精品解析：福建省三明第一中学2026届第二学期高三5月模拟考试数学试卷

2025～2026学年第二学期高三5月模拟考 数学试卷 试卷满分:150分； 考试时间:120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把答案填涂在答题卡的相应位置. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图(90后指1990年及以后出生人口，80后指年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口)和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（ ） A. 0.61 B. 0.56 C. 0.34 D. 0.28 6. 已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为50 D. 的前30项和为357 11. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________. 14. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，点D在边上，且，求的长． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 18. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 19. 已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点． （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高三5月模拟考 数学试卷 试卷满分:150分； 考试时间:120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把答案填涂在答题卡的相应位置. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得，所以， 因为，所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则，所以． 3. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因，故，故，所以，故． 4. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 5. 某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图(90后指1990年及以后出生人口，80后指年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口)和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（ ） A. 0.61 B. 0.56 C. 0.34 D. 0.28 【答案】C 【解析】 【详解】记从重庆市互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件， 记从重庆市互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件， 由题意可知，， 所以， 所以若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为. 6. 已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 7. 已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合是钝角三角形，则需为钝角，从而得到不等式，求出答案 【详解】的圆心为，半径为2， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆无交点，不合要求，舍去； 设直线，要使得是钝角三角形，则需为钝角， 则圆心到直线的距离， 其中，即，故， 解得，其中，解得，只有B满足要求. 8. 已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四棱台的外接球球心必在上、下底面中心的连线上，由上、下底面边长确定，先分析正四棱台的外接球半径最小值就是下底面外接圆半径，从而可求棱台的高和侧面积. 【详解】因为正四棱台上下底均为正方形， 由上､下底面积分别为3，12，可得上､下底面正方形的边分别为， 上､下底面正方形的外接圆半径分别为和， 因为正四棱台的外接球半径一定大于或等于下底面正方形的外接圆半径， 所以正四棱台的外接球的半径最小值为，此时下底面中心即为外接球的球心. 则棱台的高， 再由勾股定理计算可得：， 所以再由勾股定理可得侧面梯形的斜高为：， 即一个侧面的梯形面积为， 则该四棱台的侧面积为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为50 D. 的前30项和为357 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. 11. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解. 【详解】设，， 由题设可知存在唯一的整数，使得， 因为，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，且，， 由图可知，即，解得，BC选项符合题意. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意正态分布曲线关于对称， 故. 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而得到，然后对进行化简，利用裂项相消法求出结果即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由  得 ，即 . 因 ，故 ，所以 ，解得 . 将  代入  得 ，解得 . 故 . 所以， 所以 . 故答案为：①；②. 14. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义和余弦定理可构造方程，利用表示出的长度，再利用余弦定理构造关于的齐次式即可求得离心率. 【详解】 设，则， 由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：， 整理可得：，（舍）或， ，，， ，，即， 的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，点D在边上，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，并根据诱导公式、两角和的正弦公式及同角三角函数关系式，求得，从而得到； （2）由点D在边上，且，知，根据求向量模的方法可得，即的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 又，所以， 又，则． 【小问2详解】 因为点D在边上，且， 所以， 所以， 所以，即AD的长为． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【小问1详解】 因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】（1）①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【小问1详解】 （1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 18. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 【答案】（1），与有较强的相关关系 （2），4.44万台 （3） 【解析】 【分析】（1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可； （2）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到2026年7月对应的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）利用概率的加法和乘法公式算出各种情况的概率，计算得到期望的表达式，根据约束条件得到的范围. 【小问1详解】 则， 故与有较强的相关关系； 【小问2详解】 ， 又，， 所以， 故经验回归方程为， 2026年7月对应的值为10， 当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台； 【小问3详解】 设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为， 则的所有可能取值为， ， ， ， 所以， 依题意有，且，得， 故的取值范围为． 19. 已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点． （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出准线方程，从而得到，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立，求出两根之和，两根之积，联立化简得，，所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列，故，；（ⅱ）在（ⅰ）基础上，得到，所以是首项为1，公比为2的等比数列，，求出，从而放缩得到，利用等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 抛物线的准线为， 依题意，圆心到准线的距离为，可得， 所以抛物线E的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）过且斜率为的直线方程为， 代入得， 由韦达定理：，①， 设直线的方程为，代入得， 则，可得②， 同理，由，可得③， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 将代入化简得（*）， 将②③代入，结合①可得， 再代入（*）式，化简得， 由于，，满足， 则，， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则，． （ⅱ）由（ⅰ）可得，， ，，， ，，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因，其中， 则， 故， ，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $