专题17 立体几何中的动态、轨迹问题8种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何动态轨迹8类考法，以空间点线面关系为逻辑主线，通过正方体、三棱锥等载体实现从静态几何到动态轨迹的转化，培养直观想象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点轨迹图形|3题|判断轨迹形状（线段为主）|线面平行→轨迹约束→平面图形识别| |平行求轨迹长度|8题|线面平行条件下轨迹长度计算|面面平行性质→轨迹定位→长度公式应用| |垂直求轨迹长度|10题|线线/线面垂直约束轨迹|三垂线定理→轨迹方程→长度求解| |定角求轨迹长度|7题|线面角/异面直线角为定值|空间角定义→轨迹方程（圆/线段）→长度计算| |定长求轨迹长度|10题|距离为定值的轨迹|空间距离公式→轨迹曲线（圆/椭圆）→长度求解| |投影求轨迹|2题|翻折后投影轨迹|面面垂直性质→投影定位→轨迹形状判断| |翻折与动点轨迹|5题|折叠过程中轨迹变化|翻折不变量→空间关系转化→轨迹分析| |动点轨迹面积|4题|轨迹区域面积计算|轨迹图形识别→面积公式→运算求解|

专题17 立体几何中的动态、轨迹问题8种常考考法归类 题型一动点轨迹图形 题型五根据定长求动点轨迹长度 题型二根据平行求动点轨迹长度 题型六投影求轨迹 题型三根据垂直求动点轨迹长度 题型七翻折与动点求轨迹 题型四根据定角求动点轨迹长度 题型八动点轨迹面积 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 动点轨迹图形 1．（2026高三·北京·开学考试）在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点，使得平面 2．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 3．【多选】（2026·广西南宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积是 C．动点F的轨迹是一条线段 D．若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 题型2 根据平行求动点轨迹长度 4．（2026高二·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 5．（2026高一·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 7．（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 8．（2026高一·福建厦门·期中）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 9．【多选】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．点N的轨迹长度为 D．的取值范围为 10．【多选】（2026高一·重庆渝北·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 11．【多选】（2026高一·重庆·期中）如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 题型3 根据垂直求动点轨迹长度 12．（2026·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为_________；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为_________. 13．（2026·山西·模拟预测）已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为__________. 14．（2026高三·北京海淀·阶段检测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 15．（2026高一·全国·期末）在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 16．（2026高二·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 17．【多选】（2026·宁夏银川·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 18．【多选】（2026高三·全国·三轮复习）已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值 B．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为 C．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为 D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为 19．【多选】（2026高一·广东深圳·期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 20．【多选】（2026高三·江西南昌·期中）如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，为中点．若点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，过点作垂直于．当点运动时，（    ） A．当点不与点， 重合时，有平面 B．点形成的轨迹长度为 C．与平面所成角的正弦值的最大值为 D．的最大值为4 21．【多选】（2026高一·江苏扬州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．连接BM，则直线BM与平面所成角正弦值为 C．若点N为线段BC上的动点（包含端点），则的最小值为 D．点Q在正方体表面上运动（包含边界），且，则点Q的轨迹长度为 题型4 根据定角求动点轨迹长度 22．（2026高一·浙江·期中）如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 23．（2026·山东日照·模拟预测）在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 24．（2026高一·湖南邵阳·期末）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 25．【多选】（2026高二·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（   ） A．三棱锥体积的最大值为 B．若为的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C．若点满足，则动点到直线的距离最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 26．【多选】（2026高三·山东滨州·期末）已知正方体的棱长为2，点为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当为中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C．当时，点到点距离的最小值为 D．当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 27．【多选】（2026高二·重庆·阶段检测）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．若点与点重合，则异面直线与所成的角的大小为 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 28．【多选】（2026高一·广东梅州·阶段检测）如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A．当P在线段BC₁上运动时， B．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C．当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 题型5 根据定长求动点轨迹长度 29．（2026高一·北京朝阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 30．（2026·四川宜宾·模拟预测）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 31．（2026·四川南充·模拟预测）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·四川广安·模拟预测）在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 34．【多选】（2026·辽宁·模拟预测）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ） A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 35．【多选】（2026高一·山西太原·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（    ） A．若，则点的轨迹长度为 B．平面截正方体得到的几何体的体积的最小值为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为为线段上的动点，则的最小值为4 36．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，上底面内(含边界)有一动点，下列说法正确的有（    ）    A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若异面直线CE与AB所成角为，则的取值范围是 D．若是上一动点，则的最小值为 37．【多选】（2026高一·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若点是线段的中点，则点到平面的距离为 D．若，则点的轨迹长度为 38．【多选】（2026·山东·模拟预测）已知正方体的棱长为2，若点在平面内，为的中点，且，则（     ） A．点的轨迹长度为 B．存在点使得 C．直线与所成角的正切值的最小值为 D．到直线距离的最大值小于 39．【多选】（2026高三·山东烟台·期末）如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（    ）    A．当点在线段上时， B．当点在线段上时，平面 C．当点在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 D．当点在面上时，若，则点的轨迹长度为 题型6 投影求轨迹 40．（2026·浙江杭州·模拟预测）在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是　　 A．线段为定长 B． C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧 41．（2026高二·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为______. 题型7 翻折与动点求轨迹 42．（2026高一·江苏南京·阶段检测）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 43．【多选】（2026·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（    ）    A．平面平面 B．若为的中点，则平面 C．折起过程中，点的轨迹长度为 D．三棱锥的外接球的体积为 44．【多选】（2026·吉林·模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（    ） A．在翻折过程中，与可能垂直 B．在翻折过程中，二面角无最大值 C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于 D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是 45．【多选】（2026·山东·模拟预测）如图，长方形中，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，在翻折的过程中，以下结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．四棱锥体积的最大值为 C．的中点的轨迹长度为 D．与平面所成的角相等    题型8 动点轨迹面积 46．（2026高三·云南普洱·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 47．（2026·甘肃·模拟预测）圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是__________. 48．（2026高三·河南信阳·阶段检测）已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是________. 49．（2026高二·北京·期中）棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D．1 $专题17 立体几何中的动态、轨迹问题8种常考考法归类 题型一动点轨迹图形 题型五根据定长求动点轨迹长度 题型二根据平行求动点轨迹长度 题型六投影求轨迹 题型三根据垂直求动点轨迹长度 题型七翻折与动点求轨迹 题型四根据定角求动点轨迹长度 题型八动点轨迹面积 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 动点轨迹图形 1．（2026高三·北京·开学考试）在棱长为4的正方体中，点为棱的中点，点在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点，使得平面 【答案】C 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求，间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 根据中位线定理得， 又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 2．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段即为点的轨迹，理由见解析 【分析】（1）过作，交于，可证四边形为平行四边形，得到，即，再由线面平面的判定即可证明； （2）法一：连接，根据，结合锥体体积公式计算；法二：由等体积法可知即可求解； （3）根据题意，，进而得到点到平面的距离是点到平面的距离的两倍，再得到轨迹即可． 【详解】（1）证明：在平面中，过作，交于， 因为为的中点，所以为的中点，则，， 又，，所以且， 则四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． （2）法一：连接，则， ． 法二：（等体积法）由知， 因为，所以， 因为，所以． （3）四棱锥和三棱锥中含有相同的字母，，， 保留这三个字母，将其他字母统一化．， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的三倍， 即平面经过线段的一个四等分点（靠近点）， ， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍， 即平面经过线段的一个三等分点（靠近点）， 又平面与平面相交于一条直线，点，确定该直线， 因此，线段即为点的轨迹． 3．【多选】（2026·广西南宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积是 C．动点F的轨迹是一条线段 D．若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于选项A：因为三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，所以先确定正方体外接球的直径，再用球的表面积公式求解; 对于选项B：因为三棱锥的体积可通过等体积法转换，所以将其转化为以易求底面积和高的三棱锥，再用三棱锥体积公式计算; 对于选项C：因为平面，所以先构造过且与平面平行的平面，利用面面平行的性质确定F的轨迹; 对于选项D：因为要作过，，的正方体截面，所以先确定截面的形状，再找到到截面的距离，结合到截面顶点的距离，确定的取值范围. 【详解】对于A选项，三棱锥的外接球与正方体外接球是同一个球，,,故A正确； 对于B选项， 故B错误； 对于C选项,取中点，那么,所以，平面， 分别取的中点，则 平面,平面 所以，平面, 由于四边形是矩形，, 所以，四边形是平行四边形， 所以，平面,平面 所以，平面, 又平面, 所以，平面平面 因为为侧面内一动点，且满足//平面， 所以，平面平面 又平面平面, 所以，动点F的轨迹是线段,故C正确； 对于D选项，若过 三点作正方体截面， 分别取中点,则四边形为平行四边形，那么 ,所以，四边形为平行四边形 所以， 所以，截面为四边形. 设点到平面距离为,则 ,即， 由于, 所以，即，故D选项正确. 题型2 根据平行求动点轨迹长度 4．（2026高二·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定轨迹，进而求出其长度. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接， 连接，由，得四边形是平行四边形， 则，又，平面，平面， 因此平面，平面，又平面，， 则平面平面，而侧面，平面，于是平面， 则点在侧面上的轨迹为线段，又， 所以点在侧面上的轨迹长度为.    5．（2026高一·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为.    6．（2026高一·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 7．（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 8．（2026高一·福建厦门·期中）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 【答案】 【分析】取的中点分别为，证明平面即可确定轨迹并求出其长度. 【详解】取的中点分别为，连接， 由分别为的中点，得，同理得， 由，得四边形是平行四边形，则，， 同理，，因此点共面， 而，面，面，则平面， 又平面，于是点在平面内，又点在上底面（含边界）， 因此点在面与面的交线上，点的轨迹为线段， 所以点的轨迹长度为. 9．【多选】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．点N的轨迹长度为 D．的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据正方体的性质得出平面平面，则根据已知得出点在线段上（含端点），当为时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出与的夹角为，此时，即可判断A；三棱锥,利用等体积法结合体积公式即可判断B；根据点在线段上（含端点），利用勾股定理求出求，即可判断C；根据正方体性质结合已知可得，则，即可根据的范围得出的范围判断D． 【详解】在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界）， 平面， 取、中点分别为、，连接、、、，，如图： 为正方体，为中点，为中点， ，，，， 、平面，、平面，且，， 平面平面， 为四边形内一点（含边界），且平面， 点在线段上（含端点）， 对于A：当在时，则与的夹角为，此时， 则与不垂直，故A不正确； 对于B为四边形内一点（含边界）， 到平面的距离为2， 三棱锥的体积为，故B正确； 对于C：由于点在线段上（含端点）， 而， 点的轨迹长度为，故C不正确； 对于D为正方体， 平面， 平面， ， △为直角三角形，且直角为， ， 点在线段上（含端点）， 则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为， 当最小时，即，此时， 此时最大，最大为， 则的取值范围，故D正确． 故选：BD． 10．【多选】（2026高一·重庆渝北·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 11．【多选】（2026高一·重庆·期中）如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A．若平面，则的轨迹长度为 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积；对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于选D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，利用长方体的外接球计算半径，再代入球的体积公式计算. 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动，所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，A正确； 对于B：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确； 对于C：，为定值， C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以体积，D错误. 题型3 根据垂直求动点轨迹长度 12．（2026·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为_________；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为_________. 【答案】 【分析】设四面体外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，可得，进而求出，然后由勾股定理求出四面体外接球的半径；取中点，作，设点轨迹所在平面为，求出四面体外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果. 【详解】 取中点，连接，则，平面， 又和均是边长为6的等边三角形，， ∴平面，， 所以， ∴， 设四面体外接球的球心为的中心分别为， 易知平面平面，且四点共面， 由题可得，， 在中，得，又， 则四面体外接球半径， 所以四面体外接球的表面积为； 作于，设点轨迹所在平面为， 则平面经过点且， 易知到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的周长为，即点轨迹的周长为. 故答案为：；. 13．（2026·山西·模拟预测）已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，动点在棱锥侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为__________. 【答案】/ 【分析】由正三棱锥的性质可知，只需再作，即可证得平面，从而求得点的轨迹，再通过解三角形即可得到的长度. 【详解】 如图，取的中心为，连接，作于，连接，延长交于点， 注意到底面三角形是等边三角形，所以， 由正三棱锥的性质可得为高， 因为底面边长为6，体积为， 所以，所以， 注意到底面三角形是等边三角形，所以为三角形外接圆的半径， 所以由正弦定理有，所以， 所以. 因为面，面， 所以， 又因为，面，面， 所以面， 因为面， 所以， 因为，且，面，面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为动点在棱锥侧面上运动，并且总保持， 所以点的轨迹为线段. 在等腰三角形中，由余弦定理有， 从而，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得出点的轨迹为线段，由此即可顺利得解. 14．（2026高三·北京海淀·阶段检测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】D 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 易知点C是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，A正确； B，取中点中点K，连接，    因为分别为中点， 所以，又， 所以，则， 因为，所以， 即，又平面， 所以平面，因为， 所以点P的轨迹为，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； C：连接以B为圆心，为半径画，如图1所示，    当点P在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 长度，故点P的轨迹长度为，故C正确； D，取的中点分别为， 连接，如图2所示，      易知面平面， 故平面平面平面， 故平面，又平面， 故平面平面，又， 故平面与平面是同一个平面， 则点P的轨迹为线段， 在三角形中，； ； 则， 故三角形是以为直角的直角三角形， 故，故长度的最大值为，故D错误． 故选：D 15．（2026高一·全国·期末）在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 【答案】线段 【分析】取的中点M，连接并延长交的延长线于N，可证平面，进而可得平面平面，再确定点的轨迹即可． 【详解】取的中点M，连接并延长交的延长线于N， 由，可得，所以，所以A为的中点． 连接，由正方体可得， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面， 所以，即点Q的轨迹是线段. 16．（2026高二·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 【答案】/ 【分析】设S在底面的投影为O，取的中点，设，先证明平面，可得动点P在的三条边上（不包含点），进而求解即可. 【详解】设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O为的交点， 取的中点，设，由中位线的性质可知， 在正方形中，为的中点， 所以，则底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，而，则动点P在的三条边上（不包含点）， 根据正四棱锥的底面边长为2，高为2， 则，，，， 所以，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为：. 17．【多选】（2026·宁夏银川·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ，，故， 又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 18．【多选】（2026高三·全国·三轮复习）已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值 B．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为 C．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为 D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求出点P到平面的距离d不变，得到为定值即可判断A；求证平面，取中点N，求出平面即平面即可求解点P轨迹长度判断B；求出与AD成角为且即可分析求解判断C；分析出球心为外心，球半径R为外接圆半径，再由正弦定理即可分析求解判断D. 【详解】对于A，，由于，且由正方体性质可知， 所以由平面、平面，所以平面， 所以点P到平面的距离d即直线到平面的距离，其距离值为定值， 所以，为定值，故A正确； 对于B，线段在平面的射影为，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 故平面，又平面，所以， 而在平面内的射影为， 取BC中点M，连AM，则由正方形性质易知， 而平面，平面，则， 又，平面，故平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 取中点N，连接，易得， 所以可唯一确定一个平面，则平面即平面， 所以点P轨迹为四边形， 其长度为，故B错误； 对于C，过P作于H，连接，易知且平面， 因为平面，所以， 则与AD成角为，且， 随着P从点A运动到E，增大，PH减小，从而增大，增大， 因此当点P位于点A时，成角最小为，故C正确. 对于D，取AC中点O，过O作平面的垂线，则球心在该直线上， 又由正方体结构特征可知平面平面，从而球心为外心，记为S， 球的半径R为外接圆半径，由正弦定理， 因为且， 又， 所以，故，即，故D正确. 19．【多选】（2026高一·广东深圳·期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 20．【多选】（2026高三·江西南昌·期中）如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，为中点．若点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，过点作垂直于．当点运动时，（    ） A．当点不与点， 重合时，有平面 B．点形成的轨迹长度为 C．与平面所成角的正弦值的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ABD 【分析】A选项，由直径所对圆周角可得，由底面可得，则可证明面；B选项，进一步分析线面关系推出，则可得点形成的轨迹为以为直径的圆，从而求轨迹长度；C选项，由线面角的定义作辅助线，找到与平面所成角为，对进行放缩来判断；D选项，连接AH，设，结合基本不等式来求的最大值. 【详解】A选项，连接，，，． 由点为底面圆所在平面上以为直径的圆上一点，可得， 由题底面圆，底面圆，可知， 又，面，面， 则面，A正确； B选项，面，面，则， 又，，面，面， 则面，又面，面， 则，， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，， 所以，可得，， 又，面，面， 则面，又，过点C与垂直的平面仅有一个， 则点形成的轨迹为以为直径的圆，周长为2，B正确； C选项，过点H作于，过点B作于， 连接，则与平面所成角为， 又，，则， 则， 则与平面所成角的正弦值的最大值小于，C错误； D选项，连接AH，设，则， 则（当且仅当时等号成立）， 则的最大值为4，D正确． 故选：ABD. 21．【多选】（2026高一·江苏扬州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．连接BM，则直线BM与平面所成角正弦值为 C．若点N为线段BC上的动点（包含端点），则的最小值为 D．点Q在正方体表面上运动（包含边界），且，则点Q的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】根据体积可确定A正确；作出辅助线，找到是直线BM与平面所成的角即可求得B正确；把正方形ABCD与正方形置于同一平面内，且在直线BC两侧，连接DM即可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， ∵四边形为正方形，∴，， ∵平面，平面，∴． ∵，平面，，∴平面， ∴点到平面PBD的距离．又， ∴，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，连接，则， 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 过M作交于E，连接BE，于是平面， 是直线BM与平面所成的角， 在直角三角形中，，，则，B错误； 对于C，如图把正方形ABCD与正方形置于同一平面内，且在直线BC两侧， 连接DM，则的最小值为，C正确； 对于D，∵，，，，平面， ∴平面，又平面，∴； 同理可证， ∵，BD，平面，∴平面； 取，中点G，R，连接MG，MR， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，平面，平面，∴平面， ∵，MG，平面GMR，∴平面平面， 作出平面GMR截正方体所得的截面MGHSTR，其中H，S，T分别为，AD，AB的中点，则截面平面； ∵平面，∴平面MGHSTR， 则当平面MGHSTR时，， ∴点Q的轨迹即为正六边形MGHSTR，故点Q的轨迹长度为，D正确． 题型4 根据定角求动点轨迹长度 22．（2026高一·浙江·期中）如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 23．（2026·山东日照·模拟预测）在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 【答案】 【分析】由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的. 【详解】因为，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 又因为母线 则点M的轨迹所形成图形的面积为：， 24．（2026高一·湖南邵阳·期末）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面的距离即可确定点的运动轨迹，进而可得出答案． 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 25．【多选】（2026高二·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（   ） A．三棱锥体积的最大值为 B．若为的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C．若点满足，则动点到直线的距离最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】根据即可分析判断A；取的中点，连接，说明截面为四边形即可判断B；取中点，中点K，连接，，，根据求出动点的轨迹即可判断C；作出符合条件的轨迹并求出其长度判断D. 【详解】对于A，由，， 得当平面时，三棱锥体积取得最大值， 最大值为，故A正确； 对于B，取的中点，连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 所以四点共面， 所以四边形即为平面截正方体所得截面， ， 所以截面的周长为，故B错误； 对于C，取中点，中点K，连接，，， 由， 得，则，， 由平面，平面，得， 而，，，平面， 因此平面， 由平面，所以， 得点的轨迹为四边形（除点外）， 设，连接，， 由，得，所以， 因为平面，所以， 所以线段长度即为点到直线的距离， ， 所以当动点在点的位置时， 动点到直线的距离最大，最大值为，故C正确； 对于D，由平面平面， 得直线与平面所成的角为， 连接，， 由平面，平面，且， 则点为线段或上任意点（除点外）， 在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点为圆弧上任意点时，连接， 由平面， 得是与平面所成角， 而， 则， 因此点轨迹是线段，及圆弧（除点外）， 所以点轨迹长度为，故D正确； 故选：ACD. 26．【多选】（2026高三·山东滨州·期末）已知正方体的棱长为2，点为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当为中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C．当时，点到点距离的最小值为 D．当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，点到平面的距离为定值，所以体积为定值；对于B，找到过点，，的平面截该正方体所得的截面，截面为等腰梯形，求面积即可判断；对于C，过点作，垂足为，过点作，垂足为，通过题意求得，即可求出答案；对于D，求出点的轨迹，即可判断. 【详解】对于A，因为平面平面，所以点到平面的距离恒等于， 故， 故A正确；    对于B，取的中点，易证， 所以四边形即为过点，，的平面截该正方体所得的截面， 四边形为等腰梯形， 过点作，垂足为， ，，，所以， 所以， 所以四边形的面积为， 故B错误；    对于C，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 因为，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 设，， 所以，， 由题意得，解得， 即，所以点位于靠近点的四等分点时，最小， 所以点到点距离的最小值为， 故C正确；    对于D， 因为平面平面， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 又因为平面， 所以直线与平面所成角即为，即， 在，因为，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆周， 所以点的轨迹长度为， 故D正确. 故选：ACD.    27．【多选】（2026高二·重庆·阶段检测）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．若点与点重合，则异面直线与所成的角的大小为 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】利用异面直线夹角定义求解判断A；作出符合条件的轨迹并求出其长度判断BD；利用等体积法求出最大体积判断C. 【详解】对于A，当点重合时，连接，由矩形为正方体的对角面， 得，则直线与直线所成的角为或其补角， 而，即为等边三角形，因此，A正确； 对于B，取中点中点，连接，由， 得，则，， 由平面，平面，得，而， 平面，因此平面， 由，得点的轨迹为四边形（除点外）， 又，则动点的轨迹长度为，B错误； 对于C，显然为正三角形，，而， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 点是正方体表面上到平面距离最大的点，三棱锥是棱长为的正四面体， 点到平面的距离，则 ，C正确； 对于D，由平面平面，得直线与平面所成的角为， 连接，由平面，平面，且， 则点为线段或上任意点（除点外）；在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点为圆弧上任意点时，连接，由平面，得是与平面所成角， 而，则，因此点轨迹是线段及圆弧（除点外）， 所以点轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 28．【多选】（2026高一·广东梅州·阶段检测）如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，则下列结论正确的是（） A．当P在线段BC₁上运动时， B．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 C．当P在线段AC上运动时，D₁P与A₁C₁所成角的取值范围是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，证明平面即可证明；对于B，求三棱锥的体积判断B的真假；对于C，根据线线角的概念确定与所成角的取值范围，判断C的真假；对于D，判断点轨迹，求的轨迹长度判断D的真假． 【详解】对于A，如图所示，连接，， 为平行四边形，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 同理可证， ，平面，平面， 平面，，故A正确； 对于B，当在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故B错误； 对于C，如图所示，取中点，连接，，， 易知为等边三角形，故． 当在线段上运动时， 因为，所以或其补角为异面直线与所成角． 当与重合时，异面直线与所成角为． 当与不重合时，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的范围为，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与平面所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）， 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确． 故选：ACD 题型5 根据定长求动点轨迹长度 29．（2026高一·北京朝阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，证明，结合线面平行的判定定理即可判断；对于②，利用等体积法求出到平面的距离，即可得到点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可判断；对于③，的面积不为定值，即可判断③，对于④，作出平面截正方体所得的截面，截面为正六边形，求面积即可判断. 【详解】因为分别为的中点，所以， 又，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，故①正确； 设点在平面的投影为， ，，，则， 所以， ， 所以， 而，解得， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 故点轨迹的长度为，故②正确； 因为点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 圆在平面内， 故到直线的距离不为定值，即的面积不为定值， 而到平面的距离为定值， 故的体积不恒为定值，故③错误； 取中点分别为，连接， 六边形即为平面截正方体所得的截面， 六边形的各边均为，故为正六边形， 所以正六边形的面积为，故④正确. 30．（2026·四川宜宾·模拟预测）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解. 【详解】 设，因为，所以由棱柱的性质可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 点P在四边形内（含边界）运动，当时， ，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动， 该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得， 所以该三棱柱的表面积为. 故选：C. 31．（2026·四川南充·模拟预测）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度. 【详解】    如图所示， 由，， 可知三棱锥为正三棱锥， 设中点为， 则，，， 设点在底面上的射影为， 则平面，， 又为内部及边界上的动点，， 所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示，   ， ， 即，， 所以点的轨迹长度为， 故选：B. 32．（2026·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到平面，，故，在平面内建立平面直角坐标系，设，表达出，根据得到方程，求出点M的轨迹是半径为的圆，求出轨迹长度. 【详解】设E为，的交点，所以． 又平面，平面，所以． 又，平面，所以平面． 因为点平面，故平面， 所以，所以， 因为正方体的棱长为4，所以，即， 在平面内建立平面直角坐标系，如图， 则． 设，则， ， 所以． 又，故，即， 整理得，即， 故点M的轨迹是半径为的圆， 所以点M的轨迹长度为． 故选：C． 33．（2026·四川广安·模拟预测）在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度. 【详解】因为，故在以为球心，半径为的球面上， 而点在长方体各面上，故在各面上的轨迹为圆弧， 如图，在矩形，因为，，故， 故，故， 同理，故， 因为，故，故，故， 故. 同理，，故，， 综上，点的轨迹长度为 34．【多选】（2026·辽宁·模拟预测）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ） A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】作出平面截三棱锥所得截面，求其面积，判断A的真假；利用体积法求三棱锥的内切球半径，再求其表面积，判断B的真假；求点的轨迹，求其轨迹的长度，判断C的真假；确定点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆半径的最小值，可得截面面积的最小值，判断 D的真假. 【详解】因为平面平面PBC，且平面平面， 过作 交于，则平面， 同理过作，分别交，于点，，过作交于，连接，则为平面截三棱锥所得的截面． 由题意，得 ，且，所以， 所以，故A正确； 因为，，所以. 设三棱锥的内切球的半径为， 由等积法得，解得， 故其表面积为，故B错误； 过作平面的垂线，垂足为，连接，则为的重心， 且，所以 ， 所以点Q的轨迹是以K为圆心，以2为半径的圆在△PBC内的部分（三段弧）， 因为每段弧的圆心角均为，故点Q的轨迹长为，故C正确； 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 所以， 当截面与垂直时，所得的截面圆的面积最小， 因为， 此时截面圆的半径为 ， 故截面面积为，故D正确． 35．【多选】（2026高一·山西太原·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（    ） A．若，则点的轨迹长度为 B．平面截正方体得到的几何体的体积的最小值为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为为线段上的动点，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，分析可得与重合时，此时截得的三棱锥体积最小，进而求解判断即可；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，4为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A，，则在以为圆心，半径为4的四分之一圆周上，如图， 轨迹长度为，故A错误； 对于B，由于平面中为固定位置， 因此，要使平面截正方体得到的几何体的体积最小， 则与重合时，此时截得的三棱锥体积最小， 而，故B正确； 对于C，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C正确； 对于，由与的夹角为，则， 所以点在以为圆心，4为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，，则， 故，如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当三点共线时取等号，故D正确． 36．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，上底面内(含边界)有一动点，下列说法正确的有（    ）    A．若平面平面，则 B．当时，点的轨迹长度为 C．若异面直线CE与AB所成角为，则的取值范围是 D．若是上一动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A：借助线面平行判定定理与性质定理可得，再利用正方体性质及线面垂直性质定理可得，即可得；对B：借助线面垂直性质定理与勾股定理计算即可得点轨迹，即可得其轨迹长度；对C：举出反例即可得；对D：将平面与平面沿展开至同一平面后，结合与形状，计算即可得. 【详解】对A：因为平面，平面，则平面， 又因为平面平面，平面，则， 由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则有，故A正确； 对B：由正方体性质可得平面，因为平面， 所以，则， 则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆位于正方形内的部分， 故点的轨迹长度为，故B正确； 对C：因为，则异面直线与所成角与直线与所成角相等， 当点与重合时，此时，故C错误； 对D：将平面与平面沿展开至同一平面，如下图：    则，当且仅当在线段上时，取等， ，故为正三角形， 又为等腰直角三角形，故为中点， 则，故D正确.    37．【多选】（2026高一·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若点是线段的中点，则点到平面的距离为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对A：通过证明平面，可得；对B：将平面沿直线翻折，使得四点共面，则由和均是边长为的等边三角形，可得；对C：借助等体积法可得，再利用余弦定理及面积公式求出即可得解；对D：可得点的轨迹为平面中，以中点为圆心、为半径的圆的圆弧上，即可得其轨迹长度. 【详解】选项A，当点在线段上时，连接， 在正方形中，对角线， 又平面，平面，所以， 于是垂直于平面内的两条相交直线和， 故平面，而平面，因，A正确； 选项B，当点在线段上时，将平面沿直线翻折， 使得四点共面，由和均是边长为的等边三角形， 故，B错误； 选项C，当点是线段中点时，设点到平面的距离为， 则， 又，则， 又， 由余弦定理得， 所以，所以，故，C正确； 选项D，取的中点， 连接，易知，则， 由得点在以为圆心、为半径的圆上，点的轨迹为圆弧， 易知，所以点的轨迹长为，D正确. 38．【多选】（2026·山东·模拟预测）已知正方体的棱长为2，若点在平面内，为的中点，且，则（     ） A．点的轨迹长度为 B．存在点使得 C．直线与所成角的正切值的最小值为 D．到直线距离的最大值小于 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题意，易知三棱锥为正四面体，边长为，进而可得点在的外接圆上，求出半径即可判断；对于B，先证平面，进而可得当点在点处时，使得，对于C，先得到，再利用正切差角公式即可求出最小值；对于D，利用点的轨迹判断即可． 【详解】设的中心为，连接， 易知三棱锥为正四面体，边长为， 又点在平面内，， 所以点在的外接圆上，圆心为，半径， 则点的轨迹长度为，故A正确； 连接，在正方体中，， 平面，又平面， ，又平面， 平面，又平面， ，又点在的外接圆上（包含点）， 即当点在点处时，使得，故B正确； 平面，平面， ，同理可得， 又平面， 平面，则圆心在上， 又， 直线与所成角的正切值的最小值为，故C错误； 连接， 点在的外接圆上，半径， 则点到距离最大值为，又易知与平面不垂直， 所以到直线距离的最大值小于，故D正确． 39．【多选】（2026高三·山东烟台·期末）如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（    ）    A．当点在线段上时， B．当点在线段上时，平面 C．当点在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 D．当点在面上时，若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据正方体中线面的位置关系，可判断AB的真假；当点与点（或）重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求正方体外接球的表面积可判断C的真假；先明确点轨迹是一段弧，再结合弧长公式求弧长可判断D的真假. 【详解】如图：    连接，则， 又为正方体，所以平面， 平面，所以， 因为平面，且，所以平面. 平面，所以. 同理可得，平面，， 所以平面. 同理可得：平面，所以平面平面. 对A：当点在线段上时，平面， 又平面，所以，故A正确； 对B：当点在线段上时，平面， 又平面平面，所以平面，故B正确； 对C：当点与点（或）重合时， 三棱锥的外接球即为正方体的外接球. 设半径为，则. 此时三棱锥的外接球的表面积为：，故C错误； 对D：当点在面上时，如图：    设，则，由， 所以点轨迹是平面中，以为圆心，以为半径的圆弧， 与的交点，，与的交点，. 所以. 由余弦定理，，所以. 所以点轨迹的长度为：，故D正确. 故选：ABD 题型6 投影求轨迹 40．（2026·浙江杭州·模拟预测）在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是　　 A．线段为定长 B． C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧 【答案】B 【分析】根据题意，作出图形，直角三角形的性质，判定A，C，D正确，即可得出结论． 【详解】如图所示， 对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确； 对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确； 对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平面图形的翻折，以及空间几何体的结构特征，其中解答中合理完成平面图象的翻折，以及熟练应用空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 41．（2026高二·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为______. 【答案】 【解析】根据折叠关系找出与有关的几何关系，得出点的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫过的弧长即可求解. 【详解】 在折叠后的图中，作垂足为，连接，根据三垂线定理，， 所以就是二面角的平面角为，， 根据折叠关系，与全等，对应边上的高位置相同，即在线段上， 且是线段的中点，取的中点，连接，则， 所以点的轨迹为以为直径的圆的一部分，当从运动到，点在圆周上从点运动到 ，这段弧所对圆心角为，这段弧长为. 故答案为： 【点睛】此题考查折叠问题与二面角和投影的轨迹问题，关键在于通过几何关系进行转化得出动点的轨迹. 题型7 翻折与动点求轨迹 42．（2026高一·江苏南京·阶段检测）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①由题设结合线面垂直的判定证平面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当平面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度. 【详解】对于①：由，，为边的中点知且， 易知，，而，平面， 故平面，又平面，所以平面平面，故①正确； 对于②：若是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且，即为平行四边形， 故，所以与的夹角为或其补角， 若为中点，即，由①分析易知， 故与的夹角为，故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当平面时，最大， 此时，故③错误； 对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同， 由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点， 故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的轨迹长度为，故④正确. 故选：C. 43．【多选】（2026·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（    ）    A．平面平面 B．若为的中点，则平面 C．折起过程中，点的轨迹长度为 D．三棱锥的外接球的体积为 【答案】ABD 【分析】首先说明，结合已知，从而证明平面，即可判断A，由，即可证明B，过点作交于点，求出，即可求出点的轨迹长度，从而判断C，连接，即可证明平面，从而得到三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，求出外接球的半径，即可求出球的体积，即可判断D. 【详解】对于A：由题意得，所以，即， 而已知，且注意到，，平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故A正确； 对于B：因为为的中点，所以，又，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确；    对于C：    因为四边形为正方形，，，所以， 过点作交于点，则， 所以折起过程中，点的轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 所以点的轨迹长为，故C错误； 对于D：连接，则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又四边形为边长为的正方形，则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 又四边形外接圆的直径为，， 设四棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以， 所以外接球的体积， 即三棱锥的外接球的体积为，故D正确. 故选：ABD    【点睛】关键点点睛：本题关键是证明平面平面，从而确定点的旋转角，即可判断B，D选项关键是转化为求四棱锥的外接球的体积. 44．【多选】（2026·吉林·模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（    ） A．在翻折过程中，与可能垂直 B．在翻折过程中，二面角无最大值 C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于 D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是 【答案】AC 【分析】先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当时可证平面平面，从而可证，判断A；且此时二面角取得最大值，判断B；还是此时，当三棱锥体积最大，可求异面直线与所成角，判断C；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥的体积的取值范围，判断D. 【详解】如图1： 在未折起之前，有，， ，.. 又，，所以. 沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图： 当时，，又，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 又平面，平面平面，，所以平面. 平面，所以.故A正确. 此时，，所以即为二面角的平面角为，是二面角的最大值，故B错误； 此时三棱锥的高等于，高取得最大值，又底面不变，所以三棱锥的体积最大. 如图： 取中点，连接，，则即为一面直线与所成角， 在中，，，， 所以， 所以，故C正确； 对D：点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆）， 当二面角或时，， 当二面角时，， 所以点在平面内，且直线与直线所成角为，且点的轨迹是椭圆时，，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：用一个平面截圆锥体，要想得到的截面是一个椭圆，截面不能和圆锥的母线相交，且截面不能与圆锥的轴垂直（此时的截面是圆）. 45．【多选】（2026·山东·模拟预测）如图，长方形中，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，在翻折的过程中，以下结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．四棱锥体积的最大值为 C．的中点的轨迹长度为 D．与平面所成的角相等 【答案】ABD 【分析】根据面面垂直性质，锥体体积、动点轨迹、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，当平面平面时有，下面证明： 在底面中，，所以， 当平面平面时，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以，故A正确. 对于B，梯形的面积为，，直角斜边上的高为． 当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值，B正确． 对于C，取的中点，连接，则平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同． 过G作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以H为圆心，为半径的半圆弧， 从而PD的中点F的轨迹长度为，C错误. 对于D，由四边形ECFG是平行四边形，知， 又平面，平面， 则平面，则到平面的距离相等， 故与平面所成角的正弦值之比为，D正确．    故选：ABD 【点睛】关键点点睛：求F的轨迹关键是证得点F与点G的轨迹相同，转化为G的轨迹解决. 与平面所成的角相等的证明关键要先证得E与C到平面的距离相等. 题型8 动点轨迹面积 46．（2026高三·云南普洱·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】分别取中点，求证平面平面，接着取中点求证四点唯一确定一个平面得到平面即为平面，再由题意得到动点的轨迹为平面四边形，求出四边形为等腰梯形即可计算求解. 【详解】分别取中点，连接， 则由正方体结构性质可知，， 所以四边形、、均为平行四边形， 所以，所以， 因为平面，在平面外， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 取中点，连接，则，则， 所以四点唯一确定一个平面，所以平面即为平面， 所以由题意若平面，则动点的轨迹为平面四边形， 因为， 所以四边形为等腰梯形，且该梯形的高为， 由正方体结构性质可得面积为. 故选：B 47．（2026·甘肃·模拟预测）圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是__________. 【答案】 【分析】先利用线面垂直关系确定点在底面上的投影的位置，求出的长度，再结合三角形重心的性质得到的长度，最后通过作垂线确定点的轨迹为圆并计算其面积. 【详解】如图，设为中点，连接，作平面，连接， 又平面，则， 又，所以， 所以，又，所以， 所以，所以垂足必在上，由题意可知，则， ， 由于为等腰三角形， 所以重心在底边的中线靠近点的三等分点处， ， 作，垂足为， 则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为. 48．（2026高三·河南信阳·阶段检测）已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是________. 【答案】/ 【分析】过点作平面的平行截面，再求解四边形的面积即可. 【详解】 如图所示、、、分别是、、、的中点， 则，， 所以平面，平面，且， 所以平平面，故点的轨迹为矩形. ，所以，所以. 故答案为： 49．（2026高二·北京·期中）棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先构造面面平行，求得点的轨迹，再根据几何关系求面积. 【详解】如图平面即平面，取的中点， 连接， 因为，，且， 所以，所以四点共面， 平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以点的轨迹是四边形， 因为，所以平面，平面, 所以，所以四边形是矩形，，， 所以四边形的面积为. 故选：A $