2026年河南项城市部分学校九年级中考模拟冲刺数学试卷

**基本信息** 2026年中考模拟数学试卷以文化传承与跨学科实践为特色，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考要求，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|科学记数法、视图、新运算、概率|第3题以禹州钧瓷考俯视图（文化+空间观念），第8题结合物理折射率计算（跨学科+运算能力）| |填空题|5题/15分|二次根式、不等式组、抛物线顶点、新定义四边形|第15题垂等四边形结合相似（新定义+推理能力）| |解答题|8题/75分|统计图表、圆的切线、反比例函数、动态几何|第17题化学pH值统计分析（数据意识），第22题隧道限高方案设计（模型意识+应用）|

2026年中考模拟冲刺数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1.－ 的绝对值是(　　) A.   B. － C.   D. － 2.2024年，河南省财政系统统筹资金150.5亿元，为落实省重点民生实事提供了有力支撑.数据“150.5亿”可以用科学记数法表示为 (　　) A.1505×107 B.1.505×1010 C.1.505×1011 D.0.1505×1012 3.禹州钧瓷始于唐、盛于宋，是中国古代五大名瓷之一.如图是北宋钧窑月白釉紫红斑碗，其俯视图为（   ）     4.下列运算中，计算正确的是 A.2x2-3x2=x2 B.-2x3=-6x3 C. x2·x3=x5 D. x+12=x2+1 5.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠2=30°，∠3=55°，∠1的度数为（　　） A. 145° B. 150° C. 155° D. 160° 6.定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a(a－b)，则方程x△2＝5的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 7.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（      ） A. B. C. D. 8.小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角的正弦值与折射角的正弦值之比，即折射率n= (i为入射角，r为折射角).如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直于AC边的方向射出，已知i=30°，AB=15cm，n=1.5，则BC的长为(　　) A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 9.如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为(　　) A. 32－8π  B. 16 －4π   C. 32－4π  D. 16 －8π 10.如图，在正方形ABCD中，AB=6，AC，BD交于点O，点M，N分别以相同的速度从点D，A同时出发，其路线分别为DB，AC，分别运动到B，C时停止运动，设DM=x，S△MNO=y，则能够大致反映y与x之间函数关系的图象是(　　) 　 二、填空题（每空3分，共15分） 11.若二次根式 有意义，则正整数m的值可以是            ．(写出一个即可) 12.写出满足不等式组  的一个整数解_________． 13.已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是      ． 14.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为______． 15.定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在Rt△ABC中， ， ，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为______． 三、解答题（8题，75分） 16.（10分）(1) 计算：   -|1-  |+2sin45°-（  ）-2； (2)分解因式：2x3-8x. 17.（9分）问题情境      化学课上学习酸碱度时，老师带领学生对不同种类的水的pH值进行测量． 实践发现      老师随机收集了21份水的样本，其中10份海水样本和10份地下水样本，1份因标签掉落，无法确定水的种类，学生分组测量20份样本的pH值．并将结果绘制成如图所示的折线统计图．       实践探究 平均数 中位数 众数 最小值 最大值 地下水 7.4 a 7.5 7.1 7.6 海水 8.18 8.2 8.2 b 8.4 问题解决 (1)地下水pH值的中位数a＝________，海水pH值的最小值b＝________； (2)已知未受污染的海水pH值在8.0～8.3之间，老师收集的10份样本中，求未受污染的海水所占百分比； (3)小明同学测出标签掉落的样本的pH值为8.2，他判断该样本大概率是海水样本，你赞同他的观点吗？请利用统计知识说明理由． 18.（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°. (1)请用尺规作出⊙O的切线AD(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 19.（9分）请阅读以下材料，并完成相应任务. 问题背景：如图①，矩形OABC的边AB，BC分别与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E. 小红的探究：如图②，过点D作DF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥x轴于点G.根据反比例函数中|k|的几何意义，可得CE·EG=AD·DF，又EG=AB，DF=BC，∴CE·AB=AD·BC，∴ ＝ . 小明说：“如图③，连接DE，AC，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到DE∥AC.” (1)小明的结论正确吗?若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由. (2)如图④，直线MN分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E.求证：EM=DN. (3)如图⑤，矩形OABC的边AB，BC分别与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点D，E.连接OD，OE，DE.若点D为AB的中点，则S△ODE=______(用含k的代数式表示).  20.（9分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD. (1)求证：△AEC∽△DEB； (2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径． 21.（9分）高铁站候车厅的饮水机(图①)上有温水、开水两个按钮，示意图如图②所示．小明先接温水再接开水，打算接500mL的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量(开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度)． 生活经验：饮水适宜温度是37℃～44℃(包括37℃与44℃). （1）若小明先接温水19s，求需再接开水的时间． （2）设接温水的时间为x s，水杯中水的温度为y℃． ①求y关于x的函数表达式； ②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，最多可以接多少mL的温水？ 22.（10分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计隧道的限高方案 素 材 1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度PH为8米，宽度OA为16米，图②是其示意图. 素 材 2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米(AB＝2米)这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于 米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． （1）确定隧道形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ （3）尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值.  23.（10分）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”． (1)操作判断 如图①，四边形  是“损矩形”，  ，若  ，则              ； (2)性质探究 在研究图①的“损矩形”  时，小明发现：若  ，则  ．小明的发现是否正确？请说明理由； (3)拓展应用 如图②，“损矩形”  中，  ，  ，  ，连接  ，当  是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”  的面积． 答案 一、选择题 1.A 2.B 3.D 4.C　 详解：2x2-3x2=-x2，A选项错误；(-2x)3=-8x3，B选项错误；(x+1)2=x2+2x+1,D选项错误. 5.C 详解：∵∠2=30°，∴∠POF=∠2=30°，∵∠3=55°，∴∠PFO=55°－30°=25°，∵光线平行于主光轴，∴∠1=180°－25°=155°. 6.C 7.D 详解：将四部数学名著《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D． 从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，作树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中《算学启蒙》和《四元玉鉴》的结果有2种． ∴P（恰好选中《算学启蒙》和《四元玉鉴》）  ． 8.D　 详解：将n=1.5，i=30°代入n= ，得1.5= ，解得sinr= .如图，∵法线与AB垂直，∴r+∠2=90°.∵折射光线与AC垂直，∴∠2+∠A=90°，∴∠A=r，∴BC=AB·sin A=AB·sinr=15× ＝5（cm）. 9.D 详解：如解图，连接AC，根据题意可得AC＝2AD＝8，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝ ＝4 ，∴阴影部分的面积＝4×4 －2× ＝16 －8π. 解图 10.A 二、填空题 11.1(答案不唯一) 详解：若二次根式  有意义，则3－m≥0，解得m≤3，∵m为正整数，∴m的值可以是1(答案不唯一)． 12.﹣1（答案不唯一） 详解：∵  ，由①得x≥﹣1，由②得x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，∴不等式组的一个整数解为x＝﹣1. 13. 详解：∵A(0，3)、B(2，3)，两点纵坐标相同，∴A、B两点关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即－ ＝1，解得b＝2，∵当x＝0时，y＝3，∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，当x＝1时，y＝－x2＋2x＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4)． 14. 详解：如解图，过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC.∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠AEP＝∠AFP.∵AP＝AP，∴△AEP≌△AFP(AAS)，∴PE＝PF.∵PE＝3，∴点P到直线AB的距离为PF＝3. 15. 或 详解：如答案图，过点D作DF⊥AC，垂足为F，∴∠DFC=90°，∵∠FCE=∠DEC=90°，∴四边形CEDF为矩形，∵ ，∴AC＝2CB．∵在Rt△ABC中，  ，∴AC2+BC2＝AB2，即 (2BC)2+CB2＝20，解得BC=2(负值已舍去)，∴AC＝4，∵四边形ACBD为垂等四边形，∴  ．①当△ACB∽△BED时， ，∴ ，设 DE＝x，则 BE＝2x，∴CE＝2+2x．在 Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，即(2+2x)2+x2＝20，解得 ，  (舍去)，∴ ， ，∴  ；②当△ACB∽△DEB 时， ，∴ ，设 BE＝y，则 DE＝2y，∴CE＝2+y．同理可得(2+y)2+(2y)2＝20，解得 ，  (舍去)，∴ ，  ，∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB   ，∴综上所述，四边形ACBD的面积为 或 ． 答案图 三、解答题 16.解：（1）原式=3-  +1+  -9=-5； （2）原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).  17.解：(1)7.45，7.9； 【解法提示】地下水的pH值按从小到大顺序排列为7.1，7.2，7.3，7.3，7.4，7.5，7.5，7.5，7.6，7.6，排在第5，6位的分别是7.4，7.5，∴中位数为7.45.观察折线统计图，海水pH值最小的值为7.9. (2)未受污染的海水pH值在8.0～8.3之间的有7个样本，∴未受污染的海水所占百分比为70%； (3)赞同，地下水样本的pH值在7.1～7.6，海水的样本的pH在7.9～8.4，样本pH值8.2在7.9～8.4，∴该样本大概率是海水样本． 18.解：(1)如答案图，直线AD即为所求作的切线； 【解法提示】①连接OA，以点A为圆心，OA长为半径作弧，交线段OA的延长线于点F；②分别以点O和点F为圆心，大于 OF长为半径作弧，两弧相交于直线OF同一侧的点D；③作直线AD，则直线AD即为所求作的切线． (2)如答案图，连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ∵AB与切线AD所夹的锐角为75°，∴∠BAD＝75°， ∵AD是⊙的切线，∴∠OAD＝90°，∴∠OAB＝∠OAD－∠BAD＝15°. 又∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠BAC＝∠OAC＋∠OAB＝60°， ∴∠BOC＝120°. ∵OE⊥BC，∴∠COE＝∠BOE＝  ∠BOC＝60°. ∵⊙O的半径为2，∴OC＝2，∴CE＝OC·cos30°＝  ，∴BC＝2CE＝2  . 答案图 19.（1）解：正确. 证明：由 = ，可得 = . 又∠B=∠B，∴△BED~△BCA， ∴∠BED=∠BCA，∴DE//AC. （2）证明：如解图①，过点E作x轴的平行线，交y轴于点F，过点D作y轴的平行线，交x轴于点G，连接FG，则ED//FG.又MF//DG，EF//CN， ∴四边形MFGD和四边形FENG都是平行四边形， ∴DM=FG=EN， ∴EM=DN. 解图① （3）解：  k. 【解法提示】如解图②，连接AC，OB，则DE//AC.又BD=AD，∴BE=CE，∴S△OBE：=：S△OCE：=：  k，S△OBD=S△OAD=  ：k，S△BDE=  S△OCE=  k，∴S△ODE=S△OBE+S△OBD-S△BDE=  k×2-  k=  k. 解图② 20.(1)证明：∵∠C和∠B都是 所对的圆周角， ∴∠C＝∠B， ∵∠AEC＝∠DEB， ∴△AEC∽△DEB； (2)解：解法一：∵∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AB＝2AD＝6， ∴OA＝3，即⊙O的半径为3. 解法二：如图，连接OD， ∵∠C＝30°， ∴∠AOD＝2∠C＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD为等边三角形， ∴OA＝AD＝3，即⊙O的半径为3. 21.解：（1）(500－19×20)÷15＝8(s)， ∴需再接开水的时间是8s． （2）①根据“温水体积×温水升高的温度＝开水体积×开水降低的温度”，得20x(y－30)＝(500－20x)(100－y)， 解得y x＋100(0≤x≤25)， ∴y关于x的函数表达式为y x＋100(0≤x≤25)． ②根据题意，得 ， 解得20≤x≤22.5， 当x＝22.5时，22.5×20＝450(mL)， ∴水杯中水的温度为饮水适宜温度时，最多可以接450mL的温水． 22.解：（1）如解图，以O为原点，以OA所在直线为x轴，以垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为(8，8)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－8)2＋8(a≠0)． 又∵图象经过原点(0，0)，∴0＝a(0－8)2＋8，∴a＝－ ，∴抛物线的函数表达式为y＝－ (x－8)2＋8，即y＝－ x2＋2x； 解图 （2）设该隧道限高h米， ∵OA＝16，AB＝2，∴OB＝14，当车高h一定，x＝14时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，y＝－ ×(14－8)2＋8＝ ， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙＝ －h， 由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙＝ －h≥ ，∴h≤3.∴该隧道限高3米 （3）由题意，当y＝6时，－ (x－8)2＋8＝6， 解得x1＝4，x2＝12，∴x2－x1＝8，∴两排灯的水平距离最小值是8米 23.解：(1)  ； 【解法提示】∵  ，  ，∴  ． (2)小明的发现正确，理由如下： 如答案图①，连接  ， ∵  ， 在  与  中，  ，  ， ∴  ≌  ， ∴  ， ∴小明的发现正确； 答案图① (3)  或  或  ． 【解法提示】连接  ，在“损矩形”  中，  ，  ，  ，∴  ，分三种情况：①如答案图②，当  时，同理(2)，  ≌  ，∴  ；②如答案图③，当  时，过点  作  于点  ，交  于点  ，得  ，∵  ，  ，∴  ∽  ，∴  ，∴  ，  ，∴在  中，  ，∴  ，在  中，  ，在  中，  ，∴  ；③如答案图④，当  时，过点  作  于点  ，交  于点  ，∴  ，又∵  ，∴  ，∴  ，∴  ，∴  为  的中位线，设  的长为  ，则  ，连接  ，则  ，在  中，  ，在  中，  ，∴  ，解得  ，∴  ，  ，∴  ．综上所述，“损矩形”  的面积为  或  或  ．  答案图②                    答案图③                    答案图④ 数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $