精品解析：北京市第三十九中学2025 —2026 学年度第二学期八年级数学学科期中试卷

北京市第三十九中学2025 —2026学年度第二学期 八年级数学学科期中试卷 考生须知 1.考生要认真填写答题卡上的班级、姓名，准考证号． 2.本试卷包括四道大题，共4页．考试时间100分钟． 3.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答． 4.答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁． 一、选择题（共20分，每题2分）第1–10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：1 是二次根式；2 被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是二次根式，被开方数3不含分母，且没有能开得尽方的因数，符合定义，是最简二次根式； B、中，被开方数是分数，不是最简二次根式； C、中，被开方数是分数，不是最简二次根式； D、中，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 2，， C. 1，2， D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； D、由于，能构成直角三角形，故本选项正确，符合题意． 故选择：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减，乘除法则和算术平方根的非负性，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，A错误； B、 ，B错误； C、 ，算术平方根的结果为非负数，C错误； D、，符合二次根式除法法则，D正确． 5. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 6. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意． 7. 菱形的周长是20，对角线，相交于点，若，则菱形的面积为（ ）． A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可求得和，用勾股定理可得，代入面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，，，， ∵菱形的周长是，， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 8. 直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的中线长为（ ） A. B. C. 6 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出结果． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边的长分别为和， ∴由勾股定理得斜边长为， 又∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上的中线长为． 9. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键． 10. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单． 【详解】解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1； 在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是； 由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0． 因而应选第一个图象． 故选：A． 【点睛】本题考查了分段函数的画法，运用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 已知等边的边长是2，则等边的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，过点A作于点，得，由勾股定理求出，再根据面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点， ∵是等边三角形， ∴, ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 12. 比较大小：__________ 【答案】 【解析】 【分析】先把化为的形式，再比较出与的大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，先根据题意把化为的形式是解答此题的关键． 13. 在平行四边形中，若，_____． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ，， ． 14. 如图，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别记为，若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可得出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OA＝OB，又由∠AOB＝60°，得到△AOB是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝ AC，OB＝ BD＝4，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝4； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 16. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴ ∴在数轴上点A表示的实数是． 17. 若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查函数解析式，自变量的取值范围，等腰三角形的性质，三角形三边关系．根据等腰三角形的定义及三角形周长公式列出函数解析式，再结合三角形三边关系确定自变量x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 整理得：， 即． 根据题意可得：， 将代入， 得：， 解得， 又∵， ∴， ∴y与x的函数解析式是，自变量x的取值范围是． 18. 甲车与乙车同时从M地出发去往N地，如图所示，折线和线段分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往N地，两车同时到达N地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达N地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查行程问题的函数图象，掌握“速度路程时间”以及函数图象上的点的坐标的实际意义，是解题的关键．根据“速度路程时间”，可得乙的速度以及甲车再次出发后的速度，即可判断①②；根据函数图象，可直接判断③；求出甲车再次出发时，乙车行驶的路程，即可得到两车的距离，即可判断④． 【详解】解：乙车的速度为：千米/时，故①错误； 甲车再次出发后的速度为：千米/时，故②正确； 由图象知，两车在到达B地前不会相遇，故③正确； ∵甲车再次出发时，两车相距：千米，故④正确， 故答案为：②③④． 三、解答题（共64分，第19题16分，第20、23、26每题8分， 第21、22、24、25每题6分） 19. （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （4）先根据平方差公式和二次根式的除法进行计算，然后计算加减即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 20. 如图，M、N是平行四边形对角线上两点．．求证：四边形为平行四边形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，交于点，根据平行四边形的性质推出，进而证明． 【详解】证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 21. 下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°． 求作：矩形 ABCD． 作法： ①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心， AB的长为半径画弧，两弧交于点D； ②连接DA，DC． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小阳设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵AD＝BC，CD＝AB， ∴四边形ABCD是___________（_________）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（________）． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）利用直尺和圆规作图即可； （2）根据平行四边形的判定定理及矩形的判定定理证明即可． 【详解】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形如图所示： （2）证明：∵AD＝BC，CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】此题考查尺规作图，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，熟记各定理是正确解答此题的关键． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，矩形的性质即可得到结论； （2）根据（1）的结论，固定点，根据平行四边形的性质，作出点，顺次连接即可得到结论； （3）固定点，根据网格的特点，勾股定理正方形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，矩形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，平行四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图，正方形即为所求． ，且 则正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 23. 如图，四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，计算即可．本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键． 【详解】连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在矩形中 ，相交于点O ，E 为的中点，连接并延长至点F， 使， 连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵E 为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四边形是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到，由此即可证明四边形是菱形． 【详解】略 25. 问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； 下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 6 5 n 3 2 1 2 3 m … ①求m，n的值； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出y的最小值__________． 【答案】（1）①4；4；②函数图象如图： （2）1 【解析】 【分析】（1）①把分别代入函数解析式，求出y的值即可得到；②在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （2）根据函数图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，， ②略 【小问2详解】 解：根据函数图象得时，有最小值． 26. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形 ； 【小问2详解】 ． 理由：如图，取的中点，连接，， 是等腰直角三角形，， 是的中点， ， 同理，在中，， ， ，， ， ， ， ； ∵， 为的中位线， ，， ， 在中，， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 四、选做题（共10分，第27题4分，第28题6分） 27. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由平方得，整理可得：，即． 所以． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若，则______，______； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式求出，把代入计算求出； （2）把进行恒等变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， ， ； ， ， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 ， ，，， ， ， 原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，分式的化简求值，掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． （1）如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． （2）如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①6；②或5 （2）或 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5； （2）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． 【小问1详解】 解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知的值为或5； 【小问2详解】 解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十九中学2025 —2026学年度第二学期 八年级数学学科期中试卷 考生须知 1.考生要认真填写答题卡上的班级、姓名，准考证号． 2.本试卷包括四道大题，共4页．考试时间100分钟． 3.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答． 4.答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁． 一、选择题（共20分，每题2分）第1–10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 2，， C. 1，2， D. 6，8，10 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 6. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 菱形的周长是20，对角线，相交于点，若，则菱形的面积为（ ）． A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 8. 直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的中线长为（ ） A. B. C. 6 D. 13 9. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 11. 已知等边的边长是2，则等边的面积是______． 12. 比较大小：__________ 13. 在平行四边形中，若，_____． 14. 如图，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别记为，若，则_____． 15. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___． 16. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 17. 若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 18. 甲车与乙车同时从M地出发去往N地，如图所示，折线和线段分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往N地，两车同时到达N地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达N地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有________． 三、解答题（共64分，第19题16分，第20、23、26每题8分， 第21、22、24、25每题6分） 19. （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，M、N是平行四边形对角线上两点．．求证：四边形为平行四边形； 21. 下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程． 已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°． 求作：矩形 ABCD． 作法： ①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心， AB的长为半径画弧，两弧交于点D； ②连接DA，DC． 所以四边形ABCD即为所求作的矩形． 根据小阳设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵AD＝BC，CD＝AB， ∴四边形ABCD是___________（_________）． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（________）． 22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点： （1）在图中画一个两边长分别为和的矩形； （2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等； （3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等． 23. 如图，四边形中，，，，．求的度数． 24. 如图，在矩形中 ，相交于点O ，E 为的中点，连接并延长至点F， 使， 连接．求证：四边形是菱形． 25. 问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； 下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 6 5 n 3 2 1 2 3 m … ①求m，n的值； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出y的最小值__________． 26. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 四、选做题（共10分，第27题4分，第28题6分） 27. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由平方得，整理可得：，即． 所以． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若，则______，______； （2）若，求的值． 28. 在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． （1）如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． （2）如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $