8.1平方根暑假巩固作业2026-2027学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 围绕平方根概念、性质及应用，通过基础辨析、计算应用与综合探究题组，系统覆盖算术平方根、平方根性质及实际应用，体现数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|第3、7、8、10题|辨析平方根与算术平方根概念及性质|从概念内涵（定义）到性质外延（正负性、对称性）| |计算应用|第1、2、4、5、12、15题|考查开平方运算及简单应用|从基础计算到实际问题中的公式应用| |综合探究|第17、19、21、23题|结合实际情境、规律探究与新定义|从知识应用到拓展延伸，培养创新意识|

8.1平方根暑假巩固作业 详解详析 一、选择题 1.A 2.C 【解析】2025的算术平方根为45． 3.A　 【解析】本题考查平方根的概念．∵(±2)2＝4，∴±2是4的平方根． 4.A 5.D 【解析】∵32＝9，∴  3．故选：D． 6.B 【解析】∵  ，∴  44.721． 7.D 【解析】A．负数没有平方根，故原说法错误，本选项不符合题意；B．100的平方根是±10，故原说法错误，本选项不符合题意；C．﹣16没有平方根，故原说法错误，本选项不符合题意；D．0的算术平方根是0，故原说法正确，本选项符合题意． 8.C 【解析】根据题意可知，当a＜－1时，a+1没有平方根，所以小丁的说法错误，不符合题意；当a为正数时，－a没有平方根，所以小张的说法正确，符合题意；因为a2+2＞0，所以a2+2一定有平方根，所以小刘的说法正确，符合题意． 9.C 【解析】∵(x－5)2＝19，a，b为方程的两根，∴x－5＝± ，故A，B，D选项错误，C正确． 10.D 【解析】A.10的平方根是 ，∴A选项不符合题意；B.  是4的一个平方根，∴B选项不符合题意；C. 的平方根是± ，∴C选项不符合题意；D.1的平方根是±1，∴D选项符合题意. 二、填空题 11. 【解析】∵  ，∴  ，∴  ． 12.± 　 【解析】设这个数为x，则x2＝5，∴x＝± . 13.121 【解析】由题意，得7﹣2a+5a﹣1＝0，﹣2a+5a＝1﹣7，3a＝﹣6，解得a＝﹣2，则一个平方根＝7﹣2a＝7﹣2×（﹣2）＝11，所以这个正数为112＝121．故答案为：121． 14.2 【解析】根据题意可知，x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝1﹣（﹣1）＝2． 15. 【解析】由题意，∵  ，∴当h＝25时，t  （秒）． 三、解答题 16.解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， 解得a＝﹣2， ∴x＝（2a﹣3）2＝49． （2）将x＝49，a＝﹣2代入x+12a中，得 49﹣24＝25． ∵25的平方根为±5， ∴x+12a的平方根为±5． 17.解：（1）正方形区域的边长为 （cm）； （2）由修改后的圆形区域面积为400cm2可得πr2＝400， 即r2＝127.39， 所以r≈11（负值舍）， 所以圆形的周长为2πr≈69cm； （3）够用，判断如下： 因为这根铁丝长为20×4＝80（cm），圆形的周长≈69cm， 又因为80＞69， 所以铁丝够用． 18.解：（1）∵x的算术平方根是4， ∴x＝1﹣3a＝42． ∴a＝﹣5； （2）∵x，y是同一个数的两个不同的平方根， ∴（1﹣3a）+（4a﹣3）＝0， ∴a＝2． ∴这个数是（1﹣3a）2＝（1﹣3×2）2＝25． ∴这个正数是25． 19.解：（1） ； 【解法提示】根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，∴第7个等式为： 7． （2） 【解法提示】根据材料中给出的规律可知： ． （3）根据（2）中的规律可知， ． 20.解：（1） ； 【解法提示】当x＝25时， 5，则y ． （2）存在，当x＝0，1时，始终输不出y值.因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3）x＜0；理由如下： 当x＜0时，x没有算术平方根； （4）x的值不唯一，x＝3或x＝9. 21.解：（1）﹣3，﹣12，﹣27这三个数是“完美组合数”，理由如下： ， ， ， ∴根据新定义﹣3，﹣12，﹣27这三个数是“完美组合数”； （2）∵  ， 若﹣5，m这两个数的乘积的算术平方根为20，则：m＝﹣80， 此时，  ，  ，  ， ∴﹣5，﹣80，﹣20三个数是“完美组合数”， 若﹣20，m这两个数乘积的算术平方根为20，则m＝﹣20，不合题意， 综上所述，m＝﹣80． 22.解：（1） ； 【解法提示】由题意得，大正方形的面积为37×2＝74cm2，所以大正方形纸片的边长为 . （2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片.理由如下： 由条件可设长方形纸片的长和宽分别是3xcm，xcm， 所以3x•x＝27， 所以x2＝9， 因为x＞0， 所以x＝3， 所以长方形纸片的长是9cm，由（1）知，大正方形纸片的边长为 cm. 因为 ， 所以沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 23.解：（1）∵ 是 的完美平方根， ∴ ， ∴a＝21； （2）设这个根式为y， 则 是y的完美平方根， ∴ ， ∴这个根式为 ． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平方根暑假巩固作业 一、选择题 1.4的算术平方根为（      ） A．2 B．±2 C．﹣2 D．16 1.A 2.“双春年”的出现与农历闰月安排有关，即指一年中，在二十四节气中出现了两次“立春”，2025年是“双春年”，巧合的是452＝2025，那么2025的算术平方根为（      ） A．2025 B．±2025 C．45 D．±45 2.C 【解析】2025的算术平方根为45． 3.±2是4的(　　) A. 平方根 B. 相反数 C. 绝对值 D. 算术平方根 3.A　 【解析】本题考查平方根的概念．∵(±2)2＝4，∴±2是4的平方根． 4.用计算器依次按键“  ”，“1”，“4”，“4”，“  ”，最终显示的结果是（      ） A.12 B.122 C. D. 4.A 5. 的值等于（      ） A．± B. C．±3 D．3 5.D 【解析】∵32＝9，∴  3．故选：D． 6.已知  ，  ，那么  的值约为（      ） A．14.142 B．44.721 C．141.42 D．447.21 6.B 【解析】∵  ，∴  44.721． 7.下列说法正确的是（      ） A．负数的平方根是负数 B．100的平方根是10 C．﹣16的平方根是﹣4 D．0的算术平方根是0 7.D 【解析】A．负数没有平方根，故原说法错误，本选项不符合题意；B．100的平方根是±10，故原说法错误，本选项不符合题意；C．﹣16没有平方根，故原说法错误，本选项不符合题意；D．0的算术平方根是0，故原说法正确，本选项符合题意． 8.对于实数a，小丁说：“a+1有平方根．”小张说：“－a不一定有平方根．”小刘说：“a2+2一定有平方根．”他们中说法正确的是（      ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 8.C 【解析】根据题意可知，当a＜－1时，a+1没有平方根，所以小丁的说法错误，不符合题意；当a为正数时，－a没有平方根，所以小张的说法正确，符合题意；因为a2+2＞0，所以a2+2一定有平方根，所以小刘的说法正确，符合题意． 9.若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a>b，则下列结论中正确的是(　　) A.a是19的算术平方根 B.b是19的平方根 C.a－5是19的算术平方根 D.b＋5是19的平方根 9.C 【解析】∵(x－5)2＝19，a，b为方程的两根，∴x－5＝± ，故A，B，D选项错误，C正确． 10.下列说法中不正确的是（      ） A.10的平方根是 B. 是4的一个平方根 C. 的平方根是± D.1的平方根是其本身 10.D 【解析】A.10的平方根是 ，∴A选项不符合题意；B.  是4的一个平方根，∴B选项不符合题意；C. 的平方根是± ，∴C选项不符合题意；D.1的平方根是±1，∴D选项符合题意. 二、填空题 11.将  化简，结果是__________． 11. 【解析】∵  ，∴  ，∴  ． 12.若一个数的平方等于5，则这个数等于____________． 12.± 　 【解析】设这个数为x，则x2＝5，∴x＝± . 13.一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则这个正数是________． 13.121 【解析】由题意，得7﹣2a+5a﹣1＝0，﹣2a+5a＝1﹣7，3a＝﹣6，解得a＝﹣2，则一个平方根＝7﹣2a＝7﹣2×（﹣2）＝11，所以这个正数为112＝121．故答案为：121． 14.若  ，则x﹣y的值为____________． 14.2 【解析】根据题意可知，x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝1﹣（﹣1）＝2． 15.一个物体从静止开始自由下落，它落地的时间t（单位：秒）和距离地面的高度h（单位：米）之间的关系可以用  来近似表示．若某个物体从距离地面25米高的地方从静止开始自由下落，那么它到达地面的时间大约为____________秒（结果保留根号）． 15. 【解析】由题意，∵  ，∴当h＝25时，t  （秒）． 三、解答题 16.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a． （1）求a和x的值． （2）求x+12a的平方根． 16.解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， 解得a＝﹣2， ∴x＝（2a﹣3）2＝49． （2）将x＝49，a＝﹣2代入x+12a中，得 49﹣24＝25． ∵25的平方根为±5， ∴x+12a的平方根为±5． 17.在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为400cm2的圆形区域． （1）求原来正方形区域的边长； （2）求修改后圆形的周长（π取3.14，结果保留整数）； （3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 17.解：（1）正方形区域的边长为 （cm）； （2）由修改后的圆形区域面积为400cm2可得πr2＝400， 即r2＝127.39， 所以r≈11（负值舍）， 所以圆形的周长为2πr≈69cm； （3）够用，判断如下： 因为这根铁丝长为20×4＝80（cm），圆形的周长≈69cm， 又因为80＞69， 所以铁丝够用． 18.已知x＝1﹣3a，y＝4a﹣3． （1）如果x的算术平方根为4，求a的值； （2）如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 18.解：（1）∵x的算术平方根是4， ∴x＝1﹣3a＝42． ∴a＝﹣5； （2）∵x，y是同一个数的两个不同的平方根， ∴（1﹣3a）+（4a﹣3）＝0， ∴a＝2． ∴这个数是（1﹣3a）2＝（1﹣3×2）2＝25． ∴这个正数是25． 19.【观察】请你观察下列式子． 第1个等式： ． 第2个等式： ． 第3个等式： ． 第4个等式： ． 第5个等式： ． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： （1）写出第7个等式______． （2）请根据上面式子的规律填空： ______． （3）利用（2）中结论计算： ． 19.解：（1） ； 【解法提示】根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，∴第7个等式为： 7． （2） 【解法提示】根据材料中给出的规律可知： ． （3）根据（2）中的规律可知， ． 20.有一个数值转换器.原理如图. （1）当输入的x为25时，输出的y＝______； （2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在.请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？请说明理由； （4）若输出的y是 ，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的2个不同x的值. 20.解：（1） ； 【解法提示】当x＝25时， 5，则y ． （2）存在，当x＝0，1时，始终输不出y值.因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3）x＜0；理由如下： 当x＜0时，x没有算术平方根； （4）x的值不唯一，x＝3或x＝9. 21.三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣2，﹣8，﹣18这三个数，  ，  ，  ，其结果4，6，12都是整数，所以﹣2，﹣8，﹣18这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣3，﹣12，﹣27这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数﹣5，m，﹣20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 21.解：（1）﹣3，﹣12，﹣27这三个数是“完美组合数”，理由如下： ， ， ， ∴根据新定义﹣3，﹣12，﹣27这三个数是“完美组合数”； （2）∵  ， 若﹣5，m这两个数的乘积的算术平方根为20，则：m＝﹣80， 此时，  ，  ，  ， ∴﹣5，﹣80，﹣20三个数是“完美组合数”， 若﹣20，m这两个数乘积的算术平方根为20，则m＝﹣20，不合题意， 综上所述，m＝﹣80． 22.如图，把两个面积均为37cm2的小正方形纸片分别沿图①中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图②． （1）大正方形纸片的边长为______cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的3倍，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 22.解：（1） ； 【解法提示】由题意得，大正方形的面积为37×2＝74cm2，所以大正方形纸片的边长为 . （2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片.理由如下： 由条件可设长方形纸片的长和宽分别是3xcm，xcm， 所以3x•x＝27， 所以x2＝9， 因为x＞0， 所以x＝3， 所以长方形纸片的长是9cm，由（1）知，大正方形纸片的边长为 cm. 因为 ， 所以沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 23.若一个含根号的式子 可以写成 的平方（其中a，b，m，n都是整数，x为正整数），即 ，则称 为完美根式． 是 的完美平方根、例如：因为 ，所以 是 的完美平方根． （1）已知 是 的完美平方根，求a的值； （2）已知 是一个根式的完美平方根，求这个根式． 23.解：（1）∵ 是 的完美平方根， ∴ ， ∴a＝21； （2）设这个根式为y， 则 是y的完美平方根， ∴ ， ∴这个根式为 ． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平方根暑假巩固作业 一、选择题 1.4的算术平方根为（      ） A．2 B．±2 C．﹣2 D．16 2.“双春年”的出现与农历闰月安排有关，即指一年中，在二十四节气中出现了两次“立春”，2025年是“双春年”，巧合的是452＝2025，那么2025的算术平方根为（      ） A．2025 B．±2025 C．45 D．±45 3.±2是4的(　　) A. 平方根 B. 相反数 C. 绝对值 D. 算术平方根 4.用计算器依次按键“  ”，“1”，“4”，“4”，“  ”，最终显示的结果是（      ） A.12 B.122 C. D. 5. 的值等于（      ） A．± B. C．±3 D．3 6.已知  ，  ，那么  的值约为（      ） A．14.142 B．44.721 C．141.42 D．447.21 7.下列说法正确的是（      ） A．负数的平方根是负数 B．100的平方根是10 C．﹣16的平方根是﹣4 D．0的算术平方根是0 8.对于实数a，小丁说：“a+1有平方根．”小张说：“－a不一定有平方根．”小刘说：“a2+2一定有平方根．”他们中说法正确的是（      ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 9.若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a>b，则下列结论中正确的是(　　) A.a是19的算术平方根 B.b是19的平方根 C.a－5是19的算术平方根 D.b＋5是19的平方根 10.下列说法中不正确的是（      ） A.10的平方根是 B. 是4的一个平方根 C. 的平方根是± D.1的平方根是其本身 二、填空题 11.将  化简，结果是__________． 12.若一个数的平方等于5，则这个数等于____________． 13.一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则这个正数是________． 14.若  ，则x﹣y的值为____________． 15.一个物体从静止开始自由下落，它落地的时间t（单位：秒）和距离地面的高度h（单位：米）之间的关系可以用  来近似表示．若某个物体从距离地面25米高的地方从静止开始自由下落，那么它到达地面的时间大约为____________秒（结果保留根号）． 三、解答题 16.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a． （1）求a和x的值． （2）求x+12a的平方根． 17.在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为400cm2的圆形区域． （1）求原来正方形区域的边长； （2）求修改后圆形的周长（π取3.14，结果保留整数）； （3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 18.已知x＝1﹣3a，y＝4a﹣3． （1）如果x的算术平方根为4，求a的值； （2）如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 19.【观察】请你观察下列式子． 第1个等式： ． 第2个等式： ． 第3个等式： ． 第4个等式： ． 第5个等式： ． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： （1）写出第7个等式______． （2）请根据上面式子的规律填空： ______． （3）利用（2）中结论计算： ． 20.有一个数值转换器.原理如图. （1）当输入的x为25时，输出的y＝______； （2）是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在.请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？请说明理由； （4）若输出的y是 ，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的2个不同x的值. 21.三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣2，﹣8，﹣18这三个数，  ，  ，  ，其结果4，6，12都是整数，所以﹣2，﹣8，﹣18这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣3，﹣12，﹣27这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数﹣5，m，﹣20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 22.如图，把两个面积均为37cm2的小正方形纸片分别沿图①中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图②． （1）大正方形纸片的边长为______cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的3倍，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 23.若一个含根号的式子 可以写成 的平方（其中a，b，m，n都是整数，x为正整数），即 ，则称 为完美根式． 是 的完美平方根、例如：因为 ，所以 是 的完美平方根． （1）已知 是 的完美平方根，求a的值； （2）已知 是一个根式的完美平方根，求这个根式． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $