第25章一元二次方程 数学活动 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，核心内容为含公共系数的三个方程公共解条件推导及线段分割的代数几何综合应用。通过“方程公共解”和“线段分割”问题情境导入，衔接已学方程解法，搭建从求解到综合应用的学习支架。 其亮点是以探究活动为主线，推导公共解条件时通过联立方程、因式分解培养推理能力，线段分割结合尺规作图展现几何直观，融入黄金分割在正五角星、鹦鹉螺等生活实例落实应用意识。小结引导自主总结，提升学生方程思想与数形结合能力，为教师提供可操作的综合实践教学方案。

数学活动 第二十五章 一元二次方程 R·九年级数学上册 学习目标 1.理解并推导含公共系数的三个一元二次方程恰有一个公共解的条件，掌握公共解的通用求解方法. 2.能利用一元二次方程解决线段分割的代数+几何综合问题，掌握对应尺规作图的规范步骤. 3.提升一元二次方程的综合应用能力，体会方程思想、数形结合思想在代数与几何问题中的应用． 活动1 探究方程有公共解的条件 探索新知 已知 abc≠0，方程 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 恰有一个公共解. 给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解. am2+bm+c=0，① bm2+cm+a=0，② cm2+am+b=0. ③ 解：设三个方程的公共解为m，根据方程解的定义，将m代入三个方程，等式均成立： 由①+②+③，合并同类项可得： (a+b+c)m2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0. 提取公因式 (a+b+c)，化简得： (a+b+c)(m2+m+1)=0. (a+b+c)(m2+m+1)=0 对于二次式 m2+m+1，其根的判别式 Δ=12– 4×1×1= –3<0， 因此 m2+m+1>0. 要使等式成立，只能满足 a+b+c=0，这就是 a，b，c 需要满足的核心条件. ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 由 a+b+c=0，得 c= –(a+b)，代入①，②，③得 ax2+bx–(a+b)=0，① bx2–(a+b)x+a=0，② –(a+b)x2+ax+b=0. ③ (x–1)[ax+(a+b)]=0，① (x–1)(bx–a)=0，② (x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 因式分解 (x–1)[ax+(a+b)]=0，① (x–1)(bx–a)=0，② (x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 所以方程①的解为 x1=1，x2= – ， 方程②的解为 x1=1，x2= – ， 方程③的解为 x1=1，x2= – . 因此，三个方程的公共解为 x=1. 知识要点 公共解问题通用方法： 设公共解，代入所有方程联立，通过加减消元、因式分解简化推导. 活动2 神奇的线段分割 问题1：王芳：你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗? 解：设线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. 因为 a+b+c=l，a=b+c，所以 2a=l，即 a = l. 这条线段如图所示. a b c 问题2：李明：还是把一条线段分成两两不相等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a>b>c，你能找到合适的 a，b，c，使 a=b+c 和 + = 同时成立吗？ 解：设线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. 因为 + = 所以 + = ，即 = . 所以 bc+ac=ab，(a+b)c=ab. ① (a+b)c=ab. ① 因为 a=b+c，代入①，得 (b+c+b)c=(b+c)b， 移项，合并同类项得 b2–bc–c2=0. ② 将②看作关于 b 的一元二次方程，c 为常数，用求根公式求解： b= = c. 因为 b>0，所以 b = c ，即 = . 因为 a+b+c=l，a=b+c，所以 2a=l，即 a = l. 所以 c+c=l ，即 c = l . 所以 b = l – c = l – l = l . 因此 a∶b∶c = l ∶ l ∶ l =1∶ ∶ . 黄金分割数 请你用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点. 1.作中点（找到第一个分点）： ① 画任意长度线段AB，分别以线段AB的两个端点 A，B 为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于一点. ② 过交点作AB的垂线，这条垂线与AB的交点即为中点 M. ③ 此时AM=BM=a. 作图步骤： 2.在MB上找第二个分点： ① 用上述同样的方法作出MB的中点P； ② 过点B作MB的垂线，在垂线上截取点C，使BC=PB，连接MC. ③ 以点C为圆心，CB长为半径画弧，交线段MC于点D. ④ 以点M为圆心，MD长为半径画弧，交线段MB于点N. ⑤ 此时MN=b，NB=c. 生活中的黄金分割 A B C D E N M 正五角星 = = = 生活中的黄金分割 鹦鹉螺外壳的截面 生活中的黄金分割 优选法 华罗庚先生推广的优选法，也称 0.618 法，认为在测试区间使用黄金分割位进行试验，筛选效率最佳，并从理论上进行了严格的证明. 课堂小结 通过本节数学活动的研究，你有什么收获？ $