2026年宁夏回族自治区银川市第二十四中学二模数学试题

**基本信息** 银川二十四中九年级二模数学试卷以科技前沿（氮化镓芯片、机器人武术秀）、文化传承（榫卯结构、园林门）为情境，梯度设计基础运算（科学记数法、因式分解）、综合应用（二次函数性质、几何动态问题），适配中考二模诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、科学记数法、二次函数性质|第2题以0.0000001024m芯片波长考科学记数法，体现数学眼光的抽象能力| |填空题|8/24|因式分解、旋转路径、统计频率|第12题用正方形二维码掷点频率估面积，落实数据意识| |解答题|10/72|分式化简、几何证明、函数应用|第24题结合春日经济设计利润问题，第25题发石车抛物线模型，培养模型意识与推理能力|

银川市第二十四中学九年级三模数学试题答案 1、 选择题 1、 C 2、A 3、D 4、C 5、 B 6、 D 7、C 8、B 2、 填空题 9. 3b（1+b）（1﹣b）． 10. 13 11.（1，4）． 12. 3 13. ． 14. ． 15. 140cm 16. 8 3、 解答题 17.解：， 解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x≥﹣2， ∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜2． 18. 解：（1）涉及分式的通分的步骤是第一步，依据是：分式的基本性质； （2）化简过程从第二步开始出现错误， （3） ＝ ＝ ＝• ＝ ＝． ∵当x＝﹣2，0，1或2时，原分式无意义， ∴x＝3， 当x＝3时，原式＝＝． 19.解：（1）如图1，高AD即为所求． （2）如图2，点E即为所求． （3）如图3，点F即为所求． 20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵BE＝BC， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴AE∥BD， ∵BF∥AC， ∴四边形AFBO是平行四边形， ∵∠AOB＝90°， ∴平行四边形AFBO是矩形； （2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形， ∴OF＝AB＝6，∠AFB＝∠EAC＝90°， 又∵∠E＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AB＝BC＝6，AO＝OC， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC＝6， ∴， ∴， ∴． 21. 解：当0≤x≤4时，一次函数的解析式为y＝﹣4x﹣4；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，解析式为 y＝﹣ ； 每天耗电不超过1度电符合实际， 理由：将y＝﹣4代入y＝﹣，可得﹣4＝﹣，解得x＝20， 即每20分钟，运行4分钟， ∴该冰箱的每天耗电量为：（60÷20×24）××0.2 ＝（3×24）××0.2 ＝72××0.2 ＝（千瓦时）， ∵＜1， ∴每天耗电不超过1度电符合实际． 22. 解；（1）由表格及所给总数，中位数定义可知： a＝13， ∴b＝40﹣4﹣11﹣13﹣10＝2， c＝40﹣6﹣3﹣14﹣2＝15； 将七年级40名学生成绩从小到大进行排序，排在第20位的是72分，第21位的是73分，因此中位数； 故答案为：2；72.5； （2）利用圆心角求法、方差的定义可知： ， ∵47.5＞23.6， ∴八年级成绩更稳定； 故答案为：135；八； （3）∵七年级成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78， ∴该组不低于75分的人数为4人， ∵80≤x＜90分数段的10人和90≤x＜100分数段的2人， ∴， 答：七年级能参加第二轮比赛的人数为320人． 23.（1）证明：连接AD， ∵点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E， ∴BE平分∠BAC，AD平分∠BAC， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD， ∵∠CAE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠CAE， ∴∠ADE＝∠BAD+∠ABE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE， ∴AE＝DE． （2）解：∵∠FAE＝∠ABE，∠E＝∠E， ∴△FAE∽△ABE， ∴， ∴EF， ∵AE＝DE＝6，BD＝3， ∴BE＝DE+BD＝6+3＝9， ∴EF4， ∴EF的长为4． 24.解：任务1：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为20%； 任务2：设降价m元，则下调后定价为（50﹣m）元，销售量为（40+8×）份， 由题意得：（50﹣m﹣20）（40+8×）＝1200， 整理得：m2﹣20m＝0， 解得：m1＝20，m2＝0（不符合题意，舍去）， ∴50﹣m＝30， 答：下调后每份套餐的售价是30元； 任务3：该店平均每天不能获利1800元， 设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为（50﹣y）元，销售量为（40+8×）份， 由题意得：（50﹣y﹣20）（40+8×）＝1800， 整理得：y2 + 7y+150＝0， ∵Δ＜0， ∴原方程没有实数根 ∴该店平均每天不能获利1800元。 25.解：（1）设y＝a（x﹣6）2+12， 将点（0，0）代入，得36a+12＝0， 解得， ∴． （2）∵当x＝9时，， BE＝6+5＝11＞9， ∴石块不能飞越防御墙AB． （3）A的坐标为（9，6）， 设直线OA为y＝kx， ∴6＝9k， ∴， ∴． 作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N， 设点，则点N的坐标为， ∴， ∴当m＝5时，MN有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，最大距离是米． 26.解：（1）∵四边形BCDE为正方形， ∴∠E＝∠BCD＝90°，BC＝BE＝CD， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∵点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC， ∴，即相似比为， 故答案为：； （2）△EBF与△ABC相似；理由如下： ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∵四边形BCDE为矩形， ∴∠EBC＝∠E＝90°， ∴∠EBF＝∠EBC﹣∠ABC＝45°， ∴△EBF为等腰直角三角形， 设EB＝EF＝a， 由勾股定理得：， ∵ED经过AB的中点F， ∴， ∵∠E＝∠A＝90°，∠EBF＝∠ABC＝45°， ∴△EBF∽△ABC， ∴，即相似比为； （3）如图3，延长EA交BF于点H，交FC的延长线于点G， ∵△BEF、△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BEF＝∠BAC＝90°，∠EBF＝∠ABC＝45°，AB＝AC，BE＝EF， 在直角三角形BEF中，由勾股定理得：， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∵∠EBF﹣∠ABF＝∠ABC﹣∠ABF， ∴∠EBA＝∠FBC， ∴△EBA∽△FBC， ∴∠BEA＝∠BFC， ∵∠BEH+∠EBH+∠BHE＝180°，∠GFG+∠GHF+∠G＝180°，∠BHE＝∠GHF， ∴∠G＝∠EBH＝45°， 即EA，CF所在直线的夹角（锐角）的度数为45°； （4）由（1）可得：△EBA∽△FBC， ∴， ∴， ∵A，D，E三点在同一条直线上， ∴分两种情况：如图4，当DE在直线AB右侧时， 设BC＝2b，则，BE＝CD＝DE＝2b， 作AN⊥BC于N，EM⊥BC于M， ∴AN∥EM， ∵DE∥BC， ∴四边形ANME为平行四边形， ∵EM⊥BC， ∴四边形ANME为矩形， ∴AE＝MN，AN＝EM， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图5，当DE在直线AB左侧时，作AN⊥BC于N， 则， 设AN＝BN＝CN＝c，则BC＝2c， ∴CD＝BC＝DE＝2c， 作DM⊥BC于M， 同理可得：四边形ADMN为矩形， ∴AN＝DM＝c，AD＝MN， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $银川市第二十四中学 银川二十四中学2025-2026学年第二学期九年级阶段性 质量检测（二）数学试卷 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 班 级 1 绿色环保，人人参与.下列环保标志中，是中心对称图形的是() A B : 2.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的 4倍左右，约为0.0000001024.则0.0000001024用科学记数法表示为（) A.1.024×107 B.1.024×108 : C.10.24×108 D.10.24×106 姓 名 : 3.下列运算正确的是() A.a.a=a6 B.a3÷2a=2a2 C.(3a)2=6a2 D.d2+m2=2a 4.实数α，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() 0 b -3-2-10123 A.a>-1 B.b-a<0 C.a<b D.b>0 5.如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴MN上 : 一 点P.若∠ABE=150°，∠CDF=160°，则∠EPF的度数是() A. 609 B.50 C.45° D.35 E 榫构件 考 号 A C D 卯构件 F 6.如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木 材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数 量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是() A. 30_30+10 B.30=30 c.30=,30-10D.30=730+10 : x1.2x x+101.2x x1.2x x1.2x : 7.某中学科技节的活动丰富多彩，其中体验类项目中“书本灯制作”和“自制充电宝”深受大家 · 的欢迎，“科技状元榜”更是万众瞩目的竞赛类项目.初一某班共有42名同学，每名同学至少 参与了其中一个项目，其中28人参与了“书本灯制作”，23个人参与了“自制充电宝”的体验， 17人有“科技状元榜”的工作任务.因为赛程安排，“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同 时参与.现有以下结论： 第1页 制题人：王靓坤 ①只参与了“书本灯制作”的学生有2人： ②同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有可能等于只参加了“自制充电宝” 的学生人数： ③只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少 其中正确的结论有( A.①②③ B.①② c.①③ D.②③ 8.已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如表： -3 -21 5 且<0，下列结论中，正确的个数有（) ①图象开口向下；②当x<0,y随x增大而减小： ③函数图象与y轴交于(0，m):④+bx+c≤m解集为-2≤x≤0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.因式分解：3b-3b3= 10.若m,n是关于x的一元二次方程x2-3x-10=0的两个根，则+n-m= y ▣▣ 11.如图，己知点A(-3,2),B（1,-2),连接AB,将线段AB平移得到线段CD.若点B的 对应点是D(5,0),则点A的对应点C的坐标是 12.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小金将二 维码打印在对角线长为V10的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内 随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码 中黑色阴影的面积为 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=63°，AB=5.将△ABC绕点A逆时针旋转a (0°<<180°)得到△AB'C,使点B恰好落在线段BC的延长线上，在旋转过程中，点B 所经过路径的长度为 (结果保留π)。 14.园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法.如图是一面墙 和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5，长6，门为圆形的 一部分，圆的半径为1，圆与地面的交界处AB宽J2m,则墙 B 的面积为 2。 共4页 银川市第二十四中学 15.2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给 观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AⅡ机器人硬核实力. 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图， 机器人的一腿AB直立于地面MN,小腿部分CD刚好与地面N平行，上身AP垂直于大腿 AC,即AB⊥N于点B,CD∥N,AP⊥AC于点A.CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC 在同一直线的瞬间.己知AB=80cm,AP=100cL,∠DCE=53°，点P距地面的高度 是 。(参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75.) E M 图1 图2 16.如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，AC=AD.动点P从点B出发，沿B→ A→D→C的方向以每秒1c的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时 间t的函数图象如图②所示，则点F的横坐标为 ←S/cm2 12上---- E A 3 G t/s ① ③ 三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分） 3x-1<x+3① 17.解不等式组： 3x-19x-2<1② 3 6 18、下面是小明化筒分式(2区3-1)÷子-4的过程， x-1 2 解：原武=2x-3x1÷x2-4第-步 x-1x-11 x2-× 第2页 制题人：王靓坤 -2x-3-x-1.x2x第二步 x-1x2-4 =x-4.x(x-1) 一…第三步 x-1(x+2)(x-2) =x2-4红…第四步 x2-4 (1)小明的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第步，依据是 (2)小明的化简过程从第 步开始出现错误： 大/ (3)请你写出正确的化简过程，并从0,1,2,3中选择一个合适的数代入求值. 19.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点， 请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹 (1)在图1中作出BC边上的高AD: (2)在图2中作出AC边上的点E,使得AE:CE=3:4; (3)在图3中作出AB边上的点卫，使得tan∠ACF= 3 B 图1 图2 图3 AE,过点B作BF∥AC,交AE于点F,连接OF. (1)求证：四边形AFBO是矩形： (2)若∠E=30°，OF=6,求菱形ABCD的面积. F B C 21.小琪新购买了一台智能冰箱，通过搜集相关资料，她得到如下数据： 共4页 银川市第二十四中学 如此循环： ②冰箱冷冻室温度y（℃)与时间x(i)的关系如图2所示.当0≤x≤4时，一次函数的解 析式为 ;当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，解析式为 ③冰箱每天的耗电量（度）=耗电功率（千瓦）×每天的运行时间（小时）. 该冰箱的广告中声称：每天耗电不超过1度电.请问该冰箱的广告是否符合实际？请说明理 班 级 由.（忽略特殊情况的耗电量） ↑yW℃) x(min) OT -20 图1 图2 姓 名 22.2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭在酒泉卫星发射 中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情.某校为了解七、八年级学生对“航空航天” 知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级学生中随机抽取了部分学生 的测试成绩（成绩用x表示，单位：分）进行了整理与分析，下面给出了部分信息： 【收集数据】七年级成绩在70≤x<80这一组的数据是： 70,70,70,71,72,73,73,73,74,75,76,77,78, 【整理数据】七年级、八年级40名学生成绩的频数分布统计表如下： 考 号 年级 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100 ! 七 4 11 ? 10 b 八 6 J C 14 2 【分析数据】七年级、八年级成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 74.5 86 L 47.5 八年级 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)b= n= 第3页 制题人：王靓坤 (2)若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70≤x<80这一组的扇形的圆心 角是 度：本次测试成绩更整齐的是 年级（填“七”或“八”）： (3)七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你 估计七年级能参加第二轮比赛的人数. 三、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23.如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E,BE与AC交于点F, 连接AE. (1)求证：AE=DE: (2)若DE=6,BD=3,求EF的长. E A D B 24. 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢 抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点、 素材1某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激 增，正月初三的客运收入达到72万元. 素材2为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐.已知该套餐的食 材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价 每降低2元，平均每天就能多售出8份.若该店为尽快减少库存，计划下调售价， 但平均每天的销售利润要达到1200元. 问题解决 任务1求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率， 任务2根据素材2，为尽快减少“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价. 任务3根据素材2，该店平均每天能否获利1800元？若能，请求出每份套餐应降价多少元： 若不能，请说明理由。 共4页 银川市第二十四中学 制题人：王靓坤 25.图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的 一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米.将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A, 点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙.若以点O 为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系 4y/米 9(6,12) B 严/米 图1 图2 (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式. (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离 26.综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础， 配上特殊图形展开探究. 己知△ABC是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在BC同侧增加特殊图形 D 图1 图2 图3 备用图 特例研究 (I)如图1，当四边形BCDE是正方形时，点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC,则相似比 为 (2)如图2，当四边形BCDE是矩形时，ED经过AB的中点F,△EBF与△ABC是否相似？ 如果相似，求出它们的相似比. 类比探究 (3)如图3，当四边形BCDE是菱形时，以BE为直角边，点E为直角顶点，在BE边右侧再 作一个等腰直角三角形BEF,连接EA,CF,求EA,CF所在直线的夹角（锐角）的度数. (4)若(3)中，若A,D,E三点在同一条直线上，探究CF与CD之间的数量关系 第4页共4页绝密 ★ 启用前 ( 银川二十四中 学 20 2 5 -202 6学 年 第 二 学期九年级 阶段性质量检测（二） 数学 答题卡 ) ( 条形码粘贴区域 ) ( （考试时间120分钟，满分120 ) 分） ) ( 姓名 班级 考场 座位号 ) 考生姓名：______________________ 准考证号： 注意事项 1. 选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案正确填涂。 2. 非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，笔迹清楚。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域以及在草稿纸和试卷上的答案均无效。 4. 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 ( 第一 部分 选择题 （共8题，每题3分，共24分） ) ( 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ) ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] ) ( 第二部分 填空题 （共8题，每题3分，共24分） ) ( 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. ) ( 第三部分 解答 题 （共 72 分） ) ( （6分） ) ( （6分） 当0 ≤ x ≤ 4时，一次函数的解析式为 　 ； 当4 ≤ x ≤ t 时，反比例函数 的 解析式为 　 。 ) ( （6分） （1）涉及分式的通分的步骤是第 　 步， 依据是 　 　 ； （2）化简过程从第 　 　 步开始出现错误； （3） ) ( 19.（6分） ) ( (6分) （1） b ＝ 　 　 ； m ＝ 　 　 ； （2） 　 　 度； 　 　 年级（填 “ 七 ” 或 “ 八 ” ）； （3） ) ( 20.（6分） ) ( （8分） ) ( （8分） ) ( （10分） ) ( （10分） ) 数学 第2页 共2页 数学 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $银川市第二十四中学 制题人：王靓坤 ( 姓 名 班 级 考 号 )银川市第二十四中学 制题人：王靓坤 银川二十四中学2025-2026学年第二学期九年级阶段性 质量检测（二）数学试卷 1、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．绿色环保，人人参与．下列环保标志中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为0.0000001024m．则0.0000001024用科学记数法表示为（　　） A．1.024×10﹣7 B．1.024×10﹣8 C．10.24×10﹣8 D．10.24×10﹣6 3．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a3÷2a＝2a2 C．（3a）2＝6a2 D．a2+a2＝2a2 4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．b﹣a＜0 C．|a|＜b D．ab＞0 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（　　） A．60° B．50° C．45° D．35° 6．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 7．某中学科技节的活动丰富多彩，其中体验类项目中“书本灯制作”和“自制充电宝”深受大家的欢迎，“科技状元榜”更是万众瞩目的竞赛类项目．初一某班共有42名同学，每名同学至少参与了其中一个项目，其中28人参与了“书本灯制作”，23个人参与了“自制充电宝”的体验，17人有“科技状元榜”的工作任务．因为赛程安排，“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与．现有以下结论： ①只参与了“书本灯制作”的学生有2人； ②同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数； ③只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表： x ﹣3 ﹣2 1 y 5 m 5 且m＜0，下列结论中，正确的个数有（　　） ①图象开口向下；②当x＜0，y随x增大而减小； ③函数图象与y轴交于（0，m）；④ax2+bx+c≤m解集为﹣2≤x≤0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：3b﹣3b3＝　 　 。 10．若m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则m+n﹣mn＝　 　 。 11．如图，已知点A（﹣3，2），B（1，﹣2），连接AB，将线段AB平移得到线段CD．若点B的对应点是D（5，0），则点A的对应点C的坐标是　 　 。 12．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小金将二维码打印在对角线长为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　 　 。 13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝63°，AB＝5．将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△AB'C，使点B'恰好落在线段BC的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为　 （结果保留π）。 14．园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为　 　 m2 。 15．2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A．CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．已知AB＝80cm，AP＝100cm，∠DCE＝53°．点P距地面的高度是　 　 。（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） 16．如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向以每秒1cm的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t的函数图象如图②所示，则点F的横坐标为　 　 。 三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分） 17．解不等式组：． 18．下面是小明化简分式的过程： 解：原式＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 （1）小明的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第　 步，依据是　 　 ； （2）小明的化简过程从第　 　 步开始出现错误； （3）请你写出正确的化简过程，并从0，1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 19．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图1中作出BC边上的高AD； （2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4； （3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF= . 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC，连接AE，过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF． （1）求证：四边形AFBO是矩形； （2）若∠E＝30°，OF＝6，求菱形ABCD的面积． 21．小琪新购买了一台智能冰箱，通过搜集相关资料，她得到如下数据： ①图1是某品牌冰箱，耗电功率为0.2千瓦．当冷冻室温度为﹣4℃时，冰箱压缩机运行；当温度下降到﹣20℃时，停止运行，温度上升；当温度上升到﹣4℃时，冰箱压缩机再次运行，如此循环； ②冰箱冷冻室温度y（℃）与时间x（min）的关系如图2所示．当0≤x≤4时，一次函数的解析式为　 ；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，解析式为　 。 ③冰箱每天的耗电量（度）＝耗电功率（千瓦）×每天的运行时间（小时）． 该冰箱的广告中声称：每天耗电不超过1度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？请说明理由．（忽略特殊情况的耗电量） 22．2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的测试成绩（成绩用x表示，单位：分）进行了整理与分析，下面给出了部分信息： 【收集数据】七年级成绩在70≤x＜80这一组的数据是： 70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78， 【整理数据】七年级、八年级40名学生成绩的频数分布统计表如下： 年级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七 4 11 a 10 b 八 6 3 c 14 2 【分析数据】七年级、八年级成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 74.5 86 m 47.5 八年级 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）b＝　 　 ；m＝　 　 ； （2）若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70≤x＜80这一组的扇形的圆心角是　 　 度；本次测试成绩更整齐的是　 　 年级（填“七”或“八”）； （3）七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 三、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23．如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE． （1）求证：AE＝DE； （2）若DE＝6，BD＝3，求EF的长． 24． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店为尽快减少库存，计划下调售价，但平均每天的销售利润要达到1200元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． 任务2 根据素材2，为尽快减少“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． 任务3 根据素材2，该店平均每天能否获利1800元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 25．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 26．综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知△ABC是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在BC同侧增加特殊图形． 特例研究 （1）如图1，当四边形BCDE是正方形时，点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC，则相似比为　 　 ． （2）如图2，当四边形BCDE是矩形时，ED经过AB的中点F，△EBF与△ABC是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 （3）如图3，当四边形BCDE是菱形时，以BE为直角边，点E为直角顶点，在BE边右侧再作一个等腰直角三角形BEF，连接EA，CF，求EA，CF所在直线的夹角（锐角）的度数． （4）若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究CF与CD之间的数量关系． 第 2 页 共4页 第 1 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $