精品解析：安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高二下学期5月份教学质量测评数学试题（A卷）

安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高二下学期5月份教学质量测评 数学试题（A卷） 主要考试范围：人教版选修三、必修一第一、二章 考试时间：120分钟 命题人：徐阿倩 审题人：杨俊 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）． A. ①②③ B. ②①③ C. ①③② D. ③①② 2. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 4. 记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与相互独立 6. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. B. C. D. 8. 若随机变量，且，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 的最小值为3 D. 若，则 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. ，是相互独立事件 B. 事件，互斥 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 13. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 14. 设甲乙两人进行羽毛球比赛，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲乙两人在每局中获胜的概率均为，且每局比赛胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的数学期望为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）当时，求的最大值 （2）已知，求的最小值 16. 已知. （1）求的值； （2）求的二项展开式中的常数项. 17. 已知正项数列是等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； （3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 19. 已知函数 （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在处取得极小值． （i）求： （ii）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高二下学期5月份教学质量测评 数学试题（A卷） 主要考试范围：人教版选修三、必修一第一、二章 考试时间：120分钟 命题人：徐阿倩 审题人：杨俊 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）． A. ①②③ B. ②①③ C. ①③② D. ③①② 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图以及相关性定义判断. 【详解】对于图①，显然是正的线性相关，对于图②，不相关，对于图③，负的线性相关； 故选：C. 2. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 3. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 4. 记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 甲：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，所以. 乙：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，解得或. 所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分不必要条件. 5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型计算可判断A错误；由及可得B错误；应用条件概率公式计算判断C,由独立事件的乘法公式可以判断D. 【详解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确； 故选：D. 6. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 48种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 8. 若随机变量，且，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质可得，再利用二次函数求出最值即可. 【详解】由随机变量，且，得，即， 则，当且仅当时取等号， 所以有有最小值，无最大值. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 的最小值为3 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. ，是相互独立事件 B. 事件，互斥 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件、互斥事件的定义与概率公式即可判断选项A、B、C，利用条件概率的定义与公式即可判断选项D. 【详解】根据概率加法公式可知，即， 所以. 选项A：因为，所以，相互独立，故A正确. 选项B：若，互斥，则，但，故B错误. 选项C：，， ，故C正确. 选项D：，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 13. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 14. 设甲乙两人进行羽毛球比赛，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.已知甲乙两人在每局中获胜的概率均为，且每局比赛胜负互相独立，则比赛停止时已打局数的数学期望为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得的所有可能取值为2，4，6，利用独立事件同时发生的概率公式计算出取对应取值的概率，再由数学期望的运算公式即可求解. 【详解】依题意，的所有可能取值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛结束的概率为， 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 所以，，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）当时，求的最大值 （2）已知，求的最小值 【答案】（1）1；（2）9. 【解析】 【分析】（1）由基本不等式求得的最小值后可得； （2）用基本不等式中的“1”的代换求最小值． 【详解】（1）当时，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以有最大值1； （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值9. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的二项展开式中的常数项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数计算公式求出； （2）利用通项公式求出，可得答案. 【小问1详解】 由，得，即，解得， 由，得且，所以； 【小问2详解】 由（1），得， 的二项展开式中通项公式为， 令，得， 所以的二项展开式中，常数项为. 17. 已知正项数列是等差数列，前n项和为，满足，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设公差为d，由，得， 所以，， 又，，成等比数列，所以， 所以， 化简得，解得或， 因为数列是正项数列，当时，，不合题意，故舍去， 所以，，故； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， 综上所述：． 18. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； （3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】（1）岁； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出； （3）根据条件概率公式即可求出． 【小问1详解】 平均年龄 （岁）． 【小问2详解】 设“一人患这种疾病的年龄在区间”，所以 ． 【小问3详解】 设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 19. 已知函数 （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在处取得极小值． （i）求： （ii）证明：当时，． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，则在上恒成立，即可得解； （2）（i）由计算可得，再检验即可；（ii）令，，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 所以在上恒成立，因为在上单调递减，且当时， 所以，即的取值范围为； 【小问2详解】 （i）由，依题意可得，解得， 此时，则，当时，当时， 所以在处取得极小值，符合题意； （ii）由（i）可知， 令，， 令，， 则，令，， 则，所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立（仅在处取等号），所以在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $