精品解析：北京市正泽学校2025-2026学年第二学期期中试卷 初二年级数学

北京市正泽学校2025-2026学年第二学期期中试卷 初二年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，26道小题；答题纸共3页 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字 迹签字笔作答． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分,共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算． 依据二次根式的运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意； C．与不能直接相减，原计算不正确，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意． 故选：D． 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．∵最长边为，，， ∴， ∴该组不能构成直角三角形，故此选项符合题意． 4. 如图，在中，已知，垂足为．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和三角形外角的性质等知识点．由平行四边形对边平行得出，再由知，根据可得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ， 故选：B． 5. 一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而减小，通过比较两点横坐标的大小，结合一次函数的性质即可得到与的大小关系． 【详解】解：在一次函数中，∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，结合，可证明是等边三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，可证明，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 7. 把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（ ） A. 3个 B. 5个 C. 4个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数图象平移规律得到平移后直线的解析式，再联立两直线解析式求出交点坐标，根据第二象限内点的横纵坐标特征列不等式组，求出m的取值范围，即可得到m可取的整数值个数. 【详解】解：直线向上平移个单位后，解析式为 联立两直线解析式得 ， 解得， ∴两直线交点坐标为， ∵交点在第二象限， ∴，解得； ∴可以取得的整数值为，共5个. 8. 矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，． 连接 交于点．连接 ，．若 ， ．则下列结论：① ；② ；③ ， ；④四边形 是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及已知条件证明，即可判断①，结合，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明③；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明④；根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可判断⑤． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形，O为的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 四边形是矩形，O为的中点， ， 为等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，故③正确； , ， ， ， ，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 故④正确； ， 无法证明， 故②错误； ， ， 在中，， ， ， 在中，， ，故⑤正确． 故正确的为①③④⑤，为4个． 二、填空题（本题共8小题，每空2分，共18分） 9. 若 有意义，则x的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】代数式中，二次根式的被开方数需非负，分式的分母不能为0，据此列不等式求解即可. 【详解】解：由题意，，解得. 10. 与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 11. 如图，中，、分别是、的中点，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得是的中位线，由中位线的性质即可得解． 【详解】、分别是、的中点， 是的中位线， ， ． 12. 一次函数图象过点和，那么它的函数解析式为：______________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出一次函数解析式为，再将已知两点坐标代入解析式，解方程组求出未知系数，即可得到函数解析式． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 将点，分别代入解析式得： ，解得：， ∴该一次函数的解析式为． 13. 如图，如果输入的值为，那么输出的值为__________；如果输出的值为，则输入的值为_________． 【答案】 ①. ②. 或##11或 【解析】 【分析】根据运算程序直接求解出的值；根据的值分情况讨论代入解析式中求解的值即可． 【详解】若输出的值为，， 输出； 若输出的值为， 令，解得，，符合题意； 令，解得，，符合题意； 若输出的值为，则输入的值为或． 14. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15. 已知一次函数（为实数），当时，，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数性质可得，当时，，要使时，，即要使，然后解关于的一元一次不等式即可． 【详解】解：由当时，，可得随着的减小而增大，即， ∵， ∴当时，， ∴要使时，，即要使， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，直线：经过点．将正方形沿y轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有_________． ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为； ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由待定系数法求解函数表达式，判断结论①；过点作轴交于点，过作轴交于点，证明，可得、长度，求出长度，判断结论②；由得出点坐标以及移动后的坐标，代入直线表达式，求出，判断结论③；由中点坐标得出正方形对角线的交点坐标，再得出平移后坐标，即可求其到原点的距离，判断结论④． 【详解】解：∵点在直线：上， ∴， 解得， ∴直线：，故结论①正确； 过点作轴交于点，过作轴交于点，如下图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，故结论②错误； 同理可证， ∴，， ∴， ∴点，平移后点坐标为， 点在直线：上， 代入得， 解得，故结论③正确； 平移前，对角线交点为中点， ∵、, 其坐标为, 平移后坐标为， 到原点距离为，故结论④正确； 综上，正确的结论有①③④． 三、 解答题（本题共8小题，第17每小题4分共8分，18题5分，19、22题6分、20、21、23题8分，24题9分，共58分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°． 求作：矩形 ABCD． 作法： ①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心， AB的长为半径画弧，两弧交于点D； ②连接DA，DC． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小阳设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵AD＝BC，CD＝AB， ∴四边形ABCD是___________（_________）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（________）． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）利用直尺和圆规作图即可； （2）根据平行四边形的判定定理及矩形的判定定理证明即可． 【详解】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形如图所示： （2）证明：∵AD＝BC，CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】此题考查尺规作图，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，熟记各定理是正确解答此题的关键． 19. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． （1）图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（填图1中的图形序号）， 其中______，______． （2）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数为： ． 【答案】（1）②，④，12，6 （2）弹簧测力计显示的读数是 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像获取信息以及物理中的浮力知识： （1）分析点的含义，再根据状态对应弹簧测力计的读数求解； （2）分析浮力与深度的关系，计算圆柱体的高度，再计算完全浸没时的浮力，最后计算状态时的浮力，进而得到此时弹簧测力计显示的读数． 【小问1详解】 解：点是示数开始下降的转折点，对应圆柱体刚接触水面的时刻， 由图1可知，状态为刚接触水面， 故点对应状态为； 点是示数停止下降、变为水平的转折点，对应圆柱体刚刚完全浸没在水中的时刻， 由图1可知，状态为完全浸没水中， 故点对应状态为； 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ． 【小问2详解】 解：圆柱体的高度为：， 在空气中，即状态时，示数为， 重力， 完全浸没时，即状态时，示数为， 完全浸没所受的浮力， ，且排开水的体积与浸入水中的高度成正比， 浮力与高度成正比， 则， 即， 解得：， 此时弹簧测力计显示的读数为：． 20. 如图，点在直线上，直线经过点，且与轴交于点． （1）求的值及直线的表达式； （2）过点且垂直于轴的直线与，分别交于，两点． 若，直接写出的取值范围 ； 当时，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】（1）先把点坐标代入中求出点坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2） 先表示出，的坐标，根据列出关于的不等式组，解不等式组即可得解；先求出、坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：点在直线上， ， ， 直线经过点，且与轴交于点， ，解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，则，即； 在中，当时，，则，即； ， ，解得． 当时，，， ， ． 21. 如图在菱形中，O为的交点，P，M，N分别为的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵P，M，N分别为的中点． ∴ ， ． ∴四边形是平行四边形． ∵在菱形中，相交于点O， ∴． ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，即可得证； （2）证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，，． ∴是等边三角形． ∴． ∴，由勾股定理得：． ∵， ∴，， ∴． ∴． 如图，连接， ∴在中，由勾股定理得：． 22. 画出函数 的图象并探究性质，并解决相关问题． （1）下表中的______， ． x ．．． 0 1 n 3 4 ．．． y ．．． m 0 3 6 9 12 ．．． （2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该函数的图象． （3）根据图象写出不等式 的解集____________． 【答案】（1），2 （2） 描出表格中给出的所有点： 连线部分，将；连接部分，将连接． 图象过原点，左半段为，右半段为的分段折线． （3） 【解析】 【分析】先对函数去绝对值，分和两种情况化简解析式，得到分段函数形式，这是解题的突破口． （1）因为属于的区间，所以代入对应的分段解析式计算m的值；因为属于时的函数值，所以代入对应分段解析式求解n的值． （2）根据表格中的坐标点，在坐标系中描点后，分和两段连线，得到函数图象． （3）当时， ，当时，令，分两种情况解不等式；合并得解集，即得．也可以先找到函数 与直线的交点，再根据函数图象的位置，找出 在下方部分对应的x的范围，即为不等式的解集． 【小问1详解】 首先化简分段函数： ， 根据绝对值性质得： 当时， ； 当时， ． 当，代入， 得， ∴； 当，，对应段， 代入， 得， 解得， ∴． x ．．． 0 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 3 6 9 12 ．．． 【小问2详解】 描出表格中给出的所有点： 连线：部分，将 连接，得到左半射线； 部分，将 连接，得到的右半射线， 图象如下（描述）：过原点，左半段为，右半段为的分段折线． 【小问3详解】 当时， ，所有都满足不等式； 当时，令， 解得， 即满足不等式； 合并得解集：． 23. 阅读理解：如果把勾股定理比作黄金矿的话，可以把黄金分割比作钻石矿． （1）如图，点把线段分成两部分，如果， 那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）． （2）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形． 下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处． 第四步  展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形． 问题解决：①图中 （保留根号）； ②请写出图中所有的黄金矩形： ． 【答案】（1） （2）①；②矩形和矩形 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割点的定义可求出的长度； （2）①用勾股定理可算得答案； ②根据黄金矩形的判定进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：①如图3： 根据题意可得， ∴； ②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形， ，， ， ， ， 矩形是黄金矩形， ，， ， ， 矩形是黄金矩形． 综上所述，矩形，是黄金矩形． 24. 如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． （1）补全图形，求的度数（用含α的式子表示） （2）猜想和的数量关系，并证明． （3）若直接写出的取值范围． 【答案】（1）补图如图 （2）， 证明：如图， 在正方形中，， 作于点M，交于N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据（1）可得， 根据对称可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 在中，，即，则， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先画出图形，再根据对称的性质得，然后根据得出答案； （2）在正方形中，，作于点M，交于N，证明，得出．根据（1）可得，根据对称可得，则，证明，则，得出，即可得，．在中，，即可得； （3）连接，取中点，连接，根据，得出，则，证明，得出，求出当点在点时，当点在中点时，的值即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示； ∵点B关于直线的对称点为F， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 为中点， ∴， ∵，， ∴当点三点共线，即点在点时，最大，此时， ∵，为定值， ∴当最小时，最小，此时点在中点， 过点作，过点作， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴的取值范围为． 四、附加题（本题共2小题，第1题3分，第2题7分，共10分） 25. 已知直角三角形的三边、、，满足，分别以三边、、作正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由如下： 直角三角形的三边、、，满足， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由勾股定理可得，然后用、、分别表示出和，根据整式的混合运算化简证明即可． 【详解】略 26. 在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点 ，我们将称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作． 例如：点与的“横2倍直角距离”为． （1）已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是 ； （2）已知点，若点P与原点O的“横2倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形． （3）已知点，，点是x轴上的一个动点，正方形的顶点坐标分别为，，，．若线段上存在点T，正方形上存在点Q，使得，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）分别求出三个点与原点的“横2倍直角距离”，即可得到等于6的点； （2）求出点P与原点O的“横2倍直角距离”表达式，，根据的取值，去掉绝对值号，化简得到直线方程，根据取值范围，坐标轴交点，即可得到图形； （3）设，，，因为，根据的取值分情况讨论，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：， ， ， 与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是：． 【小问2详解】 解：， 分情况，去绝对值， ①，，即，在第一象限，坐标轴交点； ②，，即，在第二象限，坐标轴交点； ③，，即，在第三象限，坐标轴交点； ④，，即，在第四象限，坐标轴交点． 在直角坐标系中，画出这几条线段，效果如下 【小问3详解】 解：设，，则， 根据题意得 ， 分两种情况讨论， ①当时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得 ． ②时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得， ， 综上所述，m的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市正泽学校2025-2026学年第二学期期中试卷 初二年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，26道小题；答题纸共3页 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字 迹签字笔作答． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分,共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，已知，垂足为．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 7. 把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（ ） A. 3个 B. 5个 C. 4个 D. 2个 8. 矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，． 连接 交于点．连接 ，．若 ， ．则下列结论：① ；② ；③ ， ；④四边形 是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本题共8小题，每空2分，共18分） 9. 若 有意义，则x的取值范围为____________． 10. 与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 11. 如图，中，、分别是、的中点，若，则_________． 12. 一次函数图象过点和，那么它的函数解析式为：______________． 13. 如图，如果输入的值为，那么输出的值为__________；如果输出的值为，则输入的值为_________． 14. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 15. 已知一次函数（为实数），当时，，则m的取值范围是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，直线：经过点．将正方形沿y轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有_________． ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为； ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． 三、 解答题（本题共8小题，第17每小题4分共8分，18题5分，19、22题6分、20、21、23题8分，24题9分，共58分） 17. 计算： （1） （2） 18. 下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°． 求作：矩形 ABCD． 作法： ①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心， AB的长为半径画弧，两弧交于点D； ②连接DA，DC． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小阳设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵AD＝BC，CD＝AB， ∴四边形ABCD是___________（_________）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（________）． 19. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． （1）图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（填图1中的图形序号）， 其中______，______． （2）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数为： ． 20. 如图，点在直线上，直线经过点，且与轴交于点． （1）求的值及直线的表达式； （2）过点且垂直于轴的直线与，分别交于，两点． 若，直接写出的取值范围 ； 当时，连接，求的面积． 21. 如图在菱形中，O为的交点，P，M，N分别为的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 画出函数 的图象并探究性质，并解决相关问题． （1）下表中的______， ． x ．．． 0 1 n 3 4 ．．． y ．．． m 0 3 6 9 12 ．．． （2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该函数的图象． （3）根据图象写出不等式 的解集____________． 23. 阅读理解：如果把勾股定理比作黄金矿的话，可以把黄金分割比作钻石矿． （1）如图，点把线段分成两部分，如果， 那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）． （2）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形． 下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处． 第四步  展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形． 问题解决：①图中 （保留根号）； ②请写出图中所有的黄金矩形： ． 24. 如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． （1）补全图形，求的度数（用含α的式子表示） （2）猜想和的数量关系，并证明． （3）若直接写出的取值范围． 四、附加题（本题共2小题，第1题3分，第2题7分，共10分） 25. 已知直角三角形的三边、、，满足，分别以三边、、作正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则判断和的大小关系，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点 ，我们将称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作． 例如：点与的“横2倍直角距离”为． （1）已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是 ； （2）已知点，若点P与原点O的“横2倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形． （3）已知点，，点是x轴上的一个动点，正方形的顶点坐标分别为，，，．若线段上存在点T，正方形上存在点Q，使得，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $