期末模拟卷2025-2026学年广州市海珠区八年级下册数学人教版

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，融合《周髀算经》文化素材与机器人购买等实际应用，通过梯度设计（易、较易、中档、较难）考查运算能力、推理意识与空间观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|二次根式、勾股定理、统计方差、四边形性质、一次函数|第2题以正方形面积串联勾股定理，第6题通过点坐标判断一次函数增减性| |填空题|6题24分|众数、二次根式计算、函数平移、网格中勾股定理、平行四边形性质|第14题结合《周髀算经》考网格中弧与格点距离，第16题综合一次函数与绝对值不等式| |解答题|9题86分|几何证明、统计图表分析、动态几何（菱形动点）、函数综合（两直线相交）、压轴折叠问题|第22题机器人购买模型考查方程与不等式应用，第25题正方形折叠综合全等与勾股定理，体现中考命题趋势|

2025-2026学年广州市海珠区八年级下册数学期末模拟卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．【易】若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞2025 C．a≥2025 D．a≤2025 2．【较易】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．27 D．45 3．【中档】甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．【易】一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．24 5．【中档】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A．8 B．16 C．8 D．16 6．【较易】在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），且y1＞y2，则k的值可能为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 7．【较易】下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．【中档】如果函数y＝﹣2x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 9．【较易】已知，则（　　） A． B．﹣3 C．±3 D． 10．【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D为边AC上一点且CD＝1，△BED与△BCD关于BD轴对称，若∠EDA＝∠A，则线段BC的长为（　　） A．10 B．6 C． D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．【易】一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 　 　 ． 12．【较易】计算的结果为　 　 ． 13．【中档】把直线y＝﹣3x+4 沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为 　 　 ． 14．【中档】我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 　 　 ． 15．【中档】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，CP，DP分别平分∠BCD和∠ADC，AD＝8，AB＝4，则OP＝　 　 ． 16． 【中档】直线l：y＝kx+b（k、b是常数且k≠0）经过A（﹣1，1）、B（2，n）两点，其中n＜0，下列五个结论：①﹣k+b＝1；②方程kx+b＝0的解在﹣1和2之间；③；④5k+b＜﹣1；⑤不等式kx+b＞|x|的解集为x＜﹣1时，n＜﹣2，其中正确的结论有 　 　 （只需填写序号）． 三、解答题（共86分） 17．（4分）【较易】计算： 18．（6分）【较易】已知如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝CE．求证：BF＝DE． 19．（8分）【中档】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝2． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 20．（10分）【中档】某篮球队，全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图1，图2所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）“命中4次”所在扇形的圆心角是 　 　 ；请补充完整条形统计图； （2）若有一名队员新加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员命中结果的最大值； （3）若有n名队员加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现中位数发生了变化，求n的最小值． 21．（10分）【较易】如图，在▱ABCD中AC⊥CD于点C，∠ACB＝30°． （1）尺规作图：作BC边中点E，并连接AE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知AE＝4，若点O是▱ABCD对角线的交点，连接OE，求OE的长． 22．（10分）【中档】某校计划购买A，B两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元． （1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A，B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 23．（12分）【中档】如图1，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4．点E为边CD的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C时停止运动，连接EP，EB．设点P的运动时间为x秒，记△EPB的面积为y． （1）当x＝　 　 秒时，点P到达点C处； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）在如图2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出△EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围． 24．（12分）【较难】如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值． （2）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由． （3）直线AB上是否存在点Q，使得∠BDQ＝45°，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25．【较难】如图，点E为正方形ABCD的边AB上一动点（点E不与点A，B重合），将△CBE沿CE对折得到△CGE，延长CG交AD于点F，延长EG交AD于点H． （1）求证：GH＝HD； （2）若BE＝2AE，求的值； （3）连接EF，若，求线段DH的长． 答案解析 1．【易】若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＞2025 C．a≥2025 D．a≤2025 【答案】C 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：若在实数范围内有意义， 则a﹣2025≥0， 解得a≥2025， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2．【较易】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．27 D．45 【答案】A 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4＝x﹣3，求出即可． 【解答】解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4＝x﹣3， 解得：x＝9， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程． 3．【中档】甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据四人方差大小和平均数大小即可判断． 【解答】解：∵95＞93， ∴甲丙两人10次的平均成绩更高； ∵，， ∴， ∴甲丙当中，甲同学的成绩更稳定， ∴这10次比赛中成绩又高又稳定的是甲， 故选：A． 【点评】本题考查了方差和平均数，方差能反映一组数据的波动程度大小，方差越小，数据的波动程度越小，即越稳定，掌握方差和平均数的概念是解本题的关键． 4．【易】一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积． 【解答】解：如图，当BD＝6时， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3， ∵AB＝5， ∴AO4， ∴AC＝8， ∴菱形的面积是：6×8÷2＝24， 故选：D． 【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半． 5．【中档】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A．8 B．16 C．8 D．16 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出OA＝BO，证△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD＝90°，AO＝COAC，BO＝DOBD，AC＝BD＝2OB＝8， ∴OA＝BO， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝4， ∴AD4， ∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×416； 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键． 6．【较易】在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），且y1＞y2，则k的值可能为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【分析】根据题意判断出函数的增减性，求出k的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2）， ∵﹣1＜2，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴k可能为﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意判断出函数的增减性是解题的关键． 7．【较易】下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案． 【解答】解：A、无法计算，故此选项不合题意； B、3，故此选项不合题意； C、2，故此选项不合题意； D、，正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 8．【中档】如果函数y＝﹣2x+m的图象不经过第三象限，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 【答案】B 【分析】由一次函数的k＝﹣2＜0，直线必过二、四象限，只需根据“不经过第三象限”确定直线与y轴交点的范围，即可得到m的取值． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0，直线一定经过第二、第四象限， ∵直线图像不经过第三象限， ∴当m＝0时，函数图像过原点，仅经过第二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当m＞0时，直线与y轴正半轴相交，图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，符合条件， 当m＜0时，直线与y轴负半轴相交，图像经过第二、三、四象限，经过第三象限，不符合条件， 综上可得m≥0． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 9．【较易】已知，则（　　） A． B．﹣3 C．±3 D． 【答案】C 【分析】根据和完全平方公式，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵， ∴（a）2＝5， ∴a2﹣25， ∴a2+29， ∴（a）2＝9， ∴a±3， 故选：C． 【点评】本题考查分式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 10．【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D为边AC上一点且CD＝1，△BED与△BCD关于BD轴对称，若∠EDA＝∠A，则线段BC的长为（　　） A．10 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】延长AC至点M，使AC＝CM，连接BM，过点D作DF⊥BM于点F，先证明BC是AM的垂直平分线，则∠ABC＝∠MBC，BM＝AB＝8，继而证明四边形BEDF是矩形，可推导出BF＝DE＝1，BE＝BC＝DF，FM＝BM﹣BF＝7，再证明△BCM≌△DFM，可得CM＝FM＝7，由勾股定理，求出，即可解答． 【解答】解：延长AC至点M，使AC＝CM，连接BM，过点D作DF⊥BM于点F， ∴∠DFB＝∠DFM＝90°， ∵对称， ∴BE＝BC，∠E＝∠ACB＝90°，DE＝CD＝1， ∴BC⊥AC，∠CBE＝360°﹣∠DEB﹣∠BCD﹣∠EDC＝180°﹣∠EDC，∠BCM＝180°﹣∠ACB＝90°， 即BC是AM的垂直平分线， ∴BM＝AB＝8， ∴∠ABC＝∠MBC， ∵∠ADE＝∠A＝180°﹣∠EDC， ∴∠A＝∠CBE， ∴∠EBM＝∠CBM+∠EBC＝∠A+∠ABC＝90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BF＝DE＝1，DF＝BE， ∴BC＝DF，FM＝BM﹣BF＝7， ∵∠M＝∠M，∠BCM＝∠DFM＝90°， ∴△BCM≌△DFM（AAS）， ∴CM＝FM＝7， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查轴对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11．【易】一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，延长即可得到答案． 【解答】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查众数，关键是掌握众数的定义． 12．【较易】计算的结果为　2　 ． 【答案】2． 【分析】先将原式根据二次根式的除法运算法则变形为：，然后再根据算术平方根定义解答即可． 【解答】解：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 13．【中档】把直线y＝﹣3x+4 沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为 y＝﹣3x+2　 ． 【答案】y＝﹣3x+2． 【分析】根据函数的平移法则“上加下减”可得新的函数解析式即可． 【解答】解：根据函数的平移法则：左加右减，上加下减，直线y＝﹣3x+4 沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为 y＝﹣3x+2． 故答案为：y＝﹣3x+2． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键． 14．【中档】我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 　3　 ． 【答案】3． 【分析】由题意可知，AD＝AB＝3，AE＝2，CE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE的长，即可得出结论． 【解答】解：如图， 由题意可知，AD＝AB＝3，AE＝2，CE＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE， ∴CD＝CE﹣DE＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．【中档】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，CP，DP分别平分∠BCD和∠ADC，AD＝8，AB＝4，则OP＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】延长CP交AD于点E，由平行四边形的性质得BC∥AD，CD＝AB＝4，OC＝OA，因为CP平分∠BCD，所以∠PCD＝∠PCB＝∠PED，则ED＝CD＝4，而AD＝8，求得AE＝4，由ED＝CD，DP平分∠ADC，得PE＝PC，所以OPAE＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长CP交AD于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AD＝8，AB＝4， ∴BC∥AD，CD＝AB＝4，OC＝OA， ∵CP平分∠BCD， ∵∠PCD＝∠PCB＝∠PED， ∴ED＝CD＝4， ∴AE＝AD﹣ED＝8﹣4＝4， ∵ED＝CD，DP平分∠ADC， ∴PE＝PC， ∴OPAE＝2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．【中档】直线l：y＝kx+b（k、b是常数且k≠0）经过A（﹣1，1）、B（2，n）两点，其中n＜0，下列五个结论：①﹣k+b＝1；②方程kx+b＝0的解在﹣1和2之间；③；④5k+b＜﹣1；⑤不等式kx+b＞|x|的解集为x＜﹣1时，n＜﹣2，其中正确的结论有 　①②④⑤　 （只需填写序号）． 【答案】①②④⑤． 【分析】①把A（﹣1，1）代入l：y＝kx+b可判断①正确；②数形结合可判断②正确；把A（﹣1，1）、B（2，n）代入l：y＝kx+b消去b，结合n＜0可判断③错误；④把b＝k+1代入5k+b，结合可判断④正确；⑤结合l：y＝kx+b和y＝|x|的图象，可判断⑤正确． 【解答】解：①把A（﹣1，1）代入l：y＝kx+b，得 1＝﹣k+b，即﹣k+b＝1，故①正确； ②：直线l：y＝kx+b经过A（﹣1，1）、B（2，n）两点，其中n＜0，如图， ∴方程kx+b＝0的解在﹣1和2之间，故②正确； ③把A（﹣1，1）、B（2，n）代入l：y＝kx+b，得 ， 消去b得，， ∵n＜0，，故③错误； ④由1＝﹣k+b，得 b＝k+1，代入5k+b，得 5k+k+1＝6k+1， ∵， ∴6k+1＜﹣1，即5k+b＜﹣1，故④正确； ⑤如图， ∵不等式kx+b＞|x|的解集为x＜﹣1， ∴x＞﹣1，l：y＝kx+b的图象在y＝|x|图象的下方， ∴当x＝2时，y＝﹣x＝﹣2， ∴n＜﹣2，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，掌握相关知识的灵活运用是解题的关键． 17．【较易】计算： 【答案】1+2． 【分析】根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题． 【解答】解： 2 ＝4﹣3+2 ＝1+2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 18．【较易】已知如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝CE．求证：BF＝DE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AF＝CE， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， ∴FD＝BE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴BF＝DE． 【分析】根据平行四边形的性质得出四边形FBED是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出答案． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AF＝CE， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， ∴FD＝BE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴BF＝DE． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定定理． 19．【中档】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝2． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）5； （2）11． 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC＝90°，然后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5； （2）∵AD2+CD2＝（）2+（2）2＝5+20＝25，AC2＝52＝25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积 AB•BCAD•CD 3×42 ＝6+5 ＝11． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．【中档】某篮球队，全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图1，图2所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）“命中4次”所在扇形的圆心角是 　135°　 ；请补充完整条形统计图； （2）若有一名队员新加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员命中结果的最大值； （3）若有n名队员加入篮球队，经过五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现中位数发生了变化，求n的最小值． 【答案】（1）135°，补全统计图详见解答； （2）3； （3）4． 【分析】（1）根据频率求出样本容量，再求出命中“4次”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出命中“5次”的人数即可补全条形统计图； （2）求出原命中结果的平均数，再根据加入1名新队员，其平均数变小了，得出此时命中结果的最大值； （3）利用中位数的意义，得出n的值即可． 【解答】解：（1）调查人数为：10÷25%＝40（人）， “命中4次”所对应的圆心角度数为360°135°， “命中5次”的人数为40﹣10﹣12﹣15＝3（人）， 故答案为：135°，补全条形统计图如下： （2）原命中结果的平均数为3.275， ∵一名队员新加入篮球队，结果五次定点投篮后，把命中结果与原命中结果组成一组新数据，发现平均数变小了， ∴此队员命中结果的最大值为3； （3）若n名队员加入篮球队，命中结果均为3，此时中位数不会变化， 若n名队员加入篮球队，命中结果均大于3，当中位数为3.5时，n的值为4， 当命中结果为其它情况时，n的值均大于4， 所以n的最小值为4． 【点评】本题考查中位数、平均数、条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的关键． 21．【较易】如图，在▱ABCD中AC⊥CD于点C，∠ACB＝30°． （1）尺规作图：作BC边中点E，并连接AE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，已知AE＝4，若点O是▱ABCD对角线的交点，连接OE，求OE的长． 【答案】（1）见解答． （2）2． 【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，连接AE即可． （2）由平行四边形的性质可得点O为AC的中点，AB∥CD，则AC⊥AB，AE为直角△ABC斜边上的中线，OE为△ABC的中位线，可得BC＝2AE＝8，OE∥AB，则CE4，∠COE＝∠BAC＝90°，进而可得OE2． 【解答】解：（1）如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，连接AE， 则点E即为所求． （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴点O为AC的中点，AB∥CD． ∵AC⊥CD， ∴AC⊥AB． ∵点E为BC的中点， ∴AE为直角△ABC斜边上的中线，OE为△ABC的中位线， ∴BC＝2AE＝8，OE∥AB， ∴CE4，∠COE＝∠BAC＝90°． ∵∠ACB＝30°， ∴OE2． 【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．【中档】某校计划购买A，B两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元． （1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A，B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价为5万元，B型机器人模型的单价为3万元； （2）该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为93万元． 【分析】（1）设A型机器人模型的单价为x万元，B型机器人模型的单价为y万元，根据“购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元”列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型（25﹣m）台，根据“购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用”列出不等式，求出m的取值范围，再设总费用为w万元，利用总价＝单价×数量，可列出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设A型机器人模型的单价为x万元，B型机器人模型的单价为y万元， 根据题意得：， 解得， 答：A型机器人模型的单价为5万元，B型机器人模型的单价为3万元； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型（25﹣m）台， 根据题意得：5m≤3（25﹣m）， 解得：m， 设总费用为w万元， 根据题意得：w＝5m+3（25﹣m）＝2m+75， ∴2＞0， ∴w随着m的增大而增大， ∵m为正整数， ∴当m＝9时，总费用最大，最大值为93， 答：该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为93万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 23．【中档】如图1，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4．点E为边CD的中点，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C时停止运动，连接EP，EB．设点P的运动时间为x秒，记△EPB的面积为y． （1）当x＝　4　 秒时，点P到达点C处； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）在如图2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出△EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围． 【答案】（1）4； （2）； （3）图象见解析；1≤x≤4且x≠2． 【分析】（1）先根据菱形的性质求得BC+AB＝8，再根据速度、路程、时间的关系即可解答； （2）分点P在AB上和BC上两种情况、分别根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、三角形面积公式求解即可； （3）先根据（2）得到的函数解析式画出函数图象，然后根据函数图象即可解答． 【解答】解：（1）∵菱形ABCD，AB＝4， ∴BC＝AB＝4， ∴BC+AB＝8， ∴点P到达点C处时，， 故答案为：4； （2）①当点P在AB上时，即0≤x＜2时， 如图：分别过D、E作DF⊥AB，EG⊥AB，则BP＝4﹣2x， ∵在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4， ∴CD∥AB，AD＝AB＝4，即， ∴EG＝DF＝2， ∴△EPB的面积为，即y＝﹣2x+4（0≤x＜2）； ②当点P在BC上时，即2＜x≤4时， 如图：过E作EH⊥BC，则BP＝2x﹣4， ∵在菱形ABCD中，AB＝4，点E为边CD的中点， ∴CD＝AB＝4，即， ∵∠A＝30°， ∴， ∴△EPB的面积为，即y＝x﹣2（2＜x≤4）． 综上，y关于x的函数解析式为； （3）根据，画出函数图象如下： 由函数图象可得：△EPB的面积不大于2时自变量x的取值范围为1≤x≤4且x≠2． 【点评】本题主要考查了动点问题、菱形的性质、含30度直角三角形的性质、函数图象与不等式等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 24．【较难】如图，已知直线l1：y＝kx﹣4与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点D和点B，且两直线交于点C，C点坐标为（﹣8，m）． （1）求k的值． （2）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由． （3）直线AB上是否存在点Q，使得∠BDQ＝45°，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k； （2）存在，P（0，﹣16）或（0，32）； （3）存在，Q点坐标为（5，3）或（﹣10，18）． 【分析】（1）求出C点坐标，再将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4，即可求k的值； （2）分别求出各点坐标，再由△ABC面积（8+8）＝△BCP的面积BP×8，求出BP的长，即可求P点坐标； （3）将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E，通过证明△BDF≌△GBE（AAS）， 求出G（8，4），直线DG与直线AB的交点为Q；G点关于B点的对称点G'（﹣8，12），则直线DG'与直线AB的交点为另一个Q． 【解答】解：（1）当x＝﹣8时，m＝﹣8， ∴C（﹣8，﹣8）， 将C（﹣8，﹣8）代入y＝kx﹣4， ∴﹣8k﹣4＝﹣8， 解得k； （2）存在点P，使得△BCP与△ABC面积相等，理由如下： ∵k， ∴yx﹣4， 当y＝0时，x＝8， ∴A（8，0）， 直线y＝2x+8与x轴的交点D（﹣4，0），与y轴交点B（0，8）， ∴AD＝12， ∴△ABC面积（8+8）＝96， ∵△BCP与△ABC面积相等， ∴△BCP的面积＝96BP×8， 解得BP＝24， ∴P（0，﹣16）或（0，32）； （3）存在点Q，使得∠BDQ＝45°，理由如下； 将BD绕点B逆时针旋转90°得到BG，连接DG，过点B作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF交于F点，过点G作GE⊥EF交于E， ∴∠FBD+∠EBG＝90°， ∵∠FBD+∠FDB＝90°， ∴∠EBG＝∠FDB， ∵BD＝BG， ∴△BDF≌△GBE（AAS）， ∴BF＝EG＝4，FD＝BE＝8， ∴G（8，4）， ∴直线DG的解析式为yx，直线AB的解析式为y＝﹣x+8， 当xx+8时，解得x＝5， 解得Q（5，3）， ∵G点关于B点的对称点G'（﹣8，12）， ∴直线DG'的解析式为y＝﹣3x﹣12， 当﹣x+8＝﹣3x﹣12时，解得x＝﹣10， 解得Q（﹣10，18）； 综上所述：Q点坐标为（5，3）或（﹣10，18）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 25．【较难】如图，点E为正方形ABCD的边AB上一动点（点E不与点A，B重合），将△CBE沿CE对折得到△CGE，延长CG交AD于点F，延长EG交AD于点H． （1）求证：GH＝HD； （2）若BE＝2AE，求的值； （3）连接EF，若，求线段DH的长． 【答案】（1）见解析； （2）4； （3）． 【分析】（1）由折叠的性质以及正方形的性质证明Rt△CGH≌Rt△CDH（HL）即可证明结论； （2）设AE＝a，则BE＝EG＝2a、AB＝3a，设DH＝x，由（1）知DH＝HG＝x，易得AH＝3a﹣x，EH＝2a+x，再根据勾股定理可得，进而得到，然后代入化简即可解答； （3）如图，延长AB到M使得BM＝DF，连接CM，FM，先证明△DCF≌△CBM（SAS）可得∠DCF＝∠BCM，CF＝CM＝5，易得∠FCM＝90°，运用勾股定理可得，设∠BCE＝α，则∠CEB＝90°﹣α，∠FCD＝90°﹣2α＝∠BCM，易得ME＝MC＝5；设AE＝x，则AM＝5+x，根据勾股定理列方程可得x＝2，则AE＝2，进而得到AF＝1；设BE＝m，易得5＝m+1+m，解得m＝2，即BE＝2，AB＝4；设DH＝x，则AH＝4﹣x，HG＝HD＝x，EH＝EG+HG＝2+x，最后根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵△CGE由△CBE翻折得到的， ∴CG＝CB，∠CGE＝∠B＝90°， 又∵ABCD为正方形， ∴CD＝CB＝CG，∠D＝90°， 在Rt△CGH和Rt△CDH中， ， ∴Rt△CGH≌Rt△CDH（HL）， ∴GH＝DH； （2）解：设AE＝a，则BE＝EG＝2a， ∴AB＝AE+BE＝3a， 设DH＝x，由（1）知DH＝HG＝x， ∴AH＝AD﹣DH＝3a﹣x，EH＝EB+HD＝2a+x， 在Rt△AEH中，AE2+AH2＝EH2， ∴a2+（3a﹣x）2＝（2a+x）2， 化简得：， ∴， ∴； （3）解：如图：延长AB到M使得BM＝DF，连接CM，FM， ∵CD＝CB，∠D＝∠CBM＝90°， ∴△DCF≌△CBM（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCM，CF＝CM＝5， ∴∠FCM＝∠BCF+∠BCM＝∠BCF+∠FCD＝∠BCD＝90°， ∴， 设∠BCE＝α，则∠CEB＝90°﹣α，∠FCD＝90°﹣2α＝∠BCM， ∴∠MCE＝∠BCE+∠BCM＝90°﹣α， ∴∠MCE＝∠MEC， ∴ME＝MC＝5， 设AE＝x，则AM＝5+x， 在Rt△AEF中，AF2＝EF2﹣AE2＝5﹣x2， 在Rt△AMF中，AF2＝MF2﹣AM2＝50﹣（x+5）2， ∴5﹣x2＝50﹣（x+5）2， 解得x＝2， ∴AE＝2， ∴， 设BE＝m，则AB＝m+2＝AD， ∴DF＝m+2﹣1＝m+1＝MB， ∵ME＝BM+EB， ∴5＝m+1+m， 解得m＝2， ∴BE＝2， ∴AB＝AE+BE＝4， 设DH＝x，则AH＝4﹣x， ∴HG＝HD＝x， ∴EH＝EG+HG＝2+x， 又∵AH2+AE2＝EH2， ∴（4﹣x）2+22＝（2+x）2， ∴，即． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $