期末复习专题2025-2026学年高一数学人教B版必修第三册全册复习卷

**基本信息** 聚焦三角函数与向量核心模块，通过基础-综合-应用三级题型构建全册知识网络，强化数学思维与逻辑联系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数|选择1/6/7/8/10/11，填空13，解答16/17/19|含周期判断、图像变换、单调性及零点问题，覆盖单选、多选、解答|从函数概念生成（周期、最值）到图像变换原理推导，再到方程根综合应用| |向量|选择3/4/5/9，填空12，解答15/18|涉及平行垂直、夹角、投影及与三角结合，包含基础计算与综合证明|从向量运算（平行垂直条件）到投影概念推导，再到与三角函数的交叉应用|

2025-2026学年高一数学人教B版必修第三册全册复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】由三角函数性质判断各项函数的周期，即可得答案. 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，最小正周期； ②函数的周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质； 因此，最小正周期为的所有函数为①②③，故A正确. 2．已知，且，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得，然后求得，最后根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 得， 所以， 则. 3．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知向量，，则， ，解得． 4．已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，则 ， 解得， 设向量与的夹角为，则． 5．已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上的投影向量为. 6．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】先从伸缩变换排除AB选项，再从左右平移排除C选项，D选项满足题意. 【详解】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到,不符合要求； D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确. 故选：D 7．若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数在上单调递增及，结合正弦函数单调性与零点性质，得到的取值范围和的含参表达式；再由推出为对称轴，建立的另一含参表达式；联立两式解出，回代并结合的条件，最终确定． 【详解】因为，在上单调递增，，， 所以且， 所以，， 又，则，故， 所以，解得， 因，则，所以， 又，则当，时，． 8．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合关系及利用两角和正弦公式化简可求，再根据二倍角正切公式及齐次化方法求结论. 【详解】， 又 ， ，即， 当时，，矛盾， ，， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．已知，则不可以作为平面内所有向量的一个基底 B．已知向量，若的夹角为钝角，则 C．已知，则向量在向量上的投影向量为 D．平面直角坐标系中，，则为锐角三角形 【答案】AC 【分析】利用向量基底、向量夹角、向量投影向量以及三角形形状判断的相关知识逐项判断各选项. 【详解】对A选项，因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故正确， 对B选项，若夹角为钝角，则且向量不共线（反向）， 由于，得，若共线， 则，解得，所以且，故B错误， 对C选项，因为，所以向量在向量上的投影向量为： ，故正确， 对选项，因为，所以， 所以，所以， 所以不是锐角三角形，故D错误. 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【分析】选项A，根据图象最高点、最低点及周期性，特殊点确定解析式；选项B，解三角方程，求出通解，计算相邻解的最小距离；选项C，利用函数图象平移变换规则进行验证；选项D，画出两个函数的图象可得. 【详解】由函数图象得， 最小正周期为，， 由，得, ，因为，所以， 所以，选项A正确； 令，则， 解得或， 即或， 因为，所以， 选项B正确； 将函数的图象向右平移个单位长度得到， 选项C错误； 在同一坐标系中绘出曲线与在的图象，可得函数图象有4个交点，选项D正确. 11．已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合选项，利用正弦型函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由 ， 对于A，因为，，且的最小值为， 即函数的最小正周期满足，所以，所以A正确； 对于B，由上分析可得，解得，则， 当时，， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得， 因，由，解得，又， 故当时，；当时，， 即函数在区间有两个极值点和，所以C正确； 对于D，由函数， 因为函数为偶函数，可得，解得， 当时，，所以最小正实数为，所以D不正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】求出的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解. 【详解】 已知，，可得 . 因为，所以，即， 整理得， 解得. 13．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求出函数的零点表达式，再结合给定区间，分析零点个数与的关系，从而确定的取值范围. 【详解】令，根据余弦函数的性质得，， 解得. 当时，； 当时，； 当时，； 因为函数在区间内有两个零点，即， 所以要大于等于，才能保证在区间内；同时要小于不在区间内， 所以实数的取值范围是. 14．已知角，，且，，则_____． 【答案】 【分析】根据已知条件结合同角三角函数关系可求出，再利用两角和差的正余弦公式可求出，最后利用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】角，，，而， 若，则，则与矛盾， 故，则可得； 又，即， 则， 结合，可得， 故， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设向量，，. (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值； (3)求的余弦值； (4)求在上的投影数量. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为， 所以， 因为与平行，所以，所以 （2）因为，， 所以， 又因为与垂直，故，所以 （3）因为，， 所以， 所以 所以的余弦值为 （4）因为，，所以 所以 则在上的投影数量为. 16．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间． 【答案】(1) (2)的最小值为，最大值为的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用二倍角正弦与余弦公式、辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数周期公式可求； （2）根据正弦函数的性质可求的最值和单调区间. 【详解】（1） ， 故的最小正周期为. （2）因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 令，即时，故在递增； 令，即时，故在递减. 综上，的最小值为，最大值为， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 17．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图象可知，，可求出，再由函数图象经过点，结合即可求出函数解析式； （2）根据偶函数满足的条件可得，，结合求出的值即可； （3）根据正弦函数性质，可知在一个周期内有两个根，且两个根关于对称轴对称，找出对称轴即可解决问题. 【详解】（1）由图可得最小值为，则，又， ，令，则有，， 解得，又，故，即． （2）因为是偶函数， 则，，所以，， 又，所以当时，；当时，， 所以或. （3）令，则， 当时，， 由，则，则有四个不同的根， 设这四个根从小到大分别为，，，，由有对称轴与， 则，， 即，，故实数根之和为； 另外：利用换元法（整体思想），令， 当时，，即， 所以，， 则，， 即有，， 故实数根之和为. 18．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2)若时，方程有解，求实数的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简，由正弦型三角函数的周期公式求解； （2）令，利用正弦型函数的值域求出的取值范围，将原方程有解转化为在时有解，求解即可； （3）利用换元法化简不等式，求解后得出，转化为为的子集求解即可. 【详解】（1）因为向量，，函数， 因此， 所以的最小正周期为. （2）令，由于，所以，， 则原问题转化为在上有解， 即在时有解， 因为在时单调递减，所以， 所以实数的取值范围为. （3）因为， 所以由对任意恒成立，可得对任意恒成立， 令，则，所以不等式可化为， 可得，解得，解得， 即，解得， 所以， 所以的最大值为. 19．已知函数. (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. (2)设，若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象平移和伸缩变换的规则，先平移再伸缩，得到的表达式，由，结合的取值范围，分析方程根的情况，利用三角函数的对称性找到与的关系，再代入求解。 （2）先求出的表达式，再结合，将方程进行变形，利用换元法将方程转化为关于的方程，结合的范围确定的取值范围，进而求出的取值范围 【详解】（1） ， 将函数的图象向左平移个单位长度 得 函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得， 即 由已知在上有两个不相等的实数根，， 当时，，设，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，， ，即， 那么， 因为，所以， 所以， 所以. （2）方程在上有解， ， 所以方程变为， 即方程在上有解， 设，则，所以， 因为上，所以，则， 则原方程可化为在上有解， 由题知，，故方程可化为在上有解， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 所以，故，故实数的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学人教B版必修第三册全册复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 2．已知，且，则（   ） A． B．7 C． D． 3．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 7．若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（   ） A． B． C． D． 8．若，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．已知，则不可以作为平面内所有向量的一个基底 B．已知向量，若的夹角为钝角，则 C．已知，则向量在向量上的投影向量为 D．平面直角坐标系中，，则为锐角三角形 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 11．已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，向量 ，，若 ，则 的值为 ______. 13．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为__________. 14．已知角，，且，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设向量，，. (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值； (3)求的余弦值； (4)求在上的投影数量. 16．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若，求的最值和单调区间． 17．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 18．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2)若时，方程有解，求实数的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 19．已知函数. (1)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. (2)设，若方程在上有解，求实数的取值范围. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $