2025-2026学年人教版数学八年级下册期末练习试卷

**基本信息** 2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷，以新定义、情境命题、传统文化为创新载体，覆盖函数、几何、统计等核心知识，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数概念、二次根式、多边形剖分、统计图表|新定义“三角剖分”、空气质量箱线图情境、《勾股举隅》面积法应用| |填空题|5/15|方差、菱形中位线、分段函数、最短路径|快递运费函数模型、《九章算术》开门问题文化传承| |解答题|8/75|尺规作图、统计分析、几何证明、函数综合|操作性折叠证明、水果销售利润优化、“友好图形”新定义探究|

2025—2026 学年度下学期期末八年级数学试卷 (本试卷共23道题 满分 120分 考试时间 120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共 10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各曲线中，不能表示 y 是x 的函数的是 ( ) 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是 A. B. C. D. 3.下列运算正确的是 ( ) A. B. C. D. 4.【新考向新定义】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.将一个六边形进行三角剖分，可以剖成的三角形的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图，已知O为数轴的原点，在数轴上截取线段OA=2，过点A 作直线n⊥OA，在直线n上截取线段AB=3，连接OB，以点O为圆心，OB 长为半径顺时针画弧，交数轴于点 C.根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OB= ;②OC= -2;③AC= 其中正确的是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6.【新考向情境命题】如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数(AQI)箱线图. AQI越小，空气质量越好，AQI在201~300时，说明重度污染，则下列说法错误的是 ( ) A.该地区 2025 年 3 月有重度污染天气 B.该地区 2025 年 3 月的 AQI 比 2 月集中 C.该地区 2025年 3月 AQI 的中位数大于 2月 AQI 的中位数 D.整体看，该地区2月的空气质量好于 3月 7.如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点 P 在边 BC 上,且.BP=OB,连接OP，则 的度数为 ( ) A. B. C. D. 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象可能是 ( ) 9.《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广.书中的证明方法是将4个边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理.已知c=4，4个直角三角形未覆盖区域，即白色部分的面积是 10，则BC 的长是 ( ) A.5 B.6 C. D. 10.课外活动课上，老师让同学们用矩形纸片 ABCD 进行折纸.如图，第一步：把矩形纸片 ABCD 沿 EF 对折，折痕为 EF，并展开；第二步：将纸片折叠，使点 A 落在 EF上的点 A'处，折痕为 BG，则 的值是 ( ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.一组数据4,5,6,7,8的方差是 . 12.如图,在菱形ABCD 中,E,F 分别是AB,AC 的中点,若 EF=5,则菱形ABCD 的周长为 . 13.【新考向情境命题】某市歇马杏的上市时间约为每年的六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地.某快递公司的收费标准为：不超过3kg 时需付运费13元，以后每增加1kg(不足1kg按1kg计算)需增加运费1.5元.直接写出寄出x kg(x>3且x 为整数)歇马杏的运费y(单位：元)的函数解析式为 . 14.【新考向传统文化】《九章算术》是中国古代的数学著作，书中记载：“今有开门去阐(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何?”其大意为：如图，推开双门(大小相同)，双门间隙CD=2寸，点C，D与门槛AB 的距离CE=DF=1尺(1尺=10寸),则AB 的长是 寸. 15.如图，在平面直角坐标系中，点A(-1，0)，B是直线y=x+2上的动点，C是y轴上的动点，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标为 . 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(每题5分,共10分) (1)计算 (2)已知 求代数式 的值. 17.(本小题8分) 新考向操作性试题如图，四边形ABCD 是平行四边形，将 翻折，使点 A 与点 C 重合，折痕与CD 交于点E,与 AB 交于点 F. (1)请在图中作出折痕EF；(要求：尺规作图.不写作法，保留作图痕迹) (2)求证:CE=AF. 18.(本小题8分) 某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛.现从七、八年级各随机抽取了20名学生的初赛成绩(初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)，对所抽取的数据进行统计、整理如下： 七年级抽取的学生的初赛成绩如下： 6,6,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10. 七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 8.5 9 1.41 八年级 8.3 8 b 1.61 八年级抽取的学生的初赛成绩条形统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空:a= ,b= ; (2)若该校七年级有800名学生参加初赛，请你估计七年级学生成绩优秀的人数； (3)历届比赛表明，如果成绩达到9分以上(含9分)就很可能获奖，那么你认为选哪个年级作为代表队参加复赛比较合适?请说明你的理由. 学科网（北京）股份有限公司 19.(本小题8分) 【新考向情境命题】图1是一个儿童滑梯，图2是其侧面示意图，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架，且AE,DF 分别垂直于地面 BC于点 E,F,N是滑道 DC的中点,小亮测得 FM=2m,MN=3m,MC=6m,求滑道 DC 的长. 20.(本小题8分) 瓦房店市有着“水果之乡”的荣誉称号，主产“葡萄”“樱桃”“苹果”“桃子”等水果.某超市欲购进葡萄和樱桃共1 000斤，两种水果每斤的进价和售价如下表所示. 水果 葡萄 樱桃 进价/(元/斤) 7 12 售价/(元/斤) 11 15 设购进葡萄x斤(x为正整数)，且所购进的两种水果能全部卖出(损耗及其他费用忽略不计)，获得的总利润为ω元. (1)求总利润ω关于x的函数解析式； (2)如果购进两种水果的总费用不超过11 000元，并且樱桃的数量不少于葡萄的数量，那么该超市如何进货才能获利最多?并求出最大总利润. 21.(本小题8分) 【新考向传统文化】我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就.据我国数学著作《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”(古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则称为弦).在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”，《周髀算经》比西方早了五百多年. 勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解(a,b,c)通常叫作勾股数,如:(3,4,5),(5,12,13). 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格，并解答下列问题： a b C 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y (1)m= ; 【知识迁移】 (2)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数吗?请说明理由; 【知识应用】 (3)如图,有一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,直角边 点 D 在边 BC 上,连接AD,现将△ACD 沿直线AD 折叠,使点C落在斜边AB 上的点E 处,求 BD 的长. 学科网（北京）股份有限公司 22.(本小题12分) 新考向过程性学习【模型建立】 如图1,△ABC 为等腰三角形,AC=BC,△BDC 和△ACE 分别为等边三角形,AE 与BD 相交于点F,连接CF 并延长,交 AB 于点G.求证:G 为AB 的中点. 证明：如图1，连接DE. ∵△BDC 和△ACE 分别为等边三角形,AC=BC, ∴AC=AE=CE=BC=BD=CD,∠CDF=∠CEF=60°. ∴∠CDE=∠CED. ∵∠EDF=∠CDF-∠CDE,∠DEF=∠CEF-∠CED, ∴∠EDF= . ∴DF=EF. ∵AF=AE-EF,BF=BD-DF, ∴AF=BF. 又AC=BC,∴点C,F 都在线段AB 的垂直平分线上. ∴CF 是线段AB 的垂直平分线. ∴G 为AB 的中点. (1)请将上述证明过程补充完整； 【模型应用】优质星原创 (2)如图2,在正方形ABCD 中,点E 在边CD 上,连接BE,点 G 在对角线AC 上,且 DG=EG,点H 在AD 上,且 HG 的延长线交BC 于点F,连接EF,BG.求证:BF=EF; 【深度探究】优质星原创 (3)在(2)的条件下,若AB=3,DE=2,求 GH 的长. 23.(本小题13分) 点 P(m,n)在直线l:y= kx+b上,设x≥m的部分图象为射线. 射线 关于直线x=m对称的射线为 射线 和 向上平移n个单位长度得到图形L，我们把图形 L 叫作直线l：y=kx+b关于点 P 的“友好图形”，点P 为“友好点”.已知直线 是直线l 上一点，直线 关于点 P 的“友好图形”是图形 L. (1)若m=2. ①点 P 的坐标为 ; ②求图形 L 的解析式； 是图形L 上的三个点，当 时，求t 的取值范围. (2)若图形L 在-2≤x≤-1范围内的最低点的纵坐标是 求 m 的值. 一、选择题 1. B 2. D 3. A 4. B 5. B 6. B 7. D 8. D 9. D解析根据题意，得白色部分的面积为 ∴16-ab=10. ∴ab=6. 根据勾股定理 (负值舍去)，即 10. A 解析如图,连接AA'. ∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∠BAG=90°. 由折叠的性质,得 E 为 AB 的中点,EF⊥AB,A'B=AB,∠ABG=∠A'BG. ∴EF 是线段AB 的垂直平分线. ∴△ABA'是等边三角形. 在 Rt△ABG 中,根据勾股定理, 二、填空题 11.2 12.40 13. y=1.5x+8.5 14.101解析如图,取AB的中点O,连接CD. 根据题意,得 O 为 EF 的中点,四边形 CEFD 是矩形,∠AEC=90°,CE=DF=10寸. ∴EF=CD=2寸. (寸). 设AE=x寸,则AC=AO=AE+OE=(x+1)寸. 在Rt△ACE中，根据勾股定理， .解得x=49.5. ∴AB=2AE+EF=2×49.5+2=101(寸). 15.(0, 解析如图，作点A 关于直线y=x+2的对称点A'，作点A关于y轴的对称点A"，连接A'A"交直线y=x+2 于点B，交y轴于点C，设直线y=x+2交x轴于点M，交y轴于点N,连接A'M. ∵点A,A'关于直线y=x+2对称,点A,A'关于y轴对称, (由两点之间，线段最短，可得出此时△ABC 的周长最小). 在y=x+2中,令x=0,得y=2;令y=0,得x+2=0.解得x=-2.∴M(-2,0),N(0,2).∴OM=ON=2. 又∠MON=90°,∴∠OMN=∠ONM=45°. ∵AA'⊥MN. ∴∠AA'M=∠MAA'=45°. ∵A(-1,0),M(-2,0),∴OA=1,OM=2.= ∴MA'=MA=OM-OA=2-1=1∴A'(-2,1). ∵点A,A"关于y轴对称,A(-1,0),∴A"(1,0). 设A'A"所在直线的解析式为y= kx+b(k≠0). 将点A'(-2,1),A"(1,0)分别代入,得 解得 ∴A'A"所在直线的解析式为 当x=0时 三、解答题 16.解:(1)原式 ∴原式 17.解:(1)如图1,折痕EF 即为所求. (2)证明:如图2,设 AC,EF交于点O. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD,AB=CD. ∴∠ECO=∠FAO. 由作图可知,直线EF 垂直平分线段 AC.∴OC=OA. 又∠EOC=∠FOA,∠ECO=∠FAO, ∴△ECO≌△FAO. ∴CE=AF. 18.解:(1)8.3;7 解析 由条形统计图可以看出，人数最多的成绩是7分，故b=7. (人). 答：估计七年级学生成绩优秀的有400人. (3)我认为选七年级作为代表队参加复赛比较合适.理由如下： ∵七年级初赛成绩的方差是1.41，八年级初赛成绩的方差是1.61,1.41<1.61, ∴七年级的初赛成绩较稳定. 又七年级的优秀率为 八年级的优秀率为 ∴七年级的优秀率高于八年级的优秀率. ∴选七年级作为代表队参加复赛比较合适. 19.解:如图,连接FN,过点 N 作NG⊥CF 于点G. ∴∠NGM=∠NGC=90°. ∵FM=2m,MC=6m, ∴CF=FM+MC=2+6=8(m). ∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°. ∵N 是滑道DC 的中点, ∴MG=FG-FM=4-2=2(m). 在 Rt△MNG 中,根据勾股定理,得 在 Rt△NGC 中,根据勾股定理,得 答：滑道 DC 的长为 20.解:(1)∵购进葡萄x斤(x为正整数),∴购进樱桃(1000-x)斤. 根据题意,得ω=(11-7)x+(15-12)(1 000-x)=x+3 000(x 为正整数). (2)根据题意，得 解得200≤x≤500. ∵1>0, ∴w随x的增大而增大. ∴当x=500时,w取最大值,最大值为500+3000=3 500. ∴1000-500=500(斤). 答：该超市购进葡萄、樱桃各 500斤才能获利最多，最大总利润是3 500元. 21.解:(1)24 解析根据勾股定理，得 (2)3k,4k,5k(k 是正整数)是一组勾股数.理由如下: ∴3k,4k,5k(k 是正整数)是一组勾股数. (3)在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 由折叠的性质,得∠C=∠AED=90°,DC=DE. 即 22.解:(1)∠DEF (2)证明:如图1,连接 HB,HE. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =AD =BC=DC,∠BCG =∠DCG=45°,∠BAD=∠ADC=90°. 又CG=CG, ∴△BCG≌△DCG.∴BG=DG. ∵DG=EG,∴BG=EG. 在 Rt△ABH 中,根据勾股定理, 在 Rt△HDE 中,根据勾股定理, ∵HD=AD-AH,2AH·AD=DE², ∴点 G，H均在线段BE 的垂直平分线上. ∴HF 垂直平分线段BE. ∴BF=EF. (3)如图 2,过点 G 作GN⊥DC 于点 N,延长 NG 交AB 于点M,作GQ⊥AD 于点Q. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD=DC=BC=3,AB∥CD,∠BAD =∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°. ∵MN⊥DC,∴∠DNM=∠CNM=90°. ∵AB∥CD,∴∠AMG=∠CNM=90°. ∵GQ⊥AD,∴∠GQA=∠GQD=90°. ∴四边形 AMGQ、四边形 GNDQ 和四边形 BCNM都是矩形. ∴MN=BC=3,BM=CN,AQ=MG,GQ=DN.由(2),知DG=EG=BG. 又 ∴GQ=DN=1,BM=CN=CD-DN=3-1=2.设MG=x,则GN=MN-MG=3-x. 在 Rt△BMG 和Rt△ENG 中,根据勾股定理, 解得x=1.∴AQ=MG=1.由(2),知2AH·AD=DE².∴2AH×3=2². 在 Rt△GQH 中,根据勾股定理,得 23.解:(1)①(2,3) ②当m=2时,点P 的坐标为(2,3),直线l 的解析式为 如图，设点D(4，d)，点D 关于直线x=2的对称点为点 E,连接 DE. 在 中,令x=4,得 ∴D(4,4). 根据对称的性质，得直线x=2垂直平分线段DE. ,即4-2=2-xE. ∴xE=0.∴E(0,4). 设射线 l₂ 所在直线的函数解析式为 将点 P(2,3),E(0,4)分别代入,得 解得 ∴射线 l₂ 所在直线的函数解析式为 4(x<2). 根据题意，得射线l₁和l₂ 向上平移3个单位长度得到图形L. ∴平移后射线l₁ 所在直线的函数解析式为 5(x≥2),射线 l₂ 所在直线的函数解析式为 y= ∴图形L 的解析式为 点A 在直线x=2左侧的图形E上，点C在直线x=2右侧的图形L上. 根据题意，得 当点 B 在直线x=2左侧的图形L 上时,t+1<2,即 解得 当点 B 在直线x=2右侧的图形L上时,t+1>2,即 解得t<1(不合题意，舍去). 综上所述，t的取值范围是 (2)同理(1)②，得射线 l₂所在直线的函数解析式为 ∴平移后射线l₁所在直线的函数解析式为 射线 l₂ 所在直线的函数解析式为 ∴图形 L 的解析式为 当m≤-2时,图形 L 在-2≤x≤-1氵范围内的最低点的横坐标为-2. 解得 当m≥-1时,图形L 在-2≤x≤-1范围内的最低点的横坐标为-1. 解得m=2. 当-2<m<-1时,图形L 在-2≤x≤-1范围内的最低点的横坐标为m. 解得m=-4(不合题意，舍去). 综上所述，m的值为 或2. 学科网（北京）股份有限公司 $