精品解析：江苏淮安市淮安区淮安生态文化旅游区第四开明中学2025-2026学年苏教版六年级下册第四开明自主招生数学卷

2026年第四开明自主招生数学卷 （时间：90分钟 总分：120分） 一、选择，将正确答案的序号填在括号内。（每题2分，共20分） 1. 下列图形中，对称轴最多的是（ ）。 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 长方形 D. 圆 2. 一项工程，甲队独做16天完成，乙队独做12天完成，甲、乙两队的工作效率最简比是（ ）。 A. 16∶12 B. 12∶16 C. 4∶3 D. 3∶4 3. 如果一个数恰好等于除本身以外的所有因数和，这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（ ）。 A. 40 B. 36 C. 28 D. 12 4. 生产一批零件，革新技术后，时间少用20%，而产量却增长60%，革新前的工作效率是革新后的（ ）。 A. 33.3% B. 50% C. 80% D. 100% 5. 三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变。下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（ ）。 A. B. C. D. 6. 快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但拿不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（ ）只。 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 有酒精含量为36%的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为30%的溶液，如果再稀释到24%，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（ ）倍。 A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 2.5 8. 图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（ ）平方厘米。 A. 52 B. 54 C. 60 D. 58 9. 如图，有一段山路，从A到B是2千米的上坡路，从B到C是4千米的平路，从C到D是2.4千米的上坡路。欢欢和笑笑分别从A、D同时出发，相向而行，他们下坡的速度都是每小时6千米，平路的速度都是每小时4千米，上坡的速度都是每小时2千米，他们经过（ ）小时相遇。 A. 0.2 B. 0.3 C. 1.2 D. 1.3 10. 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是6∶5，如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是5∶4，而它们留在墙外的部分一样长。则甲、乙、丙的长度比是（ ）。 A. 30∶25∶26 B. 6∶5∶4 C. 30∶25∶16 D. 6∶5∶7 二、填空，（每空1分，共22分） 11. （ ）＝（ ）∶30＝70%＝（ ）（填小数）。 12. 一根6米长的绳子，先剪去它的，再剪去米，还剩（ ）米。 13. 已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应（ ），比例仍然成立。 14. 甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第（ ）层。 15. 著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置。他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系。例如，下图中蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B（ ）的位置。 16. 如图，在圆形切拼成的近似长方形上，第一只小蚂蚁从A点出发，第二只小蚂蚁同时从B点出发，已知第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，第（ ）只小蚂蚁先到达C。 17. 在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有（ ）个黑球。 18. 如图，是“苏超联赛”的赛事标识，东东要使用这个图案。他将这个图案放在一个边长为5厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大），已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了（ ）平方厘米。 19. 奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第9排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第9排至少已经被选中了（ ）个座位。 20. 一盘草莓有20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有（ ）个。 21. 一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为（ ）立方厘米。（结果保留两位小数） 22. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可追上；若开汽车，每小时行45千米，（ ）分钟能追上。 23. 甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10发，结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中（ ）发，乙命中（ ）发。 24. 如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形组成的图形。线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为（ ）。 25. 如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形ABCD的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点。在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化。图2的统计图记录了点P移动时间和三角形PAB面积的变化情况。根据图中信息回答下列问题： （1）图2中的a是（ ）平方厘米，c是（ ）平方厘米。 （2）图1中梯形ABCD的面积是（ ）平方厘米。 （3）移动（ ）秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 三、计算。（共29分） 26. 直接写出得数。 1－0.47＝ 5－5÷4＝ 4米∶8厘米＝ 4÷25%＝ 7.12×0.1＝ 27. 怎样简便怎样算。 28. 求未知数x。 x∶7.5＝25∶10 15－3（2x－4）＝3 四、图形与操作。（共11分） 29. 边长是3厘米的等边三角形ABC沿一条直线无滑动翻滚30次。求A点经过的总路程。 30. 下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 （1）仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 （2）按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ （3）第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 五、解决问题。（共38分） 31. 只列式不计算。 一种电视机，现价2000元，比原价降低了500元，降价百分之几？ 32. 只列式不计算。 一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一条裤子） 33. 只列式不计算。 一天，五（1）班24个女生中，3个人请事假，26个男生中，1个人请病假，求这一天五（1）班的出勤率。 34. 只列式不计算。 甲、乙两车从A、B两地相对开出，甲车到达B地要5小时，乙车到达A地要6小时，已知相遇时，甲车行了240千米，求乙车相遇时走了多少千米？ 35. 一件工程，甲独做要12小时完成，乙独做要18小时完成，如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，两人如此交替工作，那么完成任务共用了几小时？ 36. 圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 37. 某商店购进一批鞋子，每双售出价比购进价多15%。如果全部卖出，则可获利120元；如果只卖80双，还差64元才够成本。鞋子的购进价每双多少元？ 38. 如图，在垂直交叉的两条路上，甲在交叉点南1120米处由南向北行走，乙在交叉点处由西向东行走。同时出发4分钟后，甲乙两人第一次距交叉点的距离相等。又走了52分钟，两人第二次距交叉点的距离相等。甲乙两人的速度分别是多少？ 39. 如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，乐乐（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。乐乐（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。 （1）求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ （2）连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为3∶5时，P点的运动时间为多少秒？ 40. 阅读下列材料，并解决后面的问题。 ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名。 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。请运用“勾股定理”解决以下问题： （1）如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中平方厘米，平方厘米，则（ ）平方厘米。 （2）如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径＝8厘米，高＝15厘米，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是（ ）厘米。注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计。 （3）如图三，所示的直角三角形中，AB＝6，则的值＝（ ）。注值取3。 （4）如图四的圆柱，高＝5厘米，底面半径＝4厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置，连接AB。 ②小聪认为线段AB的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是（ ）厘米。注：值取3。 （5）如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是（ ）厘米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年第四开明自主招生数学卷 （时间：90分钟 总分：120分） 一、选择，将正确答案的序号填在括号内。（每题2分，共20分） 1. 下列图形中，对称轴最多的是（ ）。 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 长方形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。据此判断即可。 【详解】A．等腰三角形有1条对称轴； B．等边三角形有3条对称轴； C．长方形有2条对称轴； D．圆有无数条对称轴。 所以对称轴最多的是圆。 2. 一项工程，甲队独做16天完成，乙队独做12天完成，甲、乙两队的工作效率最简比是（ ）。 A. 16∶12 B. 12∶16 C. 4∶3 D. 3∶4 【答案】D 【解析】 【分析】总工程量一定，甲、乙两队工作效率的比等于时间的反比，所以甲、乙两队工作效率的比是12∶16，化简即可解答。 【详解】12∶16 ＝（12÷4）∶（16÷4） ＝3∶4 3. 如果一个数恰好等于除本身以外的所有因数和，这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（ ）。 A. 40 B. 36 C. 28 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】找出每个选项除自身外的因数，求和，得数和原数相等就是完全数。 【详解】A．除40本身以外的所有因数：1、2、4、5、8、10、20，所有因数和：1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＝50，50不等于40，不是“完全数”。 B．除36本身以外的所有因数：1、2、3、4、6、9、12、18，所有因数和：1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，55不等于36，不是“完全数”。 C．除28本身以外的所有因数： 1、2、4、7、14，所有因数和：1＋2＋4＋7＋14＝28，28等于28，符合“完全数”。 D．除12本身以外的所有因数： 1、2、3、4、6，所有因数和：1＋2＋3＋4＋6＝16，16不等于12，不是“完全数”。 综上，故选28。 4. 生产一批零件，革新技术后，时间少用20%，而产量却增长60%，革新前的工作效率是革新后的（ ）。 A. 33.3% B. 50% C. 80% D. 100% 【答案】B 【解析】 【分析】革新前的工作效率是革新后的百分之几，用革新前的工作效率÷革新后的工作效率×100%。工作效率＝工作总量÷工作时间，设革新前的工作总量是a，工作时间是b，则革新后的工作总量是a（1＋60%），革新后的时间是b（1－20%），分别表示出革新前后的工作效率，再列式计算即可。 【详解】设革新前的工作总量是a，工作时间是b，则革新后的工作总量是a（1＋60%），革新后的时间是b（1－20%）， 革新前的工作效率：； 革新后的工作效率： ＝50% 所以生产一批零件，革新技术后，时间少用20%，而总量却增长60%，革新前的工作效率是革新后的50%。 故答案为：B 【点睛】工作效率＝工作总量÷工作时间，求一个数多（少）百分之几的数是多少，用乘法。 5. 三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变。下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变，即可解答。 【详解】A．梯形面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； B．平行四边形的底和长方形的长相同，平行四边形的高小于长方形的宽，不符合题意； C．圆面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； D．三角形面积经过“出入相补”原理后和长方形面积相等，符合题意。 综上，只有B选项不符合“出入相补”原理。 故答案为：B 【点睛】“出入相补” 原理：图形分割重组后面积总和不变。 6. 快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但拿不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（ ）只。 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先统一单位：2角＝0.2元，8角＝0.8元。假设500只玻璃杯全部完好无损，求出应收总运费；实际拿到的运费比全部完好少了一部分，损坏1只不仅少得0.2元运费，还要赔付0.8元，所以损坏1只一共损失0.2＋0.8＝1元；用总共少的运费÷损坏1只损失的钱，即可求出损坏的数量。 【详解】2角＝0.2元，8角＝0.8元 全完好总运费：500×0.2＝100（元） 少得运费：100－87＝13（元） 坏1只损失：0.2＋0.8＝1（元） 损坏的数量：13÷1＝13（只） 7. 有酒精含量为36%的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为30%的溶液，如果再稀释到24%，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（ ）倍。 A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】假设36%的酒精溶液100克，那么含酒精100×36%＝36克，是不变的；30%的浓度的酒精溶液是36÷30%＝120克，比100克多了20克水；24%的浓度的酒精溶液是36÷24%＝150克，比100克多了50克水；第一次加了20克，第2次又加了50－20＝30克，用第2次加水的数量除以第1次加水的数量，即可解答。 【详解】假设36%的酒精溶液100克。 含酒精：100×36%＝36（克） 36÷30%－100 ＝120－100 ＝20（克） （36÷24%－100－20）÷20 ＝（150－100－20）÷20 ＝30÷20 ＝1.5 所以还需要加水的数量是上次加的水量的1.5倍。 8. 图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（ ）平方厘米。 A. 52 B. 54 C. 60 D. 58 【答案】B 【解析】 【分析】原三角形的面积看成1，那么重叠部分的面积为1－，阴影部分的面积为原三角形的面积减去2倍的重叠部分面积，根据数量÷对应占比＝总量，求出原三角形的面积。 【详解】原三角形的面积看成1 1－ 30÷ ＝30÷ ＝30× ＝54（平方厘米） 【点睛】求出重叠部分占原三角形面积的占比为解题关键。 9. 如图，有一段山路，从A到B是2千米的上坡路，从B到C是4千米的平路，从C到D是2.4千米的上坡路。欢欢和笑笑分别从A、D同时出发，相向而行，他们下坡的速度都是每小时6千米，平路的速度都是每小时4千米，上坡的速度都是每小时2千米，他们经过（ ）小时相遇。 A. 0.2 B. 0.3 C. 1.2 D. 1.3 【答案】C 【解析】 【分析】欢欢上坡要走2÷2＝1（小时），笑笑下坡要走2.4÷6＝0.4（小时），还有1－0.4＝0.6（小时），平路上0.6小时可以走4×0.6＝2.4（千米），由此判断，他们的相遇点在平路上，笑笑已经在平路上走了0.6小时的路程，剩下的路程就是他们在平路上共同行走的路程，根据这个路程求出他们这段路程的相遇时间。 【详解】2÷2＝1（小时） 2.4÷6＝0.4（小时） 1－0.4＝0.6（小时） 4×0.6＝2.4（千米） （4－2.4）÷（4＋4） ＝1.6÷8 ＝0.2（小时） 1＋0.2＝1.2（小时） 他们经过1.2小时相遇。 10. 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是6∶5，如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是5∶4，而它们留在墙外的部分一样长。则甲、乙、丙的长度比是（ ）。 A. 30∶25∶26 B. 6∶5∶4 C. 30∶25∶16 D. 6∶5∶7 【答案】A 【解析】 【分析】先根据甲乙长度比6∶5设出甲、乙的整体长度，再用甲的总长乘求出甲钉入墙内的长度，用甲总长减去入墙长度求出甲墙外部分的长度，借助甲丙墙外长度相等确定丙的墙外长度，再根据甲丙入墙长度5∶4求出丙钉入墙内的长度，把丙入墙和墙外长度相加求出丙的总长，最后写出甲、乙、丙的长度比并化简即可解答。 【详解】因为甲∶乙＝6∶5， 设甲的长度为6k，则乙的长度为5k。 甲入墙：6k×＝4k 甲墙外：6k－4k＝2k 则丙墙外＝2k 因为甲入墙∶丙入墙＝5∶4， 所以4k∶丙入墙＝5∶4 5×丙入墙＝4k×4 5×丙入墙＝16k 5×丙入墙÷5＝16k÷5 丙入墙＝k 丙总长：k＋2k＝k 甲∶乙∶丙 ＝6k∶5k∶k ＝6∶5∶ ＝（6×5）∶（5×5）∶（×5） ＝30∶25∶26 二、填空，（每空1分，共22分） 11. （ ）＝（ ）∶30＝70%＝（ ）（填小数）。 【答案】10；20；21；0.7 【解析】 【分析】百分数化分数：把百分数写成分母是100的分数，再约分； 分数与除法的关系：分子作为被除数，分母作为除数； 商不变性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变； 分数与比的关系：分子作为比的前项，分母作为比的后项； 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变； 百分数化小数的方法：小数点向左移动两位，去掉百分号即可。 【详解】70%＝ ＝7÷10 7÷10 ＝（7×2）÷（10×2） ＝14÷20 ＝7∶10 7∶10 ＝（7×3）∶（10×3） ＝21∶30 70%＝0.7 ＝14÷20＝21∶30＝70%＝0.7 12. 一根6米长的绳子，先剪去它的，再剪去米，还剩（ ）米。 【答案】## 【解析】 【分析】把绳子的长度看作单位“1”，先剪去它的，求出先剪去的长度，单位“1”已知，用乘法，用绳子的长度×，求出先剪去的长度；再用绳子的长度－先剪去的长度－再剪去的长度，即可解答。 【详解】6－6×－ ＝6－1－ ＝5－ ＝（米） 13. 已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应（ ），比例仍然成立。 【答案】缩小到原来的 【解析】 【分析】a扩大到原来的2倍是2a，b缩小到原来的是b，则2a∶b＝4a∶b，c不变，设变化后的d为d1，所以4a∶b＝c∶d1。再根据比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。已知a∶b＝c∶d，则ad＝bc，故4a×d1＝bc，因为4a×d＝ad，所以d1＝d。 【详解】设变化后的d为d1 根据题意变化后的左边为：2a∶b＝4a∶b， 即4a∶b＝c∶d1， 由a∶b＝c∶d，得ad＝bc， 所以4a×d1＝bc。 因为4a×d＝ad，所以d1＝d，即d缩小到原来的。 因此，已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应缩小到原来的，比例仍然成立。 14. 甲、乙两人比赛爬楼梯，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，照这样计算，甲跑到第16层时，乙应跑到第（ ）层。 【答案】11 【解析】 【分析】爬楼梯的层数＝所到层数－1，当甲跑到第四层时，乙恰好跑到第三层，即当甲爬（4－1）层时，乙恰好爬（3－1）层，据此确定两人的层数比，将比的前后项看成份数，甲爬的层数÷对应份数＝一份数，一份数×乙的对应份数＝乙爬的层数，乙爬的层数＋1＝乙所到层数。 【详解】（4－1）∶（3－1）＝3∶2 （16－1）÷3×2 ＝15÷3×2 ＝5×2 ＝10（层） 10＋1＝11（层） 15. 著名数学家笛卡尔通过观察蜘蛛结网的动作，想到了用坐标来确定空间中的位置。他画了三条互相垂直的直线，用交点表示空间内的蜘蛛，从而发明了现代数学的基础工具之一——坐标系。例如，下图中蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B（ ）的位置。 【答案】（2，3，3） 【解析】 【分析】由图可知，点A在x轴方向对应的刻度为4，在y轴方向对应的刻度为5，在z轴方向对应的刻度为3，表示为（4，5，3），因此空间点的位置可以 （x轴坐标，y轴坐标，z轴坐标）表示，据此解答。 【详解】观察图形，点B在x轴方向对应的刻度为2，在y轴方向对应的刻度为3，在z轴方向对应的刻度为3，所以点B的位置为（2，3，3）。 综上，蜘蛛原本在点A（4，5，3）的位置，现在爬到了点B（2，3，3）的位置。 【点睛】空间中点的坐标由“x轴坐标、y轴坐标、z轴坐标”三部分组成，需分别读取点在三条互相垂直的坐标轴上对应的刻度值，再按“（x，y，z）”的格式组合即可确定坐标。 16. 如图，在圆形切拼成的近似长方形上，第一只小蚂蚁从A点出发，第二只小蚂蚁同时从B点出发，已知第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，第（ ）只小蚂蚁先到达C。 【答案】一 【解析】 【分析】把圆形切拼成长方形时，长方形的长近似于圆周长的一半，宽近似于圆的半径。从图中可知，第一只小蚂蚁从A点到C点的路程是长方形的长，即圆周长的一半，第二只小蚂蚁从B点到C点的路程是长方形的宽，即为圆的半径。设圆的半径为r，根据圆周长＝2πr，圆周长的一半为πr，即第一只小蚂蚁的路程为πr。假设第二只蚂蚁的速度为v，第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，则第一只蚂蚁的速度为3.2v。最后根据时间＝路程÷速度，分别代入数据求出两只蚂蚁的爬行时间，最后比较即可。 【详解】设第二只蚂蚁的速度为v，则第一只蚂蚁的速度为3.2v。 第一只蚂蚁用的时间： 2×π×r÷2÷3.2v ＝πr÷3.2v ＝ ＝× 第二只蚂蚁用的时间：r÷v＝ 因为π＜3.2，所以＜1，那么×＜，第一只蚂蚁先到达C。 17. 在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有（ ）个黑球。 【答案】7 【解析】 【分析】假设摸出绿球的可能性等于，即盒子中球的总个数的是绿球的个数，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出盒子中球的总个数，然后减去盒子中红球和绿球的个数，即为盒子中黑球的个数；因为拿出绿球的可能性小于，所以用求出的黑球个数加1即可。 【详解】（个） （个） （个） 即，要使拿出绿球的可能性小于，那么至少有7个黑球。 【点睛】解答本题的关键在于理解：当摸出绿球的可能性等于时黑球的个数加1即为所求黑球的最小个数。 18. 如图，是“苏超联赛”的赛事标识，东东要使用这个图案。他将这个图案放在一个边长为5厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大），已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了（ ）平方厘米。 【答案】4.4 【解析】 【分析】根据题意可知，拉伸前正方形面积与拉伸后正方形面积比等于拉伸前图案的面积与拉伸后图案的面积比，设拉伸后图案面积是x平方厘米，列比例：52∶62＝10∶x，解比例，求出拉伸后图案面积，再用拉伸后图案的面积－原来图案面积，即可解答。 【详解】解：设拉伸后图案面积是x平方厘米。 52∶62＝10∶x 25∶36＝10∶x 25x＝36×10 25x＝360 x＝360÷25 x＝14.4 14.4－10＝4.4（平方厘米） 19. 奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第9排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第9排至少已经被选中了（ ）个座位。 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，说明这19个座位中，任何一个空位的左边或右边，至少有一个是被选中的座位，最多可以构成“空位，被选中、空位”这样的3个座位组合，看19个座位中有几个3，就有几组这样的组合，每个组合中有1个座位被选中，据此得出至少被选中的座位数量。 【详解】19÷3＝6（个）……1（个） 至少已经被选中了：6＋1＝7（个） 20. 一盘草莓有20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有（ ）个。 【答案】17 【解析】 【分析】若每人分3个，余2个，就是3的倍数加2，在20左右找出这样的数．若每人分4个，差3个，就是4的倍数减3，也在20左右找出这样的数。在这两组数中找到相同的数即可解答。据此解答。 【详解】如果每人分3个，余2个，则有可能是 3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（个） 3×6＋2 ＝18＋2 ＝20（个） 3×7＋2 ＝21＋2 ＝23（个） 若每人分4个，差3个，则可能是 4×5－3 ＝20－3 ＝17（个） 4×6－3 ＝24－3 ＝21（个） 4×7－3 ＝28－3 ＝25（个） 因此这盘草莓有17个。 所以一盘草莓有20个左右，几位小朋友分，若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个，这盘草莓有17个。 21. 一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为（ ）立方厘米。（结果保留两位小数） 【答案】289.85 【解析】 【分析】先根据已知是直角三角形，确定5厘米、12厘米为直角边，13厘米是斜边，根据三角形面积＝底×高÷2，先用两条直角边求出三角形面积，再根据面积公式求出斜边上的高，这条高就是旋转后组合圆锥的底面半径；以斜边为轴旋转一周会形成两个底面相同的圆锥拼接的立体，两个圆锥的高之和等于斜边长度，最后根据圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14），代入数值即可求出整体体积，并利用四舍五入法按要求保留两位小数。 【详解】三角形面积：5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 斜边上的高（底面半径）：30×2÷13 ＝60÷13 ＝（厘米） 体积：×3.14×（）2×13 ＝×3.14××13 ＝×3.14 ≈289.85（立方厘米） 22. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可追上；若开汽车，每小时行45千米，（ ）分钟能追上。 【答案】45 【解析】 【分析】设小明步行时速为x，依据前后路程差不变列方程，先求小明速度，再算初始相隔路程，用路程差除以汽车与小明的速度差求出追及时间，换算分钟。 【详解】解：设小明每小时行x千米。 3×（15－x）＝1×（35－x） 45－3x＝35－x 2x＝10 x＝5 追及路程：35×1－5×1 ＝35－5 ＝30（千米） 30÷（45－5） ＝30÷40 ＝0.75（小时） 0.75×60＝45（分钟） 23. 甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10发，结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中（ ）发，乙命中（ ）发。 【答案】 ①. 8 ②. 6 【解析】 【分析】假设甲中10发，乙就中14－10＝4（发），甲得4×10＝40（分），乙得5×4－3×(10－4)＝2（分）； 根据条件“甲比乙多10分”得出：相差(40－2)－10＝28（分）； 甲少中1发，少4＋2＝6（分），乙可增加5＋3＝8（发）； 即甲中：10－28÷(8+6)＝8（发），乙中：14－8＝6（发）。 【详解】假设甲中10发，得分：4×10＝40（分）； 乙中：14－10＝4（发），得分5×4－3×(10－4)＝2（分）； 相差：(40－2)－10＝28（分）； 甲少中1发，少4＋2＝6（分），乙可增加5＋3＝8（发）； 甲中：10－28÷(8+6)＝8（发）； 乙中：14－8＝6（发）。 故答案为：8；6 【点睛】本题属于鸡兔同笼问题，用鸡兔同笼问题的方法进行求解。 24. 如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形组成的图形。线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】把原图形补成一个以AB为对角线的大长方形，对角线AB把长方形分为面积相等的两个大三角形，线段AB把原图形分为面积相等的左右两部分，那么两个大三角形分别减去原图中面积相等的左右部分后，长方形CNPI的面积＋长方形JPGQ的面积＝长方形DEHM的面积，长方形DEHM长8，宽为12－8，面积＝长×宽，把数据代入公式计算求得剩余面积是32，左下方长方形JPGQ长10，宽是12－10，面积是10×（12－10），就是20，长方形CNPI的面积是32－20＝12，用12除以宽2，求得长CN是6，再用总长12减去6，求得长为6。 【详解】 把原图形补成一个以AB为对角线的大长方形，由题意得： 长方形CNPI的面积＋长方形JPGQ的面积＝长方形DEHM的面积 长方形CNPI的面积： 8×（12－8）－10×（12－10） ＝8×4－10×2 ＝32－20 ＝12 长：12÷2＝6 的长：12－6＝6 25. 如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形ABCD的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点。在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化。图2的统计图记录了点P移动时间和三角形PAB面积的变化情况。根据图中信息回答下列问题： （1）图2中的a是（ ）平方厘米，c是（ ）平方厘米。 （2）图1中梯形ABCD的面积是（ ）平方厘米。 （3）移动（ ）秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 【答案】（1） ①. 32 ②. 24 （2）72 （3）6##16 【解析】 【分析】（1）根据图可知，a对应的是8秒的时候，由于当P在AB段上移动时，P、A、B不能构成三角形，所以没有面积，即在第4秒的时候，开始有面积，说明第4秒走到了B点，那么AB的长度是4×2＝8（厘米），当P点走到C点的时候，三角形的面积是最大的，则此时走了10秒，当第8秒时，即在BC段走了4秒，那么此时的PB长是4×2＝8（厘米），高是AB的长度，三角形的面积＝底×高÷2，算出第8秒时三角形的面积，即为a的值。 当在10秒开始，三角形的面积下降，此时在CD线上，由于在15秒时，下降趋势变化，说明15秒时走到了D点，从D点到A点总共走了3秒，即AD的长度是3×2＝6（厘米），高是AB的长度，三角形的面积＝底×高÷2，算出第15秒时三角形的面积，即为c的值。 （2）由于AD是6厘米，AB是8厘米，BC总共走了10－4＝6（秒），即BC的长度是6×2＝12（厘米），梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可算出梯形的面积。 （3）三角形的面积＝底×高÷2，用三角形的面积乘2除以高求出底，分两种情况： 情况一：点P在BC边上，PB＝4厘米，共走了4÷2＝2（秒），将AB段用的时间与PB段用的时间相加即可； 情况二：点P在DA边上，PA＝4厘米，共需要4÷2＝2（秒），用总时间减去PA段用的时间即可。 【小问1详解】 AB的长度： 4×2＝8（厘米） 第8秒时BC边的长度：（8－4）×2 ＝4×2 ＝8（厘米） 第8秒三角形的面积：8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 图2中的a是32平方厘米。 AD的长度：（18－15）×2 ＝3×2 ＝6（厘米） 第15秒三角形的面积：6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 图2中的c是24平方厘米。 【小问2详解】 10－4＝6（秒） BC的长度：（10－4）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 梯形ABCD的面积：（6＋12）×8÷2 ＝18×8÷2 ＝144÷2 ＝72（平方厘米） 【小问3详解】 16×2÷8 ＝32÷8 ＝4（厘米） 4÷2＝2（秒） 4＋2＝6（秒） 18－2＝16（秒） 移动6秒（或16秒）时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 三、计算。（共29分） 26. 直接写出得数。 1－0.47＝ 5－5÷4＝ 4米∶8厘米＝ 4÷25%＝ 7.12×0.1＝ 【答案】0.53；3.75；；50； 16；0.712；；1 27. 怎样简便怎样算。 【答案】；1； 【解析】 【分析】（1）观察各分数分子比分母小1，原来每个分数可拆分为：，，，，，原式化为5个1相加减分数单位之和。这些单位：，，，，又可拆分为相邻分数差：，，，，，分数单位之和相加后中间项抵消，仅剩首项和尾项。 （2）带分数转化假分数时提取公因数，除法变乘法约分。 带分数分子提取2025，化为；除法转化为乘倒数后，2025与分子2025约去，剩余，再加得1。 （3）除法转乘法（乘除数的倒数），交叉约分简化。 将除法写为乘除数各因数的倒数，分子分母中相同因数（与，与，与）约去，剩余因数相乘得结果。 【详解】， （1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ 28. 求未知数x。 x∶7.5＝25∶10 15－3（2x－4）＝3 【答案】；； 【解析】 【分析】（1）根据比例的基本性质“两外项乘积＝两内项乘积”转化为等式方程，再根据等式的性质2，方程两边同时除以10即可； （2）根据等式的性质1，方程两边同时加，再同时减；根据等式的性质2，方程两边同时除以即可； （3）先整理方程，方程左边得：15－＋12，然后计算15＋12的值，再根据等式的性质1，方程两边同时加，再同时减3，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以6。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 四、图形与操作。（共11分） 29. 边长是3厘米的等边三角形ABC沿一条直线无滑动翻滚30次。求A点经过的总路程。 【答案】125.6厘米 【解析】 【分析】等边三角形每一个内角为60°，如图： 翻滚3次为一个周期。第1、2次翻滚时，A点是绕旋转中心转动，翻滚一次经过的路程是圆心角为60°×2，半径为3厘米的扇形的弧长，第3次旋转，A点是旋转中心，没有移动，所以每个周期内A点经过的是2个圆心角为60°×2，半径为3厘米的弧长，即一个周期内A点的路程为：圆周长××2，看30次里边有几个3就有几个周期，用周期数×一个周期内A点的路程＝总路程。 【详解】一个周期内A点经过路程： 2×3.14×3××2 ＝2×3.14×3××2 ＝2×3.14×3××2 ＝12.56（厘米） 周期数：30÷3＝10（个） 12.56×10＝125.6（厘米） 答：A点经过的总路程是125.6厘米。 30. 下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 （1）仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 （2）按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ （3）第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】（1） （2）210块 （3）（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【解析】 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【小问1详解】 第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： 【小问2详解】 1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 【小问3详解】 由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 五、解决问题。（共38分） 31. 只列式不计算。 一种电视机，现价2000元，比原价降低了500元，降价百分之几？ 【答案】500÷（2000＋500）×100% 【解析】 【分析】用现价＋降低的钱数，求出电视机的原价，再用降低的钱数÷原价×100%，即可解答。 【详解】500÷（2000＋500）×100% ＝500÷2500×100% ＝0.2×100% ＝20% 答：降价20%。 32. 只列式不计算。 一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一条裤子） 【答案】1÷（1÷20＋1÷30） 【解析】 【分析】把这批布看作单位“1”，每件衣服需布料为1÷20＝，每条裤子需要布料1÷30＝，一件衣服和一条裤子一共需要（＋）的布料，再用总布料除以一套衣服需要的布料即可，据此列式。 【详解】1÷（1÷20＋1÷30） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1×12 ＝12（套） 答：这批布可做12套衣服。 33. 只列式不计算。 一天，五（1）班24个女生中，3个人请事假，26个男生中，1个人请病假，求这一天五（1）班的出勤率。 【答案】（24－3＋26－1）÷（24＋26）×100% 【解析】 【分析】根据出勤率＝出勤的人数÷总人数×100%，分别求出出勤人数和总人数即可解答。 【详解】（24－3＋26－1）÷（24＋26）×100% ＝46÷50×100% ＝92% 答：这一天五（1）班的出勤率是92%。 34. 只列式不计算。 甲、乙两车从A、B两地相对开出，甲车到达B地要5小时，乙车到达A地要6小时，已知相遇时，甲车行了240千米，求乙车相遇时走了多少千米？ 【答案】240÷6×5 【解析】 【分析】根据路程＝速度×时间，路程一定时，速度和时间成反比例，单独行完全程甲乙所用时间比时5∶6，则甲乙速度比是6∶5；相遇时甲乙两车行驶的时间相同，速度和路程成正比例，则甲乙路程比＝速度比＝6∶5，甲车路程看作6份，则乙车路程是5份，甲车的路程÷甲车路程所占份数×乙车路程所占份数＝乙车路程。 【详解】甲车速度∶乙车速度＝6∶5，相遇时甲车路程∶乙车路程＝6∶5，则乙车路程为： 240÷6×5（千米） 答：求乙车相遇时走了240÷6×5千米。 35. 一件工程，甲独做要12小时完成，乙独做要18小时完成，如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，两人如此交替工作，那么完成任务共用了几小时？ 【答案】小时 【解析】 【分析】将这个过程看成单位“1”，再根据工作效率＝工作总量÷工作时间分别得出甲的工作效率为，乙的工作效率是。根据题意可以将甲乙交替工作看成一个周期，完成这项工作需要个周期，即甲乙交替完成7个完整的周期也就是14个小时就是完成了这项工程的，剩下的就是甲完成的，根据工作时间＝工作总量÷工作效率得出需要小时，再加上前面的14个小时就是完成这项任务的时间。 【详解】 （小时） （小时） 答：完成任务共用了小时。 36. 圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 【答案】15.625厘米 【解析】 【分析】根据题意可知，水体积不变。先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 往容器内插入圆柱形铁棒且铁棒底面与容器底面接触，那么容器内水的底面积等于圆柱形容器的底面积减去圆柱形铁棒的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出此时容器内水的底面积； 再根据圆柱的高h＝V÷S，即用水的体积÷容器内水的底面积，求出此时水的水深。 【详解】水的体积： 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 水的底面积： 3.14×52－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 水的深度： 785÷50.24＝15.625（厘米） 答：这时水深15.625厘米。 37. 某商店购进一批鞋子，每双售出价比购进价多15%。如果全部卖出，则可获利120元；如果只卖80双，还差64元才够成本。鞋子的购进价每双多少元？ 【答案】8元 【解析】 【分析】先算这批鞋子的总购进成本，因为总利润120元，就是全部成本的15%，用120除以15%即可求出这批鞋的购进成本，再算80双鞋子的总售出金额，因为卖80双还差64元才够成本，用购进成本减去64即可求出80双鞋的总售出金额，再算每双鞋子的售出价，用80双鞋的总售出金额除以鞋数，最后求每双鞋子的购进价，因为每双售出价比购进价多15%，用每双鞋的售出价除以（1＋15%）即可。 【详解】120÷15%－64 ＝800－64 ＝736（元） 736÷80÷（1＋15%） ＝9.2÷（1＋15%） ＝9.2÷115% ＝8（元） 答：鞋子的购进价每双8元。 38. 如图，在垂直交叉的两条路上，甲在交叉点南1120米处由南向北行走，乙在交叉点处由西向东行走。同时出发4分钟后，甲乙两人第一次距交叉点的距离相等。又走了52分钟，两人第二次距交叉点的距离相等。甲乙两人的速度分别是多少？ 【答案】甲150米/分，乙130米/分 【解析】 【分析】甲的速度用表示，乙的速度用表示，根据题意，如图： 假设4分钟后甲到达A点，乙到达B点，则OA＝OB，甲4分钟走的路程是HA，乙4分钟走的路程是OB＝OA，则甲乙4分钟一共走了OB＋HA＝OA＋HA＝1120米，即，求得甲乙的速度和； 假设又走52分钟后甲到达D点，乙到达C点，OD＝OC，所以56分钟甲走的路程是HD，乙走的路程是OC，56分钟甲比乙多走了HD－OC＝HD－OD＝1120米，即，得到甲乙的速度差；根据和差公式：大数＝（和＋差）÷2，求出甲的速度，再根据甲乙的速度和求出乙的速度。 【详解】甲乙速度差：1120÷56＝20（米/分） 甲乙速度和：1120÷4＝280（米/分） 甲的速度： （280＋20）÷2 ＝300÷2 ＝150（米/分） 乙的速度： 280－150＝130（米/分） 答：甲的速度是150米/分，乙的速度是130米/分。 39. 如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，乐乐（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。乐乐（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。 （1）求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ （2）连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为3∶5时，P点的运动时间为多少秒？ 【答案】（1）50米，12米 （2）21秒 【解析】 【分析】三角形面积＝底×高÷2，当点P从点A到点D运动时，三角形PAB的面积＝AB×PA÷2，AB的长度不变，PA长度逐渐变大，三角形PAB的面积逐渐增大；当点P从点D运动到点C时，三角形PAB的底是AB，高是平行线AB、CD间的距离，根据平行线间的距离处处相等，三角形PAB面积＝AB×DA÷2，面积不变；当点P从点C到点B运动时，三角形PAB的面积＝AB×PB÷2，AB的长度不变，PB长度逐渐减小，三角形PAB的面积逐渐减少；由图2得，当运动时间为2秒时，速度为1米/秒，根据路程＝速度×时间，PA＝1×2，也就是2米，面积是50平方米，用三角形的面积×2÷PA，求得AB的长度，当三角形面积逐渐增大到300平方米后一直没有变化，表示AB×DA÷2＝300，把数据代入计算，求得DA的长度； 三角形PBN的面积与三角形ABN的高都是点B到AP的垂线段的长度，高相等，三角形PBN的面积与三角形ABN面积之比＝PN∶AN＝3∶5，三角形ABN与三角形DPN中，DP∶AB＝3∶5，把AB＝50代入计算，求得DP＝30，那么点P走的路程之和是12＋30＝42，再用路程除以速度，求得点P的运动时间。 【小问1详解】 当运动时间为2秒时 AP＝1×2 ＝2米 50×2÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 300×2÷50 ＝600÷50 ＝12（米） 答：长方形长是50米，宽是12米。 【小问2详解】 三角形PBN与三角形ABN具有共同顶点B且高相同的，面积之比是3∶5 所以PN∶AN＝3∶5， 三角形ABN与三角形DPN中，DP∶AB＝3∶5 DP∶50＝3∶5 50×3＝5×DP 150＝5×DP DP＝150÷5 DP＝30 （30＋12）÷2 ＝42÷2 ＝21（秒） 答：P点的运动时间为21秒。 40. 阅读下列材料，并解决后面的问题。 ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名。 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。请运用“勾股定理”解决以下问题： （1）如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中平方厘米，平方厘米，则（ ）平方厘米。 （2）如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径＝8厘米，高＝15厘米，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是（ ）厘米。注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计。 （3）如图三，所示的直角三角形中，AB＝6，则的值＝（ ）。注值取3。 （4）如图四的圆柱，高＝5厘米，底面半径＝4厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置，连接AB。 ②小聪认为线段AB的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是（ ）厘米。注：值取3。 （5）如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是（ ）厘米。 【答案】（1）625 （2）17 （3）13.5 （4）①；②13 （5）15 【解析】 【分析】（1）由“阅读材料”可知，直角三角形两条直角边的平方的和等于斜边的平方。正方形的面积等于边长乘边长。图一中，，，因为，所以，已知，，代入进行计算。 （2）如图，作圆柱的底面半径和高，则圆柱的底面半径、高及吸管组成了一个直角三角形，此时吸管的长度就是这个直角三角形斜边的长，一条直角边是圆柱的底面半径8厘米，一条直角边是圆柱的高15厘米，根据，将两条直角边的长度代入公式求出的值，再求出吸管的长度。 （3）如图，已知AB长的是6，则直角三角形ABC斜边的长为6，根据勾股定理可得，，，，等量代换可得，化简后求出与和后，由半圆的面积公式，可得，将与的和代入进行计算。 （4）如图，圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因为A点和B点的位置是相对的，所以将圆柱的侧面展开后，B点在长方形上边的中点处，则红色部分的长度为长方形长的一半，即圆柱底面周长的一半，利用进行计算，蓝色部分为圆柱的高，红色线、蓝色线和AB围成了一个直角三角形，AB是这个直角三角形的斜边，根据勾股定理求出AB的平方后计算AB。 （5）如图：长方体长为9厘米，宽为9厘米，高为3厘米，确定蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程有两种方案。 方案一： 如图：将长方体的前面和右面（或左面和后面）展开后得到一个长方形，连接AB，得到一个直角三角形，两条直角边分别为18厘米和3厘米，根据勾股定理求出斜边AB的平方。 方案二： 如图：将长方体的前面和上面（或下面和后面）展形后得到一个长方形，连接AB，得到一个直角三角形，两条直角边分别为12厘米和9厘米，根据勾股定理求出斜边AB的平方。 最后，将方案一和方案二斜边的平方作比较，斜边的平方越大，斜边越大，据此确定最短路程。 【小问1详解】 （平方厘米） 【小问2详解】 （平方厘米） 则吸管的最大长度为17厘米。 【小问3详解】 ， 由可得， 即 由，可得： 【小问4详解】 （厘米） （平方厘米） 所以AB的长度为13厘米。 【小问5详解】 方案一： （厘米） （平方厘米），即AB长度的平方为333平方厘米。 方案二： （厘米） （平方厘米），即AB长度的平方为225平方厘米。 ，所以方案二的路程最短。 因为，所以蚂蚁爬行的最短路程是15厘米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $