21.1四边形及多边形 暑假巩固作业 2026-2027学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦多边形与四边形核心概念，通过基础计算、性质应用及综合探究，系统强化内角和、外角和及对角线等知识，渗透数学眼光与推理思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-5、填空11|内角/外角/边数互化|从多边形内角和公式推导到正多边形性质| |性质应用|选择6-10、填空12-14|结合图形与实际情境|正多边形性质→平面直角坐标系→生活应用| |综合探究|解答16-23|证明与规律探究|四边形内角和→角平分线性质→多角星内角和推理|

21.1四边形及多边形暑假巩固作业 详解详析 一、选择题 1.D 【解析】∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，∴其一个外角度数为180°−108°＝72°，则这个正多边形的边数为360÷72＝5． 2.B 【解析】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，所以多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故选B． 3.C 【解析】设多边形的一个外角是x°，则相邻的内角是2x°，根据题意得x+2x＝180，解得x＝60，所以多边形的每个内角是120°，设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝120°n，解得n＝6，故选：C． 4.A 【解析】∵多边形的每个内角都等于135°，∴多边形的每个外角都等于180°﹣135°＝45°，则多边形的边数为360°÷45°＝8． 5.D 【解析】正八边形的每个外角度数为  ，∴每个内角的度数为  ． 6.A 【解析】如答案图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，∠ABF＝∠AFB  30°，∴AM  AB  ，BM＝FM  AB  ，在Rt△BCG中，BC＝1，∠BCG＝30°，∴BG  BC  ，∴FG＝BF﹣BG  ，∴四边形GCHF的面积为FG•BC  ． 答案图 7.B 【解析】①如果CA=CB，那么点C在线段AB的垂直平分线上，故①错误；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为两点之间，线段最短，故②错误；③连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，故③错误；④∵M，N分别是线段AC，CB的中点，∴MC  AC，NC  BC，∴MN=MC+NC  AC  BC  （AC+BC）  AB，∵MN=5，∴AB=10，故④正确；⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形的边数为6+3=9，故⑤正确． 8.C 9.A 【解析】如答案图，设正六边形ABCDEF的中心为I，连接IC，BD交于点N，IC交x轴于点P，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠CBN＝30°，在Rt△BCN中，BC＝4，∠CBN＝30°，∴BN  BC＝2  ，CN  BC＝2，∵正六边形ABCDEF的边AB与x轴垂直，而顶点A的坐标为（2，﹣3），∴OM＝2，AM＝3，∴BM＝4﹣3＝1，OP＝BN﹣OM＝2  2，PC＝BM+CN＝1+2＝3，∴顶点C的坐标为（2﹣2  ，3）．故选：A． 答案图 10.B　 【解析】已知正六边形的每个内角度数为180°－(360°÷6)＝120°，∵∠A＝120°，AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF＝30°，∵AF∥BE，∴∠EBF＝∠AFB＝30°. 二、填空题 11.6 【解析】对角线的数量  条，故答案为：6． 12. 【解析】根据多边形内角和公式：n边形内角和=  （  且n为整数），对于正五边形，  ，则其内角和为  ， 因为正五边形的5个内角都相等，所以它的每个内角的度数为  ，即  .根据四边形的内角和为  ，可得  ，所以  .故答案为：  . 13.540 【解析】如答案图所示：连接AE，BD，在四边形AGFE中，∠GAB+∠1+∠2+∠DEF+∠G+∠F＝360°，在△BDC中，∠5+∠6+∠C＝180°，∵∠1+∠2+∠AOE＝∠3+∠4+∠BOD，∠AOE＝∠BOD，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠EDC＝∠3+∠5，∠ABC＝∠4+∠6，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝∠GAB+∠4+∠6+∠C+∠3+∠5+∠DEF+∠F+∠G＝∠GAB+∠3+∠4+∠DEF+∠G+∠F+∠5+∠6+∠C＝（∠GAB+∠1+∠2+∠DEF+∠G+∠F）+（∠5+∠6+∠C）＝360°+180°＝540°. 答案图 14.4 【解析】如答案图，连接  ，过点P作  于点B，∵  是正六边形，∴  ，  ，∴  ，∵  是等边三角形，又∵  ，  ，∴  ，∴  是等边三角形，∴  ，  ，∴  ，∴  ，即点P到  的距离为  ，故答案为：  ． 答案图 15.180°﹣2α 【解析】如图，作点A关于CD.CB的对称点N、M，连接MN分别交CD.CB于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，由对称性知：MG＝AG，NH＝AH，AF＝MF，NE＝EA，∴AF+FE+EA＝FM+FE+EN≥NM，∴当点E与点H重合，点F与点G重合时，△AMN的周长最小；由条件可知∠GAM＝∠GMA，∠HNA＝∠HAN，∴∠AGH＝2∠GMA，∠AHG＝2∠HNA，∵∠C＝α，∴∠DAB＝180°﹣α，∴∠GFA+∠HEA＝180°﹣∠DAB＝α，∵∠AGH+∠AHG＝2∠GAM+2∠HNA＝2α，∴∠EAF＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α． 三、解答题 16.解：（1）设∠A=x  ，∠B=2x  ，∠C=3x  ，∠D=4x  ， 由因为∠A+∠B+∠C+∠D=360º， 则x+2x+3x+4x=360， 解得x=36， ∴∠D=4x  =4×36  =144  ； （2）设多边形为n边形， 则(n  2)×180º=4×360， 解得n=10， ∴这个多边形的边数为10． 17.解：（1）n－3； 【解法提示】因为一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其他顶点连线，得到对角线，所以过n边形的每一个顶点的对角线条数为n－3. （2）因为n边形有n个顶点，所以所有对角线有n(n－3)条．但每条对角线重复一次， 所以n边形所有对角线的条数为 . 18.解：（1）5，4； 【解法提示】如图①，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；如图②，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块；如图③，正方形地砖有16块，三角形地砖有14块；…，∴当六边形的个数为n块时，正方形地砖有6＋5(n－1)＝(5n＋1)块，三角形地砖有6＋4(n－1)＝(4n＋2)块，∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块． （2）当六边形地砖数量为n块时，正方形地砖有(5n＋1)块，三角形地砖有(4n＋2)块， 则(5n＋1)－(4n＋2)＝30， 解得n＝31， ∴n的值是31． 19.（1）解：∵∠ABC＝50°， 在四边形ABCD中，∠ADC＝360°﹣90°﹣50°﹣90°＝130°， ∵DF平分∠CDA， ∴∠ADF  ∠ADC＝65°； （2）证明：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE  ∠ABC，∠ADF＝∠CDF  ∠ADC， ∴∠ABE+∠ADF  （∠ABC+∠ADC）  180°＝90°， 又∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ADF＝∠AEB， ∴BE∥DF． 20.解：∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝40°， ∵∠C＝110°，∠D＝90°， ∴∠DAE＝360°﹣∠D﹣∠C﹣∠AEC＝70°， ∴∠DAB＝∠BAE+∠DAE＝40°+70°＝110°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB ∠DAB 110°＝55°， ∴∠EAF＝∠FAB﹣∠BAE＝55°﹣40°＝15°． 21.解：（1）∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∵∠EFD＝110°，∠D＝90°， ∴∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°； （2）由（1）得∠DAE＝70°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝70°， ∵∠EFD＝110°， ∴∠EFC＝70°， ∴∠BAE＝∠CFE， ∵∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB，∠C＝180°﹣∠CFE﹣∠CEF， 又∵∠AEB＝∠CEF， ∴∠B＝∠C． 22.（1）解：180°，和； 【解法提示】三角形的内角和为180°；三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的和. （2）证明：∵∠1＝∠A3＋∠A5，∠2＝∠A2＋∠A4，∠A1＋∠1＋∠2＝180°， ∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝180°； （3）解：360°． 【解法提示】如答案图，∵∠1＝180°－（∠A4＋∠A7），∠2＝180°－（∠A2＋∠A5），∠3＝180°－（∠A3＋∠A8），∠4＝180°－（∠A1＋∠A6），又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝4×180°－（∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋∠A7＋∠A8）＝360°，∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋∠A7＋∠A8＝360°． 答案图 23.(1)①证明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，AC＝AD＝BE＝BD＝CE， ∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB. ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB. ∴五边形ABCDE是正五边形； ②解：五边形ABCDE是正五边形． 理由：如答案图，设∠1＝α，记AC与EB的交点为O. ∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，AC＝EC＝EB，∴CDE≌△EAB，∴∠ABC＝∠D＝∠EAB， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝α，∴OA＝OB，∴OC＝OE，∴∠7＝∠8＝∠2＝∠3＝α， ∵EB＝EC，∴∠9＝∠4＋∠8＝2α，∴∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠DEA＝∠EAB＝3α， ∴五边形ABCDE是正五边形． 答案图 (2)①解：假 ②解：假 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1四边形及多边形暑假巩固作业 一、选择题 1.若一个正多边形的一个内角是108°，则这个正多边形的边数为（      ） A．8 B．7 C．6 D．5 1.D 【解析】∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，∴其一个外角度数为180°−108°＝72°，则这个正多边形的边数为360÷72＝5． 2.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（      ） A．140米 B．150米 C．160米 D．240米 2.B 【解析】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，所以多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故选B． 3.若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（      ） A．4 B．5 C．6 D．8 3.C 【解析】设多边形的一个外角是x°，则相邻的内角是2x°，根据题意得x+2x＝180，解得x＝60，所以多边形的每个内角是120°，设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝120°n，解得n＝6，故选：C． 4.一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 4.A 【解析】∵多边形的每个内角都等于135°，∴多边形的每个外角都等于180°﹣135°＝45°，则多边形的边数为360°÷45°＝8． 5.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，其轮廓是一个正八边形，则它的每一个内角大小为（      ） A. B. C. D. 5.D 【解析】正八边形的每个外角度数为  ，∴每个内角的度数为  ． 6.某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形ABCDEF的性质进行研究．如图所示，测得AB＝1，则四边形GCHF的面积是（      ） A. B. C. D. 6.A 【解析】如答案图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，∠ABF＝∠AFB  30°，∴AM  AB  ，BM＝FM  AB  ，在Rt△BCG中，BC＝1，∠BCG＝30°，∴BG  BC  ，∴FG＝BF﹣BG  ，∴四边形GCHF的面积为FG•BC  ． 答案图 7.下列说法中错误的有（          ）个． ①如果CA=CB，那么C为线段AB的中点； ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点确定一条直线； ③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离； ④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10； ⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形． A．4 B．3 C．2 D．1 7.B 【解析】①如果CA=CB，那么点C在线段AB的垂直平分线上，故①错误；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为两点之间，线段最短，故②错误；③连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，故③错误；④∵M，N分别是线段AC，CB的中点，∴MC  AC，NC  BC，∴MN=MC+NC  AC  BC  （AC+BC）  AB，∵MN=5，∴AB=10，故④正确；⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形的边数为6+3=9，故⑤正确． 8.图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”。图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则  的度数为（          ） 图①                  图② A. B. C. D. 8.C 9.1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（      ） A. B. C. D. 9.A 【解析】如答案图，设正六边形ABCDEF的中心为I，连接IC，BD交于点N，IC交x轴于点P，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠CBN＝30°，在Rt△BCN中，BC＝4，∠CBN＝30°，∴BN  BC＝2  ，CN  BC＝2，∵正六边形ABCDEF的边AB与x轴垂直，而顶点A的坐标为（2，﹣3），∴OM＝2，AM＝3，∴BM＝4﹣3＝1，OP＝BN﹣OM＝2  2，PC＝BM+CN＝1+2＝3，∴顶点C的坐标为（2﹣2  ，3）．故选：A． 答案图 10.五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同足球烯分子(C60)中的微粒一样团结在一起．一个足球烯分子由12个正五边形，20个正六边形组成(如图①所示)．如图②，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则∠EBF的度数为(　　) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 10.B　 【解析】已知正六边形的每个内角度数为180°－(360°÷6)＝120°，∵∠A＝120°，AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF＝30°，∵AF∥BE，∴∠EBF＝∠AFB＝30°. 二、填空题 11.从九边形的一个顶点出发，可以画出________条对角线． 11.6 【解析】对角线的数量  条，故答案为：6． 12.如图，直线  与正五边形  的  和  两边相交得到  和  ，则  _________°． 12. 【解析】根据多边形内角和公式：n边形内角和=  （  且n为整数），对于正五边形，  ，则其内角和为  ， 因为正五边形的5个内角都相等，所以它的每个内角的度数为  ，即  .根据四边形的内角和为  ，可得  ，所以  .故答案为：  . 13.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝______°． 13.540 【解析】如答案图所示：连接AE，BD，在四边形AGFE中，∠GAB+∠1+∠2+∠DEF+∠G+∠F＝360°，在△BDC中，∠5+∠6+∠C＝180°，∵∠1+∠2+∠AOE＝∠3+∠4+∠BOD，∠AOE＝∠BOD，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠EDC＝∠3+∠5，∠ABC＝∠4+∠6，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝∠GAB+∠4+∠6+∠C+∠3+∠5+∠DEF+∠F+∠G＝∠GAB+∠3+∠4+∠DEF+∠G+∠F+∠5+∠6+∠C＝（∠GAB+∠1+∠2+∠DEF+∠G+∠F）+（∠5+∠6+∠C）＝360°+180°＝540°. 答案图 14.如图，在正六边形  内部作等边三角形  ，连接  ．已知  ，则点P到  的距离为________． 14.4 【解析】如答案图，连接  ，过点P作  于点B，∵  是正六边形，∴  ，  ，∴  ，∵  是等边三角形，又∵  ，  ，∴  ，∴  是等边三角形，∴  ，  ，∴  ，∴  ，即点P到  的距离为  ，故答案为：  ． 答案图 15.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝α，点E、F分别为边BC.CD上的动点，当△AEF的周长取得最小值时，∠EAF＝______．（用含α的代数式表示） 15.180°﹣2α 【解析】如图，作点A关于CD.CB的对称点N、M，连接MN分别交CD.CB于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，由对称性知：MG＝AG，NH＝AH，AF＝MF，NE＝EA，∴AF+FE+EA＝FM+FE+EN≥NM，∴当点E与点H重合，点F与点G重合时，△AMN的周长最小；由条件可知∠GAM＝∠GMA，∠HNA＝∠HAN，∴∠AGH＝2∠GMA，∠AHG＝2∠HNA，∵∠C＝α，∴∠DAB＝180°﹣α，∴∠GFA+∠HEA＝180°﹣∠DAB＝α，∵∠AGH+∠AHG＝2∠GAM+2∠HNA＝2α，∴∠EAF＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α． 三、解答题 16.（1）在四边形  中，  ，求  的度数； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 16.解：（1）设∠A=x  ，∠B=2x  ，∠C=3x  ，∠D=4x  ， 由因为∠A+∠B+∠C+∠D=360º， 则x+2x+3x+4x=360， 解得x=36， ∴∠D=4x  =4×36  =144  ； （2）设多边形为n边形， 则(n  2)×180º=4×360， 解得n=10， ∴这个多边形的边数为10． 17.真正的学习是自主学习，主动探究．小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … （1）直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线：______(用含n的式子表示)； （2）多边形的对角线的条数随着多边形的边数n(n≥3，n为正整数)的变化而变化，请你用含n的式子表示多边形的对角线的条数． 17.解：（1）n－3； 【解法提示】因为一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其他顶点连线，得到对角线，所以过n边形的每一个顶点的对角线条数为n－3. （2）因为n边形有n个顶点，所以所有对角线有n(n－3)条．但每条对角线重复一次， 所以n边形所有对角线的条数为 . 18.某公园中的一条小路使用六边形，正方形，三角形三种地砖按照如图方式铺设，图①为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图②为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块；… （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； （2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多30块，求n的值． 18.解：（1）5，4； 【解法提示】如图①，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；如图②，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块；如图③，正方形地砖有16块，三角形地砖有14块；…，∴当六边形的个数为n块时，正方形地砖有6＋5(n－1)＝(5n＋1)块，三角形地砖有6＋4(n－1)＝(4n＋2)块，∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块． （2）当六边形地砖数量为n块时，正方形地砖有(5n＋1)块，三角形地砖有(4n＋2)块， 则(5n＋1)－(4n＋2)＝30， 解得n＝31， ∴n的值是31． 19.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA． （1）若∠ABC＝50°，求∠ADF的度数； （2）求证：BE∥DF． 19.（1）解：∵∠ABC＝50°， 在四边形ABCD中，∠ADC＝360°﹣90°﹣50°﹣90°＝130°， ∵DF平分∠CDA， ∴∠ADF  ∠ADC＝65°； （2）证明：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE  ∠ABC，∠ADF＝∠CDF  ∠ADC， ∴∠ABE+∠ADF  （∠ABC+∠ADC）  180°＝90°， 又∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ADF＝∠AEB， ∴BE∥DF． 20.如图，在四边形ABCD中，∠B＝50°，∠C＝110°，∠D＝90°，AE⊥BC，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F．求∠EAF的度数． 20.解：∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝40°， ∵∠C＝110°，∠D＝90°， ∴∠DAE＝360°﹣∠D﹣∠C﹣∠AEC＝70°， ∴∠DAB＝∠BAE+∠DAE＝40°+70°＝110°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB ∠DAB 110°＝55°， ∴∠EAF＝∠FAB﹣∠BAE＝55°﹣40°＝15°． 21.如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，E是BC边上的点，EF⊥AE，交CD于点F，∠EFD＝110°． （1）求∠DAE的度数； （2）若∠AEB＝∠CEF，AE平分∠BAD，试说明：∠B＝∠C． 21.解：（1）∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∵∠EFD＝110°，∠D＝90°， ∴∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°； （2）由（1）得∠DAE＝70°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝70°， ∵∠EFD＝110°， ∴∠EFC＝70°， ∴∠BAE＝∠CFE， ∵∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB，∠C＝180°﹣∠CFE﹣∠CEF， 又∵∠AEB＝∠CEF， ∴∠B＝∠C． 22.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 关于“正多角星图形”的研究报告（博学小组） 研究对象：正多角星图形． 研究思路：类比一般图形，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明． 教材知识：①三角形的内角和为▲______． ②三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的■______． 研究内容： 【一般概念】正多角星图形是一种特殊的几何图形，它由等长的直线段（边）连接而成，形成一个具有多个等大的尖角（顶点）的闭合多边形． 【特例研究】由正多角星图形的定义，对于五角星图形研究， 可得结论：∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝180°． 证明：如图①，由三角形外角的性质，可得∠1＝∠A3＋∠A5， …… 任务： （1）材料中，“▲”处内容为______，“■”处的内容为______； （2）补全材料中“……”处的证明过程； （3）由以上材料内容，可知图②中正八角星八个尖角的度数和为______． 22.（1）解：180°，和； 【解法提示】三角形的内角和为180°；三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的和. （2）证明：∵∠1＝∠A3＋∠A5，∠2＝∠A2＋∠A4，∠A1＋∠1＋∠2＝180°， ∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝180°； （3）解：360°． 【解法提示】如答案图，∵∠1＝180°－（∠A4＋∠A7），∠2＝180°－（∠A2＋∠A5），∠3＝180°－（∠A3＋∠A8），∠4＝180°－（∠A1＋∠A6），又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝4×180°－（∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋∠A7＋∠A8）＝360°，∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋∠A7＋∠A8＝360°． 答案图 23.我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3)．可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形． (1)已知凸五边形ABCDE的各条边都相等． ①如图①，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形； ②如图②，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由： (2)判断下列命题的真假．(在括号内填写“真”或“假”) 如图③，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等． ①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；(　　) ②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．(　　) 23.(1)①证明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，AC＝AD＝BE＝BD＝CE， ∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB. ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB. ∴五边形ABCDE是正五边形； ②解：五边形ABCDE是正五边形． 理由：如答案图，设∠1＝α，记AC与EB的交点为O. ∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，AC＝EC＝EB，∴CDE≌△EAB，∴∠ABC＝∠D＝∠EAB， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝α，∴OA＝OB，∴OC＝OE，∴∠7＝∠8＝∠2＝∠3＝α， ∵EB＝EC，∴∠9＝∠4＋∠8＝2α，∴∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠DEA＝∠EAB＝3α， ∴五边形ABCDE是正五边形． 答案图 (2)①解：假 ②解：假 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1四边形及多边形暑假巩固作业 一、选择题 1.若一个正多边形的一个内角是108°，则这个正多边形的边数为（      ） A．8 B．7 C．6 D．5 2.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（      ） A．140米 B．150米 C．160米 D．240米 3.若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（      ） A．4 B．5 C．6 D．8 4.一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 5.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，其轮廓是一个正八边形，则它的每一个内角大小为（      ） A. B. C. D. 6.某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形ABCDEF的性质进行研究．如图所示，测得AB＝1，则四边形GCHF的面积是（      ） A. B. C. D. 7.下列说法中错误的有（          ）个． ①如果CA=CB，那么C为线段AB的中点； ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点确定一条直线； ③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离； ④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10； ⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形． A．4 B．3 C．2 D．1 8.图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”。图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则  的度数为（          ） 图①                  图② A. B. C. D. 9.1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（      ） A. B. C. D. 10.五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同足球烯分子(C60)中的微粒一样团结在一起．一个足球烯分子由12个正五边形，20个正六边形组成(如图①所示)．如图②，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则∠EBF的度数为(　　) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 二、填空题 11.从九边形的一个顶点出发，可以画出________条对角线． 12.如图，直线  与正五边形  的  和  两边相交得到  和  ，则  _________°． 13.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝______°． 14.如图，在正六边形  内部作等边三角形  ，连接  ．已知  ，则点P到  的距离为________． 15.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝α，点E、F分别为边BC.CD上的动点，当△AEF的周长取得最小值时，∠EAF＝______．（用含α的代数式表示） 三、解答题 16.（1）在四边形  中，  ，求  的度数； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 17.真正的学习是自主学习，主动探究．小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … （1）直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线：______(用含n的式子表示)； （2）多边形的对角线的条数随着多边形的边数n(n≥3，n为正整数)的变化而变化，请你用含n的式子表示多边形的对角线的条数． 18.某公园中的一条小路使用六边形，正方形，三角形三种地砖按照如图方式铺设，图①为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图②为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块；… （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块； （2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多30块，求n的值． 19.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA． （1）若∠ABC＝50°，求∠ADF的度数； （2）求证：BE∥DF． 20.如图，在四边形ABCD中，∠B＝50°，∠C＝110°，∠D＝90°，AE⊥BC，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F．求∠EAF的度数． 21.如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，E是BC边上的点，EF⊥AE，交CD于点F，∠EFD＝110°． （1）求∠DAE的度数； （2）若∠AEB＝∠CEF，AE平分∠BAD，试说明：∠B＝∠C． 22.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 关于“正多角星图形”的研究报告（博学小组） 研究对象：正多角星图形． 研究思路：类比一般图形，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明． 教材知识：①三角形的内角和为▲______． ②三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的■______． 研究内容： 【一般概念】正多角星图形是一种特殊的几何图形，它由等长的直线段（边）连接而成，形成一个具有多个等大的尖角（顶点）的闭合多边形． 【特例研究】由正多角星图形的定义，对于五角星图形研究， 可得结论：∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝180°． 证明：如图①，由三角形外角的性质，可得∠1＝∠A3＋∠A5， …… 任务： （1）材料中，“▲”处内容为______，“■”处的内容为______； （2）补全材料中“……”处的证明过程； （3）由以上材料内容，可知图②中正八角星八个尖角的度数和为______． 23.我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3)．可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形． (1)已知凸五边形ABCDE的各条边都相等． ①如图①，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形； ②如图②，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由： (2)判断下列命题的真假．(在括号内填写“真”或“假”) 如图③，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等． ①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；(　　) ②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．(　　) 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $