精品解析：2026年包头市东河区中考数学二模试题

2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 立春为二十四节气之首，某年立春这天北京、包头、石家庄、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 地理实践课上，同学们在一张面积为的长方形纸片上绘制了如图所示的地形图，为了估算出该地形图的面积，他们利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在地形图上的频率稳定在附近，由此估计该地形图的面积大约为____． 10. 生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间（天）的关系记录如图所示，那么橘树苗在第50天的高度是____． 11. 如图，小明将两根长度相等的刚性直铁丝的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个厚壁玻璃罐的内径．已知，，则的长约为____cm．（，，，） 12. 如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接．若，则长为__________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 14. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从 A，B两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对A，B两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 测试结束后，小李和小张分别对测试成绩进行如下整理： ①小李将A，B两个人工智能产品语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： ②小张将A，B两个人工智能产品的三项的能力测试成绩整理如下表： 人工智能产品 测试成绩/分 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 9 8 B 7.5 8 9 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ； （2）请从“中位数”评价哪个人工智能产品的语言交互能力更强？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 15. 某文创工作室，以蒙古族传统乐器马头琴为原型，制作迷你马头琴挂坠用于文旅销售．第一次制作时，投入1500元采购榉木等原材料，成品全部售罄；第二次为提升工艺质感，选用胡桃木原料，每个挂坠的原材料成本是第一次的倍，投入1200元制作的挂坠数量比第一次少20个． （1）求第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是多少元？ （2）已知第二批马头琴挂坠每个售价为50元，售出一半后，为助力文旅推广，剩余挂坠打折销售．若要求全部售出后，第二批挂坠的总利润不少于500元，求剩余的挂坠最多可打几折？ 16. 如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． （1）求证：； （2）若，，的半径为5，求的长． 17. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间满足抛物线表达式． 甲同学发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如表： 水平距离 0 2 3 4 6 竖直高度 1 4 5 4 （1）求抛物线表达式及羽毛球飞行达到的最大高度； （2）在距点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； （3）乙同学原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 18. 综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． （1）【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． （3）若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 立春为二十四节气之首，某年立春这天北京、包头、石家庄、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴这些气温中最低的是． 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 3. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查象限内点的坐标的特点,解不等式组及表示不等式的解集，熟练掌握每个象限内点的坐标的特点是解题关键.根据点P在第四象限可得横坐标为正，纵坐标为负，由此列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴， 解得：， 把解集在数轴上表示为： 故选C. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：， A运算正确； 选项B：， B运算错误； 选项C：，C运算错误； 选项D：，D运算错误． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用中心投影，过点P作于点E交于点M，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 6. 如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出为等边三角形，然后判断出平分，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由尺规作图可得，平分， ∴． 7. 已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的图像与性质，根据的正负判断的符号，进而得到正确结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∵点，均在反比例函数图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，， ∴，的符号无法确定． 8. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解． 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ 连接与交于D点 ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 地理实践课上，同学们在一张面积为的长方形纸片上绘制了如图所示的地形图，为了估算出该地形图的面积，他们利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在地形图上的频率稳定在附近，由此估计该地形图的面积大约为____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间（天）的关系记录如图所示，那么橘树苗在第50天的高度是____． 【答案】16 【解析】 【分析】利用待定系数法求出y关于x的解析式，再代入求出y即可． 【详解】解：设解析式为 ， 将和代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 所以橘树苗在第50天的高度是． 11. 如图，小明将两根长度相等的刚性直铁丝的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个厚壁玻璃罐的内径．已知，，则的长约为____cm．（，，，） 【答案】 【解析】 【分析】作于点，由等腰三角形的性质可得，，再解直角三角形得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 12. 如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接．若，则长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长． 【详解】解：设，则在中有． 如图，延长至点G使，连接， ∵F是的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴三点共线， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从 A，B两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对A，B两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 测试结束后，小李和小张分别对测试成绩进行如下整理： ①小李将A，B两个人工智能产品语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： ②小张将A，B两个人工智能产品的三项的能力测试成绩整理如下表： 人工智能产品 测试成绩/分 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 9 8 B 7.5 8 9 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ； （2）请从“中位数”评价哪个人工智能产品的语言交互能力更强？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【答案】（1）7 （2）B人工智能产品的语言交互能力更强 （3）该公司应该选择使用A人工智能产品 【解析】 【分析】熟练掌握平均数、加权平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）利用平均数的计算公式，结合折线统计图中数据计算求解，即可解题； （2）分别求出A，B两个人工智能产品语言交互能力的中位数，再进行比较，即可解题； （3）利用加权平均数的计算公式，结合题干条件计算，再进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：（分）． 【小问2详解】 解：B人工智能产品的语言交互能力更强，理由如下： ∵A的成绩从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9， ∴中位数是7， ∵B的成绩从小到大排列：6，6，6，6，7，8，8，9，9，10， ∴中位数是， ∵， ∴B人工智能产品的语言交互能力更强． 【小问3详解】 解：（分）． （分）． ∵， ∴该公司应该选择使用A人工智能产品． 15. 某文创工作室，以蒙古族传统乐器马头琴为原型，制作迷你马头琴挂坠用于文旅销售．第一次制作时，投入1500元采购榉木等原材料，成品全部售罄；第二次为提升工艺质感，选用胡桃木原料，每个挂坠的原材料成本是第一次的倍，投入1200元制作的挂坠数量比第一次少20个． （1）求第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是多少元？ （2）已知第二批马头琴挂坠每个售价为50元，售出一半后，为助力文旅推广，剩余挂坠打折销售．若要求全部售出后，第二批挂坠的总利润不少于500元，求剩余的挂坠最多可打几折？ 【答案】（1）第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是25元 （2）剩余的挂坠最多可打7折 【解析】 【分析】（1）设第一次单个成本为未知数，根据两次制作的数量差为20个列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出第二批制作的总数量，再设折扣为未知数，根据总利润不少于500元列一元一次不等式，求解后得到最大折扣． 【小问1详解】 解：设第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是元，则第二次每个挂坠原材料成本为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是25元； 【小问2详解】 解：由题意得，第二次每个挂坠成本为（元），第二批制作挂坠总数量为（个）， 设剩余的挂坠打折， 根据题意得， 解得． 答：剩余的挂坠最多可打7折． 16. 如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． （1）求证：； （2）若，，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：方法一： 是的直径， ， ， 是的切线，，即：， ， ， 由圆周角定理得， ； 方法二： 是的直径， ， 是的切线， ， 为和的公共角， ， ， 由圆周角定理得， ； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据：“直径所对的圆周角等于”可得，则可得，再根据切线的性质可得，进而可得，根据圆周角定理可得，进而可得． 方法二：先证明，则可得，根据圆周角定理可得，进而可得． （2）方法一：先由勾股定理得，再证，则可得，进而可得求得的长； 方法二：由垂径定理得，再由勾股定理得，再证 则可得，进而可得求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 在中，由勾股定理得：， ， ， 由圆周角定理得， ∴， 又∵， ， ，即， 解得． 方法二： ，， ， 直径垂直平分， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定，三角形相似的判定，活用勾股定理是解题的关键． 17. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间满足抛物线表达式． 甲同学发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如表： 水平距离 0 2 3 4 6 竖直高度 1 4 5 4 （1）求抛物线表达式及羽毛球飞行达到的最大高度； （2）在距点水平距离处有一个高的球网，羽毛球能否过网，请说明理由； （3）乙同学原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，此时他距离球网多远？ 【答案】（1）抛物线表达式为，最大高度为 （2）羽毛球能过网，理由如下： 当时，， ∵， ∴羽毛球能过网； （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数表达式，利用顶点式求出最大值； （2）根据自变量的值求出函数值进行比较； （3）根据函数值求出自变量的值即可． 【小问1详解】 解：当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， 即顶点坐标为， ∴羽毛球飞行达到的最大高度为； 设抛物线表达式为， 将代入表达式得， ， 解得， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴他距离球网． 18. 综合与探究 【问题情境】如图1，在中，分别是边的中点，连接，现将绕着点顺时针旋转． （1）【猜想验证】如图2，当旋转角为时，设点的初始位置为点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）【拓展延伸】如图3，当线段经过的中点时，连接和并交于点，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由． （3）若，将绕着点旋转一周的过程中，当时，连接，过点作交直线于点，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，由旋转的性质得，则可推出，，据此可得结论； （2）由三角形中位线定理推出，如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3），证明，得到．证明，得到，据此可得结论； （3）当点E在上方时，延长交于点．证明四边形是矩形，得到，，求出的长，进而求出的长，根据列式求解即可；当点E在的下方时，过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，可求出，再由等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 是的中点，， ， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 如图3所示，设与的交点为（此后过程都基于图3）， ∵，线段经过的中点， ∴ ， ． 由旋转的性质可得， ，即， ∴， ． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图4所示，当点E在上方时，延长交于点． ， ∴， 由（3）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； 如图5所示，当点E在的下方时，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ； ∵， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $