四川眉山市仁寿一中南校区2025-2026学年高一下学期期末质量检测模拟二（数学）

**基本信息** 融合文化传承（如《九章算术》刍甍）与现实情境（2026年降息数据），通过梯度设计考查数学抽象、空间观念与数据意识，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、向量基底、统计量（第3题利率数据）、立体几何（第5题葫芦瓶模型）|结合雷达图（第10题）考查六维能力，体现数学语言表达| |填空题|3题/15分|百分位数、面面平行判定（第13题开放命题）、解三角形|设置条件开放题，培养创新意识| |解答题|5题/77分|向量坐标运算、四棱锥线面关系（第18题轨迹探究）、解三角形开放条件（第19题三选一）|综合考查空间想象与逻辑推理，呼应高考开放题型趋势|

仁寿一中南校区2025级高一期末质量检测模拟二（数学） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z满足（其中i是虚数单位），则 A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由可得，即， 故. 2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式，故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，D错误. 3. 2026 年 1 月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续. 某数学兴趣小组通过调查, 整理出下表数据, 并进行统计学分析. 下表为某银行近年人民币一年定期存款的利率: 时间 2019年 2020 年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率 % 1.50% 1.75% 1.75% 1.55% 1.85% 1.65% 1.50% 关于表中的 7 个存款利率数据, 下列结论正确的是 ( ) A. 数据的极差为 0.25% B. 七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C. 七年的平均利率为 1.75% D. 利率的第 80 百分位数为 1.75% 【答案】 D 【解析】由数据可知, 七年来一年定期存款利率整体呈下降趋势是错误的，故 B 错误； 利率从小到大排列为1.50%，1.50%，1.55%，1.65%，1.75%，1.75%，1.85% ，则数据的极差为1.85% -1.50%=0.35% ,故 A 错误; 七年的平均利率为 （1.50%+1.50%+1.55%+1.65%+1.75%+1.75%+1.85% ）7=1.65% 故 C 错误; 因为，所以利率的第80百分位数是第 6 个数,即1.75% ,故 D 正确.故选D. 4.设向量，则下列说法正确的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 【答案】A 【解析】对于A，若与的夹角为钝角，则需满足，解得，故A正确，对于B，，当且仅当取到等号，故B错误，对于C, 与共线的单位向量有两个，为，故C错误，对于D,由得，解得，D错误，故选：A. 5．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图，连接，在中，，，， 由余弦定理，可得， 故． 故选：B. 6..位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】题意如图，当甲船沿航行时，航行的里数最少.由题意，，在中，根据余弦定理可得：，所以.即甲船至少需要航行的海里数为.故选：B. 7.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，则异面直线与所成角的大小为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如下图所示，在平面中，过点作交于点，连接，则异面直线与所成角为或其补角，设，则，， 因为，，所以，四边形为平行四边形，所以，，，， 由于，由勾股定理可得， 所以，，则.故选：D. 8.中，的对边分别为，若且，则的形状是（ ） A. 顶角为的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 顶角为的等腰三角形 【答案】C 【解析】由题意，， 又因为，所以， 展开得，因为， 代入上式，得， 即，整理得， 由于三角形内角满足，故，于是， 即，所以是以为顶角的等腰三角形. 由且 ，得 另一方面， 又由余弦定理， 从而得到， 解得，即， 即，所以， 因为，所以，故，于是， 从而，因此是等腰直角三角形. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】AD 【详解】若，，则，选项A正确; 若，，则或m与n相交或m与n异面，选项B错误; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确. 10.（多选）比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是(　　) A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 【答案】AC 【解析】对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故A正确；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，<4，故C正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选AC. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】如图，取的中点，连接，，则，且平面，平面，所以平面.又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据20，26，5，16，17，18的第60百分位数为______. 【答案】18 【详解】将样本数据从小到大排列为：5，16，17，18，20，26， 因为，所以第60百分位数为排序后的第4个数据18. 13．已知平面．给出下列三个论断：①；②；③∥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___ 【答案】①③②,②③①（写一个即可） 【解析】由，∥，可得故①③②， 由，∥，可得故②③①， 由，，则平面与平面可以平行和可以相交， 故①②③.故答案为：①③②,②③① 14.若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 【答案】 【详解】根据题意，设三角形的三条边长分别为， 对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以. 根据正弦定理得，而， 所以，化简得①. 根据余弦定理得②， ①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为. 又，所以，所以. 所以该三角形的面积为. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）设A，B，C，D为平面内的四点，. （1）若，求点D坐标； （2）设向量，若与平行，求实数k的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，所以，设，又， 所以，（3分） 因为，所以，解得， 所以点D坐标为；（6分） （2），， 所以，，（9分） 因为与平行， 所以，解得.（13分） 16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在线段上，其中E是中点，连接． （1）当时，证明平面； （2）当为何值时，． （1）法1：取中点N，连接 因为是的中位线，故， 又故四边形为平行四边形 所以． 又平面平面，所以平面 法2：在线段上取一点F，使得F是中点，连接 是的中位线所以． 在矩形中 又．所以平面平面． 又平面，所以平面 （2）法1:因为，所以 又底面为矩形，所以 故 由题可知，，因此， 另解：因为，且平面，所以 又，代入，可得 17.设向量，，函数. （1）求的单调减区间； （2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围. 【答案】（1）的单调减区间为，. （2） 【解析】（1）. 由，，解得，. 所以的单调减区间为，.（6分） （2）由，得，即. 因为，所以，即.（8分） 已知，由正弦定理.（10分） 所以，. 又，， 则周长 （12分） . 由，得，所以. 即周长的取值范围是.（15分） 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，0、E分别是AD、AB的中点。 （1）证明：DE平面POC； （2）设M是底面ABCD内的一个动点，满足MP=MC，请在图2中作出点M在正方形AB-CD内的轨迹，并证明所作轨迹上任意一点M满足.MP=MC （3）在线段DC上是否存在点F，使AF与面PDC所成的角为？若存在，求DF的长，若不存在，说明理由。 【解析】（1）侧面PAD是正三角形，0是AD的中点，则 侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，， 正方形ABCD中， （2）点M的轨迹为线段DE，对DE上任一点M都有MP=MC，证明如下：设PC的中点G，连接DG，EG，，由（1）知 故MG是线段PC的中垂线， （3）假设存在点F，使AF与面PDC所成的角为，取PD的中点H，连接AH，HF，AF，则，由（1）知，为AF与面PDC所成的角，正中， 19.在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：________． （1）求角A的大小； （2）若E为BC中点，且，，求AC的值； （3）如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 【答案】（1）（2）2；（3） 【解析】（1）选①：， 由正弦定理，可得， 再由余弦定理，可得， 又，所以；（2分） 选②：由，可得 ， 又，所以；（4分） 选③：由，可得，即， 即，解得或（舍）， 又，所以；（6分） （2）如图，因为E为BC中点，所以， 所以，即， 即，（8分） 因为，，， 所以，即，（10分） 解得，即AC的值为2；（11分） （3）已知，，， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 可得，（13分） 在中，由正弦定理得：， 可得 ，（15分） 因为是锐角三角形，所以，解得 则， 故当时，可得AC的最大值是．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2025级高一期末质量检测模拟二 （数学） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z满足（其中i是虚数单位），则 A． B． C．2 D． 2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 2026 年 1 月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续. 某数学兴趣小组通过调查, 整理出下表数据, 并进行统计学分析. 下表为某银行近年人民币一年定期存款的利率: 时间 2019年 2020 年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率 % 1.50% 1.75% 1.75% 1.55% 1.85% 1.65% 1.50% 关于表中的 7 个存款利率数据, 下列结论正确的是 ( ) A. 数据的极差为 0.25% B. 七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C. 七年的平均利率为 1.75% D. 利率的第 80 百分位数为 1.75% 4.设向量，则下列说法正确的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 5．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6.位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 7.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，则异面直线与所成角的大小为（） A. B. C. D. 8.中，的对边分别为，若且，则的形状是（ ） A. 顶角为的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 顶角为的等腰三角形 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10.（多选）比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是(　　) A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据20，26，5，16，17，18的第60百分位数为______. 13．已知平面．给出下列三个论断：①；②；③∥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___ 14.若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）设A，B，C，D为平面内的四点，. （1）若，求点D坐标； （2）设向量，若与平行，求实数k的值. 16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在线段上，其中E是中点，连接． （1）当时，证明平面； （2）当为何值时，． 17.设向量，，函数. （1）求的单调减区间； （2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围. 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，0、E分别是AD、AB的中点。 （1）证明：DE平面POC； （2）设M是底面ABCD内的一个动点，满足MP=MC，请在图2中作出点M在正方形AB-CD内的轨迹，并证明所作轨迹上任意一点M满足.MP=MC （3）在线段DC上是否存在点F，使AF与面PDC所成的角为？若存在，求DF的长，若不存在，说明理由。 19.在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：________． （1）求角A的大小； （2）若E为BC中点，且，，求AC的值； （3）如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $