命卷大赛 2026届高三八省联考数学自编模拟卷

**基本信息** 立足八省联考导向，融合文化传承（如传统文化认知调查）与现实情境（如生态农业发展），全面考查数学抽象、逻辑推理与数据建模等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|频率分布直方图、圆锥体积、向量运算等|以传统文化调查情境（题1）考查数据分析，基础与能力题梯度分布| |多选题|3题|正态分布、导数应用、轨迹方程|结合身高统计与体育锻炼关联（题9），考查独立性检验与逻辑推理| |填空题|3题|数学期望、排列组合、三角函数性质|设计演出节目单排列（题13），体现应用意识与运算能力| |解答题|5题|立体几何、统计、数列新定义、椭圆、导数|生态农业种植决策（题16）考查数据建模，“k阶可分拆数列”（题17）突出创新思维，贴合新高考综合应用趋势|

八省联考高三数学模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（    ） A．图中的 B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人 C．这100名学生成绩的中位数约为65 D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2 2．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台与圆锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．设复数z的共轭复数为为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 5．若集合，，，则的子集共有 A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 6．设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（    ） A．36 B．42 C．54 D．61 二、多选题 9．某校高三一名数学教师从该校高三学生中随机抽取男、女生各50名进行了身高统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布和，并对其是否喜欢体育锻炼进行数据统计，得到如下2×2列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 37 m 50 女生 n 32 50 合计 55 45 100 参考公式： α 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 则下列说法正确的是（    ） A．， B．男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164 C．男生身高的标准差约为11，女生身高的标准差约为9 D．依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联 10．已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．函数的单调递减区间为 B．曲线在处的切线方程为 C．函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值 D．方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 11．平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（    ） A．该曲线关于轴和轴均对称 B．曲线方程为 C．的最大值为3 D．的最大值为 三、填空题 12．有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 13．若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有______种不同的排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为______. 14．函数，直线为的一条对称轴，为的一个对称中心，且在区间上单调，则的最大值为_________. 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，Q为的中点． (1)求证：； (2)若平面底面，点E在棱上，，且二面角的大小为，求四棱锥的体积． 16．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是农业经营模式即社区支持农业，农场从会员中随机抽取了南方､北方会员共人，调查数据如下. 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 北方会员 (1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ (3)已知农场会员有人，其中南方会员有人，若喜欢有机水果的人不低于人，则可种植亩左右的有机水果，否则只能种植亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积. 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 附：. 17．已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” (1)已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由； (2)设数列的前n项和为． （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立． 18．已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值． 19．已知函数． （1）若函数在处取得极值，求实数的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围．（参考数据：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《八省联考高三数学模拟卷》评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D C C A D ABD BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据频率分布直方图的特点逐个进行分析计算即可. 【详解】由，得，所以A正确； 这100名学生中成绩在，，内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽取的10名学生中成绩在内的有人，故B正确； 根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在之间，设中位数为，则，所以，故C错误； 根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，D正确． 故选：C 2．C 【分析】设圆台的上底面半径为，截去的小圆锥的高为，可得圆锥下底面半径为，圆锥的高为，求出圆台与圆锥的体积可得答案. 【详解】设圆台的上底面半径为，截去的小圆锥的高为， 可得圆锥下底面半径为，圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，小圆锥的体积为， 所以圆台的体积为， 所以该圆台与圆锥的体积之比为. 故选：C. 3．A 【分析】计算出的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，计算出的值，由此可得出的值. 【详解】由已知条件可得， ，可得， 因为，因此，. 故选：A. 4．D 【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算，化简得出，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：D. 5．C 【解析】根据交集的运算，先得到集合，再得到其子集个数. 【详解】因为， 所以的子集共有个. 故选C项. 【点睛】本题考查集合交集运算，有限集子集个数，属于简单题. 6．C 【分析】设，即，从而可得，进而判断函数的奇偶性与单调性，从而把问题转化为在上恒成立，结合函数的奇偶性与单调性可得，即，参变分离后结合最值即可求解. 【详解】设，即， 因为，所以， 所以，定义域为， 由，所以函数为偶函数， 因为当时，为单调递增函数， 所以当时，为单调递减函数， 因为在上恒成立，所以， 根据函数的奇偶性与单调性得，. 又因为，所以先考虑， 即，即， 又因为函数在上单调递增，所以当时，， 又因为函数在上单调递减，所以当时，， 所以； 再考虑当，，则或； 综上， 故选：C. 7．A 【分析】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果. 解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解. 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 故选：A． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 8．D 【分析】根据题意可知，利用等差数列性质可得，即可得，构造函数并利用导函数即可求得时，取最小值，可得，易知只有为整数，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由成等差数列得，即， 整理得，故为正项数列， 又因为等比数列单调递增，说明其公比， 于是． 设，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 故当时，取最小值； 于是可求得， 所以可得 所以集合中的元素之和为， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用等差数列性质得出，通过构造函数利用导数求出取得最小值时的取值，得出数列的通项公式即可求出结果. 9．ABD 【分析】A选项，根据列联表中数据分析求出，A正确；BC选项，由男、女身高分别近似服从正态分布和，得到平均数和标准差；D选项，计算出卡方，与6.635比较大小后得到结论. 【详解】对于A．因为，，算得，，故A正确： 对于B，在正态分布中，μ约为平均数，所以男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164，故B正确； 对于C，在正态分布中，为方差，为标准差，男生身高的标准差为，女生身高的标准差为3，故C不正确； 对于D，由， 依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联，故D正确． 故选：ABD． 10．BC 【分析】首先求函数的导数，再判断函数的单调性，以及切线方程，根据函数的单调区间判断函数的极值，根据函数的性质画出函数的图象，转化为两个函数图象的交点问题，即可判断D. 【详解】函数的定义域为， ，， ，解得：或， 所以函数的单调递减区间是和，故A错误； B.由A选项的证明可知，，，所以曲线在处的切线方程为，故B正确； CD.由A选项的证明可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以是极大值点， 函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以是极小值点， 函数，得，当时，，，，故C正确； 再结合函数的单调性，画出函数的图象， 若与有2个交点，则或，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意函数的定义域，从而正确求出函数的单调区间，极值，以及函数的图象. 11．ABD 【分析】对于B：根据题意结合两点间距离公式求曲线的轨迹方程；对于A：根据方程分析对称性；对于C：举反例说明即可；对于D：利用等面积法可得，即可得最值. 【详解】对于选项B：由题意可知：，即， 整理可得，故B正确； 对于选项A：用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 综上所述：该曲线关于轴和轴对称，故A正确； 对于选项C：因为曲线方程为， 令，可得，解得或，即或， 可知点在曲线上，则的最大值不为3，故C错误； 对于选项D：因为， 即，可得， 当且仅当时，等号成立， 即，可得，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 12．/5.4 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 13． 720 【分析】（1）直接利用排列数计算即可； （2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率. 【详解】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有种不同的排法； 记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A包含： 故. 故答案为：720， 【点睛】（1）排列组合问题中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法. （2）古典概型求概率也可以利用计数原理求出事件个数，再求概率. 14．11 【分析】根据正弦型函数单调性的周期性特征可得，，再结合对称性可得，，进而可得的最大值为11，并代入检验即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，且直线为的一条对称轴， 则，可得， 且，则，解得， 又因为为的一个对称中心， 则，，解得，， 可得，，解得，， 则，解得，， 当时，取到最大值11， 此时， 因为直线为的一条对称轴， 则，，即，， 且，可得，，符合题意， 综上所述：的最大值为11. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可证得四边形为平行四边形，进而证明，又由等腰三线合一可证得，则平面，故得证. （2）几何法：作出二面角的平面角，由得等腰直角，将两直角边和分别用和表示，求出的值，根据棱锥的体积公式，则可求出四棱锥的体积；向量法：根据题中的条件，建立空间直角坐标系，设，将相关点的坐标表示出来，求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量计算方法，求出的值，最后根据棱锥的体积公式，求出四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：连接， 因为，Q为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，即， 因为，Q为的中点，所以 所以平面， 因为平面，所以． （2）解：因为，Q为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 过点E作交于点H， 过点H作交于点G，连接， 则为二面角的平面角，由已知得，             ∴在直角中，， 由于，故． 设，则，所以，       故四棱锥的体积为 ．        法2：因为，Q为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 所以以Q为原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系， 令，如图： ， 所以，又， 设平面的法向量为，则 所以 所以平面的法向量为，       由题意知平面的法向量为， 因为二面角为， 所以， 解得，即， 所以四棱锥的体积为 ． 16．(1)南方，北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为； (2)能； (3)可以种植50亩左右的有机水果A. 【分析】（1）利用频率估计概率求南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率； （2）根据列联表及卡方公式求出卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （3）求出南方､北方会员中喜欢有机水果的均值，与1100比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题设，南方会员中喜欢有机水果A的概率， 北方会员中喜欢有机水果A的概率为， 所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为. （2）， 所以有的把握认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关. （3）由题，估计农场的会员中喜欢有机水果A的人数为， 所以农场可以种植50亩左右的有机水果A. 17．(1)存在，理由如下： 存在，理由如下： 由已知得， ， ，即， 对，当正整数时，存在，使得成立， 即数列为“1阶可分拆数列”. (2)（ⅰ）符合条件的实数的值为0； （ⅱ）证明如下： ， 当时，， ， ， 由（ⅰ）知，所以， ①， ②， 由①-②可得 ， ， ， ， 当且时，成立. 【分析】（1）根据“k阶可分拆数列”的概念，判断数列为“1阶可分拆数列”. （2）先根据前项和公式，求出数列的通项公式，（ⅰ）由可求的值，再讨论时，无解即可；（ⅱ）根据，可得，利用“累加法”可得：；再利用“错位相减法”证明，即可. 【详解】（1）略 （2）， 当时，， 当时，， （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立， 当时，，即，解得， 当时，，即， 因，所以，又， 故方程无解. 综上所述，符合条件的实数的值为0. （ⅱ）略 【点睛】思路点睛：本题为数列新定义题，由题意可知对于确定的正整数，存在正整数使得成立即可. 18．（1）；（2）． 【分析】（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点可求出a，点或的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出，求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程，令求出，代入得到关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上，所以一定不在椭圆上，根据题意也在椭圆上，则， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为. （2）由知椭圆的左焦点, 设直线的方程为（），，，的中点为. 联立，可得， 则，， 所以，， 点， ， 垂直平分线方程为：， 令，求得，则， 所以，当且仅当即时取等号， 因此，当，取最小值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的综合应用，涉及弦长公式、基本不等式求和的最小值，属于较难题. 19．（1）（2） 【分析】（1）求出函数的导数，利用，求解a，利用导函数的符号，进行检验． （2）将恒成立，转化为，构造函数g（x），利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围． 【详解】（1）由题意，知函数的定义域为，且， 由已知得，∴，解得．即, 当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，满足在处取得极值，所以a=-1. （2）由，得，， ∴， 令，， 则只需满足即可， 又 ， 令，， 则. 当时，恒成立，∴在区间上单调递减， ∴，即， ∴存在，使得， 当时，，，函数单调递增， 当时，，，函数单调递减， 又∵，， ∴当时，，∴． 故实数的取值范围是. 【点睛】本题考查导数综合应用，函数的单调性以及函数的极值、最值，考查构造法的应用，考查了分析问题的能力，属于难题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《八省联考高三数学模拟卷》评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D C C A D ABD BC 题号 11 答案 ABD 一、单项选择题（每题5分 共40分 ） 1．C 【分析】根据频率分布直方图的特点逐个进行分析计算即可. 【详解】由，得，所以A正确； 这100名学生中成绩在，，内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽取的10名学生中成绩在内的有人，故B正确； 根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在之间，设中位数为，则，所以，故C错误； 根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，D正确． 故选：C 2．C 【分析】设圆台的上底面半径为，截去的小圆锥的高为，可得圆锥下底面半径为，圆锥的高为，求出圆台与圆锥的体积可得答案. 【详解】设圆台的上底面半径为，截去的小圆锥的高为， 可得圆锥下底面半径为，圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，小圆锥的体积为， 所以圆台的体积为， 所以该圆台与圆锥的体积之比为. 故选：C. 3．A 【分析】计算出的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，计算出的值，由此可得出的值. 【详解】由已知条件可得， ，可得， 因为，因此，. 故选：A. 4．D 【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算，化简得出，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：D. 5．C 【解析】根据交集的运算，先得到集合，再得到其子集个数. 【详解】因为， 所以的子集共有个. 故选C项. 【点睛】本题考查集合交集运算，有限集子集个数，属于简单题. 6．C 【分析】设，即，从而可得，进而判断函数的奇偶性与单调性，从而把问题转化为在上恒成立，结合函数的奇偶性与单调性可得，即，参变分离后结合最值即可求解. 【详解】设，即， 因为，所以， 所以，定义域为， 由，所以函数为偶函数， 因为当时，为单调递增函数， 所以当时，为单调递减函数， 因为在上恒成立，所以， 根据函数的奇偶性与单调性得，. 又因为，所以先考虑， 即，即， 又因为函数在上单调递增，所以当时，， 又因为函数在上单调递减，所以当时，， 所以； 再考虑当，，则或； 综上， 故选：C. 7．A 【分析】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果. 解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解. 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 故选：A． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 8．D 【分析】根据题意可知，利用等差数列性质可得，即可得，构造函数并利用导函数即可求得时，取最小值，可得，易知只有为整数，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由成等差数列得，即， 整理得，故为正项数列， 又因为等比数列单调递增，说明其公比， 于是． 设，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 故当时，取最小值； 于是可求得， 所以可得 所以集合中的元素之和为， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用等差数列性质得出，通过构造函数利用导数求出取得最小值时的取值，得出数列的通项公式即可求出结果. 二、多选选择题（每题6分，共18分，对部分给部分，选错0分） 9．ABD 【分析】A选项，根据列联表中数据分析求出，A正确；BC选项，由男、女身高分别近似服从正态分布和，得到平均数和标准差；D选项，计算出卡方，与6.635比较大小后得到结论. 【详解】对于A．因为，，算得，，故A正确： 对于B，在正态分布中，μ约为平均数，所以男生身高的平均数约为173，女生身高的平均数约为164，故B正确； 对于C，在正态分布中，为方差，为标准差，男生身高的标准差为，女生身高的标准差为3，故C不正确； 对于D，由， 依据的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联，故D正确． 故选：ABD． 10．BC 【分析】首先求函数的导数，再判断函数的单调性，以及切线方程，根据函数的单调区间判断函数的极值，根据函数的性质画出函数的图象，转化为两个函数图象的交点问题，即可判断D. 【详解】函数的定义域为， ，， ，解得：或， 所以函数的单调递减区间是和，故A错误； B.由A选项的证明可知，，，所以曲线在处的切线方程为，故B正确； CD.由A选项的证明可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以是极大值点， 函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以是极小值点， 函数，得，当时，，，，故C正确； 再结合函数的单调性，画出函数的图象， 若与有2个交点，则或，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意函数的定义域，从而正确求出函数的单调区间，极值，以及函数的图象. 11．ABD 【分析】对于B：根据题意结合两点间距离公式求曲线的轨迹方程；对于A：根据方程分析对称性；对于C：举反例说明即可；对于D：利用等面积法可得，即可得最值. 【详解】对于选项B：由题意可知：，即， 整理可得，故B正确； 对于选项A：用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 综上所述：该曲线关于轴和轴对称，故A正确； 对于选项C：因为曲线方程为， 令，可得，解得或，即或， 可知点在曲线上，则的最大值不为3，故C错误； 对于选项D：因为， 即，可得， 当且仅当时，等号成立， 即，可得，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 （ 每题5分 双空题对一个给3分，共15分） 12．/5.4 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 13． 720 【分析】（1）直接利用排列数计算即可； （2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率. 【详解】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有种不同的排法； 记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A包含： 故. 故答案为：720， 【点睛】（1）排列组合问题中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法. （2）古典概型求概率也可以利用计数原理求出事件个数，再求概率. 14．11 【分析】根据正弦型函数单调性的周期性特征可得，，再结合对称性可得，，进而可得的最大值为11，并代入检验即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，且直线为的一条对称轴， 则，可得， 且，则，解得， 又因为为的一个对称中心， 则，，解得，， 可得，，解得，， 则，解得，， 当时，取到最大值11， 此时， 因为直线为的一条对称轴， 则，，即，， 且，可得，，符合题意， 综上所述：的最大值为11. 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可证得四边形为平行四边形，进而证明，又由等腰三线合一可证得，则平面，故得证. （2）几何法：作出二面角的平面角，由得等腰直角，将两直角边和分别用和表示，求出的值，根据棱锥的体积公式，则可求出四棱锥的体积；向量法：根据题中的条件，建立空间直角坐标系，设，将相关点的坐标表示出来，求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量计算方法，求出的值，最后根据棱锥的体积公式，求出四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：连接， 因为，Q为的中点，（2分） 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，即， 因为，Q为的中点，所以 （4分） 所以平面， 因为平面，所以． （6分） （2）解：因为，Q为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，（8分） 过点E作交于点H， 过点H作交于点G，连接， 则为二面角的平面角，由已知得，             ∴在直角中，，（12分） 由于，故． 设，则，所以，       故四棱锥的体积为 ．（15分）        16．(1)南方，北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为； (2)能； (3)可以种植50亩左右的有机水果A. 【分析】（1）利用频率估计概率求南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率； （2）根据列联表及卡方公式求出卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （3）求出南方､北方会员中喜欢有机水果的均值，与1100比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题设，南方会员中喜欢有机水果A的概率， 北方会员中喜欢有机水果A的概率为，（4分） 所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为.（6分） （2），（9分） 所以有的把握认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关.（11分） （3）由题，估计农场的会员中喜欢有机水果A的人数为，（13分） 所以农场可以种植50亩左右的有机水果A.（15分） 17．(1)存在，理由如下： 存在，理由如下： 由已知得， ，（2分） ，即， （4分） 对，当正整数时，存在，使得成立， 即数列为“1阶可分拆数列”.（6分） (2)（ⅰ）符合条件的实数的值为0； （ⅱ）证明如下： ， 当时，， （8分） ， ，（9分） 由（ⅰ）知，所以， ①， ②，（10分） 由①-②可得 （12分） ， ， ，（14分） ， 当且时，成立. （15分） 【分析】（1）根据“k阶可分拆数列”的概念，判断数列为“1阶可分拆数列”. （2）先根据前项和公式，求出数列的通项公式，（ⅰ）由可求的值，再讨论时，无解即可；（ⅱ）根据，可得，利用“累加法”可得：；再利用“错位相减法”证明，即可. 18．（1）；（2）． 【分析】（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点可求出a，点或的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出，求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程，令求出，代入得到关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上，所以一定不在椭圆上，根据题意也在椭圆上，则，（2分） 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为.（5分） （2）由知椭圆的左焦点, 设直线的方程为（），，，的中点为. 联立，可得，（7分） 则，， 所以，，（10分） 点， ，（12分） 垂直平分线方程为：， 令，求得，则，（14分） 所以，当且仅当即时取等号，（16分） 因此，当，取最小值.（17分） 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的综合应用，涉及弦长公式、基本不等式求和的最小值，属于较难题. 19．（1）（2） 【分析】（1）求出函数的导数，利用，求解a，利用导函数的符号，进行检验． （2）将恒成立，转化为，构造函数g（x），利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围． 【详解】（1）由题意，知函数的定义域为，且， 由已知得，∴，解得．即,（3分） 当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，满足在处取得极值，所以a=-1.（5分） （2）由，得，，（6分） ∴， 令，，（8分） 则只需满足即可， 又 ，（10分） 令，， 则. 当时，恒成立，∴在区间上单调递减， ∴，即，（12分） ∴存在，使得， 当时，，，函数单调递增， 当时，，，函数单调递减，（14分） 又∵，，（15分） ∴当时，，∴． 故实数的取值范围是.（17分） 【点睛】本题考查导数综合应用，函数的单调性以及函数的极值、最值，考查构造法的应用，考查了分析问题的能力，属于难题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $八省联考高三数学知识点明细 八省联考高三数学模拟卷知识点明细表 题号 题型 题目核心内容 核心知识点 考点 难度等级 分值 1 单选题 频率分布直方图的性质与计算，判断结论正误 频率分布直方图、分层抽样、中位数、平均数计算 频率分布直方图的性质、分层抽样的计算、中位数的估算、平均数的计算 基础题 5 2 单选题 圆锥截得圆台，求圆台与圆锥的体积之比 圆锥与圆台的体积计算、空间几何体的结构 圆锥体积公式、圆台体积公式、相似几何体的比例关系 基础题 5 3 单选题 平面向量数量积与模长计算，已知垂直关系求参数 平面向量的数量积运算、向量的模长计算 平面向量数量积的定义、向量模长的计算公式、向量垂直的性质 基础题 5 4 单选题 复数的乘除运算，求共轭复数的模长 复数的运算、共轭复数的概念 复数的乘除运算、共轭复数的定义、复数的模长计算 基础题 5 5 单选题 集合的交集运算，求交集的子集个数 集合的交集运算、子集个数计算 集合的交集定义、有限集的子集个数公式 基础题 5 6 单选题 函数奇偶性与单调性的应用，不等式恒成立求参数范围 函数的奇偶性与单调性、不等式恒成立问题 函数奇偶性的判断、函数单调性的应用、不等式恒成立的参数求解 中等题 5 7 单选题 三角函数图象交点与正三角形性质，求参数值 三角函数的图象与性质、正三角形的性质 正弦函数与余弦函数的图象交点、三角函数的周期、正三角形的高与边长的关系 中等偏难题 5 8 单选题 等比数列与等差数列结合，导数求最值，集合元素求和 等比数列的通项公式、等差数列的性质、导数求函数最值 等比数列的通项、等差数列的中项性质、利用导数求函数的最小值、集合的元素求和 中等偏难题 5 9 多选题 正态分布的性质、2×2列联表的独立性检验，判断结论正误 正态分布的性质、独立性检验（卡方检验） 正态分布的均值与标准差、2×2列联表的数据分析、卡方检验的计算与应用 中等题 5 10 多选题 利用导数研究函数的单调性、极值、切线方程，判断结论正误 利用导数研究函数的单调性、极值、切线方程 导数的几何意义（切线方程）、利用导数判断函数单调性、函数极值的判断、函数零点问题 中等偏难题 5 11 多选题 动点轨迹方程求解，曲线的对称性、最值判断 曲线的轨迹方程、曲线的对称性、最值问题 两点间距离公式、轨迹方程的求解、曲线的对称性判断、利用不等式求最值 中等题 5 12 填空题 离散型随机变量的数学期望计算，结合二项分布与古典概型 离散型随机变量的数学期望、二项分布、古典概型 数学期望的线性性质、二项分布的期望、古典概型的概率计算 中等题 5 13 填空题 排列组合的全排列、相邻问题计算，古典概型求概率 排列组合、古典概型的概率计算 全排列问题、相邻问题的捆绑法、不相邻问题的插空法、古典概型的概率公式 基础题 5 14 填空题 正弦型函数的对称轴、对称中心、单调性，求参数的最大值 正弦型函数的图象与性质、对称轴、对称中心、单调性 正弦函数的对称轴与对称中心的性质、正弦函数的单调区间、参数的最值求解 中等偏难题 5 15 解答题 四棱锥的线面垂直证明，二面角计算，求四棱锥体积 空间几何体的线面垂直判定、二面角的计算、棱锥的体积计算 线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理、二面角的平面角求解、四棱锥的体积公式 中等题 12 16 解答题 用频率估计概率，独立性检验，数学期望的实际应用 用频率估计概率、独立性检验（卡方检验）、离散型随机变量的期望 频率与概率的关系、卡方检验的计算与应用、数学期望的实际应用 中等题 12 17 解答题 数列新定义问题，斐波那契数列，通项与求和，不等式证明 数列的新定义问题、斐波那契数列、数列的通项与求和、不等式证明 数列新定义的理解与应用、斐波那契数列的性质、数列通项公式的求解、错位相减法求和、不等式的证明 难题 12 18 解答题 椭圆的标准方程求解，直线与椭圆的位置关系，弦长最值计算 椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、基本不等式求最值 椭圆的对称性、椭圆的标准方程求解、直线与椭圆联立的韦达定理应用、弦长公式、基本不等式求最值 难题 12 19 解答题 利用导数研究函数极值，不等式恒成立求参数范围 利用导数研究函数的极值、不等式恒成立问题 函数极值的定义、导数的应用、不等式恒成立的参数求解、利用导数研究函数的最值 难题 12 $