第25章　一元二次方程 数学活动 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，通过“探究方程公共解条件”和“线段分割”活动导入，衔接方程解法、因式分解等知识，搭建从具体问题到抽象条件推导的学习支架。 亮点在于以问题驱动，活动1通过设公共解、三式相加推导条件，培养推理意识，活动2从实际问题抽象方程，发展抽象能力，复习巩固结合几何、历史情境，强化模型意识。步骤化推导与清晰小结，助力学生提升探究能力，为教师提供结构化教学资源。

数学活动 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 活动1：探究方程有公共解的条件 已知abc ≠ 0，下列方程： ax2 + bx + c = 0， ① bx2 + cx + a = 0， ② cx2 + ax + b = 0. ③ 给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解. 恰有一个公共解。 2 解：设三个方程的公共解为x0，则x0同时满足三个方程： ax02 + bx0 + c = 0， ① bx02 + cx0 + a = 0， ② cx02 + ax0 + b = 0. ③ 步骤 1：设公共解，列方程 把三个方程左右两边分别相加： (ax02 +bx0 +c) + (bx02 +cx0 +a) + (cx02 +ax0 +b) = 0. 整理得：(a+b+c)x02 + (a+b+c)x0 + (a+b+c) = 0. 提取公因式：(a+b+c)(x02 + x0 + 1) = 0 . 对于x02 + x0 + 1，判别式 Δ= 12 − 4 = −3 < 0， 所以对任意实数x0，x02 + x0 + 1 > 0，不可能为0. 步骤 2：三式相加，推导条件 因此只能是 a+b+c = 0，这就是a,b,c满足的条件. 步骤 3：求公共解x0 已知a+b+c = 0，即c =−a−b，代入方程①： ax02 + bx0 −a −b = 0， 因式分解：a(x02−1)+b(x0 − 1) = 0 , (x0−1)[a(x0+1)+b] = 0 . 所以有两种情况： ❶ 1 = 0，即x0 = 1 ❷ a(x0+1)+b = 0 把 x0 = 1 代入方程 ①②③ 验证： a · 12 + b · 1 + c = a + b + c = 0， b· 12 + c · 1 + a = a + b + c = 0， c· 12 + a · 1 + b = a + b + c = 0. 所以公共解为 x = 1 . 步骤 4：求每个方程的全部解 已知a+b+c = 0，即c =−a−b，代入方程①： ax2 + bx −a −b = 0， 因式分解：(x−1)(ax + a + b) = 0 . 解得：x1 = 1 ，x2 = − = . 同理，方程②的解为：x1 = 1 ，x2 = . 同理，方程③的解为：x1 = 1 ，x2 = . 最终结论: a，b，c 满足的条件：a+b+c = 0 三个方程的公共解：x = 1 各方程的全部解： ax2 + bx + c = 0， ① bx2 + cx + a = 0， ② cx2 + ax + b = 0. ③ x1 = 1 ，x2 = x1 = 1 ，x2 = x1 = 1 ，x2 = 活动2：神奇的线段分割 李明，我们来做个智力游戏吧，你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？ 这简单，你来试试这个，还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为a，b，c，且a>b>c，你能找到合适的a，b，c，使a=b+c和 + = 同时成立吗？ 这可能吗？ 当然，不过要费一番脑筋. 现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作出李明提出的问题中线段的两个分点. 训练提升 复习巩固 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 4x2 + 5x = 81 解：方程一般形式为：4x2+5x－81= 0. 其中二次项系数为4， 一次项系数为5， 常数项为－81. 13 (2) x(x + ) = 0; 解：方程一般形式为：x2 + x = 0. 其中二次项系数为1， 一次项系数为， 常数项为0. (3) (2x－3)(x－1)=0. 解：方程一般形式为：2x2 －5x + 3 = 0. 其中二次项系数为2， 一次项系数为， 常数项为3. (4) (3x－2)(x +1)=x(2x +1). 解：方程一般形式为：x2 －2 = 0. 其中二次项系数为1， 一次项系数为， 常数项为－2. 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是2π ，求半径r； 解：设这个圆的半径为r . 由圆的面积公式，得πr2 = 2π, 所以r2 = 2，即r2－2 = 0. （2）一个直角三角形的两条直角边相差3，面积为9，求较长的直角边的长x. 解：设这个直角三角形较长的直角边为x， 则另一条直角边为(x－3). 根据题意，得x(x－3)=9, 整理，得x2－3x－18=0. （3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍，斜边长为5，求较短直角边的长. 解：设直角三角形的较短直角边长为x， 则较长直角边长为2x . 根据题意，得 = , 整理，得5x2－25 = 0. 3. 下列哪些数是方程x2+x－12=0的根? － 4，－ 3 ，－ 2， － 1， 0，1，2，3，4. 把每个数代入方程x2+x－12=0，左边计算结果等于 0 就是根. 综合运用 4. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题： 直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式. 解：设矩形的宽为x步， 则长为 (x + 12) 步 . 根据题意，得 (x + 12) = 864, 整理，得x2 + 12x －864 = 0. 拓广探索 5.如果2是方程c=0的一个根，求解如下问题： （l）常数c是多少？ 解：因为 2 是方程 c = 0的根， 把 x=2 代入方程， 得，c = 4 （2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根. 有其他根 解：由 (1) 得：c = 4， 所以原方程为－4 = 0 解得：x1​ =2，x2​ =－2 所以此方程另一个根是－2 . 作业布置 完成对应课时练习． $