2027届高三一轮复习试题 数学 规范练67 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

**基本信息** 聚焦事件独立性、条件概率及全概率公式，通过基础到综合的层级训练，构建“概念理解-公式应用-复杂情境迁移”的逻辑体系，强化数学推理与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题|单选/多选/填空，覆盖独立事件判定、条件概率计算、全概率公式直接应用|从对立事件（第1题）切入，递进至独立事件乘法公式（第2题）、全概率公式（第3题），形成概念生成链| |综合提升练|5题|含高考真题（2020全国Ⅰ卷），涉及排列组合与概率结合、贝叶斯公式、复杂比赛模型|以条件概率深化（第11题）为过渡，延伸至独立性与互斥关系辨析（第12题）、全概率与逆概率综合应用（第15题），体现知识应用拓展|

课时规范练67　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 (分值:84分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·福建泉州模拟)某系统通过摄像头识别手势,准确率为90%.若连续识别3次手势,则至少有一次识别错误的概率是(　　) A.1-0.93 B.0.13 C.3×0.1×0.92 D.0.93 2.(2025·上海,13)若事件A,B相互独立,事件A发生的概率为P(A)=,事件B发生的概率为P(B)=,则事件A∩B发生的概率P(A∩B)=(　　) A.0 B. C. D.1 3.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的手机,其占有率和优质率的信息如下表所示. 品牌 甲 乙 占有率 60% 40% 优质率 95% 90% 从该专卖店中随机购买一部手机,则买到的是优质品的概率是(　　) A.93% B.94% C.95% D.96% 4.已知事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.3,P(B)=0.4,则P(A∪B)=(　　) A.0.1 B.0.12 C.0.58 D.0.7 5.(2023·全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 6.(2026·江苏南京七校联合体高三调研)从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张,记事件A:第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数,事件B:第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字,则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. 7.(2025·山东齐鲁名校模拟)现有5种颜色的筷子各一双,从中任取两根筷子,若已知取到的筷子中有红色的,则两根筷子都是红色的概率为(　　) A. B. C. D. 8.(多选题)(2025·江西新余模拟)有6个相同的球,分别编号1,2,3,4,5,6,从中先不放回地随机取两次,再将球全部放回随机取一次,记事件甲:第一次取球编号数字小于3;事件乙:第二次取球编号数字为偶数;事件丙:第三次取球编号为6;事件丁:前两次取球编号数字和为7;事件戊:第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列事件与事件甲独立的是(　　) A.乙 B.丙 C.丁 D.戊 9.(2024·上海,8)小王参加知识竞赛,题库中A组题有5 000道,B组题有4 000道,C组题有3 000道.已知小王做对这3组题的概率依次是0.92,0.86,0.72,则随机从题库中抽取一道题,小王做对的概率是　　　　　.  10.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K,A1,A2正常工作的概率依次为,则系统正常工作的概率为　　　　,在系统能够正常工作的前提下,只有K和A1正常工作的概率为　　　　.  综合提升练 11.(2025·湖南岳阳模拟)现有8把相同的椅子排成一排,甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座,在这三人中有两人相邻坐的条件下,则三人均相邻(甲、乙、丙之间无空座)的概率为(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)(2025·四川成都模拟)“近视”(设为事件A)和“老花”(设为事件B)是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设P(A)=,P(B)=,P(|A)=,则(　　) A.A与B互为对立 B.A与B相互独立 C.P(A+B)=P() D.P(A|B)=P() 13.某学校组织学生进行答题比赛,已知共有4道A类试题,8道B类试题,12道C类试题,学生从中任选1道试题作答,学生甲答对A,B,C这3类试题的概率分别为.若学生甲答对了所选试题,则这道试题是B类试题的概率为　　　　　.  14.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球,乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球,若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于,则x的最大值为　　　　　.  15.(12分)(2020·全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 参考答案 课时规范练67　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 1.A　解析 由题可知,3次都识别正确的概率为0.93,则至少有一次识别错误的概率为1-0.93.故选A. 2.B　解析 ∵事件A,B相互独立, ∴P(A∩B)=P(A)·P(B)=.故选B. 3.A　解析 由题得,0.6×0.95+0.4×0.9=0.93,即买到的是优质品的概率是93%. 4.C　解析 由事件A与事件B相互独立,P(A)=0.3,P(B)=0.4,得P(AB)=P(A)P(B)=0.12,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.58.故选C. 5.A　解析 由题意可知,既爱好滑冰又爱好滑雪的同学占60%+50%-70%=40%.设事件A为“该同学爱好滑雪”,事件B为“该同学爱好滑冰”,则所求概率为P(B|A)==0.8.故选A. 6.A　解析 第一次抽到3或6的概率为,所以P(A)=. 当第一次抽到3时,第二次可能抽到1,2,4,5,6,7,其中4,5,6,7大于3,共4种情况; 当第一次抽到6时,第二次可能抽到1,2,3,4,5,7,其中7大于6,共1种情况. 所以P(AB)=,P(B|A)=.故选A. 7.D　解析 设事件M为“两根筷子都是红色的”,则P(M)=.设事件N为“取到的筷子中有红色的”,则P(N)=1-.所求即为P(M|N)=.故选D. 8.ABC　解析 根据题意,P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,P(戊)=1-.对于A,P(甲乙)==P(甲)P(乙),故A正确;对于B,P(甲丙)==P(甲)P(丙),故B正确;对于C,P(甲丁)==P(甲)P(丁),故C正确;对于D,P(甲戊)=≠P(甲)P(戊),故D错误.故选ABC. 9.　解析 由题意可知,A组题占比为,B组题占比为,C组题占比为,设所求概率为P,则P=×0.92+×0.86+×0.72=. 10.　解析 记“系统正常工作”为事件A,“只有K和A1正常工作”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,故在系统能够正常工作的前提下,只有K和A1正常工作的概率为P(B|A)=. 11.A　解析 设A=“甲、乙、丙之间恰有两人相邻”,B=“甲、乙、丙三人均相邻”,则n(A)=,n(B)=,故在有两人相邻坐的条件下,三人均相邻的概率为.故选A. 12.BCD　解析 因为P(A)=,P(B)=,P(|A)=,则P(|A)=,所以P(A)=,所以P(A)-P(A)=P(AB)=,则A与B不对立,故A错误;又P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立,故B正确;又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,P()=1-P(B)=1-,故P(A+B)=P(),故C正确;P(A|B)=,P()=,所以P(A|B)=P(),故D正确.故选BCD. 13.　解析 设学生甲选1道A类试题为事件A,学生甲选1道B类试题为事件B,学生甲选1道C类试题为事件C,设学生甲答对试题为事件D,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D|A)=,P(D|B)=,P(D|C)=,所以P(D)=,所以P(B|D)=. 14.6　解析 设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球的事件分别为A1,A2,A3,从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B,则P(A1)=P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=.因为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=,解得x≤6,故x的最大值为6. 15.解 (1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1-. (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为. 因此丙最终获胜的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $