精品解析：吉林长春市东北师范大学慧仁实验学校2025-2026学年下学期九年级数学5月中考模拟试题

东北师范大学慧仁实验学校 2025−2026学年下学期九年级综合习 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为做前空翻个记作个， 所以做后空翻个记作个． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，该选项运算正确，符合题意； 选项B：，该选项运算错误，不符合题意； 选项C：，该选项运算错误，不符合题意； 选项D：，该选项运算错误，不符合题意． 3. 如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三视图定义：主视图：从正面观察物体得到的视图；左视图：从左面观察物体得到的视图；俯视图：从上面观察物体得到的视图． 圆台（奶茶杯形状）的三视图：主视图 / 左视图为等腰梯形，俯视图为两个同心圆． 【详解】奶茶杯的杯口为圆形，杯底也为圆形，从正上方看，会呈现两个同心圆（外圆为杯口，内圆为杯底）． 选项 B、D 为矩形 / 正方形，对应柱体的俯视图，不符合圆台形奶茶杯的特征； 选项 C 为梯形，是奶茶杯的主视图 / 左视图，而非俯视图； 选项 A 为两个同心圆，符合从正上方观察奶茶杯的视觉效果． 故选：A． 4. 如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 C. 等腰三角形“三线合一” D. 三角形具有稳定性 【答案】C 【解析】 【详解】解：，  为等腰三角形，  ，  为底边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线也是底边上的高，  故这一操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”． 5. 如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格． 6. 图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点H，，利用锐角三角函数求出的长，再根据可知D到的距离为，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由已知， ， 在中，、， ， 、， 支撑架到的距离为． 7. 如图，中，，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点P，作射线交于点D，已知，则的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】点是角平分线上的一点，说明点到边的距离和点到边的距离相等．底边上的高是的面积． 【详解】解：过点D作，垂足为G， ∵由题意可知是的平分线，， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题侧重考查角平分线上的点到两边的距离相等、用尺规作角平分线的题目，掌握其性质是解决此题的关键． 8. 日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上可得，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，可得 ，进而即可判断求解． 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ， ∴大小关系为． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，按照二次根式的除法计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 10. 若与的和仍是单项式，则的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义、求代数式的值，由和仍是单项式，知两式为同类项，故相同字母的指数相同，即可求出、的值，再把字母的值代入代数式求值． 【详解】解： 与 的和仍是单项式， 与 是同类项， ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：. 11. 已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义及代数式的化简求值，先把方程的解代入方程得到，再将所求代数式变形为含的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴将代入，得， ∴， ∴． 12. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意得到扇形的半径，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵的中点为圆心， ∴，即扇形的半径为， ∴该扇形的面积为， 故答案为： 13. 如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点K，那么______． 【答案】##84度 【解析】 【分析】根据正多边形的内角度数公式求出正五边形与正六边形的内角度数，再根据在正六边形的对称轴上求得的度数，求出度数，最后利用四边形的内角和为进行求解． 【详解】解：∵六边形和五边形都是正多边形， ∴六边形的内角为， 五边形的内角为， ∵正六边形是轴对称图形，在对称轴上， ∴， ， ， 在四边形中， ∴， ． 14. 如图，在中，，于点E，于点F，、交于点N，、的延长线交于点M．给出下面四个结论： ①；②点C是的中点；③；④当时，． 上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由题意易得，，则有，然后可得是等腰直角三角形，，进而可得，最后依次排除选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 当时，， ∴，， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴，即点C是的中点，故②错误，需在这个前提条件下成立； 综上所述：正确结论的序号是①③④． 三、解答题：本题共10个小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式； 当时，原式． 16. 某年春节联欢晚会在境内新媒体端的实时直播收视次数和互动量均创新纪录，特别是魔术《画蛇添福》用意想不到的方式送上新春祝福，数学探究小组受到启发，准备了重量相等的筷子、杯子、勺子三样东西，将准备好的三样东西分别放在三个完全相同的盒子里（注：这三个盒子的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同），任意摆放在桌子上，先从中随机抽取一个盒子打开，记下该盒子里面的东西的名称，再从剩下的两个盒子中随机抽取一个盒子打开，记下该盒子里面的东西的名称．用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽到两个盒子里面分别是筷子和勺子的概率P． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意看出该事件是不放回事件，利用列表法表示出所有等可能发生的情况，再找出符合题意的情况，然后根据概率公式计算． 【详解】解：设筷子用x表示，杯子用y表示，勺子用z表示，列表如下： 第一次 第二次 x y z x y z 共有种等可能结果，其中满足抽到两个盒子里面分别是筷子和勺子的结果共有2种，即，， ∴． 17. 生物老师需要用洋葱进行生物课实验，已知上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多购买了10斤洋葱，求本周生物老师购买的洋葱单价为每斤多少元？ 【答案】元 【解析】 【详解】解：设上周生物老师购买洋葱的单价为每斤x元，则本周所买洋葱的单价为每斤元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 元， 答：本周生物老师购买的洋葱单价为每斤元． 18. 如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺（，）在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． （1）直接判断四边形是哪种特殊四边形：______；（不需要证明） （2）已知，若四边形是菱形，求的长． 【答案】（1）平行四边形 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，即可得到四边形是平行四边形； （2）解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接交于O， ∵，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； （2）在图②中画一个正方形，使其面积为10； （3）在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）画出边长分别为3，4，5的直角三角形即可． （2）画出边长为的正方形即可． （3）先确定四边形为平行四边形，再结合勾股定理求出对角线为，另一条对角线为有理数即可． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求． 由图可知，，，， ， ， 它的三边长均为有理数； 【小问2详解】 如图②，正方形即为所求． 由图可知，， 正方形的面积为5； 【小问3详解】 如图③，平行四边形即为所求． 根据图可知，，， 四边形为平行四边形， 连接，，根据勾股定理可知，，． 20. 为了解某学校初中学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100． 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 b 众数 a 79 方差 102.75 122.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）学校八年级有320学生，九年级有200名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】（1）82，81.5，30； （2）八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由见解析 （3）350人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解、，再求出九年级组人数，从而求出； （2）根据中位数、众数以及方差的意义分析即可； （3）用八年级和九年级的学生人数乘以各自的优秀成绩占比，即可得解． 【小问1详解】 解：八年级抽取的20名学生的竞赛成绩中，出现了3次，次数最多， 众数， 九年级抽取的20名学生的竞赛成绩中，中位数为第10和11名学生竞赛成绩的平均数， 九年级组人数为（人），B组的数据是：81，82，85，86，87，88， 中位数； 九年级组人数为， ， ； 【小问2详解】 解：八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由： 因为八、九年级的平均分均为84.5分，八年级的中位数和众数均高于九年级，且八年级的方差小于九年级的方差，成绩更稳定，所以整体上看八年级学生竞赛成绩较好；（写出一条理由即可，结论合理即可） 【小问3详解】 解：人， 答：估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生约有350人． 21. 甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶4h至距离A地160km的C地时发生故障原地维修，2.4h后维修完毕，甲车再次匀速行驶，经过1.6h到达B地，乙车匀速行驶4h到达距离A地240km的B地，接着花费h卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y（单位：km）与它们离开A地的时间x（单位：h）之间的函数图像如图所示． 请结合图像信息，解答下列问题 （1）图中a的值为______，甲车维修后再次出发的速度为______km/h； （2）求乙车由B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式； （3）直接写出当甲、乙两车相距50km时x的值． 【答案】（1），50 （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）利用“速度路程时间”求解； （2）根图像是一条直线判断出与的函数关系式是一次函数，直接将函数关系式设出来，将点代入求解； （3）根据图象两车相距可以分为三个部分进行求解，属于追及问题，速度差乘以时间等于相距的距离；需要分辨有几次相距，然后利用函数值减去160等于50求解；利用两个函数值相减求得． 【小问1详解】 解：∵花费h卸载水果， ∴， 甲车再次出发用时， 行驶距离， ∴速度． 【小问2详解】 解：乙车由B地返回A地的过程中的图像是一条直线， ∴设y与x的函数关系式为， 由图可知y与x的函数的图像过点， 将分别代入中， 得，解得， ∴； 【小问3详解】 解： 当时，甲车的速度， 乙车的速度， 则有，解得； 当时，将代入中， 即， ∴，， ∴在这个范围内，只有一次两车相距， 此时列式为，解得， 当时， 设甲车重新出发后y与x的函数关系式为， 将分别代入中， 得，解得， ∴甲车重新出发后y与x的函数关系式为， 则列式为，解得； ∴当甲、乙两车相距50km时x的值为． 22. 【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴． （1）【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______； （2）【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值． 【答案】（1），图见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质知对称轴是线段的垂直平分线，画垂直平分线即可，利用垂直平分线的性质得； （2）根据矩形的性质可证，利用相似比求出答案； （3）根据相似的性质可得点是定点，则的长度是定值，通过轴对称的性质可知，，也是定值，所以点是在以点为圆心，长度为半径的圆上，利用点到圆上的最短距离求出答案． 【小问1详解】 解：作图如下图所示，直线是所求直线． ∵点和点关于直线对称， ∴点和点到直线的距离相等，直线是线段的垂直平分线， 点是垂直平分线上的点， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如下图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：由（2）知， 在矩形中，， ∴在中，， 则， 则点为定点，如图所示，连接，过点作， 分别交于点； ∴， 同理可证，， ∴； 在和中， ， ∵点与点关于对称，点是上的点， ∴，点是在以点为圆心，半径为3的圆上， ∵， ∴的最小值为． 23. 在中，，，点D是射线上一点，过点D作于点E，将绕点B逆时针方向旋转到，旋转角记为．过点作直线于点G，交直线于点H，连接． （1）点A到的距离是______； （2）当时，______； （3）若，当落在所在直线上时；求的度数； （4）若时，当点A、、共线时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）设点A到的距离为，然后根据等积法可进行求解； （2）由题意易得，都是等腰直角三角形，则有，由旋转的性质可知：也是等腰直角三角形，且，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分：当点在的上方，当点在的下方时，然后根据三角函数可进行求解； （4）由题意可分：当点在上方时，当点在下方时，然后根据三角函数及相似三角形的性质与判定可分类进行求解． 【小问1详解】 解：设点A到的距离为， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可知：也是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可分：当点在的上方，如图， 由旋转的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 当点在的下方时，如图， 同理可得：， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由题意可分：当点在上方时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可知：是等腰直角三角形，且，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点A、、共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时，如图所示： 同理可得：，，， ∴，， ∴； 综上所述：当点A、、共线时，的长为或． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），连接，点P为抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），其横坐标为m． （1）直接写出点A和点C的坐标：A______，C______； （2）设抛物线上点P与点C之间的部分（包含点P和点C）为图像G，当图像G的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值： （3）如图2，点P在第四象限抛物线上，且四边形是轴对称图形时，求． （4）连接、，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）先令，解一元二次方程，求出点的横坐标，然后令，求出点的纵坐标，再根据点在点左侧直接写出坐标； （2）先把抛物线配方，得到对称轴和顶点坐标，然后按分情况讨论；再分别确定图像的最高点、最低点，由纵坐标之差为8列方程，最后解方程并舍去不合题意的解，求出； （3）先求抛物线对称轴，然后由四边形是轴对称图形，且关于对称，得关于对称，求出点；由对称性关于对称，设交于点，则点在对称轴上，先求得，由轴对称的性质得出，求得，用勾股定理求，，在中求； （4）先在中求出，然后分两种情况：；每种情况：先作垂线构造等腰直角三角形，求出辅助点坐标；再求直线或的解析式，最后联立抛物线解析式，求出交点并舍去重合点，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， 点在点左侧， ， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：抛物线， 抛物线开口向上，顶点坐标为， ①当时，图像的最高点为，最低点为， 由题意：， 即：， 解得：(舍去)， ②当时，随的增大而减小， 图像的最高点为，最低点为点， 顶点是抛物线的最低点， ，即， 纵坐标差为，不符合题意，舍去； ③当时，图像的最高点为，最低点为顶点， 纵坐标差为，不符合题意， ④当时，图像的最高点为，最低点为顶点， 由题意：， 即：， 解得：（舍去）， 综上，或． 【小问3详解】 解：由抛物线， 得抛物线的对称轴为直线， 四边形是轴对称图形，且点关于直线对称， 四边形的对称轴为直线， 点关于直线对称， 对角线与关于对称， 设，交于点，则点在对称轴上， ， ， 在中，， 由对称性可知：， ，， 在中，， 由勾股定理，得， 在中，，， 在中，， ． 【小问4详解】 解：由题意，抛物线为， 在中，， ， 情况1：， 如图，过点作，交y轴于点M，交的延长线于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 设的解析式为，把点代入，得 解析式为， 在中，， ， 由，得， ， 设由，得， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得，， 直线的解析式为， 联立与 ， 解得(舍去)或， ； 情况2：， 如图，过点C作，交x轴于点，交的延长线于点F，则， 在中，， ， ， 设直线的解析式为：， 把点代入，得， 解得，， 的解析式为：， 在中，， ， ， ， 设，由，得， 解得或（舍去） ， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立与， ， 整理得， 解得(舍去)或 ， 综上，满足条件的点的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁实验学校 2025−2026学年下学期九年级综合习 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 C. 等腰三角形“三线合一” D. 三角形具有稳定性 5. 如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（ ） A. B. C. D. 6. 图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，以C为圆心适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点P，作射线交于点D，已知，则的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 8. 日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 9. 若，则______． 10. 若与的和仍是单项式，则的值等于___________． 11. 已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 12. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形的中点为圆心，则该扇形的面积为___________． 13. 如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点K，那么______． 14. 如图，在中，，于点E，于点F，、交于点N，、的延长线交于点M．给出下面四个结论： ①；②点C是的中点；③；④当时，． 上述结论中，正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10个小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某年春节联欢晚会在境内新媒体端的实时直播收视次数和互动量均创新纪录，特别是魔术《画蛇添福》用意想不到的方式送上新春祝福，数学探究小组受到启发，准备了重量相等的筷子、杯子、勺子三样东西，将准备好的三样东西分别放在三个完全相同的盒子里（注：这三个盒子的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同），任意摆放在桌子上，先从中随机抽取一个盒子打开，记下该盒子里面的东西的名称，再从剩下的两个盒子中随机抽取一个盒子打开，记下该盒子里面的东西的名称．用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽到两个盒子里面分别是筷子和勺子的概率P． 17. 生物老师需要用洋葱进行生物课实验，已知上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多购买了10斤洋葱，求本周生物老师购买的洋葱单价为每斤多少元？ 18. 如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺（，）在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． （1）直接判断四边形是哪种特殊四边形：______；（不需要证明） （2）已知，若四边形是菱形，求的长． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； （2）在图②中画一个正方形，使其面积为10； （3）在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 20. 为了解某学校初中学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100． 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 b 众数 a 79 方差 102.75 122.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）学校八年级有320学生，九年级有200名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 21. 甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶4h至距离A地160km的C地时发生故障原地维修，2.4h后维修完毕，甲车再次匀速行驶，经过1.6h到达B地，乙车匀速行驶4h到达距离A地240km的B地，接着花费h卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y（单位：km）与它们离开A地的时间x（单位：h）之间的函数图像如图所示． 请结合图像信息，解答下列问题 （1）图中a的值为______，甲车维修后再次出发的速度为______km/h； （2）求乙车由B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式； （3）直接写出当甲、乙两车相距50km时x的值． 22. 【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴． （1）【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______； （2）【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值． 23. 在中，，，点D是射线上一点，过点D作于点E，将绕点B逆时针方向旋转到，旋转角记为．过点作直线于点G，交直线于点H，连接． （1）点A到的距离是______； （2）当时，______； （3）若，当落在所在直线上时；求的度数； （4）若时，当点A、、共线时，直接写出的长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），连接，点P为抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），其横坐标为m． （1）直接写出点A和点C的坐标：A______，C______； （2）设抛物线上点P与点C之间的部分（包含点P和点C）为图像G，当图像G的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值： （3）如图2，点P在第四象限抛物线上，且四边形是轴对称图形时，求． （4）连接、，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $