精品解析：北京市昌平区北京师范大学亚太实验学校2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

北京师范大学亚太实验学校2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷 考试说明：本次考试满分110分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式加减、除法、化简的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，与不是同类二次根式，不能直接合并，； 选项B，； 选项C，； 选项D，． 3. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 4. 如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，只需要证明是等边三角形求出 即可得到答案， 证明是等边三角形是解题的关键． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：． 5. 如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为，根据内角和可解得，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设原多边形的边数为， 则可得， 解得， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多1，为， 故选：A． 6. 估计的运算结果应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】C 【解析】 【详解】∵，而， ∴原式运算的结果在8到9之间． 7. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 8. 如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取AC的中点D，连接OD，BD，利用三角形原理，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，计算出OD，BD的长度即可． 【详解】如图，取AC的中点D，连接OD，BD， ∵△ABC是等边三角形，∠AOC=90°，AC=4， ∴DO==CD=AD，， ∵DO+BD≥OB， ∴OB≤DO+BD=， 当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于， 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 要使有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义即被开方数为非负数，列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：要使有意义，则 要有意义， ∴被开方数， 解得， 故答案为：． 10. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解． 【详解】作轴于，则，． 则根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值． 11. 用一组 a , b 的值说明式 是错误的，这组值可以是 a =_____，b= __________ 【答案】 ①. 1 ②. -1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：a＝1，b＝-1， 此时 故答案为：1，-1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 12. 《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设折断处离地面的高度是x尺，则尺，在利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，则尺， 在中，利用勾股定理可得：． 13. 如图，在矩形中，点M，N分别为的中点，若，则的长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】如图所示，连接，先证明是的中位线，得到，再根据矩形的对角线相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点M，N分别为的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 14. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数，勾股定理与数轴的结合．根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角形的斜边长为：， ∴点A所表示的数a的值为：． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先说明正方形的面积为，即正方形的边长为6，再证明可得，进而说明；再说明，设，，依据的面积以及勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：∵图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为， ∴正方形的面积为，即正方形的边长为6， ∵，，， ∴， ∴， ， ，即， ∵， ∴， 设，，则，， 即 ， ∴，即， ∴的周长为． 16. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 分点F在上、点F在上两种情况，分别依据全等三角形的性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 三、计算题（本题共14分，第（1）小题4分，后2个小题每小题5分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先计算乘法以及二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的乘法、除法以及完全平方公式计算，然后再合并同类二次根式即可； （3）由二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质化简，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： = =． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题可知：， ． 四、解答题（本题共54分，18，19每小题6分，20，21，22每小题8分，23，24每小题9分） 18. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一个格点三角形，使得； （2）在（1）的条件下，直接写出边上的高； （3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】（1）图见解析 （2）2 （3）图见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先结合网格特点，利用勾股定理画出，再利用勾股定理画出，然后连接即可得； （2）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）参照（1）的方法，画出三边长分别为的直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：设边上的高为， ， ， 是直角三角形， ，即， 解得， 即边上的高为2． 【小问3详解】 解：如图，即为所求作（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． 19. 如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 【详解】证明：略． 20. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【小问1详解】 证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 21. 如图1，在中，D，E分别是边上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I．若D是的中点，，则E是的中点； II．若，，则D，E分别是的中点； III．若D是的中点，，则E是的中点． （1）小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题． 他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E，从而直观判断E不一定是的中点． 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边的垂直平分线，交于点M； ②在图2中，以点D为圆心，以的长为半径画弧与边交与点E和； 请你在图2中完成以上作图． （2）小明通过对命题II和命题III的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图和几何证明，涉及到垂直平分线的作法、平行四边形的判定与性质等，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据题中说明作图即可； （2）取的中点N，连接，可推出四边形和都是平行四边形，进而推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可证明命题II；延长到点F，使，连接，通过证明可得是平行四边形，即可证明命题III． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：命题II证明如下： 取的中点N，连接，如图所示， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴D，E分别是的中点； 命题III证明如下： 延长到点F，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点． 22. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 23. 定义：有一条对角线平分一组对角的四边形叫做筝形． 探究：（1）如图1，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，求证：四边形ABCD是筝形； （2）下列关于筝形的性质表述正确的是 ；（把你认为正确的序号填在横线上） ①筝形的对角线互相垂直平分； ②筝形中至少有一对对角相等； ③筝形是轴对称图形； ④筝形的面积等于两条对角线长的积的一半． 应用： （3）如图2，在筝形ABCD中，AB≠AD，若∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，请求出对角线BD的长． 【答案】（1）详见解析；（2）②③④；（3）4 【解析】 【分析】（1）利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）①筝形的对角线只互相垂直，没有平分，故错误；②筝形中有一条对角线平分一组对角，所以至少有一对对角相等，正确；③筝形是轴对称图形；④筝形的面积被一条对角线平分，且两条对角线互相垂直，所以筝形的面积等于两条对角线长的积的一半，正确；（3）过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，求得 ∠ABD＝30°，∠ADB＝15°，∠DAE＝45°，即△ABE为等腰直角三角形，则可求出DE，然后再求出BD即可. 【详解】（1）∵AB＝BC，AD＝DC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，∴四边形ABCD是筝形． （2）②③④ （3）过D作DE⊥BA交BA延长线于点E. 在筝形ABCD中，AB≠AD，∴BD平分∠ABC，平分∠ADC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ADB＝∠ADC＝15°，∴∠DAE＝45°. 在等腰直角△ABE∵AD＝4，∴DE＝2， 故在Rt△BDE中BD＝4. 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的应用. 24. 在菱形中，对角线与相交于点O，，点M是对角线上的动点（不与点O，D重合），将线段绕点M顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点M在线段上，点N在边上时，连接，求证：M是中点； （2）如图2，当点M在线段上，点E在线段的延长且满足，连接，． ①依题意补全图形； ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①补全图形见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，根据菱形性质得到，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）①按照要求作图即可；②延长到，使得，连接，根据三角形中位线的性质结合，易得，推出，得到，利用等腰三角形三线合一即可得出结论． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得：， ∵四边形是菱形， ， ∴， ∴， ∴， M是的中点； 【小问2详解】 解：①如图为所求； ②如图，延长到，使得，连接， ，， 点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴，， ， 设，则， ，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 五、选做题（第25题2分，26题8分，共10分） 25. 平面上的 n 个点， 是以这些点为端点的 m 条线段，且这些线段的长度均为 1，则称此图形为 “ (n，m)火柴棍图 ” ．以下4个图依次是火柴棍图，火柴棍图，火柴棍图，火柴棍图，其中阴影四边形一定是正方形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得四个选项中阴影部分的四边形都是菱形，再结合多边形的外角逐一判断即可． 【详解】解∶由题意得∶四个选项中阴影部分的四边形都是菱形． A．如图，过点D作，垂足为Q， 若阴影部分的四边形是正方形，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵这些线段的长度均为1， ∴， ∵， ∴，显然是不存在的， ∴阴影部分的四边形一定不是正方形； B．如图，由题意得，图像关于直线l对称，则， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴四边是正方形， ∴阴影部分的四边形一定是正方形． C．如图，则， ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴阴影部分的四边形不一定是正方形； D、如图： ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴阴影部分的四边形不一定是正方形． 26. 对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，． （1）d（点，）=_______． （2）若点P在y轴正半轴上，d（点P，），直接写出点P坐标； （3）已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W． ①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值； ②若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①②或或． 【解析】 【分析】（1）由的点坐标可知为对角线的交点，可知点到，的距离相等且为6；点到，的距离相等；如图1，记与轴的交点为，，在中，由勾股定理得，设到的距离为，根据，求出的值，然后与6比较取最小值即可； （2）作于，分为点P在点M的上方和下方，两种情况讨论，由d（点 P， ），可知，且，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得点坐标； （3）①由，可得，在坐标系中描点，依次连接如图3所示，即为图形，过点作，垂足为K，延长，交于，由点坐标可知，进而得到，可知，，，根据勾股定理求出，即可求解；②过点E，G作直线，分别交于点P，L，由的点坐标可知，，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且点沿着直线运动，分情况求解：当在x轴下方和上方，和内外，四种不同情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由的点坐标可知为对角线的交点， ∴点到，的距离相等且为6；点到，的距离相等； 如图1，记与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设到的距离为， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴ d(点O ，) 的值为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：作于， 如图1，当点P在点M的上方时， ∵d（点 P， ）， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 点P坐标为； 如图2，当点P在点M的下方时， 同理可得：， ， 点P坐标为； 综上，点P坐标为或． 【小问3详解】 解：①∵， ∴， 在坐标系中描点，依次连接如图3所示，即为图形，过点作，垂足为K，延长，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ∴的值为． ②如图4，过点E，G作直线，分别交于点P，L，过点F，H作直线，分别交于点M，N，交轴于 由的坐标可知， ，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且点沿着直线（二四象限的角平分线）运动， 由①知，同理①可求： 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， 当在x轴下方时，在上方时，，此时， ， ， ， 解得：， ； 当在x轴下方时，在下方时，如图，，此时， 同理可得：， ∴，解得： 当在x轴上方时，在下方时，，此时， ，， ， ， ， 解得：，即 当在x轴上方时，在上方时，如图， ， 同理可求：， ， ， 解得：， 综上，时，或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，点到直线的距离相等，新定义下的实数运算等知识．解题的关键在于理解题意，分情况求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学亚太实验学校2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷 考试说明：本次考试满分110分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 6. 估计的运算结果应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 7. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 要使有意义，则的取值范围为______． 10. 平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 11. 用一组 a , b 的值说明式 是错误的，这组值可以是 a =_____，b= __________ 12. 《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为_______． 13. 如图，在矩形中，点M，N分别为的中点，若，则的长为__________． 14. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 15. 如图，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的周长为__________． 16. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则______． 三、计算题（本题共14分，第（1）小题4分，后2个小题每小题5分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）化简：． 四、解答题（本题共54分，18，19每小题6分，20，21，22每小题8分，23，24每小题9分） 18. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一个格点三角形，使得； （2）在（1）的条件下，直接写出边上的高； （3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数． 19. 如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 20. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 如图1，在中，D，E分别是边上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I．若D是的中点，，则E是的中点； II．若，，则D，E分别是的中点； III．若D是的中点，，则E是的中点． （1）小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题． 他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E，从而直观判断E不一定是的中点． 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边的垂直平分线，交于点M； ②在图2中，以点D为圆心，以的长为半径画弧与边交与点E和； 请你在图2中完成以上作图． （2）小明通过对命题II和命题III的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明． 22. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 23. 定义：有一条对角线平分一组对角的四边形叫做筝形． 探究：（1）如图1，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，求证：四边形ABCD是筝形； （2）下列关于筝形的性质表述正确的是 ；（把你认为正确的序号填在横线上） ①筝形的对角线互相垂直平分； ②筝形中至少有一对对角相等； ③筝形是轴对称图形； ④筝形的面积等于两条对角线长的积的一半． 应用： （3）如图2，在筝形ABCD中，AB≠AD，若∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，请求出对角线BD的长． 24. 在菱形中，对角线与相交于点O，，点M是对角线上的动点（不与点O，D重合），将线段绕点M顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点M在线段上，点N在边上时，连接，求证：M是中点； （2）如图2，当点M在线段上，点E在线段的延长且满足，连接，． ①依题意补全图形； ②求证：． 五、选做题（第25题2分，26题8分，共10分） 25. 平面上的 n 个点， 是以这些点为端点的 m 条线段，且这些线段的长度均为 1，则称此图形为 “ (n，m)火柴棍图 ” ．以下4个图依次是火柴棍图，火柴棍图，火柴棍图，火柴棍图，其中阴影四边形一定是正方形的为（　　） A. B. C. D. 26. 对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，． （1）d（点，）=_______． （2）若点P在y轴正半轴上，d（点P，），直接写出点P坐标； （3）已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W． ①当时，在图2中画出图形W，直接写出的值； ②若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $