期末测试卷2025-2026学年广州市越秀区八年级下册数学

**基本信息** 立足核心素养，以华表柱、风筝测量等文化与现实情境为载体，梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式、一次函数性质、四边形性质|第3题华表柱雕龙长度结合圆柱展开与勾股定理，体现文化传承| |填空题|6/24|统计方差、平行四边形、坐标系|第16题动态直线与矩形交点问题，考查空间观念| |解答题|9/86|二次根式运算、四边形证明、函数综合|22题风筝高度测量应用勾股定理，25题平行四边形动态探究含α角，发展创新意识|

2025-2026学年广州市越秀区八年级下册数学期末测试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．【易】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．【较易】小芸记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示．这组数据的中位数是（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 3．【中档】华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 4．【较易】下列计算正确的是（　　） A． B．33 C． D．2 5．【易】已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 6．【中档】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6 7．【易】一次函数y＝﹣2x+6的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．【中档】如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8，则BC的长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 9．【中档】一次函数y1＝kx﹣4﹣4k（k为常数，k≠0）的图象记作G1，一次函数的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法： ①G1经过定点（4，﹣4）； ②当G1与G2有公共点时，k的取值范围是； ③当时，G1与G2所在的直线平行，且平行线之间的距离为． 以上说法中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．【中档】如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若，则下列四个结论中错误的是（　　） A．∠CBE＝15° B．S△DEC C． D．CE+DE＝EF 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．【较易】二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　 ． 12．【较易】如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 　 　 （填“＞”“＝”或“＜”）． 13．【较易】如图，▱ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长　 　 ． 14．【中档】如图，一次函数y＝kx+4（k＜0）的图象经过点A（1，2），则关于x的不等式kx+4＞2的解集为　 　 ． 15．【较易】如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为　 　 ． 16．【中档】如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点O为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，AB＝CD＝3，AD＝BC＝6，点P在y轴上，点Q（a，0）是x轴上的一个动点，直线y＝kx+4经过点P和点Q． （1）若PQ经过点C，则k＝　 　 ． （2）若PQ与长方形ABCD的边有两个公共点，则k的取值范围为　 　 ． 三、解答题（共86分） 17．（8分）【较易】计算： （1）； （2）． 18．（6分）【中档】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF． 求证：BE＝DF． 19．（8分）【中档】如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）AB＝ 　 　 ，AD＝ 　 　 ； （2）连接BD，判断△BCD是什么三角形，并说明理由． 20．（10分）【较易】某校乒乓球队16名队员的年龄分布如表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 3 5 6 2 （1）则该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是　 　 ； （2）求该校乒乓球队16名队员的平均年龄；（结果取整数） （3）教练组采用六维雷达图评估乒乓球队员的竞技水平，评估维度包括力量、速度、技巧、发球、防守和经验，权重比为2：2：1：2：2：1．某队员的雷达图评分如图所示，计算该队员的综合得分？ 21．（8分）【较易】为提倡节约用水，广州市中心城区居民生活用水收费标准调整如表： 月用水量（立方米） 不超过21立方米的部分 超过21立方米不超27立方米的部分 超过27立方米的部分 单价（元/立方米） 2.5 3.8 7.5 （1）某户居民6月用水量为26立方米，则该月应交多少水费？ （2）某户居民6月水费为97.8元，则该户居民6月用水量为多少立方米？ 22．（10分）【中档】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度. 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 … 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 23．（10分）【中档】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 第二步，作直线MN分别交AB，BD，BC于点E，O，F； 第三步，连接． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若DC＝4，DF＝5，求AD的长． 24．（12分）【较难】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（3，0），B（0，6）两点． （1）求直线AB的函数解析式； （2）P是直线AB上一动点，且△BOP的面积是△AOP的面积的2倍，求点P坐标； （3）如图2，在直线l：y＝3上是否存在点Q，使得△ABQ是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）【难】如图，点E是▱ABCD边BC上的一点（不与点B、C重合），∠AEF＝∠ABC＝α（90°≤α＜180°），AE＝EF． （1）图1，若AB＝BC，α＝90°，则∠FCD的度数为 　 　 ； （2）图2，若AB＝BC，求∠FCD的度数；（用含α的代数式表示） （3）图3，已知α＝120°且AB＝m，AD＝n，且n＜m＜2n，点E在线段BC上运动时，连接AF，M为AF的中点，探究DM的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 答案解析 1．【易】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项． 【解答】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、是最简二次根式，故符合题意； D、2，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是指被开方数不能化简的二次根式． 2．【较易】小芸记录了6天体育锻炼的时间（单位：分钟），其折线统计图如图所示．这组数据的中位数是（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【分析】把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可． 【解答】解：把6天体育锻炼的时间从小到大排列，排在中间的两个数分别是40，50，故中位数为45（分钟）． 故选：B． 【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 3．【中档】华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【分析】在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【解答】解：展开图： 12÷3＝4（米）， （米）， 5×3＝15（米）， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 4．【较易】下列计算正确的是（　　） A． B．33 C． D．2 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意． B、原式＝2，故B不符合题意． C、原式，故C符合题意． D、原式，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 5．【易】已知点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 【答案】A 【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣1＜2，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（﹣1，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣2x+b上，且﹣1＜2， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 6．【中档】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC＝16，AB＝10，则OH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6 【答案】D 【分析】由菱形的性质得OA＝OCAC＝8，OB＝OD，AC⊥DB，再由勾股定理得OB＝6，则BD＝2OB＝12，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16， ∴OA＝OCAC＝8，OB＝OD，AC⊥DB， ∴∠AOB＝90°， ∴OB6， ∴BD＝2OB＝12， ∵DH⊥AB， ∴∠DHB＝90°， ∴OHBD＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，解决问题的关键是求得BD的长． 7．【易】一次函数y＝﹣2x+6的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出一次函数y＝﹣2x+6的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2×0+6＝6， ∴一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴交于点（0，6）； 当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得：x＝3， ∴一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点（3，0）． ∴一次函数y＝﹣2x+6的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为6×3＝9． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标是解题的关键． 8．【中档】如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8，则BC的长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】由折叠的性质得出EF的长，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：由折叠的性质知：AE＝EF＝8﹣3＝5； 在Rt△BEF中，EF＝5，BE＝3， ∴BF＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BCD＝90°， ∵将矩形ABCD沿直线DE折叠， ∴AD＝DF＝BC， 设AD＝x＝DF，则BC＝x，CF＝x﹣4， ∵∠C＝90°， ∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2， ∴82+（x﹣4）2＝x2， 解得x＝10， ∴BC＝10， 故选：C． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，掌握图形翻折不变性的性质是解题的关键． 9．【中档】一次函数y1＝kx﹣4﹣4k（k为常数，k≠0）的图象记作G1，一次函数的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法： ①G1经过定点（4，﹣4）； ②当G1与G2有公共点时，k的取值范围是； ③当时，G1与G2所在的直线平行，且平行线之间的距离为． 以上说法中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答． 【解答】解：∵y1＝kx﹣4﹣4k＝k（x﹣4）﹣4， ∴G1经过定点（4，﹣4），故①正确； 一次函数的函数值随x的增大而增大，如图所示，P（1，0），Q（﹣2，﹣4）为G2的两个临界点， 当一次函数y1＝kx﹣4﹣4k（k≠0）的图象过点P（1，0）时，则k﹣4﹣4k＝0，解得k， 当一次函数y1＝kx﹣4﹣4k（k≠0）的图象过点Q（﹣2，﹣4）时，则﹣2k﹣4﹣4k＝﹣4，解得k＝0， ∴当G1与G2有公共点时，k的取值范围是k＜0，故②正确； 当k时，G1与G2平行正确，作MN⊥PQ于N， ∵M（4，﹣4），P（1，0），Q（﹣2，﹣4）， ∴PQ5， ∵S△PMQ， ∴5MN＝（4+2）×4， ∴MN，故③正确． 综上，①②③都正确． 故选：D． 【点评】本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大． 10．【中档】如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若，则下列四个结论中错误的是（　　） A．∠CBE＝15° B．S△DEC C． D．CE+DE＝EF 【答案】B 【分析】对于选项A，证明△BCE和△DCE全等得∠CBE＝∠CDE＝15°，由此可对该选项A进行判断； 对于选项B，连接BD交AC于点O，由勾股定理得OA＝OD＝OCAD，在Rt△ODE中，根据∠OED＝30°得DE＝2OE，由勾股定理得OEOD＝1，则CE，进而得S△DECCE•OD，由此可对该选项A进行判断； 对于选项C，根据OA＝√3，OE＝1得AE＝OA+OE，由此可对该选项A进行判断； 对于选项D，在EF上截取EP＝EC，连接PC，先求出∠BCF＝150°，证明△CEP是等边三角形得CP＝CE＝EP，∠ECP＝60°，进而得∠FCP＝∠DCE＝45°，由此可依据“AAS”判定△FCP和△DCE全等得FP＝DE，则CE+DE＝EP+FP＝EF，据此可对该选项A进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°， 在△BCE和△DCE中， ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDE＝15°， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， 连接BD交AC于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形，AB， ∴AD＝AB，OA＝OD＝OC，AC⊥BD，∠ODC＝45°， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：ADOA， ∴OA＝OD＝OCAD， 在Rt△ODE中，∠OED＝∠ODC﹣∠CDE＝30°， ∴DE＝2OE， 由勾股定理得：ODOE， ∴OEOD1， ∴CE＝OC﹣OE， ∴S△DECCE•OD， 故选项B不正确，符合题意； 对于选项C， ∵OA，OE＝1， ∴AE＝OA+OE， 故选项C正确，不符合题意； 对于选项D， 在EF上截取EP＝EC，连接PC，如图2所示： ∵CF＝CB，∠CBE＝∠CDE＝15°， ∴∠F＝∠CBE＝∠CDE＝15°， ∴∠BCF＝180°﹣（∠F+∠CBE）＝150°， ∵∠BCE＝45°，∠CBH是△CBE的外角， ∴∠CEP＝∠BCE+∠CBE＝60°， 又∵EP＝EC， ∴△CEP是等边三角形， ∴CP＝CE＝EP，∠ECP＝60°， ∴∠FCP＝∠BCF﹣（∠BCE+∠ECP）＝150°﹣（45°+60°）＝45°， ∴∠FCP＝∠DCE＝45°， 在△FCP和△DCE中， ， ∴△FCP≌△DCE（AAS）， ∴FP＝DE， ∴CE+DE＝EP+FP＝EF， 故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 11．【较易】二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥﹣2　 ． 【答案】x≥﹣2 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x+2≥0，解得x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12．【较易】如图是甲、乙两人5次足球点球测试（每次点球10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 　＜　 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】从统计图中分别获取甲、乙两人测试成绩，利用方差公式计算即可． 【解答】解：由统计图可知： 甲的成绩为：6，5，6，4，7； 乙的成绩为：5，2，5，7，3， ∴5.6， 1.04； 4.4， 3.04， ∵1.04＜3.04， ∴， 故答案为：＜． 【点评】本题考查方差的计算，熟悉方差的计算公式是解题的关键．本题也可直接根据方差的意义，通过观察统计图数据的判断波动情况作出判断． 13．【较易】如图，▱ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长　20　 ． 【答案】20 【分析】由平行四边形的性质得出OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，求出OA+OB＝16，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OAAC，OBBD，AB＝CD＝4， ∵AC+BD＝32， ∴OA+OB（AC+BD）＝16， ∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝16+4＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 14．【中档】如图，一次函数y＝kx+4（k＜0）的图象经过点A（1，2），则关于x的不等式kx+4＞2的解集为x＜1　 ． 【答案】x＜1． 【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+4在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：根据函数图象，不等式kx+4＞2的解集为x＜1． 故答案为：x＜1． 【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟记两者的关系并正确理解函数图象是解题的关键． 15．【较易】如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为　1　 ． 【答案】1 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB＝AC，推出OC1即可解决问题． 【解答】解：在Rt△AOB中，AB， ∴AB＝AC， ∴OC＝AC﹣OA1， ∴点C表示的数为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 16．【中档】如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点O为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，AB＝CD＝3，AD＝BC＝6，点P在y轴上，点Q（a，0）是x轴上的一个动点，直线y＝kx+4经过点P和点Q． （1）若PQ经过点C，则k＝　　 ． （2）若PQ与长方形ABCD的边有两个公共点，则k的取值范围为k或k　 ． 【答案】（1）； （2）k或k． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）把A（﹣3，0），D（3，0）代入求得k的值，结合图象即可求得． 【解答】解：（1）由题意可知点C（3，﹣3），代入y＝kx+4得，3k+4＝﹣3， ∴k； 故答案为：； （2）把A（﹣3，0）代入y＝kx+4得， ﹣3k+4＝0，解得k； 把D（3，0）代入y＝kx+4得， ∴3k+4＝0，解得k． ∴k或k． 故答案为：k或k． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 17．【较易】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）23； （2）24． 【分析】（1）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式 ＝23； （2）原式＝3﹣2﹣（3﹣22） ＝3﹣2﹣5+2 ＝24． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． 18．【中档】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF． 求证：BE＝DF． 【答案】证明过程请看解答． 【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF． 【点评】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 19．【中档】如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）AB＝ 　　 ，AD＝ 　2　 ； （2）连接BD，判断△BCD是什么三角形，并说明理由． 【答案】（1），2； （2）△BCD是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）分别根据勾股定理列式计算即可； （2）由勾股定理求出BC、BD、CD的长，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【解答】解：（1）由勾股定理得：AB，AD2， 故答案为：，2； （2）△BCD是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：BC， BD， CD2， ∴BC＝BD，BC2+BD2＝CD2， ∴△BCD是等腰直角三角形，且∠CBD＝90°． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．【较易】某校乒乓球队16名队员的年龄分布如表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 3 5 6 2 （1）则该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是　14岁　 ； （2）求该校乒乓球队16名队员的平均年龄；（结果取整数） （3）教练组采用六维雷达图评估乒乓球队员的竞技水平，评估维度包括力量、速度、技巧、发球、防守和经验，权重比为2：2：1：2：2：1．某队员的雷达图评分如图所示，计算该队员的综合得分？ 【答案】（1）14岁； （2）13岁； （3）7.3分． 【分析】（1）根据众数的定义即可得出答案； （2）根据加权平均数的定义求解即可； （3）根据加权平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：（1）该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是14岁， 故答案为：14岁； （2）该校乒乓球队16名队员的平均年龄为（12×3+13×5+14×6+15×2）≈13（岁）； （3）该队员的综合得分为7.3（分）． 【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数、加权平均数的定义． 21．【较易】为提倡节约用水，广州市中心城区居民生活用水收费标准调整如表： 月用水量（立方米） 不超过21立方米的部分 超过21立方米不超27立方米的部分 超过27立方米的部分 单价（元/立方米） 2.5 3.8 7.5 （1）某户居民6月用水量为26立方米，则该月应交多少水费？ （2）某户居民6月水费为97.8元，则该户居民6月用水量为多少立方米？ 【答案】（1）该月应交71.5元水费； （2）该户居民6月用水量为30立方米． 【分析】（1）利用该月应交水费＝3.5×21+3.8×超过21立方米的部分，即可求出结论； （2）设该户居民6月用水量为x立方米，根据该户居民6月水费为97.8元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：2.5×21+3.8×（26﹣21） ＝2.5×21+3.8×5 ＝52.5+19 ＝71.5（元）． 答：该月应交71.5元水费； （2）设该户居民6月用水量为x立方米， ∵2.5×21+3.8×（27﹣21）＝75.3（元），75.3＜97.8， ∴x＞27． 根据题意得：2.5×21+3.8×（27﹣21）+7.5（x﹣27）＝97.8， 解得：x＝30． 答：该户居民6月用水量为30立方米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．【中档】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度. 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 … 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出的AC长，即可得到结论； （2）在Rt△A′BC中，根据勾股定理求出A′B，即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米， 由勾股定理，可得AC8米， ∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，A'C＝20米， 在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15米， 由勾股定理，可得A′B25米， 则应该再放出25﹣17＝8（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 【点评】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形中的三边关系． 23．【中档】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 第二步，作直线MN分别交AB，BD，BC于点E，O，F； 第三步，连接． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若DC＝4，DF＝5，求AD的长． 【答案】（1）见解析； （2）AD的长为． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝BE，BF＝DF，求得∠EDB＝∠EBD，根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠FBD，求得∠EDB＝∠FBD，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据搞定了得到CF3，根据菱形的性质得到DE＝DF＝BF＝5，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：由作图知EF垂直平分BD， ∴DE＝BE，BF＝DF， ∴∠EDB＝∠EBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠FBD， ∴∠EDB＝∠FBD， ∴DE＝BF， ∴DE＝BE＝BF＝DF， ∴四边形BEDF是菱形； （2）解：∵∠C＝90°，CD＝4，DF＝5， ∴CF3， ∵四边形BEDF是菱形， ∴DE＝DF＝BF＝5， ∴BC＝8， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴， 解得AD， 故AD的长为． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 24．【较难】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（3，0），B（0，6）两点． （1）求直线AB的函数解析式； （2）P是直线AB上一动点，且△BOP的面积是△AOP的面积的2倍，求点P坐标； （3）如图2，在直线l：y＝3上是否存在点Q，使得△ABQ是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣2x+6； （2）P的坐标为（2，2）或（6，﹣6）； （3）Q的坐标为（9，3）或（﹣6，3）． 【分析】（1）用待定系数法可得直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+6； （2）设P（t，﹣2t+6），当P在第一象限时，求出S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•yP3（﹣2t+6）＝﹣3t+9，故3t＝2（﹣3t+9），可得P（2，2）；当P在第四象限时，S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•（﹣yP）3（2t﹣6）＝3t﹣9，故3t＝2（3t﹣9），可得P（6，﹣6）； （3）设Q（m，3），求出AB2＝45，AQ2＝（m﹣3）2+9，BQ2＝m2+9，①当AB＝AQ时，45＝（m﹣3）2+9，解得m＝﹣3或m＝9，再根据勾股定理得m＝9符合条件，此时Q（9，3）；②当AB＝BQ时，45＝m2+9，解得m＝6或m＝﹣6，由勾股定理知m＝﹣6符合条件，此时Q﹣69，3），③当AQ＝BQ时，（m﹣3）2+9＝m2+9，解得m，此时BQ2+AQ2≠AB2，故△ABQ不是等腰直角三角形，这种情况舍去． 【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），B（0，6）代入得：， 解得， ∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+6； （2）设P（t，﹣2t+6）， 当P在第一象限时，如图： ∵S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•yP3（﹣2t+6）＝﹣3t+9， ∴3t＝2（﹣3t+9）， 解得t＝2， ∴P（2，2）； 当P在第四象限时，如图： ∵S△BOPOB•xP6t＝3t，S△AOPOA•（﹣yP）3（2t﹣6）＝3t﹣9， ∴3t＝2（3t﹣9）， 解得t＝6， ∴P（6，﹣6）； 综上所述，P的坐标为（2，2）或（6，﹣6）； （3）设Q（m，3）， ∵A（3，0），B（0，6）， ∴AB2＝45，AQ2＝（m﹣3）2+9，BQ2＝m2+9， ①当AB＝AQ时，45＝（m﹣3）2+9， 解得m＝﹣3或m＝9， 若m＝﹣3，则AB2＝45＝AQ2，BQ2＝（﹣3）2+9＝18， ∴AB2+AQ2≠BQ2，△ABQ是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 若m＝9，则AB2＝45＝AQ2，BQ2＝92+9＝90， ∴AB2+AQ2＝BQ2，△ABQ是等腰直角三角形，此时Q（9，3）； ②当AB＝BQ时，45＝m2+9， 解得m＝6或m＝﹣6， 当m＝6时，AB2＝45＝BQ2，AQ2＝（6﹣3）2+9＝18， ∴AB2+BQ2≠AQ2，△ABQ是等腰三角形，但不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 当m＝﹣6时，AB2＝45＝BQ2，AQ2＝（﹣6﹣3）2+9＝90， ∴AB2+BQ2＝AQ2，△ABQ是等腰直角三角形，此时Q（﹣6，3）； ③当AQ＝BQ时，（m﹣3）2+9＝m2+9， 解得m， ∴BQ2+AQ2＝（9）+（3）2+9， 而AB2＝45， ∴BQ2+AQ2≠AB2， ∴△ABQ不是等腰直角三角形，这种情况舍去； 综上所述，Q的坐标为（9，3）或（﹣6，3）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 25．【难】如图，点E是▱ABCD边BC上的一点（不与点B、C重合），∠AEF＝∠ABC＝α（90°≤α＜180°），AE＝EF． （1）图1，若AB＝BC，α＝90°，则∠FCD的度数为 　45°　 ； （2）图2，若AB＝BC，求∠FCD的度数；（用含α的代数式表示） （3）图3，已知α＝120°且AB＝m，AD＝n，且n＜m＜2n，点E在线段BC上运动时，连接AF，M为AF的中点，探究DM的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）45°； （2）； （3）． 【分析】（1）在AB上截取BG＝BE，连接EG，可证得△AGE≌△ECF，从而∠ECF＝∠AGE＝135°，进而得出结果； （2）在AB上截取BG＝BE，连接EG，可证得△AGE≌△ECF，从而∠ECF＝∠AGE，根据平行四边形的性质得出∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α，进一步得出结果； （3）在BC的延长线上截取BW＝AB＝m，连接WF，取AW的中点W′，作射线W′M，交AD的延长线于点V，可证得△FAW∽△ABE，从而∠AWF＝∠ABC＝120°，根据三角形中位线的性质得出W′M∥WF，从而得出∠AW′M＝120°，从而得出点M在过定点W′，且与AW′成120° 的直线上运动，作DM′⊥WV于M，则当点M在M′处时，DM最小，进一步得出结果； 【解答】解：（1）如图1， 在AB上截取BG＝BE，连接EG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠CEF+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∵BE＝BG， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°，AB﹣BG＝BC﹣BE， ∴∠AGE＝135°，AG＝CE， ∵AE＝EF， ∴△AGE≌△ECF（SAS）， ∴∠ECF＝∠AGE＝135°， ∴∠FCD＝∠ECF﹣∠BCD＝45°， 故答案为45°； （2）如图2， 在AB上截取BG＝BE，连接EG， ∵∠AEF＝∠ABC＝α， ∴∠CEF+∠AEB＝180°﹣α，∠AEB+∠BAE＝180°﹣α， ∴∠BAE＝∠CEF， ∵BE＝BG，AB＝BC， ∴∠BGE＝∠BEG，AB﹣BG＝BC﹣BE， ∴∠AGE，AG＝CE， ∵AE＝EF， ∴△AGE≌△ECF（SAS）， ∴∠ECF＝∠AGE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α， ∴∠FCD＝∠ECF﹣∠BCD； （3）如图3， 在BC的延长线上截取BW＝AB＝m，连接WF，取AW的中点W′，作射线W′M，交AD的延长线于点V， ∵∠ABC＝∠AEF＝120°，AE＝EF， ∴，∠BAE＝∠FAW， ∴△FAW∽△ABE， ∴∠AWF＝∠ABC＝120°， ∵M是AF的中点， ∴W′M∥WF， ∴∠AW′M＝120°， ∴点M在过定点W′，且与AW′成120° 的直线上运动， 作DM′⊥WV于M，则当点M在M′处时，DM最小， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝n， ∴∠WAV＝∠AWB＝30°， ∴∠AVW′＝30°， ∴DM′DV， ∵ACAB， ∴AW′， ∴AVAW′m， ∴DV＝AV﹣AD， ∴（DM）最小． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $