山东省泰安市新泰中学2025-2026学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合M={-2,-1,0,12},N={xx2-x-6≥0}，则M∩N=() A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} c.{-2} D.{2} 2.若a>0,b>0,则a+b>2"是“log2a+logb>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数f)=x+8 2lnr的单调递减区间是() A.（-n,2) B.(0,2) C.(-n,4) D.(0,4) 4.新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查 他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示， 经计算得到X=8.651.下表是x2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列 说法正确的是() 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 3.841 6.635 7.879 10.828 1.0 ☐文艺类 0.8 ☐科技类 0.6 0.4 0.2 0.04 高一 高二 A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C.依据=0.01的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断 犯错的概率不大于0.01 D.依据=0.001的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断 试卷第1页，共5页 犯错的概率不大于0.001 5甲，乙两人每次射击金中日标的假率分别为}与号。且每次射击命中与否互不影明两人 3 约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击：若没有命中，则继续射击，若 约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为() A B.27 c. 2 4 D. 10 6.若从- 1 2 的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为5，则E(5)=() 6 A. c. 2 D. 8 55 7.我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的安 康数”共有() A.15个 B.27个 C.28个 D.36个 8.已知正实数a,b满足aea-2=e2025和b(lnb-2)=e228,则() A.e2028<ab<e2029 B.e2027<ab<e2028 C.e2026<ab<e2027 D.e2025<ab<e2026 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求 且Y=2X+1,则() A(x)月 B()-号 C.E(Y)-1=2D(Y) D.当P(X=k)取最大值时，k=1或2 10.甲乙，丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地 将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为P,下列说法中正确 的是() A名局 B.第5次传球后球在乙手中有11种传法 试卷第2页，共5页 1 C.数列{D+二为等比数列 3 D. 11.已知随机变量Y~N(0,4),记函数f(x)=P(x-2≤Y≤x),8(x)=P(Y≥x),则下列说 法正确的是() (注：若X~N(4,o2),则P(u-o≤X≤u+o)≈0.68，P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.95) A.f(2)≈0.34 B.g(x)在R上是增函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 。1Y D.8()的图象关于点(0，对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.对于车件AB,P(B)P(D-=名P(4uB)-则P( 13.若a>0,5>0,则子+品+5的最小值为 14.若函数f(x)的定义域为R,满足f(O)=2,xeR,都有f(x)+f(x)>1,则关于x的 不等式f(x)>e+l的解集为_· 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.已知A3=6C (1)求n的值： (2)若(2x-3)=6+4(x-1)+ax-)2+…+a,(x-1),求a+++a. 16.某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至 2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 2025年10 2025年11 2025年12 2026年1 2026年2 月份 月 月 月 月 月 月份代码x 2 3 4 5 试卷第3页，共5页 月销量y(单位：千 8 10 13 20 24 台) (1)求出y与x的相关系数r(保留三位小数)，并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份 代码x是否有较强的相关关系：（当|re[0.75,]时，相关性较强，当|re[0.3,0.75)时，相关 性一般) (2)求出y关于x的经验回归方程)=bx+à，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量： 2年-y-列。】 氏-0y-列 参考公式：相关系数r= a=-b标， 9(&-列 参考数据： 2g-0-列=2,2年-对=102g-列=184， 212625 V115≈10.724， 21.4482681 17.已知函数f(x)=e(3x-5),g(x)=a(x-3) (1)求∫(x)在x=1处的切线方程： (2)若f(x)≥g(x)对x∈[3，+o)恒成立，求实数a的取值范围 18.某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次设置甲、乙、丙三个 抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券已知甲箱每次拍取中奖的概率为}，乙箱 和丙箱每次抽取中奖的概率均为号，中奖与否互不影响 (①)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得 价值30元的学习用品，其他情况没有奖励， 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的 学习用品，其他情况没有奖励： 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖已知该 同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 19.已知函数f(x)=nx-ax有两个零点. (I)求a的取值范围： 试卷第4页，共5页 2已知函数g)的图象与f()的图象关于直线x=上对称，证明：当x∈0，时， a a f(x)<g(x); (3)设X,x2是f(x)的两个零点，证明：a(x+x2)>2. 试卷第5页，共5页 1.C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出. 方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出 【详解】方法一：因为N={2-x-6≥0=（←，-2[3+0），而M={-2,-1,0,12, 所以M∩N={-2}. 故选：C. 方法二：因为M={-2,-1,0,1,2},将-2，-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式 成立，所以M∩N={-2}. 故选：C. 2.B 【详解】：a>0,b>0, 当a=4,6-子则a+b=4+}名2，ab=41,t时1oga+e,b=0, 44 4. 当a=4,0兮别a+b=4+片头>2,00=4专1，t时s,a+lgb<0: .充分性不成立. 由log2a+logb>0,得log2(ab)>0,即ab>1: a>0,b>0,.由基本不等式得a+b≥2b(当且仅当a=b时等号成立)： .a+b≥2Wab>2W1=2: .a+b>2. 必要性成立 综上，“a+b>2”是“log2a+logb>0的必要不充分条件. 3.D 【分析】先确定函数的定义域，再求导函数，最后解出导数小于0的不等式并与定义域取交 集即可得出单调递减区间 【详解】由题意得fw=1-82--2-8x>0, x2x x2 令f"(x)<0,则x2-2x-8<0,解得-2<x<4, 答案第1页，共11页 因为x>0,最终有0<x<4. 4.C 【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文 艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项A和B;根据=8.651， 对照临界指表，即可判断选项C和D. 【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之 比为0.6：0.4=3：2， 心 所以按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有20×。=12人，A错误： 5 由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为 0.4:0.6=2:3, 3 所以参加科技类活动人数为200X名=80人，参加文艺类活动人数为200x120人， 5 所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多120-80=40人，B错误； 已知X2=8.651,根据临界值表可得x2=8.651>6.635=1, 依据a=0.01的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错 的概率不大于0.01， 所以C正确： 因为x2=8.651<10.828=%m1，不满足X2>0m1,因此不能依据a=0.001的独立性检验得 出结论， 所以D错误. 5.D 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立 事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为P,共有三种情况： 甲中乙中甲没中.甲，概率为}×2×2_4 33327 甲没中甲没中-甲中乙：弓×327 2214 21、24 甲没中甲中乙中甲：3×3327 答案第2页，共11页 所以P=4+4+4.4 Γ2727279 6.B 【分析】使用二项式展开 1)0 2 求得有理项的个数，结合超几何分布的分布列与均值 公式即可求解。 【详解]由=10可得工出=C0-,x3，当3二为整数时，该项为有理项 因为0≤r≤10且r∈N,所以当r=2,5,8时， 10-2分别为2,0，-2是整数， 3 即有理项有3项， 5的取值为0,1,2,3， P-0)-CC5)-C2) Cc-24 c1165 c165 C165 P(5=3)= C165 则5的分布列为 0 1 2 3 56 84 24 1 165 165 165 165 则B(5)=0x56 1x84 24 +3x1 9 +2× 165 165 165 16511 7.C 【分析】用隔板法即可求解 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 7+6+5+4+3+2+1=28个安康数 法二：等价于从左到右三份分别对应x,y,2且x+y+z=7,x≥1，y≥0，z≥0， 若x=k+1，则k+y+z=6,即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有C1=C=28 答案第3页，共11页 个安康数选C 8.A 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数f(x)=x+nx,利用导数判断其单调 性，即由f(a>f(lnb-2)推得a>lnb-2,再利用不等式性质推得ab>e2028，再将其变形 后借助于指数函数单调性推出ab<e2029即可. 【详解】由aea-2=e225>0,两边取对数，h(ae-2)=ln(e225),即lna+a=2027, 又由b(nb-2)=e202s>0,两边取对数，lnb+n(nb-2)=2028, 即nb-2+n(nb-2)=2026, 令f(x)=x+lnx,x>0,因为b(hb-2）=e208>0且b>0,则1nb-2>0, 则f(a=2027>f(Ib-2)=2026,由f(x)=1+上>0，可得f(x)在(0，+o)上单调递增， 则a>lnb-2,故ab>(nb-2)b=e208: 又由a>lnb-2可得b<ea+2，,则ab<aea+2=aea-2.e4=e229, 故e2028<ab<e2029. 9.ABD 【详解】X-B8宁，EC灯=3子达项A正确 D(0=3××Q-=3,选项B正确 24 E(Y)-1=E(2X+1)-1=2E(0+1-1=2E(X=3, 2D们=2D(2x+D=2×2D(X)=8×3=6,选项C错误 r=)=c约a-等，女-0123k=1成=2断，Px=取得0大值，D 8 选项正确。 10.ABD 【分析】通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进 行求解 【详解】由题意，若第n次传球后球在乙手中，则第-1次必不在乙手中，此时概率为 1-B1,第n次传球给乙的概率为， 答案第4页，共11页 =-：)所以{2}为等比数列c错 }为现足见公比是的等比列 前5次传球共有2=32种传球方法，传到乙手中的概率B= 321 传到乙手中共有11种传法，B正确： B=t2x1 362 显然×1) 2025 62 <0, Bs<有，D正确， 11.ACD 【分析】对于A,利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对 于B,由正态分布曲线的性质即可判断，对于C,将x替换为2-x结合条件即可求解，对于 D,由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解 【详解】对于A,f2)=P0≤Y≤2)=P(2Y≤2≈034，所以A正确 对于B,根据正态分布曲线的性质得，随着x的增大8(x)减小， .8(x)在R上是减函数，B错误： 对于C,:u=0,根据对称性，将x替换为2-x, 即f(x)=P(x-2≤Y≤x)=P(-x≤Y≤2-x)=f(2-x), ·f(x)图象关于直线x=1对称，所以C正确： 对于D,8(x)=1-P(Y<x),根据对称性得P(Y<x)=P(Y>-x)=8(x), 因此8(x)=1-8(-x),即8(x)+8(-x)=1。 g(x)关于(0，)对称，D正确 2高 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出P(AB),再根据两个事件并集的概率公式和 P(AUB)的值即可求出， 答案第5页，共11页 【详解】已知P()=P(AB)石，白条件稷率公式P(A)-PA）. P(B,得 4=P4P®到=名号0 又因为P(AUB)-专，根据两个事件并架的概率公式P(AUB)=P4)+P(8)-P(AB), 得P(4=P(AUB)-P(B)+P(AB)=4+1=3 551010 13.2V5 【分析】两次利用基本不等式即可求出： 【详解】：a>0,b>0, 京+2传6-4626-2， 1 a 2 当H仅当分号且后6，即a=力=5时等号流立， 所以子+是+6的最小值为2反。 故答案为：2√5. 14.(0,+0) 【分析】根据已知条件f(x)+f(x)>1结构特征可知f(x)+(x)-1该部分是某个函数的导 函数变形所得，由问题中的不等式f(x)>ex+l提示可得构造函数F(x)=ef(x)-e,再结 合函数的单调性情况即可进一步求解出答案 【详解】因为f(x)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1>0, 又因为e*>0,所以e'f(x)+ef'(x)-e>0, 所以构造函数F(x)=ef(x)-e,则F'(x)=ef(x)+ef'(x)-e=e「f(x)+f'(x)-1]>0, 所以F(x)在R上单调递增，因为f(O)=2,所以F(0)=1, 所以不等式f(x)>e"+1,即ef(x)-e">1,所以F(x)>F(0), 因为F(x)在R上单调递增，所以x>0,所以不等式的解集为：(0，+o). 15.(1)8 (2)0 【分析】(1)利用排列数和组合数的展开公式将原等式化简为一元二次方程，结合定义域即 答案第6页，共11页 可求解； (2)用赋值法，分别令x=2求出所有项的系数之和，令x=1求出常数项，两者相减即可求 解。 【详解】(1)由题意得0-10-2)=6×01-1n-2)0-301- ,n≥5，且neN, 且n1-100-2)≠0，所以有1=6×m-3n-④ 120 整理得n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍)， (2)令x=2,得4+4+…+4=1： 令x=1,得=(-1)3=1，.4+…+4=1-1=0. 16.(1)0.979,y与x有较强的相关关系 (2)=4.2x+2.4,4.44万台 【分析】(1)根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可： (2)利用最小二乘法求得à，b,进而求得y关于x的经验回归方程，按规律得到2026年7 月对应x的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量： 【详解】1)-6g-可=42，（年-矿=10，g-=184, 42 4242 则r= √10×1844V11542.896 ≈0.979>0.75 故y与x有较强的相关关系： (2)b= 90-品=42 又-0+2434+9=3，-8+10+13+20+240-15， 所以a=-标=15-4.2×3=2.4， 故经验回归方程为少=4.2x+2.4, 2026年7月对应的x值为10， 当x=10时，y=4.2×10+2.4=44.4, 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台 17.(1)y=ex-3e 11 (2)a≤9e3 答案第7页，共11页 【分析】(1)通过对原函数求导得出切点处的斜率，结合切点坐标，利用点斜式直接写出切 线方程： (2)法一（构造函数法）：构造两函数之差的新函数，通过求导并分类讨论找出该新函数 在给定区间上的最小值，令其最小值大于等于零来求解参数的取值范围：法二（分离参数 法)：排除端点值后，将参数单独分离到不等式一侧，从而将“恒成立”问题转化为求不含参 新函数在指定区间上的最小值问题。 【详解】(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=e*(3x-2), 所以f1)=-2e,f'(1)=e,所以切线方程为y+2e=e(x-1),即y=ex-3e (2)法一：令h(x)=f(x)-8(x)=e*(3x-5)-a(x-3),则h(x)=e(3x-2)-a, 设H(x)=e(3x-2)-a,则H'(x)=e(3x+1)在[3，+w)上恒正， 所以N(x)在[3，+o)上单调递增，H(x)n=(3)=7e3-a ①当a≤7e3时，H()mm≥0，所以h(x)在[3，+o)上单调递增， 即h(x)mn=h(3)=4e3>0恒成立，所以此情况满足题意； ②当a>7e3时，H(x)mm=t(3)<0,N(na=er(3na-2)-a=a(3na-3), 当a>7e3时，lna>n7+3>1,故3na-3>0,因此H(lna>0, 且(x)在[3，+w)上单调递增，所以3x,∈(3，na使得h(x)=0, 即h(x)=e(3x-2)-a=0,有eo(3x-2)=a. 所以h(x)在[3，x]上单调递减，在[xo,+∞)上单调递增， h(x)am=h()=e(3x-5)-e(3x-2)(-3)=-e(3x-14x+11）≥0， 解得1≤%≤}，因为>3，所以，∈6， y=e(3x-2),则y=e(3x+1)>0,所以y=e(3x-2)在∈(3，]单调递增， 所以a=e(3,-2)∈ /7e,9e 综上所述，a的取值范围为a≤9e号 答案第8页，共11页 法二：①当x=3时，4e3>0,对任意实数a恒成立； ②当x>3时，a≤e(3x,5》不妨令)-e3x, ,则 x-3 x-3 hx=e3x-2x-3)e-3x-)_e3x2-14+1-e(3x-11k-) (x-3)2 (x-3)2 (-3)2 令国-0，解得号现=1所以)在 上单调递减， 上单调道培所以a<加=A胃》=e 11 综上，a的取值范围为a<9e. 11 18.(1)方案一 a 【分析】(1)分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可： (2)根据全概率公式及条件概率公式即可得解 【详解】(1)若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为X元，则X=50,30,0; 则x=0=方位x0)--5》 P(X=0)=1- 117 12312 所以8(x)-502+30兮0 1 785 3 12-6 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为Y元，则y=70,40,0; 则Pv=0=分pv=40=1-)号 P(Y=0)=1- 1220 27927 所以BY)=70× *0写090 27-27 因为E(X)>E(Y),故选择方案一比较合适 (2)设“该同学抽取中奖”为事件A,“选择甲、乙、丙抽奖箱的事件分别记为B,,B2, B3, 则P(B)=PA)=P(B)}P4马)P(A4)=P(44) 所以0=Pa)P8)+P国)P(HP鸟P)-兮号 答案第9页，共11页 11 故P(B2|A)= P(B,A)P(B)P(AIB)32_3 P(A) P(A) 所以所求概率为 3 1. e (2②)因为函数8()的图象与f(x)的图象关于直线x=上对称， 所以后小 构造函数h(x)=8()-f()=n a 所以h(x)= -a1 +2a=-a-2+m+4x-2ax22(cm-12 2- x(2-ax） x(2-） 0 所以)在月1单酒莲减则>A日-0， 所以h(x)=g(x)-f(x)>0, 即当e时，g (3)不妨设<，由f()=f(),则0<￥< 1 a 构造函数严()=J)-名0<x司， w传事京 x(2-ax) 因为，0<x<二 2-m>0,F0,所以国在月是港溶，又日-0，所 以网后小日，居 s)2 又).)居 西，名合心儿心在合小上递减，所以。>子，即+5会所以 a a(x1+x2）>2. 答案第10页，共11页 【分折】1求导确定函敏的单调性，即可根据装大值/日。10果解。 a (2自对特的性质可行g)侣h名名构适遥数)g国. 利用导数研究h(x)的单调性以及最值即可证明结论 8》构滋商数)-J侣0 利用导数求解单调性，即可求解. 【详解】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=上-a, 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+∞)上递增，f(x)至多一个零点，不符合题意，舍去： 当a0时，令小0得0<位所以e)在0月上递治， 当xa)0.此时)在日把)上通减， 所以了（心）的极大值也是最大值了[日-1>0,0<a< 又x<1时，f(x)<0;x趋向于+m时，f(x)趋向于-n. 所以。e)有两个零点，a的取位范国为0》】 (2)略 (3)略 答案第11页，共11页