期末复习专题2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册全册复习卷

**基本信息** 高一数学人教B版必修四全册复习卷，120分钟150分，涵盖复数、立体几何、解三角形等核心知识，通过动点最值（第7题）、实际测量（第12题）等题设计，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算（第1题）、线面关系（第2题）、圆台性质（第3题）|多选题（第9题）考查复数共轭与模，区分度高| |填空题|3题15分|解三角形应用（第12题）、角平分线定理（第13题）|第14题组合体与外接球结合，综合空间想象| |解答题|5题77分|立体几何证明（第15题）、解三角形综合（第16题）|第19题长方体三问递进，考查线面垂直、异面直线角，层次分明|

2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册全册复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则复数（     ） A．5 B． C． D．4 2．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（     ） A．圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B．圆台的侧面积是 C．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D．圆台的体积为 4．记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 5．在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 7．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 11．如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（    ） A．当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B．异面直线与所成的最大角为 C．不存在点使得 D．三棱锥的体积为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米. 13．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 14．图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）如图，在正方体中，，E为棱的中点.求证：平面； （2）如图，在直三棱柱中，；，求证：. 16．在中，． (1)求B； (2)若，的面积为，求AC． 17．已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 18．在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 19．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册全册复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则复数（     ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【详解】根据题意，， 则， 所以，则. 2．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则或，所以A错误； 若，则或，所以B错误； 若，则或与相交，所以C错误； 若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确. 3．已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（     ） A．圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B．圆台的侧面积是 C．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D．圆台的体积为 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出圆台的高，利用圆台的结构特征求解判断A；求出圆台侧面积判断B；求出圆台外接球半径求解判断C；求出圆台体积判断D. 【详解】由圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，得圆台的高为：， 对于A，圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，A错误； 对于B，圆台的侧面积为，B错误； 对于C，依题意，球心在两底面圆的圆心确定的直线上，设球心到上底面的距离为，球半径为， 则，解得，该球的表面积为，C错误； 对于D，圆台体积为， D正确. 4．记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 【答案】C 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 5．在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 6．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变换公式化简可得，代入计算即可得角的大小. 【详解】因为，由余弦定理得， 则，又，所以， 因为， 所以， 即， 又，所以， 所以或（舍）， 则，所以. 7．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】沿将翻折至与在同一个平面内，根据两点之间线段最短，以及已知条件，即可求出的最小值. 【详解】连接，沿将翻折至与在同一个平面内，如图，连接， 则的长度即为所求．由题设可知，又，， ∴平面，故， 在平面图形中，，， ∴． 故选：B． 8．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为, 分别连接，过作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以为直线与底面所成的角，所以， 因为正三棱台的上下底面的面积分别为和， 即等边的边长为，等边的边长为， 可得，所以， 因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（i为虚数单位），则（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【分析】对复数化简为，根据共轭复数概念判断A；根据复数虚部的定义判断B；根据共轭复数的概念以及复数的乘法判断C；根据复数模的运算判断D. 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D. 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 11．如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（    ） A．当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B．异面直线与所成的最大角为 C．不存在点使得 D．三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【分析】对于A，先作出截面，再求其面积即可；对于B，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，点到平面的距离为为定值，利用体积公式即可判断. 【详解】 对于A，取的中点，的中点，的中点， 连接、、、、，由于均为所在边的中点， 所以，，， 所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，其边长， 故其面积为，故A正确； 对于B，设中点为，连接，则易得平面， 则异面直线与所成的角可用表示， 在中，， 当为的中点时，，此时取最小值， 此时有， 因异面直线与所成的角， 由余弦函数的单调性，可得，故B不正确； 对于C，若为中点，由B项易得平面， 因平面，则， 由于，，由，可得， 又平面，所以平面，又平面，故，即C不正确； 对于D，由图知，点到平面的距离为，而， 故，即三棱锥的体积为定值，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米. 【答案】/ 【分析】连接AM，AN，BM，BN，MN，由题设易得，进而根据余弦定理求解即可. 【详解】连接AM，AN，BM，BN，MN. 由题可得，， 则， 所以，则千米. 13．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 【答案】 【分析】设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可. 【详解】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以在上为增函数， 所以． 14．图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________ 【答案】 【分析】分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求. 【详解】 如图可知，过的截面为五边形，其中四边形为矩形， 为等腰三角形，，在直角中，，， 故圆锥的底面半径为，高为，其体积为. 圆柱的底面半径为，高为，其体积为. 所以几何体的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）如图，在正方体中，，E为棱的中点.求证：平面； （2）如图，在直三棱柱中，；，求证：. 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接、、，则，且， 所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，同理可得：是平行四边形，所以，平面，平面， 因为，，和是平面内的两条相交直线， 所以平面平面，又因为平面，所以平面. （2） 如图所示，连接，和交点为，由题意得：，， 所以平面，所以， 且因为，所以是正方形，则，和是平面内的两条相交直线，所以平面，所以. 【分析】（1）先证面面平行，再证线面平行. （2）先证线面垂直，再证线线垂直. 【详解】（1）略 （2）略 16．在中，． (1)求B； (2)若，的面积为，求AC． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）交叉相乘去分母，将等式转化为整式形式,结合正弦定理和余弦定理解得； （2）由（1）得且，所以可将转化为，代入，根据三角形面积公式，得，结合，联立解得，即. 【详解】（1）记的内角的对边分别为， 由题得 所以 所以 所以 由正弦定理得                           由余弦定理得                 又，所以                                 （2）由(1)可得 所以， 由正弦定理得                             又的面积 所以②．                                         由(1)知③ 联立①②③解得 17．已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标运算及三角恒等变换公式可得，进而可得最小正周期； （2）先由条件可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形面积公式可得面积的最大值. 【详解】（1）因为向量，， 所以 所以函数的最小正周期． （2）由得：，． 因为，所以，因此，解得． 由余弦定理得：， 因为，所以，即（当且仅当时等号成立）． 将代入得：. 所以的面积：， 当且仅当时，面积的最大值为． 18．在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)选②或③， 【分析】（1）法一：根据余弦定理边角互化求解；法二：利用正弦定理和三角恒等变换求解； （2）条件①，根据三角形面积公式和勾股定理判断不唯一； 条件②：根据余弦定理和三角形面积公式求解； 条件③：根据余弦定理和三角形周长求解. 【详解】（1）法一：， ．． ． 又． 法二：，． 由正弦定理，． 又， ． ． ． 又，．． 又． （2）选择① ，又， 解得或，不唯一，不能选①； 选择② 由余弦定理得：， ． ， ． 又，． ． 选择③：由余弦定理得：， ．， 又，． ． ． 19．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明： 如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点， 又是的中点，因此在中，是中位线，故. 又平面，平面，所以平面，得证. (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行线转化异面直线所成角，结合三角形和三角函数求角的大小； （3）由几何关系确定∠POD是二面角的平面角，进而在中计算正切值. 【详解】（1）略. （2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角. 正方形边长为2，故，则； ，，， 在中：； 是中位线，， 故. 在中， ， 因此是直角三角形，， 故： ，得， 即异面直线与所成角的大小为. （3）由，，，得平面，因此，，故就是二面角的平面角. 为中点，，， 在中，. 又，因此， 所以二面角的平面角的正切值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $