第八章 进阶2 求值与证明问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线求值与证明专题，依据高考评价体系梳理了求曲线方程、参数、几何量及证明位置关系、数量关系等核心考点，通过例题与跟踪训练明确求值问题（中档铺垫）和证明问题（热点）的考查权重，归纳两大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“题型分类+母题解析+思维升华”，如例1双曲线求值中方程思想应用，跟踪训练2抛物线证明中韦达定理推导，培养数学思维与符号表达能力。设易错点分析（判别式条件）和解题模板，助学生掌握得分技巧，教师可据此系统复习提升备考效率。

求值与证明问题 重点解读 求值问题一般是在给定条件下求几何量或参数问题.求曲线方程与求值问题一般都比较简单或中档难度，往往作为压轴之前的铺垫.圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等). 2 例1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，焦距为6. (1)求C的方程； 题型一　求值问题 解　由题可得解得 所以双曲线C的方程为-=1. 例1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，焦距为6. (2)过点(0，3)的直线l与C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过坐标原点O，求l的方程. 解　由题意知，直线l的斜率一定存在， 设直线l：y=kx+3，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 消去y，整理得(2-k2)x2-6kx-15=0， 则k2≠2，Δ=36k2+60(2-k2)>0， 即-<k<且k≠±， 所以x1+x2=，x1x2=， 例1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，焦距为6. (2)过点(0，3)的直线l与C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过坐标原点O，求l的方程. 解　若以MN为直径的圆过坐标原点O，则·=0， 所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+3)(kx2+3)=0， 整理得(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0， 所以++9=0，解得k=±，满足题意， 所以直线l的方程为y=x+3或y=-x+3. (1)求值主要有求长度、面积、角度、斜率、坐标、方程等几何量或参数，所以要熟记相关公式及几何量的意义. (2)突出方程思想，方法是根据所给条件直接求解或列方程(组)求解，在解题过程中要注意几何性质的运用，优化计算方案. 思维升华 跟踪训练1　已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且·=-4.直线l：x=my+3交椭圆于M，N两点. (1)求椭圆的标准方程； 解　由题意知A(-a，0)，B(a，0)，C(0，b)，则=(-a，-b)，=(a，-b)， 所以·=-a2+b2=-c2=-4，即c=2， 又e==，所以a=4，b==2， 所以椭圆的标准方程为+=1. 跟踪训练1　已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且·=-4.直线l：x=my+3交椭圆于M，N两点. (2)若直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，求的值. 解　直线l：x=my+3，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(3m2+4)y2+18my-21=0，Δ>0， 则y1+y2=-，y1y2=-， 所以my1y2=(y1+y2)， 因为椭圆的左、右顶点分别为A(-4，0)，B(4，0)， 所以k1=，k2=，所以=====. 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； 题型二　证明问题 解　由题意可得解得 所以椭圆的方程为+=1. 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (2)过点P(2，1)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B.求证：PF平分∠AFB. 证明　易知直线x=2与椭圆相切，不妨设切点为A(2，0)， 另一条切线为y-1=k(x-2)， 由 得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0， 所以Δ=64k2(2k-1)2-32(4k2+3)(2k2-2k-1)=192k+96=0⇒k=-， 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (2)过点P(2，1)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B.求证：PF平分∠AFB. 证明　所以xB==1，yB=，则B，又F(-1，0)， 所以直线BF的斜率kBF=tan∠BFA==， 所以直线PF的斜率kPF=tan∠PFA==， 所以tan 2∠PFA===tan∠BFA， 所以2∠PFA=∠BFA，即PF平分∠AFB. 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1)位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面：如相等、存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，有时也可用反证法证明. 思维升华 跟踪训练2　已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点. (1)若准线l的方程为x=-，求C的方程； 解　由抛物线的准线为x=-=-， 则p=3， 故抛物线C的方程为y2=6x. 跟踪训练2　已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点. (2)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0. 证明　由题设知，A，F， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线m为x=ty+，与y2=2px联立，可得y2-2pty-p2=0， 则Δ>0，y1+y2=2pt，y1y2=-p2， 则k1+k2=+== ===0. 课时精练 1.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，且过点 A(0，-1). (1)求C的方程； 1 2 答案 解　由已知得a=1，=， 故b=，C的方程为y2-=1. 1.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，且过点A(0，-1). (2)过C的上焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点，证明：AP⊥AQ. 证明　由(1)得双曲线C的上焦点为(0，2)， 设直线PQ：y=kx+2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得(3k2-1)x2+12kx+9=0，k≠±，Δ>0， 所以x1+x2=-，x1x2=， 所以直线AP和直线AQ的斜率之积为·===-1， 因此AP⊥AQ. 1 2 答案 2.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为直线x=a上一点.当|AP|=b时，|PF1|=4，|PF2|=2. (1)求椭圆E的方程； 1 2 答案 解　易知F1(-c，0)，F2(c，0)，A(a，0)， 当|AP|=b时，由题意可得解得 所以椭圆E的方程为+=1. 解　根据对称性，不妨设点P在第一象限，且P(5，t)(t>0). tan∠APF2==，tan∠APF1==. 因为∠F2PF1=∠APF2， 所以∠APF1=2∠APF2， tan∠APF1=tan 2∠APF2===， 所以=，解得t=2(t=-2舍去)， 所以|AP|=2. 2.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为直线x=a上一点.当|AP|=b时，|PF1|=4，|PF2|=2. (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B(异于点A). ①若∠F2PF1=∠APF2，求|AP|； 1 2 答案 证明　根据对称性，不妨设点P在第一象限，且P(5，m)(m>0)，直线BP：y=k(x-5)+m，设PB与x轴交于点D， 由 得(16+25k2)x2+50k(m-5k)x+25(5k-m)2-400=0. 由题意可得Δ=[50k(m-5k)]2-4(16+25k2)[25(5k-m)2-400]=0， 得k=，tan∠APF2==. 2.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为直线x=a上一点.当|AP|=b时，|PF1|=4，|PF2|=2. (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B(异于点A). ②证明：∠BPF1=∠APF2. 1 2 答案 证明　直线PF1的斜率=， 又∠BPF1=∠PF1A-∠PDA， tan∠PDA=k，tan∠PF1A=， 故tan∠BPF1=tan(∠PF1A-∠PDA)===， 所以tan∠APF2=tan∠BPF1， 所以∠BPF1=∠APF2. 2.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为直线x=a上一点.当|AP|=b时，|PF1|=4，|PF2|=2. (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B(异于点A). ②证明：∠BPF1=∠APF2. 1 2 答案 $