广东广州市天河区2025-2026学年八年级下册数学期末模拟卷

**基本信息** 以“精准扶贫”玉米销量预测、年货节优惠方案等现实情境为载体，融合二次根式、平行四边形、一次函数等核心知识，通过基础巩固（如选择1-7题）、能力提升（如填空15题）、创新应用（如解答25题）三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式、勾股定理、统计量|基础题占比60%，如第2题直角三角形判定，结合几何直观| |填空题|6/24|一次函数性质、四边形综合|中档题为主，第16题菱形面积计算，考查推理能力| |解答题|9/86|函数应用、几何证明、统计分析|综合题突出现实应用，如第21题用一次函数预测销量，第25题函数与几何动态探究，体现模型意识与创新意识|

2025-2026学年广州市天河区八年级下册数学期末模拟卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．【易】下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．【较易】下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 3．【较易】如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　） A．1 B． C． D． 4．【较易】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．【较易】如图是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 6．【较易】一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 7．【易】下列命题正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线相等 D．矩形具有正方形的一切性质 8．【较易】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CH、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（　　） A．∠BCH＝∠ACM B．∠ACH＝∠B C．∠ACH＝∠BCM D．∠ACH＝∠MCH 9．【中档】如果将直线y＝﹣3x﹣3向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而减小 C．它的图象与x轴交于点（0，﹣1） D．当时，y＞0 10．【中档】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，则EF的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．【易】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　 ． 12．【中档】若点A（1，m），B（3，n）在如图的直线上，则m　 　 n．（填“＞”，“＜”或“＝”） 13．【较易】如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝　 　 ． 14．【较易】某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 　 　 元． 15．【难】如图在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为，则平行四边形ABCD面积为　 　 ． 16．【中档】如图，过▱ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F、G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．若GH＝25，EO＝15，则四边形EFGH的面积为　 　 ． 三、解答题（共86分） 17．（8分）【较易】计算： （1）（1）×（1）； （2）（）2． 18．（6分）【较易】市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示的统计图表： 甲队成绩统计表： 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）甲队成绩的中位数为 　 　 ，甲队成绩的众数为 　 　 ，乙队成绩的中位数为 　 　 ，乙队成绩的众数为 　 　 ； （2）分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从平均数、中位数和众数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 19．（8分）【中档】在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示． （1）填空：A、C两海岛间的距离为 　 　 km，a＝ 　 　 ； （2）求线段PN所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 20．（8分）【较易】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求点B到AC的距离． 21．（10分）【中档】为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到A（1，2.5）、B（2，3.6）、C（3，4.8）、D（4，6.7），在如图的坐标系描点．销量统计表： 周数（x） 1 2 3 4 5 销量（y） 2.5 3.6 4.8 6.7 ☆ 假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量，例如选择直线AB或直线CD等一次函数模型来进行分析． （1）根据A，B的坐标，可得直线AB的解析式为y＝1.1x+1.4．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式； （2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线AB的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量． 在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线AB，即y＝1.1x+1.4上的点，可知：x＝1时，y＝2.5，x＝2时，y＝3.6；x＝3时，y＝4.7；x＝4时，y＝5.8．求得偏离方差：． 22．（10分）【中档】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC． （1）按要求尺规作图：作线段AC的垂直平分线l交AB于点M，交AC于点O，交CD于点N，连接CM，AN；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形AMCN是菱形． 23．（10分）【中档】年货节，西安某超市的坚果礼盒标价比巧克力礼盒标价每个贵20元，购买6个坚果礼盒和9个巧克力礼盒共需1320元． （1）坚果礼盒和巧克力礼盒的标价各是多少元？ （2）该超市推出以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过1500元时，超过部分按八折收费． 小新家计划购买10个坚果礼盒和15个巧克力礼盒，选择哪种方案更合算？请说明理由． 24．（12分）【较难】如图，在▱ABCD中， （1）若▱ABCD是菱形，∠CAD＝50°，试求出∠D的度数； （2）如图2，若∠B＝90°，点E在边BC的延长线上，连接AC，DE．BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC； （3）如图3，AB＜BC，点P是BC上动点，连结AP．过点P作PF⊥AP交线段CD于点F．过B点作BH⊥AP于H，交△ABC的高AE于点N．若AP＝BN，AN＝CP，请你写出线段BP，CF，CP之间的数量关系，并证明你的结论． 25．（14分）【难】如图1，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，直线l：y＝kx﹣2k+4过定点C，交x轴于点E． （1）求点C的坐标； （2）如图2，当时，过点C作FC⊥CE，交AD于点F，在直线l上是否存在点P，使得△CFP是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． （3）点N在直线l上，且，连接AN，点M为AN的中点，连接BM．求线段BM的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 答案解析 1．【易】下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式满足的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A.，不符合最简二次根式的定义，不符合提议，选项不正确； B． ，不符合最简二次根式的定义，不符合提议，选项不正确； C． 符合最简二次根式的定义，符合提议，选项正确； D.，不符合最简二次根式的定义，不符合提议，选项不正确； 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式满足的条件，是解题的关键． 2．【较易】下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确； B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误； C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误； D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3．【较易】如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得到，证明△DEF∽△CAB，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴， ∴△DEF∽△CAB， ∴（）2， ∵△ABC的面积＝2， ∴△DEF的面积， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．【较易】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据二次根式混合运算的法则及平方差公式进行计算即可． 【解答】解：A、32，原计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、（1）（1）＝3﹣1＝2，正确，符合题意； D、5，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次根式混合运算的法则及平方差公式，熟知以上知识是解题的关键． 5．【较易】如图是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】C 【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案． 【解答】解：由于17岁和18岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定， 因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：16， 所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数． 故选：C． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 6．【较易】一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 【答案】B 【分析】由a＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合x1＞x2＞2，即可得出y1＜y2＜0． 【解答】解：∵a＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在一次函数y＝ax+b的图象上，且x1＞x2＞2， ∴y1＜y2＜0， ∴若x2＞2，则y1＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 7．【易】下列命题正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线相等 D．矩形具有正方形的一切性质 【答案】B 【分析】利用矩形、菱形的判定方法及平行四边形、矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分但不相等，故原命题错误，不符合题意； D、矩形不具有正方形的一切性质，故原命题错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 8．【较易】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CH、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（　　） A．∠BCH＝∠ACM B．∠ACH＝∠B C．∠ACH＝∠BCM D．∠ACH＝∠MCH 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等解答即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CM是斜边上的中线， ∴MA＝MB＝MC，∠A+∠B＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°， ∴∠ACM＝∠A，∠BCM＝∠B， ∵CH⊥AB， ∴∠A+∠ACH＝90°，∠B+∠BCH＝90°， ∴∠BCH＝∠ACM，A正确，不合题意； ∠ACH＝∠B，B正确，不合题意； ∠ACH＝∠BCM，C正确，不合题意； ∠ACH与∠MCH不一定相等，D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 9．【中档】如果将直线y＝﹣3x﹣3向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（　　） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而减小 C．它的图象与x轴交于点（0，﹣1） D．当时，y＞0 【答案】B 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【解答】解：将直线y＝﹣3x﹣3向上平移2个单位长度后得到直线y＝﹣3x﹣3+2＝﹣3x﹣1， A、直线y＝﹣3x﹣1经过第二、三、四象限，说法错误，不符合题意； B、直线y＝﹣3x﹣1，y随x的增大而减小，说法正确，符合题意； C、直线y＝﹣3x﹣1与x轴交于（，0），不符合题意； D、直线y＝﹣3x﹣1，当x时，y＞0，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． 10．【中档】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，则EF的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 【答案】C 【分析】连接CM，过点C作CH⊥AB于点H，先由勾股定理求出AB＝5，再由三角形面积公式得CH2.4，证明四边形MECF是矩形得EF＝CM，由此得当CM为最小时，EF为最小，再根据“垂线段最短”得CM≥CH＝2.4，因此当CM与CH重合时，CM为最小，最小值为2.4，据此可得EF的最小值． 【解答】解：连接CM，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB＝AC2+BC2＝32+42＝5， 由三角形面积公式得：S△ABCAB•CHAC•BC， ∴CH2.4， ∵ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F， ∴∠MEC＝∠MFC＝90°， ∴∠MEC＝∠MFC＝∠ACB＝90°， ∴四边形MECF是矩形， ∴EF＝CM， ∴当CM为最小时，EF为最小， 根据“垂线段最短”得：CM≥CH＝2.4， ∴当CM与CH重合时，CM为最小，最小值为2.4， ∴EF的最小值是2.4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，理解垂线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式及勾股定理计算是解决问题的关键． 11．【易】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥3　 ． 【答案】x≥3 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0，解得x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是关键． 12．【中档】若点A（1，m），B（3，n）在如图的直线上，则m　＞　 n．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【分析】根据一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：由图可知，该直线对应函数的函数值y随着自变量x的增大而减小， ∵1＜3， ∴m＞n． 故答案为：＞． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 13．【较易】如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝　3　 ． 【答案】3． 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，再利用BD＝AB﹣AD计算可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC，∠A＝90°﹣30°＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2AD， ∴AB＝4AD， ∵AD＝1， ∴AB＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AB的长是解题的关键． 14．【较易】某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 　2.25　 元． 【答案】2.25 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是：5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元）； 故答案为：2.25． 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 15．【难】如图在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为，则平行四边形ABCD面积为　12　 ． 【答案】12． 【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DAB+∠ADC＝180°； ∵AF、DF平分∠DAB、∠ADC， ∴∠FAD+∠FDA＝90°，即∠APD＝90°； 同理可证得：∠BHC＝∠HEF＝∠HGF＝90°； ∴四边形EFGH是矩形； 如图，延长AF交BC于点Q，连接EG， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAQ＝∠DAQ， ∵AD∥BC， ∴∠DAQ＝∠AQB， ∴∠BAQ＝∠AQB， ∴BQ＝AB＝4， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABQ是等边三角形， ∴AQ＝AB＝4， ∵BE⊥AQ， ∴AE＝EQAQ＝2， 同理可得CG＝2， ∵CG∥EQ，CG＝EQ， ∴四边形EQGC是平行四边形， ∴EG∥CQ， ∴∠GEQ＝∠BQE＝60°， ∵∠HEF＝90°， ∴∠HEG＝30°， ∴EG＝2HG，EHHG， ∴S矩形EFGH＝EH•HGHG2， ∴HG＝1， ∴HC＝HG+CG＝1+2＝3， 在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，HC＝3， ∴BC＝2CH＝6， 作AP⊥BC于点P， 在Rt△ABP中，∠BAP＝30°，AB＝4， ∴BP＝2， ∴AP＝2， ∴平行四边形ABCD面积为：BC•AP＝6×212． 故答案为：12． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形，牢记矩形的判定定理是解答本题的关键． 16．【中档】如图，过▱ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F、G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．若GH＝25，EO＝15，则四边形EFGH的面积为　600　 ． 【答案】600． 【分析】根据平行四边形的性质证明△AOE和△COG全等，得OE＝OG，同理可得OF＝OH，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAO＝∠GCO， 在△EAO和△CGO中， ， ∴△EAO≌△CGO（ASA）， ∴OE＝OG＝15， 同理可得OH＝OF， 又∵HF⊥EG， ∴四边形EFGH是菱形， ∵GH＝25， ∴OH20， ∴EG＝2OG＝30，FH＝2OH＝40， 四边形EFGH的面积EG•FH30×40＝600． 故答案为：600． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记性质并求出三角形全等从而得到对角线被互相平分是解题的关键． 17．【较易】计算： （1）（1）×（1）； （2）（）2． 【答案】（1）2； （2）8． 【分析】（1）先利用平方差公式计算，然后化简后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【解答】解：（1）原式＝323﹣1 2； （2）原式＝（2） ＝3 ＝9 ＝8． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18．【较易】市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示的统计图表： 甲队成绩统计表： 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）甲队成绩的中位数为 　7.5　 ，甲队成绩的众数为 　7　 ，乙队成绩的中位数为 　8　 ，乙队成绩的众数为 　7　 ； （2）分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从平均数、中位数和众数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】（1）7.5，7，8，7； （2）甲乙两校的平均数、众数相同，但乙校的中位数比甲校的中位数大，因此乙校的成绩较好． 【分析】（1）根据中位数、众数的定义解答即可； （2）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【解答】解：（1）甲队的成绩的第10和第11个成绩分别为（7分），（8分）， ∴甲队成绩的中位数为：（分）； 甲队成绩的众数为（7分）； 乙队的成绩的第10和第11个成绩分别为（8分），（8分）， ∴乙队成绩的中位数为（分）；， 乙队成绩的众数为（7分）； 故答案为：7.5，7，8，7． （2）甲队成绩的平均数为：（分）； 乙队成绩的平均数为：（分）； 甲乙两校的平均数、众数相同，但乙校的中位数比甲校的中位数大，因此乙校的成绩较好， 【点评】本题考查了条形统计图，求加权平均数、中位数、众数，掌握加权平均数、中位数、众数的计算方法是解答本题的关键． 19．【中档】在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示． （1）填空：A、C两海岛间的距离为 　70　 km，a＝ 　1.4　 ； （2）求线段PN所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据图象，由AC＝AB+BC计算A、C两海岛间的距离；根据速度＝路程÷时间求出海巡船的速度，再由时间＝路程÷速度求出海巡船从A岛到达C岛所用的时间，即a的值； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用待定系数法求出线段MN所表示的函数关系式；将y＝15分别代入线段PN所表示的函数关系式、线段MN所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可． 【解答】解：（1）由图象可知，A、C两海岛间的距离为20+50＝70（km）； 海巡船的速度为20÷0.4＝50（km/h）， 海巡船从A岛到达C岛用时70÷50＝1.4（h）， ∴a＝1.4． 故答案为：70，1.4． （2）设线段PN所表示的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标N（0.4，0）和P（1.4，50）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴线段PN所表示的函数关系式为y＝50x﹣20（0.4≤x≤1.4）． （3）线段MN所表示的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将坐标M（0，20）和N（0.4，0）分别代入y＝k1x+b1， 得， 解得， ∴线段MN所表示的函数关系式为y＝﹣50x+20（0≤x≤0.4）． 当﹣50x+20＝15时，解得x＝0.1； 当50x﹣20＝15，解得x＝0.7； 0.7﹣0.1＝0.6（h）． 答：该海巡船能接收到该信号的时间有0.6h． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 20．【较易】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求点B到AC的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用勾股定理可求出AB＝BC，则△ABC是等腰三角形； （2）设点B到AC的距离为h，利用勾股定理求出，再利用割补法求出△ABC的面积，再利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可知，， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）设点B到AC的距离为h， 由网格的特点和勾股定理可知， ∵， ∴，即， ∴， ∴点B到AC的距离为． 【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，利用网格求三角形面积，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 21．【中档】为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到A（1，2.5）、B（2，3.6）、C（3，4.8）、D（4，6.7），在如图的坐标系描点．销量统计表： 周数（x） 1 2 3 4 5 销量（y） 2.5 3.6 4.8 6.7 ☆ 假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量，例如选择直线AB或直线CD等一次函数模型来进行分析． （1）根据A，B的坐标，可得直线AB的解析式为y＝1.1x+1.4．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式； （2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线AB的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量． 在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线AB，即y＝1.1x+1.4上的点，可知：x＝1时，y＝2.5，x＝2时，y＝3.6；x＝3时，y＝4.7；x＝4时，y＝5.8．求得偏离方差：． 【答案】（1）选择点C，D，y＝1.9x﹣0.9（答案不唯一）； （2）选直线AB更合适，第五周的销售量约为6.9吨（答案不唯一）． 【分析】（1）选择点C，D，设出一次函数解析式，把点C，D的坐标代入可得k和b的值； （2）按照所给方法求得直线CD的偏离方差，与直线AB的偏离方差比较后，取x＝5代入较小的偏离方差的直线解析式中，求得对应的y的值，即为预估的第五周的销量． 【解答】解：（1）选择点C，D，设直线CD的解析式为y＝kx+b， ∵经过点C（3，4.8）、D（4，6.7）， ∴， 解得：， ∴y＝1.9x﹣0.9（答案不唯一）； （2）当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝2.9；x＝3时，y＝4.8；x＝4时，y＝6.7； ∴S2CD[（2.5﹣1）2+（3.6﹣2.9）2+（4.8﹣4.8）2+（6.7﹣6.7）2]＝0.685， ∵0.205＜0.685， ∴选直线AB更合适， 当x＝5时，y＝6.9． 答：第五周的销售量约为6.9吨（答案不唯一）． 【点评】本题考查一次函数的应用．理解并应用偏离方差的定义是解决本题的难点． 22．【中档】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC． （1）按要求尺规作图：作线段AC的垂直平分线l交AB于点M，交AC于点O，交CD于点N，连接CM，AN；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形AMCN是菱形． 【答案】（1）解：线段AC的垂直平分线l，如图即为即为所求； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MAO＝∠OCN， 又∵AC的垂直平分线为直线l， ∴MA＝MC，NA＝NC，OA＝OC， 在△AMO与△CNO中， ， ∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴MA＝NC， ∴MC＝MA＝CN＝AN， ∴四边形AMCN是菱形． 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，进而得到∠MAO＝∠OCN，根据垂直平分线的性质得到MA＝MC，NA＝NC，OA＝OC，证明△AMO≌△CNO（ASA），得到MA＝NC，进而可证四边形AMCN是菱形． 【解答】（1）解：线段AC的垂直平分线l，如图即为所求； （2）证明：∵AC的垂直平分线为直线l， ∴MA＝MC，NA＝NC，OA＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MAO＝∠OCN， 在△AMO与△CNO中， ， ∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴MA＝NC， ∴MC＝MA＝CN＝AN， ∴四边形AMCN是菱形． 【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 23．【中档】年货节，西安某超市的坚果礼盒标价比巧克力礼盒标价每个贵20元，购买6个坚果礼盒和9个巧克力礼盒共需1320元． （1）坚果礼盒和巧克力礼盒的标价各是多少元？ （2）该超市推出以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过1500元时，超过部分按八折收费． 小新家计划购买10个坚果礼盒和15个巧克力礼盒，选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】（1）每个坚果礼盒的标价为100元，每个巧克力礼盒的标价为80元； （2）选择方案一更合算，理由如下： 购买 10 个坚果礼盒+15 个巧克力礼盒，原价为：100×10+80×15＝2200（元）， 选择方案一，总费用为：0.9×2200＝1980（元）， 选择方案二，总费用为：1500+0.8×（2200﹣1500）＝2060（元）， ∵1980元＜2060元， ∴选择方案一更合算． 【分析】（1）设每个坚果礼盒的标价为x元，每个巧克力礼盒的标价为y元，从而列方程组计算可以得解； （2）先求得按标价购买 10 个坚果礼盒 和 15 个巧克力礼盒原价，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案． 【解答】解：（1）设每个坚果礼盒的标价为x元，每个巧克力礼盒的标价为y元， ∴． ∴． 答：每个坚果礼盒的标价为100元，每个巧克力礼盒的标价为80元； （2）选择方案一更合算，理由如下： 购买 10 个坚果礼盒+15 个巧克力礼盒，原价为：100×10+80×15＝2200（元）， 选择方案一，总费用为：0.9×2200＝1980（元）， 选择方案二，总费用为：1500+0.8×（2200﹣1500）＝2060（元）， ∵1980元＜2060元， ∴选择方案一更合算． 【点评】此题重点考查二元一次方程组的应用、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确列出方程组是解题的关键． 24．【较难】如图，在▱ABCD中， （1）若▱ABCD是菱形，∠CAD＝50°，试求出∠D的度数； （2）如图2，若∠B＝90°，点E在边BC的延长线上，连接AC，DE．BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC； （3）如图3，AB＜BC，点P是BC上动点，连结AP．过点P作PF⊥AP交线段CD于点F．过B点作BH⊥AP于H，交△ABC的高AE于点N．若AP＝BN，AN＝CP，请你写出线段BP，CF，CP之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）证明∠ACD＝∠CAD＝50°，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）延长AD，CM交于点F，连接EF，证明CDFE是矩形，进而可得CM＝MF，根据已知可得AF＝AC，根据三线合一即可得证； （3）连接NP，证明△NBE≌△PAE（AAS），可得BE＝AE，NE＝PE，证明，再证明△ANB≌△CPA（SAS）可得∠CAE＝∠CAP+∠PAE＝∠ABE＝45°，BC＝2AE，证明△ANP≌△PCF（ASA）．可得CF＝NP，可得，从而可得结论． 【解答】（1）解：∵▱ABCD是菱形， ∴DA＝DC， ∵∠CAD＝50°， ∴∠DAC＝∠DCA＝50°， ∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝80° （2）证明：如图2所示，延长AD，CM交于点F，连接EF， ∵AD∥BC， ∴∠DFM＝∠ECM， 又∵M是DE的中点， ∴DM＝ME， 又∵∠DMF＝∠EMC， ∴△DMF≌△EMC（AAS）， ∴CE＝DF， ∴四边形CDFE是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠ECD＝90°， ∴BE＝AF， ∵BE＝AC， ∴AF＝AC， ∵CM＝MF， ∴AM⊥CM； （3）连接NP，如图3， ∵BH⊥AP，AP⊥PF， ∴∠APB+∠NBE＝90°，∠APB+∠PAE＝90°， ∴∠NBE＝∠PAE． ∵AE⊥BC， ∴∠BEN＝∠AEP＝90°， 在△NBE和△PAE中， ， ∴△NBE≌△PAE（AAS）， ∴BE＝AE，NE＝PE， 又∵AE⊥BC， ∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠PNE＝45°， ∴， ∵BH⊥AP，AP⊥PF， ∴BH∥PF， ∴∠FPC＝∠NBE， ∴∠PAE＝∠CPF， ∵∠ANB＝90°+∠PAE，∠CPA＝90°+∠FPC， ∴∠ANB＝∠CPA， 在△ANB和△CPA中， ， ∴△ANB≌△CPA（SAS）， ∴∠ABN＝∠CAP， ∴∠CAE＝∠CAP+∠PAE＝∠ABN+∠NBE＝∠ABE＝45°， 又∵AE⊥BC， ∴∠ACE＝∠CAE＝45°， ∴EC＝AE＝BE， ∴BC＝2AE， ∴∠ANP＝180°﹣∠PNE＝135°， 在▱ABCD中，AB∥CD．， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠PCF＝180°﹣∠ABC＝135°， ∴∠ANP＝∠BCD＝135°， 在△ANP和△PCF中， ， ∴△ANP≌△PCF（ASA）． ∴CF＝NP， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 25．【难】如图1，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，直线l：y＝kx﹣2k+4过定点C，交x轴于点E． （1）求点C的坐标； （2）如图2，当时，过点C作FC⊥CE，交AD于点F，在直线l上是否存在点P，使得△CFP是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． （3）点N在直线l上，且，连接AN，点M为AN的中点，连接BM．求线段BM的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 【答案】（1）C（2，4）； （2）存在，P（5，0）或P（﹣1，8）； （3），． 【分析】（1）根据y＝kx﹣2k+4得到直线过定点（2，4），即可解答； （2）先求出点E的坐标、正方形的边长，过点E作EG⊥CD，证明△CDF≌△EGC，推出△CEF为等腰直角三角形，得到当点P与点E重合时，满足题意，再根据对称性求出点P在C点上方时，点P的坐标即可； （3）取点H（6，0），连接CH，NH，易得B为AH的中点，得到，进而得到HN最大时，BM最大，根据HN≤CH+CN，得到H，C，N三点共线时，HN有最大值为CN+HC的长，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝kx﹣2k+4， ∴当x＝2时，y＝2k﹣2k+4＝4， ∴直线y＝kx﹣2k+4过定点（2，4）， ∴C（2，4）； （2）存在． 当时，直线l为； 当y＝0时，x＝5， ∴E（5，0）， ∵正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，C（2，4）， ∴B（2，0），A（﹣2，0），D（﹣2，4），∠D＝90°， ∴CD＝4， 如图，过点E作EG⊥DC的延长线于点G， 则EG＝4＝CD，∠G＝90°＝∠D， ∵过点C作FC⊥CE，交AD于点F， ∴∠FCE＝90°， ∴∠DCF＝∠CEG＝90°﹣∠GCE， ∴△CDF≌△EGC（ASA）， ∴CF＝CE， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∵点在直线l上，且△CFP是等腰直角三角形， ∴当点P与点E重合时，满足题意，此时P（5，0）； 当点P在C点上方时，则CP＝CE时，满足题意，即点C为P，E的中点， ∴P（﹣1，8）， 综上，P（5，0）或P（﹣1，8）； （3）取点H（6，0），连接CH，NH，则BH＝6﹣2＝4＝AB＝BC， ∴B为AH的中点，， ∵点M为AN的中点， ∴， ∵HN≤CH+CN， ∴当H，C，N三点共线时，即N在HC的延长线上时，HN有最大值为CN+HC的长，此时BM的值最大，如图， ∵， ∴HN的最大值为， ∴BM的最大值为， 过点N′作N′K⊥x轴，则∠N'KH＝90°， ∵BC＝BH， ∴∠CHK＝45°， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $