2025-2026学年仁寿一中南校区高一数学下学期期末质量检测模拟一

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，通过教材改编题（如长方体倾斜体积问题）、现实情境题（如新农村经济收入分析）考查空间观念与数据意识，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数方程根、抽样概率、向量共线|第2题对比三种抽样方法，强化数学思维严谨性| |多选题|3/18|复数几何意义、三棱柱性质、三角函数性质|第11题结合单调性与零点，分层考查推理能力| |填空题|3/15|向量数量积、异面直线所成角、圆锥与球|第14题教材改编，衔接立体几何与球表面积计算| |解答题|5/77|复数运算、三棱锥体积、统计直方图、解三角形、四棱锥动态问题|第18题三选一条件设计，第19题动点探究，培养创新意识与数学表达|

仁寿一中南校区2025级高一期末质量检测模拟一（数学） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 2.对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故，故选D． 3.已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以共线， 即三点共线，故A正确； ，，，不共线，故B错误； ，，，不共线，故C错误； ，，， 不共线，故D错误； 故选：A 4.,( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 则， 解得， 即 故选：B. 5.（新教材必修第二册（RJA）P145习题8.5拓广探索15T改编）如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题,其中错误的命题是( ) A.没有水的部分始终呈棱柱形; B.水面EFGH所在四边形的面积为定值; C.棱A1D1始终与水面所在平面平行; D.当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值. 【答案】B 【解析】由题图,显然A正确, 水面EFGH所在四边形的底边EH长度不变，但点F到EH的距离在变，其面积在变，故B错误; 因为A1D1∥BC,BC∥FG,所以A1D1∥FG,且A1D1⊄平面EFGH, 所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以C正确; （定值） 故D正确，故选B 6．A，B分别是复数在复平面内对应的点，O是坐标原点，若，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】设，则，，若，则，等价于，所以，则为直角三角形 故选：B 7.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】通解 设建设前经济收入为，则建设后经济收入为，则由饼图可得建设前种植收入为，其他收入为，养殖收入为．建设后种植收入为，其他收入为，养殖收入为，养殖收入与第三产业收入的总和为，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A． 优解 因为，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A． 8．如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设的中点为，连接，，则，， 因为是三棱锥外接球的直径，则， 且，，则，可得， 则，可知二面角的平面角为， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 复数的共轭复数 【答案】ABC 【解析】因为，且复数的实部为，所以，解得：，所以， 对于A，由，所以复数的虚部为，故A正确； 对于B，由复数在复平面内对应的点为，该点位于第三象限，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，由复数的共轭复数，故D错误. 10.如图,三棱柱中,D､E分别是的中点,平面交于AC于F,则下列命题中错误的是（ ） A.AE//FC1 B.多面体是三棱台 C. D.三棱柱的体积是多面体的体积的2倍 【答案】ABD 【解析】对A选项，法一（反证法）假设AE//FC1， 四边形是平行四边形， ，平面交于AC于F，，，,D是的中点, 四边形中，，故四边形是梯形，相交，推出矛盾。故A错误； 法二：由法一知F是AC中点，取中点G，四边形是平行四边形，，又，故不可能平行，故A错误； 对B选项，平面不平行，故不是棱台，故B错误； 对C选项，连接，则 故C正确； 对D选项，设三棱柱底面积为s,高为h, 三棱柱的体积是多面体的体积的倍,故D错 选ABD。 11.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的图象关于点中心对称 C．若在上恰有三个零点，则 D．若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2 【答案】BCD 【详解】对于A，若，可得，当，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误； 对于B，若，可得，令，解得， 当时，，所以是函数的一个对称中心， 所以函数的图象关于点中心对称，所以B正确； 对于C，当，可得， 要使得函数在上恰有三个零点，则需要包含， 则满足，解得，所以C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后，可得， 要使得函数的图象关于轴对称，则满足， 解得，因为，所以的最小值为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，满足，，．则 【答案】 因为，，， 所以 13.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为 【答案】 【解析】法一：如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，，所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以.故选：D 法二：取中点Q，连接PQ，BQ，设正方体棱长为2，PQ为的中位线，所以或其补角为直线与所成的角， 中，中， 中， 中， 所以. 14.（教材改编）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于 【答案】 【解析】圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，设母线为l，所以，所以母线长为：l＝3，圆锥的底面周长为2π，底面半径为r＝1，圆锥的高为：2， 法一：设球的半径为：R，可得R2＝（2﹣R）2+12，解得R＝， 球O的表面积：． 法二：圆锥的母线BA,延长交球O于D,则 球O的表面积：． 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知复数z1满足：(1＋i)z1＝-1＋5i，z2＝-2-i(∈R)， （1）求z1 （2）若|z1-2|＜|z1|，求的取值范围． 【解析】（1）因为(1＋i)z1＝－1＋5i，所以z1＝＝2＋3i， 由（1）知|z1|＝.于是|z1－2|＝|(4－)＋2i|＜， 即2－8＋7＜0，解得1＜＜7. 所以的取值范围为(1，7). 16． 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 【解析】(1)如图所示，连结AF，由题意可得：， 由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面， 而平面，故， 从而有， 从而， 则，为等腰直角三角形， ，. (2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结， 正方形中，为中点，则，又， 故平面，而平面，从而. 17.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数； （Ⅲ）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 【解析】（Ⅰ）以题意，解得 （Ⅱ）由图可知，最高矩形的数据组为，∴众数是． ∵的频率之和为， 由题意设中位数为， ∴， 得：，所以月平均用电量的中位数是． （Ⅲ）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户． 18.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若，______，求的面积. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题（2）中，并求解. 【详解】（1）由， 由正弦定理得， 即， 即， 整理得， 而，∴，即， 因为，所以. （2）若选①，根据正弦定理，即， 因为，则或， 当时，，则， 当时，，则； 若选②，， 则，即， 再根据余弦定理，解得， 所以； 若选③，， 根据正弦定理得， 又，则， 则，所以，则， 正弦定理，可得， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，平面平面． （1）证明：； （2）若到平面的距离为1，求与平面所成角的最小值． 【解析】（1）证明：因为底面为菱形，所以 因为平面，平面， 所以平面． 又平面，平面平面，所以． （2）因为，，所以， l不在面PAD内，AD在面PAD内，所以平面， 又到平面的距离为1，所以点到平面的距离为2． 因为底面，平面，所以平面底面， 又平面底面， 所以点到平面的距离等于点到的距离，为2． 又，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，为线段的中点，所以． 又，平面，平面，所以平面． 所以为与平面所成角． 又，． 所以当时，取得最小值，最小值为． 所以与平面所成角的最小值为． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2025级高一期末质量检测模拟一（数学） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 2.对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） A． B． C． D． 3.已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 4.,( ) A． B． C． D． 5.（新教材必修第二册（RJA）P145习题8.5拓广探索15T改编）如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题,其中错误的命题是( ) A.没有水的部分始终呈棱柱形; B.水面EFGH所在四边形的面积为定值; C.棱A1D1始终与水面所在平面平行; D.当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值. 6．A，B分别是复数在复平面内对应的点，O是坐标原点，若，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 8．如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　） A. 复数的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 复数的共轭复数 10.如图,三棱柱中,D､E分别是的中点,平面交于AC于F,则下列命题中错误的是（ ） A.AE//FC1 B.多面体是三棱台 C. D.三棱柱的体积是多面体的体积的2倍 11.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的图象关于点中心对称 C．若在上恰有三个零点，则 D．若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，满足，，．则 13.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为 14.（教材改编）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知复数z1满足：(1＋i)z1＝-1＋5i，z2＝-2-i(∈R)， （1）求z1 （2）若|z1-2|＜|z1|，求的取值范围． 16． 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 17.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数； （Ⅲ）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 18.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若，______，求的面积. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题（2）中，并求解. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，平面平面． （1）证明：； （2）若到平面的距离为1，求与平面所成角的最小值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $