北京市第四中学2025-2026学年第二学期高三考前模拟数学试题

高三数学保温练习 （试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为 A．1 B．2 C． D． 4．圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为 A．6 B． C．6或16 D．或 5．已知，则 A．1 B． C． D．122 6．已知非零向量，满足，则向量与向量的夹角为 A． B． C． D． 7．在中，“”是“B为钝角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是 A． B． C． D. 9．在棱长为2的正方体中，点M，N，P分别是棱，，的中点，点Q在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有 A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．对任意点Q，都有平面 D．对任意点Q，三棱锥的体积为定值 10．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为 A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 12．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 13．玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示．某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列．若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为________． 14．设函数若，则的零点为________；若的值域为，则a的取值范围是________． 15．设数列和的项数均为m，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为C．已知数列和为集合C中的两个元素，项数均为m，给出下列四个结论： ①数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4； ②若（），则； ③若（），则； ④若，，数列和的距离不超过2026，则m的最大值为3472． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（本题满分13分） 已知函数（）． （Ⅰ）若，求及的单调递增区间； （Ⅱ）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期 条件①：； 条件②：点在的图像上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（本题满分14分） 如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）求点D到平面的距离． 18．（本题满分13分） 全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的男性和女性居民利用简单随机抽样各抽取4000名，将获得的数据按不同年龄段整理如下表： 男性 女性 打包 不打包 打包 不打包 第1段 250 650 450 650 第2段 300 600 550 550 第3段 600 400 750 250 第4段 850 350 650 150 假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立． （Ⅰ）从样本中第3段居民中任选一名，求其外出就餐有剩余时打包的概率； （Ⅱ）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取2人，记这3人中恰有X人外出就餐有剩余时打包，求X的分布列； （Ⅲ）假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，“”表示第k段居民外出就餐有剩余时打包，“”表示第k段居民外出就餐有剩余时不打包（，2，3，4），写出方差，，，的大小关系．（只需写出结论） 19．（本题满分15分） 已知椭圆（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为，点P在E上，轴，且直线的斜率为． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）M（异于点F）是线段上的动点，与E的另一交点为C，与E的另一交点为D，直线与直线相交于点N．是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 20．（本题满分15分） 设函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若对于任意，，都有，求m的取值范围． 21．（本题满分15分） 已知数列，，…，为个数，，…，的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质P． （Ⅰ）当时，判断数列：1，5，3，4，6，2和数列：6，5，2，4，1，3是否具有性质P（结论不需要证明）； （Ⅱ）若数列和（，，…，）均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数m，数列，，…，不具有性质P； （Ⅲ）在所有由，，…，的排列组成的数列中，记具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，证明：对于任意m（），． 学科网（北京）股份有限公司 $