期末复习：利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与性质的求解与证明，通过精选例题与变式构建知识应用逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求解|3例+3变式|含动点、折叠、坐标系的边长/周长/面积计算|判定与性质的互逆应用，结合几何直观与推理能力，覆盖多样情境| |证明|3例+3变式|平行四边形判定及性质应用的逻辑推理|判定与性质的互逆应用，结合几何直观与推理能力，覆盖多样情境|

期末复习：利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 期末复习：利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 考点目录 利用平行四边形的判定与性质求解 利用平行四边形的判定与性质证明 考点一 利用平行四边形的判定与性质求解 例1．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 例2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形； （2）先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形为平行四边形 （2）解：在中，， 又平分， ， ， 在中，， ， 由（1）知，四边形为平行四边形， ． 例3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒，过点D作于点F，连接． (1)用t的代数式表示： ； ； (2)t为何值时，为直角三角形，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当或，为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由题意得，，可证明，，则； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当或，为直角三角形，理由如下： 如图所示：当时，则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 解得； 如图所示，当时， ∵， ∴， 由（1）可得 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述：当或，为直角三角形． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点B的坐标；过点B作轴于点R，求出，得到，则，据此求出的长即可得到答案； （2）设运动时间为，可证明轴，求出，根据，即，得到，解方程即可得到答案； （3）取点，过点P作交x轴于点K，连接，可证明是等边三角形，得到，可证明四边形是平行四边形，，得到，则可证明，得到，据此可求出，，则相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度，故． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点R， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：设运动时间为， 由（1）可得， ∴轴， 由题意得，，则， ∴ ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴从运动开始，需经或，才能使； （3）解：如图所示，取点，过点P作交x轴于点K，连接， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵轴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度， ∴． 变式3．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 考点二 利用平行四边形的判定与性质证明 例1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·湖南娄底·月考）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 例3．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于，求的面积． 【答案】(1)证明：的对角线，相交于点， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2)12． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意可知，根据等高三角形面积比等于底之比作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ， ， 的面积． 变式1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，， ， ，， 又为的中点， ， 在和中，， ； ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据题意易知，再证，得到，再由平行四边形的判定即可证明； （2）先证明是的中点，然后根据等腰三角形三线合一可得，再利用勾股定理计算边长即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， 又在中，，， ，即是的中点， ， ， ∵，， ． 变式2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 期末复习：利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的判定与性质证明专项训练 考点目录 利用平行四边形的判定与性质求解 利用平行四边形的判定与性质证明 考点一 利用平行四边形的判定与性质求解 例1．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 例2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 例3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒，过点D作于点F，连接． (1)用t的代数式表示： ； ； (2)t为何值时，为直角三角形，请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 变式2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 变式3．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 考点二 利用平行四边形的判定与性质证明 例1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 例2．（25-26八年级下·湖南娄底·月考）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 例3．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于，求的面积． 变式1．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 变式2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 变式3．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $