专题03 一次函数（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材湘教版

专题03 一次函数 理解常量、变量、函数的概念 (1)变量与常量:在讨论的问题中,取值会发生变化的量称为变量,取值固定不变的量称为常量(或常数). (2)函数:一般地,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作 y=f(x),x叫作自变量,y叫作因变量,对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a). 掌握函数的三种表示方法 表示函数的方法一般有列表法、公式法和图象法. 一次函数、正比例函数的概念 关于自变量的一次式的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数. 一次函数的特征及自变量的取值范围 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 正比例函数的图象 (1)图象:一般地,正比例函数y=kx(k为常数,≠0)是一条经过原点的直线. (2)性质:①当k>0时,直线 y=kx 经过第一、三象限且从左向右上升,y随x的增大而增大. ②当k<0时,直线 y=kx 经过第二、四象限且从左向右下降,y随x的增大而减小. 一次函数的图象 (1)一次函数 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移b个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0 时，向下平移). (2)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:当k>0时,y的值随着x值的增大而增大当k<0时,y的值随着x值的增大而减小, 正比例函数表达式的求法 (1)待定系数法的定义:通过先设定函数表达式(确定函数模型),再根据条件确定表达式中的未知系数,从而求出函数表达式的方法称为待定系数法. (2)求正比例函数表达式的步骤: ①设出正比例函数表达式y=kx; ②根据条件列出表达式中关于k的方程: ③解方程,确定k的值; ④根据求出的k的值确定函数表达式. 一次函数表达式的求法 求一次函数表达式的步骤: (1)设出一次函数表达式y=kx+b; (2)根据条件列出表达式中关于k,b的方程; (3)解方程(组),确定k,b的值; (4)根据求出的k,b的值确定函数表达式. 一次函数图象的实际应用 掌握应用一次函数解决实际问题的步骤 (1)建立函数模型; (2)求出函数表达式; (3)根据函数表达式画出函数图象; (4)根据函数图象的性质或自变量的取值情况解答问题. 一次函数与一元一次方程的关系 (1)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解. (2)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解. 函数图象识别 【例1】1．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应判断即可． 【详解】解：A．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； B．对于的每一个取值，可能有多个值与之对应，故不是的函数； C．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； D．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数． 【变式1】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（     ） A．、B．C．D． 【答案】A 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 因此能表示是的函数的是选项B、C、D中的图象， 不能表示是的函数的是选项A中的图象． 【变式2】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y存在两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不符合题意； 【变式3】下列图象中，y不是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】由函数定义知，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的y值与之对应，体现在函数图象上，作与x轴垂直的直线与函数图象一定有唯一的交点，据此判断即可． 【详解】解：选项A，C，D的图象与x轴垂直的直线只有一个交点，故是函数的图象，从而y是x的函数． 选项B的图象与x轴垂直的直线可以有两个不同的交点，故它不是函数的图象，从而y不是x的函数． 从函数的图象获取信息 【例1】近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快．现随机抽样调查了某市2019—2025年的家庭年平均教育支出（单位：万元），得到如图所示的趋势图（年份代码1～7分别对应2019—2025年），则下列说法正确的是（   ） A．2019年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的22.5% B．2025年与2024年相比，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比降低了 C．根据趋势估计，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的40% D．根据趋势估计，2026年后，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比不会超过50% 【答案】A 【详解】解：A，根据图象可知，年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的，符合题意； B，根据图象可知，年家庭年平均教育支出占家庭总支出，年家庭年平均教育支出占家庭总支出大约，百分比上升了，不符合题意； C，根据图象可知，家庭年平均教育支出整体是上升趋势，年家庭年平均教育支出占家庭总支出，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出可能超过，不符合题意； D，根据图象可知，家庭年平均教育支出整体是上升趋势，年家庭年平均教育支出占家庭总支出，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出可能超过，不符合题意． 【变式1】在一定温度下，甲、乙、丙三种物质水中的溶解度曲线如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙三种物质的溶解度都随温度的升高而增大 B．时，丙的饱和溶液的浓度最大 C．时，乙和丙的溶解度相同 D．乙物质的溶解度始终大于甲物质的溶解度 【答案】B 【详解】A、由题可知，甲、乙两种物质的溶解度都随温度的升高而增大，丙物质的溶解度随温度的升高而减小，故选项A说法错误，不符合题意； B、时，丙的溶解度为，大于甲、乙的溶解度，溶解度越大，浓度越高，所以在水中，丙的饱和溶液的质量最大，故选项B说法正确，符合题意； C、时，甲和丙的溶解度相等，乙和丙的溶解度不相同，故选项C说法错误，不符合题意； D、记温度为t，当时，乙物质的溶解度大于等于甲物质的溶解度，当时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，故选项D说法错误． 故选：B． 【变式2】某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差___________元． 【答案】10 【分析】先求出两种方式每分钟的通话费用，进而求出打出150分钟时，两种方式的费用，相减即可. 【详解】解：由图象可知，A种方式每分钟通话的费用为元； B种方式每分钟通话的费用为元； 故通话150分钟时，A种方式需元；B种方式需元； 故这两种方式的电话费相差元. 【变式3】小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走，如图所示为小颖离家的距离（）与所用时间（）的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是________，因变量是________； (2)小颖家与学校的距离是________； (3)小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ (4)买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的平均速度是多少？ 【答案】(1)时间，距离 (2)2600 (3)3400米 (4)90米/分 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义进行判定即可解答； （2）根据图象可知，当时间为0时，距离为米，即可解答； （3）根据图象，分别求出小颖想起要去买彩笔时已经走的路程，返回到文具店走的路程，从文具店回到家走的路程，求和即可解答； （4）根据图象，求出小颖从文具店回到家的路程和时间，根据“速度＝路程÷时间”即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，自变量是时间，因变量是距离． （2）解：根据题意可得，小颖家与学校的距离是米． （3）解：由图可得，小颖想起要去买彩笔时，已经走了（米）， 返回到文具店走了（米）， 从文具店回到家走了1800米， 所以小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是（米）． （4）解：由图象可得，小颖从文具店回到家走了1800米，用了分钟， 所以小颖从文具用品店回到家步行的速度是（米/分）． 根据一次函数的定义求参数 【例1】已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 【变式1】若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程和不等式，求解并排除使一次项系数为的情况，得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项，且一次项系数． 由，得 ∴， 由，得 ∴． 【变式2】已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 【变式3】已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 判断一次函数的图象 【例1】一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 【变式2】已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式判断其经过的象限，根据本题中，，图象经过一、三象限， ，则，图象与轴的交点大于，即可解答． 【详解】 ， 图象经过一、三象限， ，， ， 图象与轴的交点大于， 综上，图象经过一、二、三象限， 故选． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例1】关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（     ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【分析】先判断直线经过的象限，再由直线与直线必相交，即可判断交点的位置． 【详解】解：直线中，，， ∴直线经过一、二、三象限，不经过第四象限 又∵ ∴两直线一定有且只有1个交点 ∵交点一定在已知直线上，而已知直线不经过第四象限， ∴交点一定不在第四象限． 【变式1】若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题关键是先根据已知点的横坐标和函数值的大小关系确定k的符号，再根据截距的符号判断直线经过的象限． 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴， 又∵直线解析式为，常数项，即直线与y轴交于负半轴， ∴直线经过第二、三、四象限． 【变式2】已知一次函数， (1)当值为何值时，该函数为正比例函数； (2)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于； (3)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于负半轴； (4)当值为何值时，一次函数随的增大而增大； (5)当值为何值时，一次函数的图象经过一、二、四象限． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) (5) 【分析】（1）由函数为正比例函数时可得，据此求解即可； （2）把代入函数解析式，得关于的方程，求解方程即可； （3）由题意可得，据此即可求出的取值范围即可； （4）根据一次函数的性质得到，然后解不等式即可； （5）若一次函数的图象经过一、二、四象限，可知且，由此列不等式可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于， ∴， 解得：； （3）解：∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， 解得：且； （4）解：∵一次函数随的增大而增大， ∴， 解得：； （5）解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， 解得，     ∴当时，该一次函数的图象经过一、二、四象限． 【变式3】联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 【答案】(1)当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限． (2)当时，函数的图象不经过第四象限；当时，函数的图象不经过第二象限 【分析】（1）画出和时函数的图象，根据图象解答即可； （2）画出时，时的图象，根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第一、三象限； 当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第二、四象限； （2）解：当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第四象限； 当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第二象限． 已知函数经过的象限求参数取值范围 【例1】直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先根据平移规则求出平移后直线的解析式，再根据一次函数图象经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：根据一次函数平移规则，直线向上平移个单位长度后， 解析式为 ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴直线与轴的交点需在正半轴，即， 解得， 只有D选项的5满足条件． 【变式1】若一次函数（k是不为0的常数）的函数值y随自变量x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则k的值可以是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，先由函数增减性得到的范围，再由图象不经过第一象限得到与y轴交于负半轴或原点，联立求出的取值范围，结合选项得到答案． 【详解】解：∵一次函数（）的函数值随增大而减小， ∴，排除选项A， ∵函数图象不经过第一象限， ∴函数图象与y轴交于负半轴或原点， ∴， 解得， 结合选项可知，只有符合条件． 【变式2】若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性确定的符号，再由一次函数图象位置确定常数项的范围，综合即可得到的取值范围，验证各个选项即可． 【详解】解：∵一次函数（）的函数值随增大而增大， ∴，排除为负数的A、B选项； ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴函数与轴的交点在原点或轴负半轴，即，解得； 综上所述，，选项中只有D选项的符合条件． 【变式3】一次函数的图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围． 【答案】 【分析】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，． 【详解】解：因为一次函数的图象经过第一、三、四象限， 所以且， 解得且， 所以a的取值范围是． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例1】已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线变形，观察与直线的平移规律，得到点的平移规律即可． 【详解】解：∵直线， 即将直线向左平移 个单位长度得到直线， ∵直线与轴的交点坐标为， ∴将直线与轴的交点坐标向左平移 个单位长度得到坐标为． 【变式1】若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于的不等式，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一次函数 ， ∵随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 又∵函数图象与轴交点在轴上方， 当时， ，交点在轴上方即， ∴， 解得 ． ∴ ． 【变式2】如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中，，其中是二元一次方程组的解，射线与轴交于点 (1)直接写出点坐标______，点坐标______ (2)求出点的坐标 (3)动点从出发在轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点从出发，在轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，为的中点，若，同时出发，运动时间为秒，当为何值时，三角形的面积等于三角形面积的2倍． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）设直线的解析式为，代入，待定系数法求解析式，进而令，即可求解； （3）分别表示出，根据三角形的面积分别求得三角形的面积，三角形的面积，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 解得： ∴， （2）解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ （3）解：依题意，， ∵为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵三角形的面积等于三角形面积的2倍． ∴ 解得：或． 一次函数图象平移问题 【例1】若直线向下平移3个单位长度后的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据一次函数平移规则求出平移后的解析式，再根据一次函数图象经过第一、二、四象限的性质，得到b的取值范围，进而求出的取值范围，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，根据平移规则可得平移后的直线解析式为：， 平移后的图象经过第一、二、四象限，一次函数中， ， 解得， 的值可以是（答案不唯一）． 【变式1】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（     ） A． B．12 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平移规律“左加右减（对x操作），上加下减（对y操作）”得到平移后的函数解析式，再结合正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为： ， 整理得 ， ∵平移后得到正比例函数的图象， ∴， 解得． 【变式2】将直线向左平移个单位，得到直线，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数图像平移的“左加右减”规律，写出平移后的解析式，再对比已知平移后的解析式，列方程求解即可． 【详解】解：将原直线向左平移个单位，则平移后的解析式为：， 展开得， ∵平移后得到的直线为， ∴， 解得． 【变式3】将直线向下平移了6个单位长度，若平移后的直线不经过第四象限，则的值可以是_______（写出一个即可）． 【答案】7（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的直线解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，在取值范围内任写一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，可得平移后直线的解析式为：， 平移后直线不经过第四象限，且一次项系数，说明直线与轴交点的纵坐标非负， 因此：， 解得， 故答案可以为7（答案不唯一，只要满足即可）． 一次函数图象与对称问题 【例1】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 【变式2】一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称关系求出和的值，再用待定系数法求解正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， 可得，， 即， ∴点的坐标为， 设正比例函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 【变式3】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的性质． 根据“对偶值”的定义，点在函数上，点在函数上，且与关于轴对称，因此它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数．设点的坐标为， 则点的坐标为，代入求出，再求的值即可． 【详解】解：设点的坐标为， 由于点与点关于轴对称，则点的坐标为， 又∵点在函数上， ∴， 即， 解得， 则对偶值为． 故答案为：． 一次函数图象与旋转问题 【例1】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点 旋转后的新坐标，即可由待定系数法求解函数表达式，最后代入求解即可． 【详解】解：对于一次函数，当时，；当时，，解得 ∴一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，， 故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为 ， 又图象经过， ∴ 解得． 【变式1】已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点问题、旋转的性质以及一元一次不等式，先求坐标，再根据旋转，利用坐标变换得点和点的坐标，最后代入直线方程求临界值确定的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 将代入中， 得， 即， 点在直线上， ， 即， 绕点顺时针旋转到， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 当点在直线上， 即 解得， 当点在直线上， 即 解得， 线段与直线相交， 的取值范围为． 【变式2】已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据题意先求出原一次函数与轴的交点坐标，再结合旋转的性质，得到两个交点关于旋转中心对称，利用对称性质计算的值即可． 【详解】解：在一次函数中， 令，则， 即一次函数与轴交点为， ∵旋转后所得的图像经过点 ， ∴旋转后的函数与轴交点为， ∵一次函数的图像绕轴上一点旋转， ∴和关于点对称， ∴． 【变式3】在平面直角坐标系中，直线与函数的图象有且只有两个公共点，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将绝对值函数化为分段函数，结合直线恒过定点的性质，根据特殊位置的斜率判断k的取值范围即可． 【详解】先对去绝对值，分段得： 当时，； 当时，； 当时，， 经过端点和， 直线恒过定点， 如图， 当：直线过、，此时直线与分段函数只有个交点； 当：直线绕向上旋转，斜率大于、小于，此时直线和分段函数有个交点； 当：直线，与的射线平行（无交点），和左侧两段图像恰好个交点； 当：直线斜率大于，与的射线无交点，此时和分段函数产生个交点，不符合题意， 综上，当时，直线与函数图象有且只有两个公共点． 根据一次函数增减性求参数 【例1】对于正比例函数，当自变量的值每增加时，函数的值就减少，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的x和y的变化关系列出等式，代入原正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵正比例函数解析式为，当增加时，减少， ∴变化后满足等式， 展开得， 又∵，代入得， 消去后得， 解得． 【变式1】已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而增大． 【详解】解：当时，y的值随x的增大而增大， 解得：． 【变式2】已知a、b都是非负数，且，设，则S的最大值是___________． 【答案】9 【分析】先根据已知条件用含的代数式表示，再代入得到关于的一次式，结合，为非负数得到的取值范围，根据一次函数的性质求得的最大值； 【详解】解：， ， ，都是非负数， ，， 解得， 将代入得： ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 【变式3】已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式即可； （2）由得：，当时，，当时，，根据随的增大而增大，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ， 当时，， 当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，求的取值范围为：． 一次函数的规律探究问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意及一次函数的表达式及点，求出x轴上线段对应的规律为，及对应正方形的边长对应的规律，总结规律便可求出点的坐标，即可得出当时，点的坐标． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点， ∴，点， ∵以为边向右作正方形， ∴， ∴，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点． ∵，，，， ∴； ∵，，，， ∴． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． 【变式1】如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式先求出，再求出第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长． 【详解】解：∵在上， 当时，， ∴， ∴第一个正方形的边长为1， ∴当时，第1个正方形的边长为； ∵在上，， 当时，， ∴， ∴第二个正方形的边长为2， ∴当时，第2个正方形的边长为； 同理，当时，第3个正方形的边长为； …… ∴第个正方形的边长为． 【点睛】解决这类规律问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【变式2】如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得．．．的坐标，可以得到规律：，据此即可求解 【详解】解：∵，， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∴． ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， ∴， ∴，即． 【变式3】正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 比较一次函数值的大小 【例1】已知原点、点、点在同一条直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点共线且直线过原点，可设正比例函数解析式，代入两点坐标推导即可得到与的关系． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴可设该直线的解析式为 ． ∵点在直线上， 将代入解析式得：，即， 又∵点在直线上，将 代入解析式得：． 把代入，得 ， 整理得． 【变式1】已知点和在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：中， 随x的增大而减小， ， ． 【变式2】点，是一次函数图象上的两点，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】先判断一次函数的增减性，再结合的大小关系推导的大小关系即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 【变式3】已知、是一次函数图象上的两点，若，且，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】将P，Q两点坐标代入一次函数解析式，得到s和t的表达式，计算得到结果等于k，再结合已知不等式判断k的正负，通过差的正负比较s和t的大小． 【详解】解：∵、在一次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， 解得， ∴，即 解得， ∴，即． 求一次函数解析式 【例1】若点在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题使用待定系数法求解正比例函数表达式，先设正比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设这个正比例函数的表达式为， ∵点在该正比例函数的图象上， ∴，解得， ∴这个正比例函数的表达式是． 【变式1】平面直角坐标系中，若一次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得到的直线为，则函数的表达式为________． 【答案】 【分析】根据平移规则“上加下减”得到平移后函数解析式，再利用对应系数相等求解参数，即可求解． 【详解】将一次函数沿轴向下平移个单位后，得到的函数关系式为， 由题意可得， ∴， 解得， 故函数的表达式为． 【变式2】已知一次函数图象过点和. (1)求该一次函数解析式； (2)求当时，函数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数的函数值． （1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可． （2）将代入一次函数的解析式，解得的值即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为，代入点和得， 解得：， ∴该一次函数的解析式为：； （2）解：当时，代入一次函数的解析式得：. ∴当时，函数的值为. 【变式3】已知一次函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，然后求解即可； （2）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴ 解得； （2）解：∵函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得． 一次函数与一元一次方程的关系 【例1】如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 【变式1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 【变式3】如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可． （2）根据解析式可求得的坐标为，点的坐标为，由可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵点P是两直线的交点， ∴将点代入， 得， 解得， ∴的坐标为， 设直线的解析式为： ， ∴， 解得：． 的解析式为：． （2）解：对于，当时，， 对于，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ∵点， ∴，， ∵， ． 一次函数与二元一次方程的关系 【例1】二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______________ ． 【答案】 【详解】解：由题意，∵二元一次方程组的解为对应一次函数的图象的交点的横坐标与纵坐标， ∴二元一次方程组的解为， 则一次函数与的图象的交点坐标为． 【变式1】已知直线经过点，且，，则关于直线：和直线：的结论正确的是（   ） A． B． C．与交于点 D．与交于点 【答案】C 【分析】先根据直线经过点得出a与b的关系，再结合一次函数的图象与性质判断两直线的位置关系，最后联立两直线方程求解交点即可得到结论． 【详解】∵ 直线经过点， ∴ 将代入解析式得，即． A：，，两直线平行要求，即，∵，∴A错误； 联立和的解析式： ， 得，整理得， ∵ ，即，两边同除以得， 将代入得， ∴ 与的交点为， ∴ C正确，D错误， 取，，画出两函数图象如图， 观察图象知：和不垂直，故选项B错误． 【变式2】如图，直线与直线：相交于点．则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线：相交于点 ∴将点代入得，， ∴， 而与可变形为和， ∴方程组的解是． 【变式3】写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】观察图象中的两直线交点坐标为，且，的解析式的一次项系数为一正，一负，即可得到满足图象中的条件的一个二元一次方程组． 【详解】解：图象中的两直线交点坐标为，即方程组的解为：，且，的解析式的一次项系数为一正，一负， ∴这一个二元一次方程组可以是 一次函数与不等式的关系 【例1】已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 【变式1】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数图象的平移规律可知一次函数 的图象与轴的交点坐标为，进而根据图象解答即可求解． 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 【变式2】已知点，为函数图象上两点，下列结论：①函数的最小值为；②若，则；③若点，在该函数的图象上，当时，；④若方程有两个解，则的取值范围是；其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】解：根据解答①；再根据函数的图象关于直线对称，可得点，关于直线对称，解答②；然后当时，对有，随的增大而减小解答③；对于④，先整理方程得 ，可得直线 恒过定点，将代入直线方程得，解得，此时只有一个交点，当时，直线与平行，此时只有一个交点，再结合函数图象可得解答即可． 【详解】解：① ， 函数的最小值为，故①正确； ② 函数的图象关于直线对称， ，可得，即点，关于直线对称， ，故②正确； ③当 ，即时，对有，随的增大而减小， ， ，不满足，故③错误； ④ 整理方程得，直线恒过定点， 函数中，时，斜率为；时，斜率为， 将代入直线方程得，解得，此时只有一个交点， 当时，直线与平行，此时只有一个交点， 结合函数图象可得，当时，直线与有两个交点，即方程有两个解，故④正确． 所以正确的是①②④． 【变式3】一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 【答案】 ，2 【分析】根据不等式与一次函数的关系求解即可． 【详解】 解：由图象可知， 当时，函数图象在  x  轴上方或  x 轴上，即 ， 所以不等式的解集为． 因为 x是正整数， 所以x的正整数值为  1，2 ． 一次函数的实际应用 【例1】请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 近年来，人们的生活方式、消费方式都在转变．露营成为了时下一种热门的旅游方式，而营地作为露营旅游的基地，不仅能为游客出行增添选项，更为乡村振兴注入新活力．某露营地为提升游客体验，计划购买甲、乙两种型号的营地房车． 素材一 购买2辆甲型房车和3辆乙型房车共需94万元； 素材二 购买5辆甲型房车和4辆乙型房车共需158万元； 素材三 该露营地计划购买甲、乙两种型号的营地房车共35辆（两种型号的房车均需购买），且购买乙型房车的数量不少于15辆． 请完成下列任务： (1)每辆甲型房车，每辆乙型房车的价格分别是多少万元？ (2)给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每辆甲型房车的价格是14万元，每辆乙型房车的价格是22万元 (2)购买甲型房车20辆，乙型房车15辆时，最节省费用 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组和不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每辆甲型房车的价格是x万元，每辆乙型房车的价格是y万元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买甲型房车m辆，则购买乙型房车辆，总费用为W万元，根据题意列出不等式，求出的取值范围，再求出总费用与的关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆甲型房车的价格是x万元，每辆乙型房车的价格是y万元， 由题可得：， 解得： ， 答：每辆甲型房车的价格是14万元，每辆乙型房车的价格是22万元； （2）解：设购买甲型房车m辆，则购买乙型房车辆，总费用为W万元， 由题可得，， ， 总费用， ， W随m的增大而减少， 为正整数， 当时，W取得最小值， 此时，， 答：购买甲型房车20辆，乙型房车15辆时，最节省费用． 【变式1】4月23日是“世界读书日”，2025年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，学校计划购买文学类和科技类图书共200套，若购买3套文学类图书和4套科技类图书，一共需要192元，若购买2套文学类图书和2套科技类图书，一共需要108元． (1)求文学类图书和科技类图书每套的单价分别是多少元？ (2)根据学生阅读需求，要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，求学校购进这两类图书所需的总费用的最小值． 【答案】(1)文学类图书每套的单价为24元，科技类图书每套的单价为30元； (2)学校购进这两类图书所需的总费用的最小值为5202元． 【分析】（1）设文学类图书每套的单价为x元，科技类图书每套的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设学校购进这两类图书所需的总费用为w元，购进文学类图书m套，先求出关于的一次函数关系式，再由要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，列出不等式求解的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设文学类图书每套的单价为x元，科技类图书每套的单价为y元， 根据题意，得 解得 答：文学类图书每套的单价为24元，科技类图书每套的单价为30元； （2）解：设学校购进这两类图书所需的总费用为w元，购进文学类图书m套， ∴， ∵要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍， ∴， 解得， ∵m是正整数， ∴m的最大值为133， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，． 答：学校购进这两类图书所需的总费用的最小值为5202元． 【变式2】小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点D的坐标为______； (2)求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； (3)当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 【答案】(1)200；100； (2) (3)4分钟或分钟 【分析】（1）从图象中得出小明跑步的速度，步行的速度；从图象中得出家与图书馆之间的路程为6000米 ，即可得出点的坐标； （2）利用待定系数法可求解； （3）分三种情况讨论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：由图象可得， 小明跑步的速度为：（米／分）， 步行的速度为：（米／分）， 点的横坐标为：， ∴点的坐标为． （2）解：设爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即爸爸离家的路程关于的函数表达式是； （3）解：设经过分钟后，两人相距4000 米， 当时，， 解得：， 当时，小明步行：， 则， 解得：（超范围）， 当时，爸爸已到家：，， 即， 解得，符合范围； 答：经过4分钟或25分钟后，两人相距4000米． 【变式3】分段函数实际应用某游泳馆推出收费方案：单次游泳不超过3小时，收费12元；超过3小时，超出部分每小时加收2元（不足1小时按1小时计算）．设游泳时长为小时，为不小于的最小整数，收费总金额为元． (1)分别写出和时，与的函数关系式； (2)若某人游泳缴费元，求他的游泳时长范围； (3)若游泳时长控制在小时，求收费金额的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)且为偶数 【分析】（1）根据题意，写出两个时段的关系式； （2）先确定，则，令计算出对应的的值，再根据收费规则确定游泳时间； （3）根据一次函数的增减性，求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，根据题意，收费恒定为12元， ∴； 当时，根据题意，超出部分每小时加收2元， ∴； （2）解：∵， ∴，此时， 将代入，得， ∴； （3）解： ∵， ∴随的增大而增大， ∵当时，；当时，； ∴且为偶数． 一次函数与几何综合 【例1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，或 【分析】（1）根据直线的表达式得到点的坐标，进而得出点、点的坐标，即可求解； （2）根据题意得出点的坐标，，，设，根据点在直线下方和在直线上方时分情况讨论，列出关于的表达式，根据的取值范围分情况讨论，即可求解； （3）过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接，通过证明四边形是平行四边形，得到点即为所求，再通过证明直线垂直平分，得到，继而得到点的两种情况下的坐标. 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，则， ∵点是直线与线段的交点， ∴当时，， ∴， 设直线的表达式为：， ∴代入点，，得，解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：由（1）可知直线的表达式为：， ∴当时，，则， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一动点，且直线的表达式为， ∴设， 当点在直线下方时，此时，如图所示，连接，，， ∴， ， ， ， 当时，，此时，解得，， ∴， 当时，此时，解得，（不合题意，舍去）， 当点在直线上时，点与点重合，不存在，不符合题意， 当点（）在直线上方时，如图所示，连接，，， ， ， 当时，，，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，，解得：， ， 综上所述，点的坐标或； （3）解：存在， 设直线的表达式为：， 代入点、得，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴直线沿轴向下平移个单位后，直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求， ∵， ∴设直线的表达式为：， 代入点到直线的表达式，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵,， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵，， ∴点的横坐标为：， ∴点的纵坐标为：， ∴点， 综上所述，满足条件的点的坐标为或. 【变式1】综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)当时，y随x的增大而增大（不唯一） (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可； （2）①将代入求解即可；②根据列表进行描点、连线即可解答； （3）根据函数图像的增减性写出一条性质即可； （4）求出一次函数经过定点，据此结合函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，即． （2）解：①当时，； ②先描点、再连线，作图如下： （3）解：由（2）的函数图像可知：当时，y随x的增大而增大． （4）解：如图：由题意可得：当直线l：，若直线l的图像经过， ∴，即． ∴结合函数的图像可得，． 【变式2】如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 【变式3】如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，即可得出线段的长，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出的长； （2）①设，利用待定系数法直线的解析式为，由，根据代入数值即可求出的值； ②当点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出的值，即可得到点的坐标；当点在轴上方时，点与关于对称，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公2 / 60 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数 理解常量、变量、函数的概念 (1)变量与常量:在讨论的问题中,取值会发生变化的量称为变量,取值固定不变的量称为常量(或常数). (2)函数:一般地,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作 y=f(x),x叫作自变量,y叫作因变量,对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a). 掌握函数的三种表示方法 表示函数的方法一般有列表法、公式法和图象法. 一次函数、正比例函数的概念 关于自变量的一次式的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数. 一次函数的特征及自变量的取值范围 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 正比例函数的图象 (1)图象:一般地,正比例函数y=kx(k为常数,≠0)是一条经过原点的直线. (2)性质:①当k>0时,直线 y=kx 经过第一、三象限且从左向右上升,y随x的增大而增大. ②当k<0时,直线 y=kx 经过第二、四象限且从左向右下降,y随x的增大而减小. 一次函数的图象 (1)一次函数 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移b个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0 时，向下平移). (2)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:当k>0时,y的值随着x值的增大而增大当k<0时,y的值随着x值的增大而减小, 正比例函数表达式的求法 (1)待定系数法的定义:通过先设定函数表达式(确定函数模型),再根据条件确定表达式中的未知系数,从而求出函数表达式的方法称为待定系数法. (2)求正比例函数表达式的步骤: ①设出正比例函数表达式y=kx; ②根据条件列出表达式中关于k的方程: ③解方程,确定k的值; ④根据求出的k的值确定函数表达式. 一次函数表达式的求法 求一次函数表达式的步骤: (1)设出一次函数表达式y=kx+b; (2)根据条件列出表达式中关于k,b的方程; (3)解方程(组),确定k,b的值; (4)根据求出的k,b的值确定函数表达式. 一次函数图象的实际应用 掌握应用一次函数解决实际问题的步骤 (1)建立函数模型; (2)求出函数表达式; (3)根据函数表达式画出函数图象; (4)根据函数图象的性质或自变量的取值情况解答问题. 一次函数与一元一次方程的关系 (1)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解. (2)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解. 函数图象识别 【例1】1．下列各曲线中，表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（     ） A．、B．C．D． 【变式2】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列图象中，y不是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 从函数的图象获取信息 【例1】近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快．现随机抽样调查了某市2019—2025年的家庭年平均教育支出（单位：万元），得到如图所示的趋势图（年份代码1～7分别对应2019—2025年），则下列说法正确的是（   ） A．2019年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的22.5% B．2025年与2024年相比，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比降低了 C．根据趋势估计，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的40% D．根据趋势估计，2026年后，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比不会超过50% 【变式1】在一定温度下，甲、乙、丙三种物质水中的溶解度曲线如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙三种物质的溶解度都随温度的升高而增大 B．时，丙的饱和溶液的浓度最大 C．时，乙和丙的溶解度相同 D．乙物质的溶解度始终大于甲物质的溶解度 【变式2】某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差___________元． 【变式3】小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走，如图所示为小颖离家的距离（）与所用时间（）的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是________，因变量是________； (2)小颖家与学校的距离是________； (3)小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ (4)买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的平均速度是多少？ 根据一次函数的定义求参数 【例1】已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【变式3】已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 判断一次函数的图象 【例1】一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例1】关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（     ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【变式1】若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【变式2】已知一次函数， (1)当值为何值时，该函数为正比例函数； (2)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于； (3)当值为何值时，一次函数的图象与轴交于负半轴； (4)当值为何值时，一次函数随的增大而增大； (5)当值为何值时，一次函数的图象经过一、二、四象限． 【变式3】联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 已知函数经过的象限求参数取值范围 【例1】直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】若一次函数（k是不为0的常数）的函数值y随自变量x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则k的值可以是（     ） A．2 B． C． D． 【变式2】若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 【变式3】一次函数的图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例1】已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 【变式2】如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中，，其中是二元一次方程组的解，射线与轴交于点 (1)直接写出点坐标______，点坐标______ (2)求出点的坐标 (3)动点从出发在轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点从出发，在轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，为的中点，若，同时出发，运动时间为秒，当为何值时，三角形的面积等于三角形面积的2倍． 一次函数图象平移问题 【例1】若直线向下平移3个单位长度后的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【变式1】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（     ） A． B．12 C． D．3 【变式2】将直线向左平移个单位，得到直线，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】将直线向下平移了6个单位长度，若平移后的直线不经过第四象限，则的值可以是_______（写出一个即可）． 一次函数图象与对称问题 【例1】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【变式2】一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 一次函数图象与旋转问题 【例1】已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【变式1】已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【变式2】已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 【变式3】在平面直角坐标系中，直线与函数的图象有且只有两个公共点，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 根据一次函数增减性求参数 【例1】对于正比例函数，当自变量的值每增加时，函数的值就减少，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知a、b都是非负数，且，设，则S的最大值是___________． 【变式3】已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 一次函数的规律探究问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 【变式3】正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 比较一次函数值的大小 【例1】已知原点、点、点在同一条直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知点和在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】点，是一次函数图象上的两点，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式3】已知、是一次函数图象上的两点，若，且，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 求一次函数解析式 【例1】若点在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式1】平面直角坐标系中，若一次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得到的直线为，则函数的表达式为________． 【变式2】已知一次函数图象过点和. (1)求该一次函数解析式； (2)求当时，函数的值． 【变式3】已知一次函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 一次函数与一元一次方程的关系 【例1】如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【变式3】如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； 一次函数与二元一次方程的关系 【例1】二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______________ ． 【变式1】已知直线经过点，且，，则关于直线：和直线：的结论正确的是（   ） A． B． C．与交于点 D．与交于点 【变式2】如图，直线与直线：相交于点．则关于x，y的方程组的解是______． 【变式3】写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件___． 一次函数与不等式的关系 【例1】已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，为函数图象上两点，下列结论：①函数的最小值为；②若，则；③若点，在该函数的图象上，当时，；④若方程有两个解，则的取值范围是；其中正确的结论是______．（填写序号） 【变式3】一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 一次函数的实际应用 【例1】请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 近年来，人们的生活方式、消费方式都在转变．露营成为了时下一种热门的旅游方式，而营地作为露营旅游的基地，不仅能为游客出行增添选项，更为乡村振兴注入新活力．某露营地为提升游客体验，计划购买甲、乙两种型号的营地房车． 素材一 购买2辆甲型房车和3辆乙型房车共需94万元； 素材二 购买5辆甲型房车和4辆乙型房车共需158万元； 素材三 该露营地计划购买甲、乙两种型号的营地房车共35辆（两种型号的房车均需购买），且购买乙型房车的数量不少于15辆． 请完成下列任务： (1)每辆甲型房车，每辆乙型房车的价格分别是多少万元？ (2)给出最节省费用的购买方案． 【变式1】4月23日是“世界读书日”，2025年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，学校计划购买文学类和科技类图书共200套，若购买3套文学类图书和4套科技类图书，一共需要192元，若购买2套文学类图书和2套科技类图书，一共需要108元． (1)求文学类图书和科技类图书每套的单价分别是多少元？ (2)根据学生阅读需求，要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，求学校购进这两类图书所需的总费用的最小值． 【变式2】小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点D的坐标为______； (2)求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； (3)当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 【变式3】分段函数实际应用某游泳馆推出收费方案：单次游泳不超过3小时，收费12元；超过3小时，超出部分每小时加收2元（不足1小时按1小时计算）．设游泳时长为小时，为不小于的最小整数，收费总金额为元． (1)分别写出和时，与的函数关系式； (2)若某人游泳缴费元，求他的游泳时长范围； (3)若游泳时长控制在小时，求收费金额的取值范围． 一次函数与几何综合 【例1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式： (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【变式1】综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 【变式2】如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【变式3】如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $