第一章 丰富的图形世界 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 丰富的图形世界 题型1 组合几何体的构成 题型2 立体图形的分类 题型3 几何体中的点、棱、面 题型4 点、线、面、体四者之间的关系 题型5 平面图形旋转后所得的立体图形 题型6 从不同方向看几何体 题型7 几何体展开图的认识 题型8 由展开图计算几何体的表面积和体积 题型9 正方体几种展开图的识别 题型10 正方体相对两面上的字 题型11 补一个面使图形围成正方体 题型12 截一个几何体 【题型1 几何体的构成】 1．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 2．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 3．如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 【题型2 的分类】 4．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 5．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 6．如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【答案】①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥．可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体 【分析】本题考查了几何体的分类，掌握几何体的形状和特征，制定恰当的分类标准是关键． 根据所给的几何体的形状和特征，找出由一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥． 可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体． 【题型3 中的点、棱、面】 7．马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为． 故选：C． 8．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 9．由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 【答案】(1)有8个 (2)有6个 (3)有12个 【分析】此题考查了正方体的特征，有良好的空间观念是关键． （1）根据立方体表面的特点，得出三面涂色的在每个顶点处，正方体有8个顶点，即可得出答案； （2）根据立方体表面的特点，得出有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，共有6个，即可得出答案； （3）根据立方体表面的特点，得出有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，共有12个，即可得出答案． 【详解】（1）解：有三个面涂成黄色的小立方体在8个顶点上，有8个； （2）解：有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，有6个； （3）解：有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，有12个． 【题型4 、线、面、体四者之间的关系】 10．《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义． 根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面． 【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面． “枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线； “棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面． 故答案为：点动成线；线动成面． 11．如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______； (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2) 【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体， （1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体． （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 12．下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成． 设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为， ， ， ． 答：得到的立体图形的体积为． 【题型5 图形旋转后所得的立体图形】 13．如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)或 【分析】本题主要考查了面动成体，求圆柱的体积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）绕长方形的一边所在的直线将长方形旋转一周所得的几何体是圆柱； （2）分绕所在的直线旋转一周和绕所在的直线旋转一周两种情况，根据圆柱的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，旋转后形成的几何体是圆柱； （2）解：当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 综上所述，旋转后的几何体的体积为或． 14．现有一个长为，宽为的长方形，将该长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积是___________．（结果保留） 【答案】 或 【分析】本题考查圆柱体积公式，长方形旋转得圆柱，掌握相关知识是解决问题的关键．长方形绕一边旋转一周形成圆柱，旋转轴不同，圆柱的底面半径和高不同，需分情况讨论． 【详解】当绕长旋转时，圆柱的高为，底面半径为，体积为 ； 当绕宽旋转时，圆柱的高为，底面半径为，体积为 ． 故答案为：或． 15．在直角三角形中，两条直角边（较短的边）分别为，斜边长（最长的那条边）为，若绕其一边所在的直线旋转一周．（①结果保留，②你可能用到的公式：，） (1)如果绕着它的直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是 ． (2)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周，求出所形成的几何体的体积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的旋转，主要培养学生空间想象能力． （1）确定圆锥的高与半径即可求出体积； （2）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转，设斜边上的高为，利用三角形的面积法求出，确定圆锥的高与半径即可求出体积． 【详解】（1）解：绕着直角三角形的直角边旋转一周得到的几何体是圆锥， 故答案为：圆锥； （2）解：如图，设斜边上的高为， 由三角形面积可得， 解得， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体是上下两个圆锥组合在一起的图形，设上下圆锥的高分别为，则 ∴组合体的体积为． 【题型6 不同方向看几何体】 16．如图，一个几何体由一些大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（   ） A．从前面看到的形状图的面积最小 B．从左面看到的形状图的面积最小 C．从上面看到的形状图的面积最小 D．这个几何体的表面积为30 【答案】B 【分析】先确定从前面、左面、上面看到的图形的面积即可判断A、B、C选项；再求出几何体的表面积即可判断D选项． 【详解】 解：从前面看到的视图为，面积为6；从左面看到的视图为，面积为4． 从上面看到的视图为，面积为5，则从左面看到的形状图的面积最小，即选项A、C不符合题意，B选项符合题意． D该几何体的表面积为：，即选项D不符合题意． 17．下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三棱柱从正面看、从左面看都是长方形，从上面看是三角形，则该选项不符合题意； B、圆柱从正面看、从上面看都是长方形，从左面看是圆，则该选项不符合题意； C、圆锥从正面看，从左面看都是三角形，从上面看是圆，则该选项不符合题意； D、球从三个方向看都是圆，则该选项符合题意； 18．下面是两个立体图形，从不同方向会看到不同图形，从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可从选项中所给的具体图形进行分析是从哪个方向观测到的，利用排除法进行选择． 【详解】解：选项A，应是从上面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，不符合题意； 选项B，应是从右面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，不符合题意； 选项C，应是从正面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，符合题意； 选项D，应是从左面看到的并排的圆柱和圆锥的图形．不符合题意． 【题型7 展开图的认识】 19．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：这个几何体是： ． 20．下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案． 【详解】解：A．选项是圆锥展开图，不符合题意； B．选项是正方体的展开图，不符合题意； C．选项是圆柱的展开图，不符合题意； D．选项是三棱柱的展开图，符合题意； 21．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）（3）见解析 【分析】（1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）根据三棱柱的侧面积计算公式求得即可得出答案； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）三棱柱的侧面展开图是长方形，其长为，宽为， 所以面积为； （3）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： ． 【题型8 展开图计算几何体的表面积和体积】 22．如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 23．把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 【答案】(1)见解析 (2)共需要60克漆． 【分析】本题主要考查了从不同方向看、立体图形的表面积等知识点，正确计算立体图形的外露面是解题的关键． （1）从正、左、上方向观察，确定每层每列正方形数量，画出平面形状． （2）统计露出的面数，求总面积后结合用漆量计算总用量． 【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的图形如下： （2）解：∵小正方体的棱长为， ∴正方体每个面的面积为， 由图可知，7个正方体共有个面， 其中被重叠遮挡的有个面， ∴外露面数为个，即该立体图形表面（含底面）的面积为， 需要漆的克数为克． 答：共需要60克漆． 24．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 【题型9 几种展开图的识别】 25．将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定棱在正方体中为含三角形面的顶面水平棱，将展开图折叠，验证各线段位置，确定与棱重合的线段． 【详解】解：将展开图折叠还原，棱为含三角形面的顶面水平棱，折叠后与棱重合，其余线段均不重合． 故选：A． 26．如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据正方体的11种展开图，进行判断即可. 【详解】解：如图，去掉1，2，3，三个小正方形的任意一个，都可以拼成一个正方体盒子； 故共有3种方法. 27．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展开成如图所示平面图形中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的展开图一共11种，其中型的有6种，型的有1种，型1种，型3种，从而可得答案． 【详解】解： A、不符合正方体展开图的特征； B、属于“”结构； D、不符合正方体展开图的特征； C、不符合正方体展开图的特征． 故选：Ｂ． 【题型10 相对两面上的字】 28．新情境  河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（   ） A．国 B．玉 C．雕 D．乡 【答案】A 【详解】解：由题意，可得“中”与“玉”“雕”“之”“乡”相邻， 所以“中”的对面汉字是“国”． 29．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 【答案】A 【分析】根据图形，4与1、6、3、5相邻，可以判断出4与2是相对面，3与1、2、4、5相邻，可以判断出3与6是相对面，然后得出1与5是相对面，然后即可进行选择． 【详解】解：图1：正面为1，上面为6，右面为4； 图2：正面为3，上面为2，右面为1； 图3：正面为4，上面为5，右面为3； 由图1和图2可得，和1相邻的是6、4、2、3，所以可以确定1的对面是5； 由图2和图3可得，和3相邻的是1、2、4、5，可以确定3的对面是6； 所以剩下4的对面是2． 综上，A选项错误． 30．如图是一个正方体的表面展开图，图中的六个正方形内分别标有：细、节、决、定、成、败，将其折叠成一个正方体后，则与“成”字所在面相对的面上的字为（    ） A．细 B．节 C．决 D．定 【答案】C 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“成”字所在面相对的面上的字为“决”． 【题型11 一个面使图形围成正方体】 31．小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）利用1，4，1型，添加一个小正方形即可； （2）根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，结合题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：； 填写如下： 32．为了庆祝抗战胜利80周年，某手工社团准备用卡纸制作纸盒来储存抗战胜利80周年纪念邮票． (1)图1中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； (2)图2是手工小组的设计图，把它折成正方体纸盒后，与写有“抗”字一面的相对面上的字是“ ”； (3)图3是用一张边长为的正方形卡纸在四角各剪去一个同样大小的边长为的小正方形得到的纸片，将其折成一个无盖长方体纸盒，求这个纸盒的容积． 【答案】(1)见解析 (2)胜 (3) 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，作图－应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意画出正方形即可； （2）根据正方体展开图的特征判断即可； （3）利用正方体的体积公式求解． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）解：“抗”字一面的相对面上的字是“胜”． 故答案为：胜； （3）解：纸盒的容积． 33．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【答案】(1)， (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了长方体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】（1）解：这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 【题型12 截一个几何体】 34．如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)用一个平面去截粮仓，截面可能是____________（写出一个即可）； (2)将下面的图形分别绕虚线旋转一周，____________（填字母）能形成粮仓； (3)求出该粮仓的容积（计算结果保留）．（，） 【答案】(1)圆形或四边形或梯形（答案不唯一） (2)D (3)粮仓的容积为． 【分析】本题考查旋转体及圆锥圆柱的体积，用平面截一个几何体所形成的图形． （1）用一个平面去截圆锥或圆柱，都可以得到一个圆，即可解答； （2）根据图形的旋转体：直角三角形沿直角边旋转得到圆锥，矩形旋转得到圆柱即可得到答案； （3）根据圆锥圆柱的体积公式代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：用一个平面去截粮仓，截面可能是圆形、四边形、梯形； 故答案为：圆形或四边形或梯形（答案不唯一）． （2）解：图形的上部是一个圆锥，下部是圆柱，直角三角形按直角边旋转得到圆锥，矩形旋转得到圆柱， 故选：D； （3）解：∵粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为， ∴， 答：粮仓的容积为． 35．用一个平面去截下列四个几何体，截面的形状可能是三角形的有（ ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了截一个几何体，熟知常见几何体截面的形状是解题的关键，根据截面的位置逐一判断各选项即可． 【详解】解：用不平行于正方体的面去截正方体的一个角，截面可以为三角形，符合题意； 用平面截圆锥，截面可以是三角形，符合题意； 用平行于三棱柱的侧面的面截三棱柱时，截面为三角形，符合题意； 用平面截圆柱时，截面不可能为三角形，不符合题意； 故选：． 36．用一个平面分别去截下列几何体，不可能得到三角形截面的几何体为（    ） A．B．C．D 【答案】C 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据球的截面图只有圆，即可得出答案． 【详解】解：A、(长方体/正方体)：用一个平面斜着切过长方体的三个相邻面，能得到三角形截面； B、(圆锥)：用平面过圆锥的顶点且垂直于底面切，可得到三角形截面； C、(球)：无论用什么平面去截球，截面只能是圆(包括大圆、小圆)，不可能得到三角形； D、(四棱锥)：用平面过四棱锥的顶点切过三个侧面，能得到三角形截面． 故选：C． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第一章 丰富的图形世界 题型1 组合几何体的构成 题型2 立体图形的分类 题型3 几何体中的点、棱、面 题型4 点、线、面、体四者之间的关系 题型5 平面图形旋转后所得的立体图形 题型6 从不同方向看几何体 题型7 几何体展开图的认识 题型8 由展开图计算几何体的表面积和体积 题型9 正方体几种展开图的识别 题型10 正方体相对两面上的字 题型11 补一个面使图形围成正方体 题型12 截一个几何体 【题型1 几何体的构成】 1．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 2．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 3．如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【题型2 的分类】 4．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 5．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【题型3 中的点、棱、面】 7．马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 8．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 9．由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 【题型4 、线、面、体四者之间的关系】 10．《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 11．如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______； (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 12．下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【题型5 图形旋转后所得的立体图形】 13．如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 14．现有一个长为，宽为的长方形，将该长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的圆柱的体积是___________．（结果保留） 15．在直角三角形中，两条直角边（较短的边）分别为，斜边长（最长的那条边）为，若绕其一边所在的直线旋转一周．（①结果保留，②你可能用到的公式：，） (1)如果绕着它的直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是 ． (2)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周，求出所形成的几何体的体积． 【题型6 不同方向看几何体】 16．如图，一个几何体由一些大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（   ） A．从前面看到的形状图的面积最小 B．从左面看到的形状图的面积最小 C．从上面看到的形状图的面积最小 D．这个几何体的表面积为30 17．下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 18．下面是两个立体图形，从不同方向会看到不同图形，从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【题型7 展开图的认识】 19．如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（  ） A． B． C． D． 20．下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 21．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________； （2）若图2中几何体的底面边长都是，侧棱长是，则它的侧面积是_________； （3）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【题型8 展开图计算几何体的表面积和体积】 22．如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 23．把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 24．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【题型9 几种展开图的识别】 25．将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，去掉一个方块可以拼成一个正方体盒子，共有几种方法（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 27．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展开成如图所示平面图形中的（　　） A． B． C． D． 【题型10 相对两面上的字】 28．新情境  河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（   ） A．国 B．玉 C．雕 D．乡 29．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，小明、小红、小刚三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问：这个正方体数字对面各是什么数字？下列说法错误的是（   ） A．2的对面是6 B．1的对面是5 C．6的对面是3 D．4的对面是2 30．如图是一个正方体的表面展开图，图中的六个正方形内分别标有：细、节、决、定、成、败，将其折叠成一个正方体后，则与“成”字所在面相对的面上的字为（    ） A．细 B．节 C．决 D．定 【题型11 一个面使图形围成正方体】 31．小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 32．为了庆祝抗战胜利80周年，某手工社团准备用卡纸制作纸盒来储存抗战胜利80周年纪念邮票． (1)图1中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； (2)图2是手工小组的设计图，把它折成正方体纸盒后，与写有“抗”字一面的相对面上的字是“ ”； (3)图3是用一张边长为的正方形卡纸在四角各剪去一个同样大小的边长为的小正方形得到的纸片，将其折成一个无盖长方体纸盒，求这个纸盒的容积． 33．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【题型12 截一个几何体】 34．如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为，粮仓下半部分高为，观察并回答下列问题： (1)用一个平面去截粮仓，截面可能是____________（写出一个即可）； (2)将下面的图形分别绕虚线旋转一周，____________（填字母）能形成粮仓； (3)求出该粮仓的容积（计算结果保留）．（，） 35．用一个平面去截下列四个几何体，截面的形状可能是三角形的有（ ）. A．个 B．个 C．个 D．个 36．用一个平面分别去截下列几何体，不可能得到三角形截面的几何体为（    ） A．B．C．D / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $