北京市中国人民大学附属中学2026届高三下学期5月热身练习数学试题

2026届高三热身练习 数学 命题：高三数学组 2026.5.27 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（ ）（参考数据；） A. B. C. D. 9. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．若为“旋转函数”，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 11. 抛物线的准线方程是_______． 12. 已知，则______；______． 13. 能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 14. 已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 15. 棱长为4的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放有铁制几何体，给出下列四个猜想： ①该容器内有两个半径为1.4的球； ②该容器内有棱长为5.6的正四面体； ③该容器内有底面半径为，高为2的圆柱体； ④该容器内有底面边长为，高为5的正三棱柱． 其中所有可能正确的猜想的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，已知． （1）求角的大小． （2）已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 夏日已到，某校组织学生开展生物研学活动，共设计了三个不同方案，目的地分别为北京动物园，大兴野生动物园，北京海洋馆．为了解该校学生对三个方案的倾向性，现对学生进行分层抽样，获得数据如下表： 北京动物园 大兴野生动物园 北京海洋馆 男 支持 22 40 46 不支持 38 20 14 女 支持 15 36 24 不支持 25 4 16 假设学生的选择相互独立． （1）从全校学生中任取一人，已知其为女生，请估计该生支持北京动物园方案的概率； （2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，设随机变量X为此三人中支持大兴野生动物园方案的人数，求的分布列及其期望； （3）将该校学生支持北京海洋馆方案的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和300名女生，他们会支持北京海洋馆的概率估计值为，除高一年级外其他年级学生支持北京海洋馆的概率估计值记为，请将，与由小到大排序．（结论不要求证明，） 19. 已知函数． （1）设在处的切线为，求与直线的交点坐标； （2）求函数的单调区间； （3）求不等式的解集． 20. 已知椭圆，现有三个条件：①椭圆过点；②椭圆过点；③椭圆的离心率为．请从这三个条件中选择两个作为已知，使得椭圆存在且唯一． （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆的下顶点，过点的直线与椭圆交于两个不同的点，点分别在射线，射线上，满足，若直线过点，求直线的方程． 21. 给定正整数．对于各项均为正整数的数列，若，且，则称为的一个分拆数列．对于分拆数列，定义其共轭数列如下：数列的第项定义为数列中大于或等于的项的个数，数列的各项从开始，至前终止，即的项数为满足的最大正整数．如果分拆数列与相同（即项数相同，且对应项分别相等），则称为自共轭数列． （1）求时的自共轭数列； （2）若是分拆数列，是否一定是分拆数列？若与都是分拆数列，是否一定与相同？说明理由； （3）设正整数的自共轭数列的个数为，各项均为奇数且互不相同的的分拆数列的个数为，求． 2026届高三热身练习 数学 命题：高三数学组 2026.5.27 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 6 【13题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 0 ③. 1 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】②④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2）选②或③， 【17题答案】 【答案】（1）作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望为 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【20题答案】 【答案】（1）选择条件①和②， （2）或． 【21题答案】 【答案】（1）2，1 （2）一定是分拆数列，且一定与相同．理由如下：设， 且．按定义，是中大于或等于的项的个数， 所以，且各项均为正整数．又等于把中每一项都计数次， 所以因此一定是分拆数列．再设为， 则是中大于或等于的项的个数．由等价于中至少有项大于或等于， 又由于的各项按从大到小排列，这等价于．所以满足的的个数恰为， 即．故一定与相同． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $