期末模拟试题卷（三）2025-2026学年下学期七年级数学人教

**基本信息** 2025-2026学年七年级数学期末模拟卷，以“垂线段最短”“零花钱调查”“《御制数理精蕴》问题”等情境，融合代数、几何、统计知识，通过新定义“可爱点”、监控设备方案设计等题，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|立方根、垂线段最短、新运算|结合“俭以养德”传统文化考查统计概念| |填空题|6/18|二元一次方程解、不等式、平行线性质|以共享单车示意图考角度计算，体现几何直观| |解答题|10/84|方程组、不等式组、统计图表、动态几何|“可爱点”新定义题培养创新意识，监控设备方案题强化应用意识|

2025-2026学年下学期七年级数学期末模拟试题卷03 注意事项： 1.考试时间：120分钟 分值：120分 2.请按试题序号在答题卡相应的位置作答，答在试题卷或其它位置无效 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1．平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的定义，8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 2．如图，过点向河流一侧直线修排水沟，要使排水沟最短，工人师傅的设计是过点向河岸作垂线，垂足为，沿修排水沟即可，则这一设计依据的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．过一点可以作无数条直线 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 3．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．“俭以养德”是中华民族的优秀传统．某中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行统计，关于这次调查，下列说法正确的是（    ） A．本次调查属于普查 B．50名学生的一周的零花钱数额是总体 C．每一名学生是样本 D．每一名学生一周的零花钱数额是个体 5．我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分) 7．已知是二元一次方程的一组解，则___________ 8．如图是一部电梯的载重标准，设该电梯的载重量x（单位：），则x满足的不等式为_____． 9．共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 10．某班随机抽取10名学生的晚上睡眠时间，整理后分成四组，绘制成如图所示的频数直方图．其中2名同学的睡眠时间分别用字母a ，b代替，数据如下：6.5；a； b；7；7.5； 8；8.5；8.5；8.5；9．若，则a的范围是___________． 11．如图，已知，且的长度为整数，则__________ 12．如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为_______秒． 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）解方程组： （2）求不等式组的解集． 14．请认真读题，观察图形，补全下面证明过程和推理依据． 已知：如图，，，．求证：． 证明：，， __________； ， （______________）， __________， （______________）， （已知）， ．（_______________） （________________）． 15．根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺在所给的网格中画图，保留画图过程的痕迹． (1)在图1中找一格点并画，使得； (2)在图2中找一格点并画，使得． 17．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 19．如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 20．近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注，某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查，根据调查结果和视力标准，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生人数为_________； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中“中度近视”对应的扇形的圆心角的度数为______； (4)若该校学生中近视程度为“高度近视”的人数为40人，请估计该校共有学生_____人． 五.解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21．阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． (1)请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） (2)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； (3)若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 22．综合与实践 为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 (1)求a、b的值． (2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ (3)在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 六.解答题（本大题共12分） 23．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为且、满足，点向右平移6个单位得到点，现同时将点、分别向下平移6个单位得到、，连接、、． (1)求，的坐标； (2)如图2，动点以2单位/秒的速度沿折线、、的方向运动，连接．设运动的时间为秒，的面积为，用的式子表示； (3)在（2）的条件下作射线交轴于，当为何值时，四边形的面积被射线分成的两部分，并求出此时的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年下学期七年级数学期末模拟试题卷03 （参考答案及解析） 1．C 【详解】解：∵ ∴ 8的立方根是2. 2．A 【详解】解：这一设计依据的数学知识是垂线段最短． 3．C 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 4．D 【详解】解：∵本次调查只抽取了50名学生，没有调查全部对象，∴不属于普查，A错误； ∵本次调查的总体是全校所有学生一周的零花钱数额，50名学生一周的零花钱数额是本次调查的样本，∴B错误； ∵样本是抽取的50名学生每人一周的零花钱数额，不是学生本身，∴C错误； ∵个体是每一名学生一周的零花钱数额，符合定义，∴D正确． 5．A 【详解】解：设一匹马值两，一匹骆驼值两，根据题意得， ． 6．B 【分析】利用已知点的坐标，建立直角坐标系，进而读出“东”的坐标即可. 【详解】解：∵“碧”“水”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系得： ∴“东”的坐标为. 7． 【分析】把代入二元一次方程，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴. 8． 【详解】解：由题意得． 9．65 【分析】结合两直线平行，同旁内角互补得，又因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10． 【分析】根据题目中所给的数据，结合频数直方图每一组的频数进行分析即可得解． 本题主要考查了频数分布直方图，能够读懂频数分布直方图是解题的关键． 【详解】解：由频数分布直方图可知，分成的四组的频数为：6 ~7组人数为1；7~8组人数为3；8~9组人数为5；9~10组人数为1．根据所给数据可知6 ~7组1人即是6.5；9~10组1 人为9；7~8组人数为3，尚缺一人；8~9组人数为5尚缺一人．所以a在7~8组，所以． 故答案为：． 11．1 【详解】解：由图可得， ∴由垂线段最短可得，， 而 ∴， ∵的长度为整数， ∴． 12．4或或14 【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况根据三角形面积公式列出方程求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为， ∴， 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为4秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 综上所述，P点运动的时间为4秒或秒或14秒， 故答案为：4或或14． 13．（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解二元一次方程组． （1）用代入消元法求解即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集 【详解】（1） 把②代入①，得 解得 把代入②，得 ∴ （2） 解①，得 解②，得 ∴ 14．；同角或等角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．先证明，进而可得，根据已知条件得出，进而即可得证． 【详解】证明：，， ；             ， （同角或等角的补角相等），         ，             （两直线平行，内错角相等），     （已知）， ．（等量代换）         （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；同角或等角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 15．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据图示求解即可； （2）由指令得到先原地逆时针旋转，再面向旋转后的方向，沿直线行走，然后画图即可． 【详解】（1）解：根据题意得，机器人从运动到，收到的指令为； （2）解：如图，即为所求． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）过点B作的平行线，交格点于点D； （2）过点C作的平行线，交格点于点H． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求． 17．， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 18．(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】（1）证明：如图所示， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 20．(1)100 (2)见解析 (3) (4)800 【分析】（1）根据轻度近视的人数和所占的百分比，求出总数即可； （2）求出正常视力的人数，然后补全条形统计图即可； （3）用360度乘以“中度近视”所占的百分比，即可求出结果； （4）根据样本估计总体即可． 【详解】（1）解：所抽取的学生人数为：（人）， （2）解：正常视力的人数为：（人）， 高度近视人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示： （3）解：“中度近视”对应的扇形的圆心角的度数为： ； （4）解：估计该校共有学生： （人）． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 21．(1)否 (2)10 (3)或或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识； （1）根据“可爱点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【详解】（1）解：点，令， 得， ， 不是“可爱点”， 故答案为：否． （2）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． （3）解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 22．(1) (2)学校有三种购买方案：方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台；方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； (3)购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元”列方程组，求解即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“购买该批设备的资金不超过11000元”列不等式，求出不等式的正整数解即可得出答案； （3）首先分别计算出三种方案的监控半径覆盖范围是否满足要求，再计算所需资金，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 由题意得：， 解得：， ∵两种型号的设备均要至少买一台， ∴，2，3， ∴学校有三种购买方案： 方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台； 方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台； 方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； （3）方案一的监控半径覆盖范围为：，不满足要求； 方案二的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； 方案三的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； ∵， ∴方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱． 23．(1)， (2)当时，，当时，，当时， (3)当时，当时， 【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性确定的值，得出进而根据平移的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据三角形的面积公式列出代数式； （3）①当在上时，②当在上时，根据等面积法求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点向右平移6个单位得到点， ∴， ∵同时将点、分别向下平移6个单位得到、， ∴，； （2）解：∵，，，； ∴， 设运动的时间为秒，的面积为， ∵动点以2单位/秒的速度沿折线、、的方向运动，则的路程为， ∴，， ∴当时点分别在点， ∴当时，点在上，如图 ∴ ∴； 当时，点在上，如图 ∴ ∴ 当时，点在上，如图 ∴ ∴ 综上所述，当时，，当时，，当时，； （3）解：∵四边形是正方形，且边长为 ∴正方形的面积为 ∵四边形的面积被射线分成的两部分， ∴，或 设 如图，连接，当在上时， ∴，即 ∴，则 ∵， ∴，则到轴的距离为 ∵， 又∵ ∴ ∴ 解得：， ∴， 如图，当在上时， ∴，即 解得，则 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴, 连接， ∴ ∵， ∴ 即 解得： ∴ 综上所述，当时，当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $