期末测试卷2025-2026学年广州市黄埔区八年级下册数学人教版

**基本信息** 2025-2026学年黄埔区八年级下册数学期末卷，以“三会”素养为导向，通过真实情境（如健康运动统计、滑轮问题）与梯度设计（基础到综合），覆盖二次根式、平行四边形等核心知识，适配期末测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/40|二次根式有意义条件（1题）、平行四边形性质（2题）|分易/较易/中档梯度，如第5题结合中位数与众数考查数据分析| |填空|6/24|菱形面积（12题）、直角三角形边长（13题）|中档题注重分类讨论，如13题分直角边与斜边两种情况| |解答|9/86|二次根式运算（17题）、一次函数综合（21题）、四边形探究（25题）|22题结合健康中国战略考查数据意识，25题融合平行四边形、勾股定理与创新探究，体现中考命题趋势|

2025-2026学年广州市黄埔区八年级下册数学期末测试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．【易】若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 2．【较易】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝34，AB＝10，则△OCD的周长是（　　） A．44 B．27 C．34 D．17 3．【较易】如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．【较易】下列计算正确的是（　　） A． B．33 C． D．2 5．【较易】某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（　　） A．28 B．36 C．44 D．48 6．【中档】下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点（6，0） D．图象与y轴的交点坐标是（0，3） 7．【中档】如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点，点E在BD上，连接AE、CE，点F在CE上，且∠BDF＝∠ADB，AE＝AD，若BD＝6，则DF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 8．【较易】一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．对于函数y1＝ax+b，y随x的增大而减小 B．关于x的不等式ax+b＞cx+d的解集为x＜﹣1 C．a﹣c＝d﹣b D．函数y1＝ax+b的图象不经过第四象限 9．【较易】若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系式的图象是（　　） A． B． C． D． 10．【较易】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．【易】已知1.732，5.477，那么　 　 ． 12．【较易】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE，则菱形ABCD的面积是＝　 　 ． 13．【中档】若一个直角三角形的两条边的长分别为8、10，则第三条边的长是 　 　 ． 14．【较易】我市6月10日端午节举办的国际龙舟邀请赛中，甲乙两队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是 　 　 队． 15．【中档】如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了 　 　 小时． 16．【中档】如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接BE，下列结论： ①BE＝DE； ②CE＝CF； ③； ④． 其中结论正确的序号有 　 　 ． 三、解答题（共86分） 17．（8分）【较易】计算： （1）； （2）． 18．（6分）【较易】已知：如图，∠ABD＝∠BDC，AD∥BC．求证：AD＝BC． 19．（8分）【中档】已知点P（m﹣8，﹣2）． （1）若点P在y轴上，求m的值； （2）若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，求m的值． 20．（8分）【中档】如图，搬运师傅将滑轮固定在高为AB的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的C处拉紧绳子（绳长AC），并做个记号，然后沿BC方向向前走7米到D处，拉紧绳子（绳长AD），量得绳长AD比绳长AC长5米，求楼AB的高度． 21．（10分）【中档】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点E（0，4），与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的纵坐标为3． （1）求一次函数y＝kx+b的解析式； （2）若点D在y轴上，满足S△BCD＝2S△BCO，求点D的坐标； （3）若直线y＝（1﹣m）（x+2）与△COE的三边有两个公共点，则m的取值范围是　 　 ． 22．（10分）【较易】为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 0≤x＜5 6 a 中等活跃 5≤x＜10 14 0.35 高活跃 10≤x＜15 b c 超高活跃 15≤x≤20 8 0.2 信息2：每日课间主动运动时间在15≤x≤20中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 23．（10分）【中档】如图，将一张矩形纸片ABCD的边AD斜着向BC边对折，使点D落在BC边上，记为D′，折痕为AF，再将AB边斜向上对折，使点B落在AD′上，记为B′，折痕为AE， （1）求证：B′E∥D′F； （2）根据以下描述：分别延长FD′和AE交于点G，过点G作BC的平行线，分别交AB和DC的延长线于点M和N，请补全图形并求的值． 24．（12分）【中档】在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y＝x+b，分别与x轴、y轴交于A、B两点，已知点A坐标为（﹣4，0）． （1）求直线AB的解析式及点B坐标； （2）将直线AB向上平移t个单位（t＞0）得到直线CD，分别与x轴、y轴交于C、D两点，若点P是直线CD上一动点，使得△PAB的面积为8，求t的值； （3）向上平移直线AB得到直线l，如图2，点M（m，﹣m2﹣3m+4）、点N（n，﹣n2﹣3n+4）（m≠n）在直线l上，直线AM、BN交于点Q，求点Q的横坐标． 25．（14分）【难】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，∠ABC+∠DCB＝90°． （1）如图1，若点O为BC的中点，连接AO、DO，求证：AO⊥DO； （2）如图2，分别以AB、BC、CD为边向外构造正方形，正方形ABEF、正方形BCMN、正方形CDGH的面积依次为S1、S2、S3，若S2＝36，求S1+S3的值； （3）在（2）的条件下，连接FG，取FG中点P，求△PAD的面积． 答案解析 1．【易】若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，a﹣3≥0， 解得a≥3． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．【较易】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝34，AB＝10，则△OCD的周长是（　　） A．44 B．27 C．34 D．17 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝10，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝10， ∵AC+BD＝34， ∴CO+DO＝17， ∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝27， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线的性质是解题的关键． 3．【较易】如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AB，进而得到OC的长即可． 【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝1， ∴ABAC， ∴OC＝AC﹣AO2， 即点C在数轴上所表示的数是2． 故选：B． 【点评】本题考查数轴表示数，勾股定理，理解数轴表示数的意义，掌握勾股定理是正确解答的关键． 4．【较易】下列计算正确的是（　　） A． B．33 C． D．2 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意． B、原式＝2，故B不符合题意． C、原式，故C符合题意． D、原式，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 5．【较易】某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（　　） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】根据已知条件，确定捐款总额的范围，即可求解， 【解答】解：∵这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元， ∴捐款数从小到大排列，第三个数是8，第四个和第五个都是10， ∴设第一个数为a，第二个数为b，则0＜a＜b＜8， ∴28＜a+b+8+10+10＜44， ∴他们捐款的总额可能是36元， 故选：B． 【点评】本题考查了中位数和众数，解题的关键是正确理解中位数和众数． 6．【中档】下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点（6，0） D．图象与y轴的交点坐标是（0，3） 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质判断选项A，B，求出x＝6时的函数值，即可判断选项C，把x＝0代入解析式，求出函数值即可得到图象与y轴的交点坐标，即可判断选项D． 【解答】解：根据一次函数的性质、函数值、图象与y轴的交点坐标逐项分析判断如下： A选项：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大，故本选项正确； B选项：∵一次函数中，，b＝﹣3＜0， ∴一次函数图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故本选项正确； C选项：当x＝6时，， ∴图象经过点（6，0），故本选项正确； D选项：当x＝0时，， ∴图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），不是（0，3），故本选项错误． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 7．【中档】如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点，点E在BD上，连接AE、CE，点F在CE上，且∠BDF＝∠ADB，AE＝AD，若BD＝6，则DF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由AE＝AD，得∠AED＝∠ADB，而∠BDF＝∠ADB，所以∠BDF＝∠AED，则DF∥AE，因为在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点，所以BD＝AD＝CDAC，则1，所以EF＝CF，因为AE＝BD＝6，所以DFAE＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADB， ∵∠BDF＝∠ADB， ∴∠BDF＝∠AED， ∴DF∥AE， ∵在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点， ∴BD＝AD＝CDAC， ∴1， ∴EF＝CF， ∵AE＝BD＝6， ∴DFAE＝3， 故选：A． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理等知识，证明DF∥AE是解题的关键． 8．【较易】一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．对于函数y1＝ax+b，y随x的增大而减小 B．关于x的不等式ax+b＞cx+d的解集为x＜﹣1 C．a﹣c＝d﹣b D．函数y1＝ax+b的图象不经过第四象限 【答案】D 【分析】利用一次函数y1＝ax+b的图象可对D选项进行判断；根据一次函数的性质可对A选项进行判断；观察图象，当x＞﹣1时，y1＞y2，则可对B选项进行判断；当x＝﹣1时，y1＝y2，即a+b＝c+d，则可对C选项进行判断；利用函数图象直接对D选项进行判断． 【解答】解：∵y1＝ax+b经过第一、二、三象限，所以D选项不符合题意； ∴y随x的增大而增大，所以A选项不符合题意， ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为1， ∴x＞﹣1时，y1＞y2， 即关于x的不等式ax+b＞cx+d的解集为x＞﹣1，所以B选项不符合题意； 当x＝﹣1时，y1＝y2， 即a+b＝c+d， ∴a﹣c＝d﹣b，所以C选项不符合题意； 一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数的性质． 9．【较易】若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系式的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列式求出x的取值范围，即可得解． 【解答】解：根据题意，x+2y＝80， 所以，yx+40， 根据三角形的三边关系，x＞y﹣y＝0， x＜y+y＝2y， 所以，x+x＜80， 解得x＜40， 所以，y与x的函数关系式为yx+40（0＜x＜40）， 只有D选项符合． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了三角形的周长公式，难点在于利用三角形的三边关系求出底边x的取值范围． 10．【较易】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得AF＝2GH，当AF⊥BC时，AF有最小值，即GH有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：连接AF， ∵G、H分别为AE、EF的中点， ∴AF＝2GH， ∴当AF⊥BC时，AF有最小值，即GH有最小值， ∵GH的最小值为， ∴AF的最小值为2， ∵∠B＝60°，AF⊥BC， ∴∠BAF＝30°， ∴AF＝2BF，AFBF， ∴BF＝2，AB＝2BF＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 11．【易】已知1.732，5.477，那么　54.77　 ． 【答案】54.77． 【分析】先将原式变形为，进而得出答案． 【解答】解：1010×5.477＝54.77． 故答案为：54.77． 【点评】本题主要考查算术平均数，熟练掌握其知识点是解题的关键． 12．【较易】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE，则菱形ABCD的面积是＝　6　 ． 【答案】6． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出AC＝2OE＝2，得到菱形ABCD的面积AC•BD＝6． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝2， ∴菱形ABCD的面积AC•BD26＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出AC＝2OE，掌握菱形的面积公式． 13．【中档】若一个直角三角形的两条边的长分别为8、10，则第三条边的长是 　2或6　 ． 【答案】2或6． 【分析】分10是直角边长与斜边长两种情况分别求解即可． 【解答】解：当10是直角边长时，第三边长2， 当10是斜边长时，第三边长6， 故答案为：2或6． 【点评】本题考查了勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 14．【较易】我市6月10日端午节举办的国际龙舟邀请赛中，甲乙两队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是 　甲　 队． 【答案】甲． 【分析】根据方差的定义解答即可． 【解答】解：由题意可知，参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是甲队． 故答案为：甲． 【点评】本题考查折线统计图以及方差，关键是掌握一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 15．【中档】如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了 　1.5　 小时． 【答案】1.5． 【分析】设当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了x小时，由速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，根据“当乙车出发追上甲车时，两车行驶的路程相等”列关于x的方程并求解即可． 【解答】解：设当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了x小时． 甲车的速度是60（km/h），乙车的速度是100（km/h）， 根据“当乙车出发追上甲车时，两车行驶的路程相等”，得60（x+1）＝100x， 解得x＝1.5， ∴当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了1.5小时． 故答案为：1.5． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 16．【中档】如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接BE，下列结论： ①BE＝DE； ②CE＝CF； ③； ④． 其中结论正确的序号有 　①③④　 ． 【答案】①③④． 【分析】①证明△BCE和△DCE全等，根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断； ②根据点E为对角线AC上一动点，EF⊥DE得当点E是AC的中点时，点F与点C重合，此时CEAC，CF＝0，由此即可对结论②进行判断； ③过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，证明四边形EMCN是正方形得EM＝EN，再根据三角形的面积公式即可对结论③进行判断； ④证明△NEF和△FEM全等得EF＝DE＝BE，则BN＝FN，在等腰Rt△ENC中，由勾股定理得CNCE，则BC＝BN+CN＝CF+2CN＝CFCE，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在正方形ABCD中，AB＝BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°，∠BCD＝90°， 在△BCE和△DCE中， ， △BCE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝DE， 故结论①正确； ②∵点E为对角线AC上一动点，EF⊥DE， ∴当点E是AC的中点时，点F与点C重合， 此时CEAC，CF＝0， ∴CE≠CF， 故结论②不正确； ③过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，如图所示： ∴∠EMC＝∠BCD＝∠ENC＝90°， ∴四边形EMCN是矩形， ∵∠BCE＝45°，∠ENC＝90°， ∴△ENC是等腰直角三角形， ∴EN＝CN， ∴矩形EMCN是正方形， ∴EM＝EN， ∴S△ECFCF•EN，S△DECDC•EM， ∴， 故结论③正确； ④∵四边形EMCN是正方形，EF⊥DE， ∴EN＝EM，∠NEM＝∠DEF＝90°，∠ENF＝∠EMD＝90°， ∴∠NEF+∠FEM＝∠FEM+∠MED， ∴∠NEF＝∠FEM， 在△NEF和△FEM中， ， ∴△NEF≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE＝BE， ∵EN⊥BC， ∴BN＝FN， 在等腰Rt△ENC中，由勾股定理得：CECN， ∴CNCE， ∴BC＝BN+CN＝FN+CN＝CF+2CN＝CF+2CE＝CFCE， ∴AB＝CFCE， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 17．【较易】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根式的减法即可得； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 18．【较易】已知：如图，∠ABD＝∠BDC，AD∥BC．求证：AD＝BC． 【答案】见解析． 【分析】首先根据平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，可利用ASA定理证明△ABD≌△CDB，进而根据全等三角形对应边相等可得结论． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（ASA）， ∴AD＝BC． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 19．【中档】已知点P（m﹣8，﹣2）． （1）若点P在y轴上，求m的值； （2）若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，求m的值． 【答案】（1）m＝8；（2）m＝14． 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征解答即可； （2）关键一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：（1）∵点P在y轴上， ∴m﹣8＝0， 解得：m＝8； （2）∵点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上， ∴﹣2＝﹣（m﹣8）+4， 解得m＝14． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 20．【中档】如图，搬运师傅将滑轮固定在高为AB的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的C处拉紧绳子（绳长AC），并做个记号，然后沿BC方向向前走7米到D处，拉紧绳子（绳长AD），量得绳长AD比绳长AC长5米，求楼AB的高度． 【答案】12米． 【分析】设AC为x米，则AD＝（x+5）米，由题意得∠ABC＝90°，BC＝9米，CD＝7米，则BD＝BC+CD＝16米，然后在Rt△ABC和Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：设AC为x米，则AD＝（x+5）米， 由题意得：∠ABC＝90°，BC＝9米，CD＝7米， ∴BD＝BC+CD＝9+7＝16（米）， 在Rt△ABC和Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2， 即x2﹣92＝（x+5）2﹣162， 解得：x＝15， 即AC＝15米， ∴AB12（米）， 即楼AB的高度为12米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 21．【中档】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点E（0，4），与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的纵坐标为3． （1）求一次函数y＝kx+b的解析式； （2）若点D在y轴上，满足S△BCD＝2S△BCO，求点D的坐标； （3）若直线y＝（1﹣m）（x+2）与△COE的三边有两个公共点，则m的取值范围是　﹣1＜m＜1　 ． 【答案】（1）y＝﹣x+4； （2）D（0，12）或（0，﹣4）； （3）﹣1＜m＜1． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值，即可求解； （2）根据三角形的面积公式结合S△BCD＝2S△BOC，即可求解； （3）由于直线y＝m（x+2）过定点（﹣2，0），代入点E的坐标，即可求得m＝2，若直线y＝m（x+2）与△COE的三边有两个公共点，根据图象即可得到0＜m＜2． 【解答】解：（1）把y＝3代入y＝3x得，3＝3x， 解得x＝1， ∴点C的坐标为（1，3）． 把C，E点坐标代入得：， 解得：， ∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+4； （2）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4， ∴E（0，4）； 当y＝0时，﹣x+4＝0， ∴x＝4， ∴B（4，0）， ∴S△BOC4×3＝6， ∵S△BCD＝2S△BOC， ∴S△BCD＝12， ∵点D在y轴上， ∴S△BCD＝S△BDE﹣S△DEC＝12， ∴DE（4﹣1）＝12， ∴DE＝8， ∴D（0，12）或（0，﹣4）； （3）直线y＝（1﹣m）（x+2）经过点（﹣2，0）， 把点E的坐标代入y＝（1﹣m）（x+2）得，4＝2（1﹣m）， 解得1﹣m＝2， 若直线y＝（1﹣m）（x+2）与△COE的三边有两个公共点，则0＜1﹣m＜2，即﹣1＜m＜1． 故答案为：﹣1＜m＜1． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△BCD＝2S△BOC，得出一元一次方程；（3）利用题意得出0＜1﹣m＜2． 22．【较易】为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 0≤x＜5 6 a 中等活跃 5≤x＜10 14 0.35 高活跃 10≤x＜15 b c 超高活跃 15≤x≤20 8 0.2 信息2：每日课间主动运动时间在15≤x≤20中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：a＝　0.15　 ，b＝　12　 ，c＝　0.3　 ； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 【答案】（1）0.15，12，0.3； （2）17； （3）510人． 【分析】（1）先用每日课间主动运动时间达到“中等活跃”等级的人数以及频率可得抽取的人数，即可得到a、b、c的值； （2）根据加权平均数的定义即可得到答案； （3）用600乘以样本中每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的频率即可得到答案． 【解答】解：（1）由统计表可知，抽取的人数为14÷0.35＝40， b＝40﹣6﹣14﹣8＝12， a0.15， c0.3， 故答案为：0.15，12，0.3； （2）（15×2+16×2+17+18+19+20）＝17， 答：所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数为17； （3）600×（1﹣0.15）＝510（人）， ∴估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数为510人． 【点评】此题主要考查读频数分布表的能力．解题的关键是利用统计表得到进一步解题的有关信息． 23．【中档】如图，将一张矩形纸片ABCD的边AD斜着向BC边对折，使点D落在BC边上，记为D′，折痕为AF，再将AB边斜向上对折，使点B落在AD′上，记为B′，折痕为AE， （1）求证：B′E∥D′F； （2）根据以下描述：分别延长FD′和AE交于点G，过点G作BC的平行线，分别交AB和DC的延长线于点M和N，请补全图形并求的值． 【答案】（1）见解析； （2）图形见解析；1． 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质可得∠AD′F＝∠D′B′E，即可解答； （2）由折叠的性质得：∠MAG＝∠D′AG，∠AD′F＝∠D＝90°，DF＝D′F，然后根据角平分线的性质可得MG＝D′G，从而得到GF＝D′G+D′F＝MG+DF，即可解答． 【解答】（1）证明：由条件可知∠B＝∠D＝90°， 由折叠的性质得：∠AD′F＝∠D＝90°，∠AB′E＝∠B＝90°， ∴∠D′B′E＝90°， ∴∠AD′F＝∠D′B′E， ∴B′E∥D′F； （2）解：如图， 由折叠的性质得：∠MAG＝∠D′AG，∠AD′F＝∠D＝90°，DF＝D′F， ∴∠AD′G＝90°， 由条件可知∠M＝∠ABC＝90°， ∴MG＝D′G， ∴GF＝D′G+D′F＝MG+DF， ∴． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 24．【中档】在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y＝x+b，分别与x轴、y轴交于A、B两点，已知点A坐标为（﹣4，0）． （1）求直线AB的解析式及点B坐标； （2）将直线AB向上平移t个单位（t＞0）得到直线CD，分别与x轴、y轴交于C、D两点，若点P是直线CD上一动点，使得△PAB的面积为8，求t的值； （3）向上平移直线AB得到直线l，如图2，点M（m，﹣m2﹣3m+4）、点N（n，﹣n2﹣3n+4）（m≠n）在直线l上，直线AM、BN交于点Q，求点Q的横坐标． 【答案】（1）AB的解析式为y＝x+4，点B坐标为（0，4）； （2）t＝4． （3）点Q的横坐标为﹣2． 【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求出b，再令x＝0即可求出B的坐标； （2）关键求出点P到AB的距离，即两条平行线间的距离，则过点A作AE⊥CD，则AE的长度即为P到AB的距离，根据面积为8列方程求解t； （3）设出直线/的解析式为y＝x+4+c，点M、N在直线l上，代入解析式，利用韦达定理得到关于m，n的关系，联立直线AM、BN的解析式，求解交点Q的横坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+b， 有0＝﹣4+b，解得 b＝4， ∴AB的解析式为y＝x+4，点B坐标为（0，4）． （2）如图：过点A作AE⊥CD交CD于点E，则AE的长度即为P到AB的距离， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠ECA＝∠BAO＝45°， ∴在Rt△ECA中，AECA， 设直线CD的解析式为y＝x+4+t，则C（﹣4﹣t，0）， ∵A（﹣4，0），B（0，4）， ∴CA＝t，， ∴AECAt， ∴S△PAB8， 解得：t＝4． （3）设直线l的解析式为y＝x+4+c， 将，M（m，﹣m2﹣3m+4），N（n，﹣n2﹣3n+4）（m≠n）代入解析式得，m2+4m+c＝0，n2+4n+c＝0m ∴m和n是方程x2+4x+c＝0的两个不同的根， 由韦达定理得：m+n＝﹣4，mn＝c， 直线AM通过A（﹣4，0），M（m，﹣m2﹣3m+4）， 直线AM的斜率为直线1﹣m， 直线AM的解析式为y＝（1﹣m）（x+4）， 直线BN通过B（0，4），N（n，﹣n2﹣3n+4）， 直线BN的斜率为直线， 直线AM的解析式为y＝（﹣n﹣3）x+4， 联立， 有（1﹣m）（x+4）＝（﹣n﹣3）x+4， 整理得 （4﹣m+n）x＝4m， 由m+n＝﹣4， ∴n＝﹣4﹣m， ∴[4﹣m+（4﹣m）]x＝4m， 解得 x＝﹣2， ∴点Q的横坐标为﹣2． 【点评】本题考查了一次函数的几何变换、求平行线间距离、三角形面积、一元二次方程性质以及直线交点的求解，涉及代数与几何的紧密结合，灵活运用多种数学工具是解题的关键． 25．【难】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，∠ABC+∠DCB＝90°． （1）如图1，若点O为BC的中点，连接AO、DO，求证：AO⊥DO； （2）如图2，分别以AB、BC、CD为边向外构造正方形，正方形ABEF、正方形BCMN、正方形CDGH的面积依次为S1、S2、S3，若S2＝36，求S1+S3的值； （3）在（2）的条件下，连接FG，取FG中点P，求△PAD的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）9； （3）． 【分析】（1）先证明四边形ABOD和四边形AOCD是平行四边形，则OD∥AB，AO∥CD，由平行线的性质和三角形的内角和定理即可解答； （2）如图2，取BC的中点O，连接AO，OD，由（1）知：∠AOD＝90°，四边形ABOD和四边形AOCD是平行四边形，根据勾股定理和正方形的面积即可解答； （3）如图3，取BC的中点O，连接AO，OD，FG，取FG的中点P，连接AP，PD，OP，过点P作PQ⊥AD于点Q，先根据正方形的面积可得BC＝6，AD＝OB＝3，再证明O，A，F三点共线，O，D，G三点共线，△OFG是等腰直角三角形，△POA≌△OPA（SAS），最后由三角形面积公式即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，∵O是BC的中点， ∴BC＝2OB＝2OC， ∵BC＝2AD， ∴AD＝OB＝OC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABOD和四边形AOCD是平行四边形， ∴OD∥AB，AO∥CD， ∴∠COD＝∠B， ∵∠B+∠C＝90°， ∴∠COD+∠C＝90°， ∴∠CDO＝90°， ∵AO∥CD， ∴∠AOD＝∠CDO＝90°， ∴AO⊥DO； （2）解：如图2，取BC的中点O，连接AO，OD， 由（1）知：∠AOD＝90°，四边形ABOD和四边形AOCD是平行四边形， ∴AO＝CD，AB∥OD， ∴∠BAO＝∠AOD＝90°， ∴AB2+AO2＝OB2， ∴S1+S3＝OB2， ∵S2＝BC2＝（2OB）2＝4OB2＝4（S1+S3）＝36， ∴S1+S3＝9； （3）解：如图3，取BC的中点O，连接AO，OD，FG，取FG的中点P，连接AP，PD，OP，过点P作PQ⊥AD于点Q， ∵S2＝36， ∴BC＝6，AD＝OB＝3， 由（1）知：∠AOD＝90°，AO∥CD，OD∥AB， ∴∠BAO＝∠AOD＝∠CDO＝90°， ∵∠BAF＝∠CDG＝90°， ∴O，A，F三点共线，O，D，G三点共线 ∵AO＝CD＝DG，OD＝AB＝AF， ∴OF＝OA+AF＝DG+OD＝OG， ∴△OFG是等腰直角三角形， ∵P是FG的中点， ∴OPFG＝PG， ∴∠POA＝∠PGD＝45°， ∴△POA≌△PGD（SAS）， ∴PA＝PD，∠OPA＝∠GPD， ∴∠APD＝∠OPA+∠OPD＝∠OPG＝90°， ∴△PAD是等腰直角三角形， ∵PQ⊥AD， ∴Q是AD的中点， ∴PQAD， ∴S△PAD•AD•PQ． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形的面积，正方形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $