命卷大赛 2026届高三九省联考数学自编模拟卷

**基本信息** 高三九省联考数学模拟题通过冰淇淋体积计算、党史竞赛统计等真实情境考查数学眼光，以农业经营决策、新定义“和等比数列”提升数学思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、复数、向量、立体几何、统计|第4题结合圆台与圆锥体积考查实际几何体计算| |多选题|3题|正态分布、函数性质、曲线方程|第11题四叶玫瑰线轨迹问题，融合解析几何与对称性质| |填空题|3题|排列组合、三角函数、概率|第14题甲乙袋取球，考查概率与期望的实际应用| |解答题|5题|统计与概率、函数导数、立体几何、圆锥曲线、数列|第15题农业经营独立性检验与决策，第19题新定义“和等比数列”，体现创新与综合应用|

高三九省联考数学模拟题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若集合，，则集合的真子集的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，是单位向量，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．市面上出现某种如图所示的手工冰淇淋甜筒，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该几何体进行测量，圆台下底面半径为2cm，上底面半径为5cm．高为4cm，上方的圆锥高为6cm，则此冰淇淋的体积为（    ） A． B． C． D． 5．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（    ） A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75分 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的中位数为分 6．已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（    ） A．36 B．42 C．54 D．61 7．若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（    ） A． B． C． D． 8．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （    ） 参考数据：若，． A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过98分的人数为1 10．设函数，则（    ） A．函数的单调递增区间为 B．函数有极小值且极小值为 C．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 D．经过坐标原点的曲线的切线方程为 11．造型称为四叶型或幸运草型，数学上，我们把这样的曲线叫做四叶环的作用．已知定长线段的长度为4，它的两个端点A，B分别在x轴、y轴上（均不过原点O）滑动．让O向线段AB作垂线OM，垂足M的轨迹为四叶玫瑰线，记作曲线C，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线C上 B．曲线C有且只有两条对称轴 C．曲线C围成区域的面积不超过 D．当点在曲线C上时， 三、填空题 12．若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有______种不同的排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为______. 13．函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______. 14．甲乙两袋装有大小相同的红球和黑球，甲袋有2个红球2个黑球，乙袋有2个红球3个黑球，现从两袋中各取2个球，则取到4个红球的概率是________，取到红球的个数的数学期望是_________． 四、解答题 15．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是农业经营模式即社区支持农业，农场从会员中随机抽取了南方､北方会员共人，调查数据如下. 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 北方会员 (1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ (3)已知农场会员有人，其中南方会员有人，若喜欢有机水果的人不低于人，则可种植亩左右的有机水果，否则只能种植亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积. 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 附：. 16．已知函数，且恒成立． （1）求实数的值； （2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值． 17．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为和的中点，P为棱上的动点． (1)是否存在点P使平面？若存在，求出满足条件时的长度并证明；若不存在，请说明理由； (2)当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小． 18．已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值． 19．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 (1)求数列的和公比； (2)若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高三九省联考数学模拟题》评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B D D A C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】首先求出集合，即可求出，从而求出其真子集的个数. 【详解】因为， 又，所以， 则集合的真子集有个. 故选：D 2．A 【分析】根据复数的运算可得，再根据共轭复数的概念分析判断. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 3．A 【解析】先由计算出，再由模长公式得出答案. 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及模长公式，属于基础题. 4．B 【分析】分别由体积公式算出圆台及圆锥体积，即可得冰淇淋的体积 【详解】圆台的体积，圆锥的体积，总体积为. 故选：B． 5．D 【分析】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可. 【详解】对A，由题意，，解得，故A正确； 对B，由直方图可得估计这组数据的众数为分，故B正确； 对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，故C正确； 对D，由A可得区间的频率分别为， 因为，，故中位数位于内. 设中位数为，则，解得，故D错误. 故选：D 6．D 【分析】根据题意可知，利用等差数列性质可得，即可得，构造函数并利用导函数即可求得时，取最小值，可得，易知只有为整数，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由成等差数列得，即， 整理得，故为正项数列， 又因为等比数列单调递增，说明其公比， 于是． 设，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 故当时，取最小值； 于是可求得， 所以可得 所以集合中的元素之和为， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用等差数列性质得出，通过构造函数利用导数求出取得最小值时的取值，得出数列的通项公式即可求出结果. 7．A 【分析】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果. 解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解. 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 故选：A． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 8．C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 9．ABD 【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D. 【详解】由，可知，所以平均分为，故A对. 由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对. ,因为，所以C错误. ,因为， 所以超过98分的人数为1，故D正确. 故选:ABD 10．ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值、方程的根与函数图象交点个数之间的关系和导数的几何意义，依次判断选项即可. 【详解】对A：由题意可知的定义域为， ，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故A正确； 对B：当时，取得极大值为，故B错误； 对C：由上分析可作出的图象，要使方程有两个不等实根， 只需要与有两个交点，由图可知，， 所以实数的取值范围为，故C正确. 对D：设曲线在处的切线经过坐标原点， 则切线斜率，得，解得， 所以切线斜率，所以切线方程为，故D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】根据以及垂直以及平行的坐标运算可得曲线的方程为，即可代入求解A，根据点的对称可判定B，结合基本不等式即可求解DC. 【详解】 设且，，且，则，，， 由，即①，由，则②， 由在线段上，则，即③， 由①②得，由②③得，故， 所以曲线为， A：代入方程有，对； B：用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称； 用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称； 将与互换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称； 用替换，替换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称. 所以曲线有四条对称轴，错； C：因，可得，则曲线C围成区域的面积不超过，对； D：，得，当且仅当时取等号， 所以当点在曲线C上时，，对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据题设并应用解析法求得曲线为为关键. 12． 720 【分析】（1）直接利用排列数计算即可； （2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率. 【详解】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有种不同的排法； 记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A包含： 故. 故答案为：720， 【点睛】（1）排列组合问题中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法. （2）古典概型求概率也可以利用计数原理求出事件个数，再求概率. 13．5 【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可. 【详解】因为函数，， 所以， 所以，, 因为于任意的都有，所以， 所以， 所以， 所以 或， 所以或， 即（舍去），所以， 因为，所以，即， 令，所以，在上单调， 所以，所以，而， 当，，所以，函数在不单调，舍去； 当，，舍去； 当，，所以，函数在不单调，舍去； 当，，所以，函数在单调， 所以的最大值为5. 故答案为：5. 14． /1.8 【分析】根据古典概型概率公式求事件取到4个红球的概率，再求出随机变量取到红球的个数的分布列并由期望公式求其期望值. 【详解】甲袋有2个红球2个黑球，乙袋有2个红球3个黑球，共4个红球，所以取到4个红球的概率是， 设取到红球个数为，的可能取值为0，1，2，3，4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则取到红球的个数的数学期望是， 故答案为：． 15．(1)南方，北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为； (2)能； (3)可以种植50亩左右的有机水果A. 【分析】（1）利用频率估计概率求南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率； （2）根据列联表及卡方公式求出卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （3）求出南方､北方会员中喜欢有机水果的均值，与1100比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题设，南方会员中喜欢有机水果A的概率， 北方会员中喜欢有机水果A的概率为， 所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为. （2）， 所以有的把握认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关. （3）由题，估计农场的会员中喜欢有机水果A的人数为， 所以农场可以种植50亩左右的有机水果A. 16．（1）；（2）3． 【解析】（1）由条件可得是的极大值点，从而，可得答案. (2)由条件，根据条件可得对任意的恒成立，令，求出的导函数，得出单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案 【详解】（1）解：的定义域是， 因为，恒成立 ，所以是的极大值点， 所以， 因为，所以，所以． （2）依题意得，，， ∴， 因为，所以对任意的恒成立， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增． 因为，， 所以方程在上存在唯一的实数根，且， 则， 所以，    ① 当时，，即； 当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以， 把①代入得，，， 所以， 故整数的最大值是3． 【点睛】关键点睛：本题考查根据恒成立求参数的最大整数值，考查函数的隐零点的整体然换的应用，解答本题的关键是由函数在上单调递增，得出在上存在唯一的实数根，且，得出单调性，从而得出，然后将代入，得出，属于难题. 17．(1)存在，； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理计算作答. （2）利用（1）中坐标系，借助空间向量计算锐二面角的余弦值，推理判断作答. 【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 因E，F分别为和的中点，P为棱上的动点， 则，设，， ，显然，，即， 由得，此时有，而，且平面，因此，平面， 所以存在点P，使平面，. （2）在（1）的空间直角坐标系中，，令平面的法向量为， 则，令，得，而平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 当且仅当时取“=”，因此，当，即时，， ，当且仅当时取“=”， 所以当，即时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小. 18．（1）；（2）． 【分析】（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点可求出a，点或的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出，求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程，令求出，代入得到关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上，所以一定不在椭圆上，根据题意也在椭圆上，则， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为. （2）由知椭圆的左焦点, 设直线的方程为（），，，的中点为. 联立，可得， 则，， 所以，， 点， ， 垂直平分线方程为：， 令，求得，则， 所以，当且仅当即时取等号， 因此，当，取最小值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的综合应用，涉及弦长公式、基本不等式求和的最小值，属于较难题. 19．(1) (2) 【分析】(1) 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； (2) 由(1)可知，由错位相减得出，再设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 （2）解：可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. 设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高三九省联考数学知识点明细 高三九省联考数学模拟题知识点明细表 题号 题型 核心知识点 对应题目考点 难度等级 分值 1 单选题 集合与常用逻辑用语 集合的交集运算、真子集的个数计算 基础 5 2 单选题 复数 复数的四则运算、共轭复数的概念 基础 5 3 单选题 平面向量 单位向量的性质、平面向量的数量积运算、向量模长计算 基础 5 4 单选题 立体几何 圆台的体积公式、圆锥的体积公式、组合体体积计算 基础 5 5 单选题 统计与概率 频率分布直方图的性质、频率计算、众数与中位数的估计、频数计算 中等 5 6 单选题 数列、导数 等比数列的通项公式、等差数列的性质、利用导数求函数最值、集合元素求和 中等偏难 5 7 单选题 三角函数 正弦函数与余弦函数的图象与性质、函数交点问题、正三角形的几何性质 中等偏难 5 8 单选题 不等式、导数 不等式恒成立问题、利用导数研究函数的单调性与图象、数形结合思想 难 5 9 多选题 统计与概率 正态分布的概念与性质、3σ原则、正态分布的概率计算、对称性应用 中等 5 10 多选题 导数及其应用 利用导数研究函数的单调性与极值、函数的零点问题、导数的几何意义（切线方程） 中等偏难 5 11 多选题 解析几何、不等式 曲线的轨迹方程求解、曲线的对称性判断、基本不等式求最值、平面向量的垂直关系 难 5 12 填空题 计数原理、概率 排列组合的全排列问题、相邻问题捆绑法、古典概型的概率计算 中等 5 13 填空题 三角函数 正弦函数的图象与性质、函数的单调性与最值、三角恒等变换 中等偏难 5 14 填空题 统计与概率 古典概型的概率计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算 中等 5 15 解答题 统计与概率 用频率估计概率、独立性检验（卡方检验）、二项分布的期望与决策分析 中等 12 16 解答题 导数及其应用 利用导数研究函数的恒成立问题、函数的隐零点问题、利用导数求函数最值 难 12 17 解答题 立体几何 正方体的几何性质、线面平行的判定定理、空间向量法求二面角、函数最值 中等偏难 12 18 解答题 解析几何 椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、基本不等式求最值 难 12 19 解答题 数列、不等式 等差数列的通项公式与前n项和、新定义数列的理解、错位相减法求数列的和、不等式恒成立问题 难 12 $ 《高三九省联考数学模拟题》评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B D D A C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 一、单项选择题（每题5分 共40分 ） 1．D 【分析】首先求出集合，即可求出，从而求出其真子集的个数. 【详解】因为， 又，所以， 则集合的真子集有个. 故选：D 2．A 【分析】根据复数的运算可得，再根据共轭复数的概念分析判断. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 3．A 【解析】先由计算出，再由模长公式得出答案. 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及模长公式，属于基础题. 4．B 【分析】分别由体积公式算出圆台及圆锥体积，即可得冰淇淋的体积 【详解】圆台的体积，圆锥的体积，总体积为. 故选：B． 5．D 【分析】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可. 【详解】对A，由题意，，解得，故A正确； 对B，由直方图可得估计这组数据的众数为分，故B正确； 对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，故C正确； 对D，由A可得区间的频率分别为， 因为，，故中位数位于内. 设中位数为，则，解得，故D错误. 故选：D 6．D 【分析】根据题意可知，利用等差数列性质可得，即可得，构造函数并利用导函数即可求得时，取最小值，可得，易知只有为整数，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由成等差数列得，即， 整理得，故为正项数列， 又因为等比数列单调递增，说明其公比， 于是． 设，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 故当时，取最小值； 于是可求得， 所以可得 所以集合中的元素之和为， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用等差数列性质得出，通过构造函数利用导数求出取得最小值时的取值，得出数列的通项公式即可求出结果. 7．A 【分析】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果. 解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解. 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 故选：A． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 二、多选选择题（每题6分，共18分，对部分给部分，选错0分） 8．C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 9．ABD 【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D. 【详解】由，可知，所以平均分为，故A对. 由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对. ,因为，所以C错误. ,因为， 所以超过98分的人数为1，故D正确. 故选:ABD 10．ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值、方程的根与函数图象交点个数之间的关系和导数的几何意义，依次判断选项即可. 【详解】对A：由题意可知的定义域为， ，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故A正确； 对B：当时，取得极大值为，故B错误； 对C：由上分析可作出的图象，要使方程有两个不等实根， 只需要与有两个交点，由图可知，， 所以实数的取值范围为，故C正确. 对D：设曲线在处的切线经过坐标原点， 则切线斜率，得，解得， 所以切线斜率，所以切线方程为，故D正确. 故选：ACD 11．ACD 【分析】根据以及垂直以及平行的坐标运算可得曲线的方程为，即可代入求解A，根据点的对称可判定B，结合基本不等式即可求解DC. 【详解】 设且，，且，则，，， 由，即①，由，则②， 由在线段上，则，即③， 由①②得，由②③得，故， 所以曲线为， A：代入方程有，对； B：用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称； 用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称； 将与互换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称； 用替换，替换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称. 所以曲线有四条对称轴，错； C：因，可得，则曲线C围成区域的面积不超过，对； D：，得，当且仅当时取等号， 所以当点在曲线C上时，，对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据题设并应用解析法求得曲线为为关键. 三、填空题 （ 每题5分 双空题对一个给3分，共15分） 12． 720 【分析】（1）直接利用排列数计算即可； （2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率. 【详解】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有种不同的排法； 记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A包含： 故. 故答案为：720， 【点睛】（1）排列组合问题中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法. （2）古典概型求概率也可以利用计数原理求出事件个数，再求概率. 13．5 【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可. 【详解】因为函数，， 所以， 所以，, 因为于任意的都有，所以， 所以， 所以， 所以 或， 所以或， 即（舍去），所以， 因为，所以，即， 令，所以，在上单调， 所以，所以，而， 当，，所以，函数在不单调，舍去； 当，，舍去； 当，，所以，函数在不单调，舍去； 当，，所以，函数在单调， 所以的最大值为5. 故答案为：5. 14． /1.8 【分析】根据古典概型概率公式求事件取到4个红球的概率，再求出随机变量取到红球的个数的分布列并由期望公式求其期望值. 【详解】甲袋有2个红球2个黑球，乙袋有2个红球3个黑球，共4个红球，所以取到4个红球的概率是， 设取到红球个数为，的可能取值为0，1，2，3，4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则取到红球的个数的数学期望是， 故答案为：． 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．(1)南方，北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为； (2)能； (3)可以种植50亩左右的有机水果A. 【分析】（1）利用频率估计概率求南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率； （2）根据列联表及卡方公式求出卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论； （3）求出南方､北方会员中喜欢有机水果的均值，与1100比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题设，南方会员中喜欢有机水果A的概率，（1分） 北方会员中喜欢有机水果A的概率为，（2分） 所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为.（4分） （2），（7分） 所以有的把握认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关. （9分） （3）由题，估计农场的会员中喜欢有机水果A的人数为，（11分） 所以农场可以种植50亩左右的有机水果A.（13分） 16．（1）；（2）3． 【解析】（1）由条件可得是的极大值点，从而，可得答案. (2)由条件，根据条件可得对任意的恒成立，令，求出的导函数，得出单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案 【详解】（1）解：的定义域是， 因为，恒成立 ，所以是的极大值点， 所以，（3分） 因为，所以，所以．（5分） （2）依题意得，，， ∴， （7分） 因为，所以对任意的恒成立， 令，则，（9分） 令，则， 所以函数在上单调递增． 因为，，（11分） 所以方程在上存在唯一的实数根，且， 则， 所以，    ① 当时，，即； 当时，，即，（13分） 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以， 把①代入得，，， 所以， 故整数的最大值是3．（15分） 17．(1)存在，； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理计算作答. （2）利用（1）中坐标系，借助空间向量计算锐二面角的余弦值，推理判断作答. 【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，（2分） 因E，F分别为和的中点，P为棱上的动点， 则，设，， ，显然，，即，（5分） 由得，此时有，而，且平面，因此，平面， 所以存在点P，使平面，.（8分） （2）在（1）的空间直角坐标系中，，令平面的法向量为， 则，令，得，而平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为，（10分） 则， 当且仅当时取“=”，因此，当，即时，，（13分） ，当且仅当时取“=”， 所以当，即时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小.（15分） 18．（1）；（2）． 【分析】（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点可求出a，点或的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出，求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程，令求出，代入得到关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上，所以一定不在椭圆上，根据题意也在椭圆上，则，（2分） 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为. （5分） （2）由知椭圆的左焦点, 设直线的方程为（），，，的中点为. 联立，可得，（7分） 则，， 所以，，（9分） 点， ，（11分） 垂直平分线方程为：， 令，求得，则，（13分） 所以，当且仅当即时取等号，（15分） 因此，当，取最小值.（17分）. 19．(1)(2) 【分析】(1) 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； (2) 由(1)可知，由错位相减得出，再设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，前项和为， 则，所以.因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立，（2分） 所以，解得，（4分） 所以的和公比为（5分） （2）解：可知，则， 所以，（6分） 所以，（7分） 所以，（8分） 即，所以.（9分） 设，（10分） .（11分） 不等式对任意的恒成立，（12分） 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则；（14分） 当为偶数时，，则.（16分） 综上，的取值范围是（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $