的每个顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个腰长为3的等腰三角形，使点在其对称轴上； (2)在图②中，画一个腰长为的等腰三角形，使点在其对称轴上； (3)在图③中，画一个面积为的四边形，使四边形为轴对称图形且点在其对称轴上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了轴对称图形，等腰三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作图即可． （2）根据题意作图即可． （3）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． ． （3）解：如图，四边形即为所求． 图①和②中， 图③中，． 题型8 勾股定理中折叠问题 例14．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 例15．如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， 四边形是长方形，，， ，， 在中，， ，解 得． 故答案为：． 【技巧总结】 （1）折叠必出等量：对应边、对应角相等； （2）设未知数表示折叠后缺失边长，在直角三角形中列勾股方程； （3） 优先锁定折叠形成的直角三角形，是解题唯一突破口。 【变式训练8-1】综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)或 【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案． （2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 【变式训练8-2】如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 题型9 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 例16．以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证三角形中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能构成直角三角形． 【详解】解：A、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，能构成直角三角形，符合题意； D、，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 例17．已知a，b，c为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】B 【详解】解：A．∵，两边平方得， ∴，不能构成三角形，故不符合题意； B．∵，移项得，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故符合题意； C．∵ 设，，，，c为最长边， ∵，，， ∴不是直角三角形，故不符合题意； D．∵，，， ∴不是直角三角形，故不符合题意． 【技巧总结】 （1）第一步先找最长边，只用最长边平方验证； （2） 满足即为直角三角形； （3）验证前先判断三边能否构成三角形，避免无效计算。 【变式训练9-1】若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（    ） A． B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一计算即可得出结论． 【详解】解：对选项A，设，， ， ，，， A不是直角三角形， 对选项B，最长边为， ，，， B不是直角三角形， 对选项C，最长边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理， C是直角三角形， 对选项D，最长边为， ，，， D不是直角三角形． 【变式训练9-2】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 题型10 台阶地毯长度问题 例18．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 【技巧总结】 （1）台阶地毯总长=所有水平总长+所有竖直总高； （2）无需逐阶计算，整体平移求和即可快速得出结果。 【变式训练10-1】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 【变式训练10-2】如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 题型11 梯子滑落与风筝问题 例19．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，米，米，米， 在中，， ， ， 在中，， ， 则梯子顶端A下滑了米． 例20．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线___________． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 【技巧总结】 （1）梯子、风筝线为斜边，墙/地面为直角边，固定直角模型； （2）滑动前后斜边长度不变，利用不变量列方程求解变化量。 【变式训练11-1】如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】米 【分析】在中根据勾股定理求出的长度，从而得出的长度，然后根据和勾股定理求出的长度，从而得出答案． 【详解】解：∵是直角三角形，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 故梯子的底端在水平方向滑动了0.8米． 【变式训练11-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 题型12 旗杆与大树折断问题 例21．如图，从电杆离地面米处向地面拉一条米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电杆底部的距离？ 【答案】米 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 例22．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 【答案】D 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出大树原来的高度． 【详解】解：设大树折断处为点，树根为点，树顶落地点为点， 大树离地面米处折断， 米， 树的顶端位于离树根米处的点处， 米， 在中，，由勾股定理得：（米）， 大树原来的高度为：（米）． 【技巧总结】 （1）折断旗杆上段为斜边，下段地面距离为直角边； （2）设折断高度为x，总高=下段+上段斜边长度。 【变式训练12-1】为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)测量长度有误差（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可； （2）根据可能产生误差的原因，作答即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； （2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 【变式训练12-2】如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【变式训练12-3】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 题型13 小鸟飞行问题 例23．如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 【技巧总结】 （1）大树折断类同旗杆模型，构建直角三角形； （2）小鸟最短飞行距离：两点直线距离，直接勾股计算。 【变式训练13-1】已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行_______ 米． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先求出两棵树的高度差为（米），然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两棵树的高度差为（米），间距为10米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 题型14 水杯中筷子问题 例24．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 【技巧总结】 （1）杯底直径、杯高为两直角边，杯中筷子斜长为斜边； （2） 筷子总长=杯中斜边长度+杯外露出长度。 【变式训练14-1】《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 【变式训练14-2】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理求出这只铅笔在笔筒的内部的长度范围，进而求出这只铅笔的长度范围，然后判断即可． 【详解】解：∵笔筒的内部底面直径是，内壁高， ∴这只铅笔在笔筒的内部的长度最短为，最长为， ∴这只铅笔的长度最短为，最长为， 只有D符合题意， 故选：D． 题型15 受台风影响问题 例25．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 【技巧总结】 （1）构造点到直线最短距离（垂线段），用勾股求解； （2）垂线段长度＜台风半径，则受影响；反之不受影响； （3）利用弦长公式求影响时长、影响路程。 【变式训练15-1】如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 【变式训练15-2】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 题型16 航海问题 例26．如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 【技巧总结】 （1）方位角必找垂直关系，南北与东西方向天然垂直； （2）根据速度时间求两段路程，作为直角边，求两点直线距离； （3）用逆定理判断航行夹角是否为直角。 【变式训练16-1】如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 【答案】9米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为17米， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米） 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 【变式训练16-2】如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 题型17 汽车超速问题 例27．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速行驶 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【技巧总结】 （1）固定观测点、路面距离构造直角三角形； （2）求出行驶路程，结合时间算速度，对比限速判是否超速。 【变式训练17-1】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 【变式训练17-2】学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【答案】没有超速，见解析 【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：没有超速，理由如下： 过点C作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴小车平均速度， ∵ ∴ ∴， ∴此车没有超速． 题型18 河宽与选址问题 例28．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 例29．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 【技巧总结】 （1）河宽为垂直直角边，不可直接用斜线代替； （2）选址最短、等距问题，构造对称点，用勾股求最短路径。 【变式训练18-1】（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出其面积； （2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得，如图所示，求A，B之间的距离． 【答案】（1）中线，；（2）． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的实际应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，再由勾股定理求解高，最后由三角形面积公式即可求解； （2）先证明为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，为等边的中线，， ∴，， ∴由勾股定理得:， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 【变式训练18-2】如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 【答案】该自动售货点应该修建在离点 处 【分析】连接，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， 解得， 答：该自动售货点应该修建在离点 处． 题型19 最短路径问题 例30．如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出的长，根据勾股定理即可求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，长方形为圆柱的侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”可知，线段的长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程． 由题意得， 在中，根据勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是15． 例31．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程为 __________ 【答案】 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是关键． 解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为（米），宽为米． 于是最短路径为：（米）． 故答案为：米． 【技巧总结】 （1）立体图形必须展开成平面，再用两点之间线段最短； （2）圆柱、长方体需分类讨论不同展开方式，取最短值。 【变式训练19-1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 【变式训练19-2】直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 【答案】 【分析】本题考查的勾股定理得实际应用，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， 由题意得，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 答：所用彩条最短长度是． 【变式训练19-3】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 题型20 勾股定理的逆定理实际问题 例32．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【技巧总结】 （1）实际场景中需先测量三边长度，再用逆定理判定垂直、直角； （2）工程、测量、定位题型，核心是证直角、证垂直。 【变式训练20-1】为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形面积公式求出草皮面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 【变式训练20-2】如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （2）解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 1．以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（     ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．2，， 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A、∵，，∴，不能构成直角三角形，A不符合题意； 选项B、∵，，∴，不能构成直角三角形，B不符合题意； 选项C、∵，，∴，能构成直角三角形，C符合题意； 选项D、∵，，∴，不能构成直角三角形，D不符合题意． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理求出，得到，由勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 设， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点到点的距离是． 3．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 4．如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（    ） A．17 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 5．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 6．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，得，结合图形得点表示的数． 【详解】解：由题意得，在中，，， ， 以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点， ， 点表示的数是． 7．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位，书中记载了一道“荡秋千”问题．其译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千长为x尺，则可列方程为_______________． 【答案】 【详解】解：由题意得：尺，，尺， ∴尺， ∴在中，由勾股定理可得． 8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上． (1)求四边形的面积； (2)探究四边形对角线、的位置关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了根据网格求面积，勾股定理逆定理． （1）根据割补法求面积即可； （2）连接，，作交格点于E，连接，根据勾股定理逆定理证明，即可得到． 【详解】（1）解：四边形的面积 ； （2）解：如图，连接，，作交格点于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 9．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 10．如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为和，，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有，求环卫车的行驶速度为多少？ 【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论； （2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下： 如图，过点作于， ，，， ． 是直角三角形，． ， ， 即， ， 环卫车周围以内为受噪声影响区域， 学校会受噪声影响． （2）解：如图，当，时，正好影响学校， ， ， 环卫车噪声影响该学校持续的时间有， 环卫车的行驶速度为：， 答：环卫车的行驶速度为． 11．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)21米 (2)6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 12．如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 13．对于一个给定的图形，找到两种面积计算方法，计算结果一定是相等的，由此可以得到一个等式，进而解答问题，这种方法叫作等面积法．请据此解答下列问题． (1)已知在中，，，，为边上的高，求的长． (2)如图，所示都是边长为的正方形，这两个图直观地证明了（     ） A．    B． C．        D．． (3)如图2，已知是等边三角形，，点P是外一点，过点P作三边所在直线的垂线：，，，垂足分别为D，E，F．直接写出的值． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据等面积法求出结果即可； （2）根据阴影部分面积相等进行求解即可； （3）根据等边三角形的性质和勾股定理，求出的面积，再根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，且， 为边上的高，， ， ∴． （2）解：图和图都是边长为的正方形，且都含有四个全等的直角三角形，所以它们的阴影部分的面积相等． 图中，， 图中，， ． （3）解：如图，过点A作，垂足为G， 是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 如图，连接，，， ， ． ． 14．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 15．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $