课时作业12 抽象函数(进阶课)-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦抽象函数核心性质，通过赋值法、性质转化、定义证明构建系统性解题体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|8题（含2024新高考Ⅰ卷真题）|赋值法求特殊值、奇偶性判定、周期推导、单调性定义证明|以奇偶性为基础，结合对称性推导周期性，通过单调性解决不等式，形成"性质识别-转化-应用"逻辑链| |综合解答|1题|抽象函数模型构建、不等式求解|从定义式推导函数性质，关联指数函数模型，体现从具体到抽象的思维进阶|

课时作业（十二）抽象函数（进阶课） 一、单项选择题 1.(2026·十堰模拟)已知定义在R上的奇函数f)满足（位+x)=(位-x),则 (7)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2025·鞍山市立山区期末)若定义在R上的函数f(x)满足对任意，x2∈R, 有f(x1·2)=f2)十xf(),则下列说法一定正确的是() A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x一1)是奇函数 D.f(x)十1是偶函数 3.定义在R上的偶函数fx)满足f(1一x)=f(1+x),且在[一1,0]上单调递增， 设a=f(3),b=f(W2),c=f(2),则实数a,b,c的大小关系是() A.ab-c B.ac-b C.b-c-a D.c>b-a 4.(2024·新高考I卷)己知函数fx)的定义域为R,f(x)>f(x一1)十f(x一2)，且 当x<3时，fx)=x,则下列结论中一定正确的是() A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)1000 D.f(20)<10000 二、多项选择题 5.(2025·丽江期末)已知函数f(x)满足对任意的x,y∈R,f(x+y)一f(x十yf(x) fy)=f(x)十fy)恒成立，则下列结论正确的是() A.f(0)=0 B.f(x)为奇函数 C.若f4)=-1,则f2)=2 D.若f(100)=0,则100是f(x)的一个周期 6.若定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，且对任意x1,x2∈[1，+∞)， 1/6 且≠2，都有->0，则下列结论正确的是() x2-x1 A.fx)的图象关于点（一1,0）对称 B.fx)是R上的增函数 C.fx)+f(2-x)=2 D.关于x的不等式f(x)<0的解集为（一∞，I) 三、填空题 7.(2025·萍乡三模)己知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x,y均有f(y) =fx),且2f(2)=f(1)+6,则f(2027)= 8.(2025·沈阳月考)若定义在（一∞，0）U(0,+∞)上的函数f(x)同时满足：①f (x)为奇函数；②f(1)=0:③对任意的x1,2∈(0，十∞)，且x1≠x2,都有 fx)-2)<0,则不等式fc十1)<0的解集为 X1一x2 四、解答题 9.(2025·保定期末)已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(xfy)十f(0)一1，且当 x>0时，0<f(x)<1;当x<0时，f(x)>1. (1)求f0)的值： (2)判断并证明函数f(x)的单调性； 6)若f1)=,求不等式fx一x2>4的解集。 2/6 课时作业（十二） 1.B[国为定义在R上的奇函数f满足+x=f-x), 则f(1+x)=f(一x)=一f(x),且f(0)=0, 所以f(2十x)=f(x),故f(x)是周期为2的周期函数. 则f(7)=f(1)=f(0)=0. 故选B.] 2.A[因为对任意x1,2∈R,有f(x1·x2)=xf(x2)十xf(), 所以f(0)=0,f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0, 所以f(1)=-f(-1)一f(-1)=0, 所以f(一1)=0， 所以f(一x)=一f(x)十xf(一1)=一f(x),所以f(x)为奇函数，所以A选项正确； 而其他选项不一定成立，故选A,] 3.D[因为函数f(x)满足f(1一x)=f(1十x),所以画数f(x)的图象关于直线x=1 对称，故a=f3)=f(-1),b=f(2)=f(2-V2),c=f(2)=f(0): 又函数f(x)是偶函数，且在[一1,0]上单调递增，所以a=f(1),且函数f(x)在[0， 1]上单调递减.又0<2-v2<1,所以f(0)>f(2-v2)>f(1),即c>b>a.故选D.] 4.B[因为当x<3时，f(x)=x, 所以f(1)=1,f(2)=2. 又f(x)>f(x-1)+f(x-2), 则f(3)>f(2)+f(1)=3, f(4)>f3)+f(2)>5, f(5)Pf(4)+f3)P8, f(6)>f(5)+f(4)>13, f(7)>f(6)+f(5)P21, f(8)>f(7)+f(6)>34, 3/6 f(9)>f(8)+f(7)>55, f(10)>f(9)+f(8)>89, f11)>f(10)+f(9)>144, f(12)>f(11)+f(10)>233, f(13)>f(12)+f(11)>377, f(14)>f(13)+f(12)>610, f(15)>f14)+f(13)>987, f(16)>f15)+f(14)>1597>1000,则可知f(20)>1000,则B正确；且无证据表 明ACD一定正确.故选B.] 5.ABD[A选项，令x=y=0,则f(0)-f(0)川3=2f(0),∴f(0)f(0)]2+1}=0, 故f(0)=0,故A正确： B选项，令y=一x,则f(0)一f(0)f(xf(一x)=f(x)+f(一x)=0, f(一x)=一f(x),又函数f(x)的定义域为R, f(x)为奇函数，故B正确： C选项，令x=y=2, 则f(4)-f(4)[f(2)]2=2f(2), f4)=-3,.f2)-2][2f2)+1]=0, 解得f(2)=2或f2)=-2,故C错误： D选项，若f100)=0,令y=100,得f(x+100)=f(x), ∴100是f(x)的一个周期，故D正确. 故选ABD.】 6.BD[由定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，得f(一x十1)=一f(x +1),因此函数f)的图象关于点(1,0)对称，由对任意1，x2∈[1，十∞)，且 ≠2，都有>0，得f)在，十)上单调递增，由函教的对称性知， x2-X1 f(x)在(-∞，1]上单调递增，又f(1)=0,因此f(x)是R上的增函数，B正确： 显然f(一1)<f(1)=0,则f(x)的图象不关于点(-1,0)对称，A错误； 由f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(x)+f2一x)=0,C错误： 显然f(1)=0,又f(x)在R上单调递增，则由f(x)<0,得x<1,D正确.故选BD.] 4/6 7.4054[因为定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x,y均有f(y)=fx), 用x替换y,y替换x,可得f(xy)=yf(x)=xfy), 所以当≠0，y≠0时，可知四是常函数， 于是当x+0时，可设f(x)=cx,其中c为常数， 又2f(2)=f(1)+6. 所以4c=c十6，解得c=2, 所以f(2027)=2×2027=4054.] 8.(一∞，一2)U(一1,0)U(0,+∞)[因为对任意的1，x2∈(0，十∞)，且： +,都有))<0， X1-X2 令g(x)=f(x), 所以9)-g<0, X1-x2 则g(x)=xf(x)在(0，十∞)上单调递减， 又f(x)为奇函数及f(1)=0, 所以g(一x)=一xf(一x)=f(x)=g(x), 则g(x)为偶函数，且g(1)=g(-1)=0,故gx)在(-∞，0)上单调递增， 所以gx+1)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1，+∞）上单调递减. 又x∈(-∞，0)U(0,+∞)， 则由xf(x+1)<0可得x>0,f(x+1)<0或x<0,f(x+1)>0, 当>0时，f+1)<0→9<0，得gx十1)<0，解得x<-2或>0，故x x+1 >0: 当x<0时，f+1)>0号9+>0， x+1 即(x+1)g(x+1)>0, 得x+1<0,咸x+1>0. g(x+1)<0(g(x+1)>0, 解得x<一2或一1<x<0. 综上，不等式fx+1)<0的解集为(-∞，一2)U(-1,0)U(0,+∞).] 5/6 9.解：(1)根据题意，函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(xfy)十f(0)一1， 令x=y=0,则f(0+0)=f(0)f(0)+f(0)-1,故[f(0)]2=1,可得f(0)=±1， 令y=0,则f(x)=f(x)f(0)+f(0)-1, 当f(0)=一1时，则f(x)=一f(x)一2， 即f(x)=一1，不符合题意，舍去， 故f(0)=1. (2)fx)在R上单调递增， 证明：由(1)的结论，f(0)=1, 则f(x+y)=f(x)f0y), 由f(x1)=f(x1一x2十x2)=f(x一2fx2), 又当x>0时，0<fx)<1:当x<0时，f(x)>1, 分2种情况讨论： 当x1>x2>0时，即0<f(x1-x2)<1,0<f(x1)<1,0≤f(x2)<1, 所以f()=f-xfx2)≤f(x2),即f()-f(x)<0,故f(x)在(0，+∞)上单调 递减： 当0>x1>2时，则0<f(x1-x2)<1,f()>1,f(x2)>1, 所以f(x1)=f(x1-x2f(x2)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(-∞，0)上单调 递减， 综上，f(x)在R上单调递减. (3)根据题意，f(x+y)=f()fy)且f(0)=1, 令y=-x,则f=动故)==即一10=2， 所以f(-2)=f(-1)f(-1)=4,则f(x一x2)>f(-2), 由(2)知，x-x2<-2,即x2-x-2>0,可得x<-1或x>2, 所以所求不等式的解集为（一∞，一1）U(2,+∞). 6/6