专题07 数列的求和4种方法技巧（期末复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题07 数列的求和4种方法技巧（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 倒序相加法求和 题型02 错位相减法求和 题型03 裂项相消法求和 题型04 分组（并项）法求和 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 倒序相加法 1.掌握倒序相加原理：利用首尾配对和为定值，对称性求和 2.能识别等差结构、对称型数列 3.熟练推导等差数列前n项和公式，会拓展函数对称求和 1.期末小填空+解答第一小问； 2.等级考极少单独大题，常结合函数、等差数列综合； 3.上海月考偏爱f(x)+f(1-x)创新小题 错位相减法 1.适用：等差×等比型数列aₙ=Aₙ·Bₙ（Aₙ等差，Bₙ等比，q≠1） 2.规范书写错位相减步骤：乘公比→错位对齐→作差→等比求和→整理Sₙ 3.区分q=1特殊情况 1.沪教版期末必考解答中档大题（10~12分）； 2.上海等级考高频中档解答，常和通项构造结合； 3.必考步骤分：错位、作差、等比求和三步 裂项相消法 1.核心：aₙ=bₙ-bₙ₊₁，累加中间项抵消，只剩首尾 2.熟记4类基础裂项公式，会根式、分式、指数裂项变形 1.上海期末填空+解答高频； 2.等级考常考小解答或填空压轴，搭配数列放缩； 3.裂项放缩是上海数列重难点 分组（并项）求和 1.适用：通项拆为等差+等比+常数列，奇偶分段、正负交替并项 2.两类：分组拆分、并项配对 3.奇偶项分类讨论n奇/偶 1.期末基础解答题，难度低于错位、裂项； 2.等级考常作为综合题第一小问铺垫； 3.上海新教材偏爱(-1)ⁿ并项创新题 知识点 数列四大必考求和方法（期末大题核心） 1. 分组求和法 适用场景：数列通项可拆分为等差、等比、常数列的和差形式 示例：，则为等差数列的前项和加等比数列的前项和。 2. 裂项相消法（填空/解答高频） 适用场景：分式、根式型通项 常用裂项公式： 核心规律：求和后中间项全部抵消，仅保留首尾少量项。 3. 错位相减法（期末压轴解答必考） 适用场景：通项为“等差×等比”形式，即（等差，等比且） 标准解题步骤： 1.写出； 2.两边同乘公比，写出； 3.两式错位相减，整理中间等比数列部分，化简求出Sn。 4. 倒序相加法 适用场景：数列首尾对应项相加和为定值（等差数列前n项和推导原理），多用于特殊对称数列求和。 题型一 倒序相加法求和 答｜题｜模｜板 ① 正向列和式： ② 倒序列和式： ③ 两式整体相加： ④ 化简得出结果： 易｜错｜点｜拨 （1）不可盲目使用倒序相加，解题前必须验证首尾配对和为定值； （2）严格核对数列总项数，避免项数计算错误。 【典例1】．（2024高一下·上海徐汇·期末）定义在上的函数,,,则______. 【典例2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 【变式1】．（23-24高二上·上海虹口·阶段检测）设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________. 【变式2】．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 【变式3】．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知、是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且． （1）求的值及的值； （2）已知，当时，，设，数列的前项和，若存在正整数，，使得不等式成立，求和的值； （3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和． 题型二 错位相减法求和 解｜题｜技｜巧 ① 列出前项和原式； ② 等式两边同乘等比数列公比，得到； ③ 错位对齐同次幂项，用作差； ④ 差值中间的项构成标准等比数列，套用等比求和公式计算； ⑤ 整理系数，化简求出。 易｜错｜点｜拨 （1）错位对齐不规范，导致同次幂项计算错误； （2）作差后最后一项极易遗漏负号； （3）混淆等比数列求和项数，多数为项，切勿误算为项； （4）等比数列公比时，不可使用错位相减法，需改用分组求和。 【典例1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 【典例2】．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 【变式1】．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知数列各项均为正数，且满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 【变式2】．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 【变式3】．（23-24高一下·上海浦东新·期末）已知数列 (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【变式4】．（22-23高二下·上海闵行·期末）在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和； (3)记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数k的最大值． 题型三 裂项相消法求和 答｜题｜模｜板 ① 拆解通项，务必提取固定系数； ② 展开求和式，逐项罗列拆分后的式子； ③ 消去中间项，遵循留头留尾、对称剩余原则整理结果。 易｜错｜点｜拨 （1）最易遗漏裂项后的固定系数，导致结果错误； （2）抵消后剩余的首尾项数量对称，切勿多删、少留项。 【典例1】．（23-4高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，则的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为正整数，则___________． 【典例3】．（2024高一下·上海松江·期末）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【典例4】．（22-23高一下·上海长宁·期末）设等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D．数列的前项和为 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则______． 【变式3】．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 【变式4】．（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式5】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 题型四 分组（并项）法求和 解｜题｜技｜巧 拆分通项、分组计算，等差、等比数列分别求和，最后相加合并结果。奇偶分段数列可按奇数项、偶数项分组分别求和。 分两种情况讨论： ① 当为偶数时：两两配对求和，共组； ② 当为奇数时：前项两两配对，最后单独剩余一项计算。 【典例1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足：，设表示数列的前n项和．下列结论正确的是（    ） A．和都存在 B．和都不存在 C．存在，不存在 D．不存在，存在 【典例2】．（25-26高一下·上海普陀·期末）__________. 【典例3】．（24-25高一下·上海金山·期末）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 【典例4】．（23-24高一下·上海金山·期末）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则_____ 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）计算：_____________. 【变式3】．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【变式4】．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式5】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，，其中是正整数． (1)求的通项公式； (2)数列满足，且，，求数列的前项和． 【变式6】．（23-24高一下·上海·期末）如果有穷数列（m为正整数）满足条件，，，即，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列” (1)若是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，，依次写出的每一项； (2)若是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S； (3)设的前n项和为，且满足，其中是项数为100的“对称数列”的前50项，求的前n项和. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若等差数列首项为2，公差为2，其前项和记为，则数列前项和为（    ） A． B． C． D． 2．数列满足，则数列的前项和等于 A． B． C． D． 3．已知等差数列的首项为4，公差为4，其前项和为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 4．已知某数列前项之和为，且前个偶数列的和为，则前个奇数项的和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 6．已知数列满足且，则数列的前1001项的和是___________ 7．若数列满足，，且对于都有，则________． 8．数列的前n项和为，若对任意恒成立，则=______． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 9．著名的斐波那契数列满足：，．记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 10．数列的通项公式，其前项和为，则等于 A． B． C． D． 11．对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前项和，则 A． B． C． D． 二、填空题 12．已知数列，当时，______. 13．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 三、解答题 14．已知公比大于1的等比数列满足，且、、成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间（m为正整数）中的项的个数，求数列的前30项和． 15．设函数，. (1)若，且函数与的图象有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点，求的值； (2)已知，对于满足（1）中条件的，求数列的前项和； (3)若正实数使得的图象关于直线对称，所有满足条件的构成的数列记为，且单调递增.求的值. 16．设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 17．将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为__________. 二、解答题 18．在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 19．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. (1)依次写出数列的前6项； (2)设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 20．已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 21．新定义：若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，,,求数列的前项和； (2)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求数列的前2025项和； (3)若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合. 22．已知数列和满足，，，成立 (1)求：和的通项公式 (2)设，，求证：. (3)令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列的求和4种方法技巧（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 倒序相加法求和 题型02 错位相减法求和 题型03 裂项相消法求和 题型04 分组（并项）法求和 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 倒序相加法 1.掌握倒序相加原理：利用首尾配对和为定值，对称性求和 2.能识别等差结构、对称型数列 3.熟练推导等差数列前n项和公式，会拓展函数对称求和 1.期末小填空+解答第一小问； 2.等级考极少单独大题，常结合函数、等差数列综合； 3.上海月考偏爱f(x)+f(1-x)创新小题 错位相减法 1.适用：等差×等比型数列aₙ=Aₙ·Bₙ（Aₙ等差，Bₙ等比，q≠1） 2.规范书写错位相减步骤：乘公比→错位对齐→作差→等比求和→整理Sₙ 3.区分q=1特殊情况 1.沪教版期末必考解答中档大题（10~12分）； 2.上海等级考高频中档解答，常和通项构造结合； 3.必考步骤分：错位、作差、等比求和三步 裂项相消法 1.核心：aₙ=bₙ-bₙ₊₁，累加中间项抵消，只剩首尾 2.熟记4类基础裂项公式，会根式、分式、指数裂项变形 1.上海期末填空+解答高频； 2.等级考常考小解答或填空压轴，搭配数列放缩； 3.裂项放缩是上海数列重难点 分组（并项）求和 1.适用：通项拆为等差+等比+常数列，奇偶分段、正负交替并项 2.两类：分组拆分、并项配对 3.奇偶项分类讨论n奇/偶 1.期末基础解答题，难度低于错位、裂项； 2.等级考常作为综合题第一小问铺垫； 3.上海新教材偏爱(-1)ⁿ并项创新题 知识点 数列四大必考求和方法（期末大题核心） 1. 分组求和法 适用场景：数列通项可拆分为等差、等比、常数列的和差形式 示例：，则为等差数列的前项和加等比数列的前项和。 2. 裂项相消法（填空/解答高频） 适用场景：分式、根式型通项 常用裂项公式： 核心规律：求和后中间项全部抵消，仅保留首尾少量项。 3. 错位相减法（期末压轴解答必考） 适用场景：通项为“等差×等比”形式，即（等差，等比且） 标准解题步骤： 1.写出； 2.两边同乘公比，写出； 3.两式错位相减，整理中间等比数列部分，化简求出Sn。 4. 倒序相加法 适用场景：数列首尾对应项相加和为定值（等差数列前n项和推导原理），多用于特殊对称数列求和。 题型一 倒序相加法求和 答｜题｜模｜板 ① 正向列和式： ② 倒序列和式： ③ 两式整体相加： ④ 化简得出结果： 易｜错｜点｜拨 （1）不可盲目使用倒序相加，解题前必须验证首尾配对和为定值； （2）严格核对数列总项数，避免项数计算错误。 【典例1】．（2024高一下·上海徐汇·期末）定义在上的函数,,,则______. 【答案】 【知识点】倒序相加法求和 【分析】由已知条件推导出，因此，由此能求出结果. 【详解】函数， ， 可得， 即有： ， 又， 可得： ， ， 即有. 故答案为：. 【点睛】本题考查数列的前n项和的求法，倒序求和，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，是中档题. 【典例2】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】指数幂的运算、倒序相加法求和、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用指数的运算性质可证得为定值； （2）利用（1）中的结论可得出，并计算出的值，利用倒序相加法可求得； （3）由已知条件可得出，利用裂项相消法可求出，分析数列的单调性，求出的最小值，根据可得出关于的不等式，即可得出正整数的最大值. 【详解】（1）证明：， 因此，. （2）解：由（1）可知，， 则，其中，即， 所以，，且， ，① ，② ①②得，因此，. （3）解：因为，， 对任意的，，则，则， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，数列单调递增， 因为，，， 当时，的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以，正整数的最大值为. 【变式1】．（23-24高二上·上海虹口·阶段检测）设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________. 【答案】 【知识点】倒序相加法求和 【分析】由题设函数式易得，再由，应用倒序相加得，即可求数列的前2020项和. 【详解】∵， 又， ∴， ∴， ∴. 故答案为： 【变式2】．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 【答案】(1)是严格减数列；理由见解析 (2) (3) 【知识点】倒序相加法求和、由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系式求通项公式、判断数列的增减性 【分析】（1）由，即，即可判断数列单调性； （2）由化简为，两边平方即可得到，即，所以是公差为4的等差数列，进而求出，即可解出； （3）由，可得，设，利用倒序错位相加法，即可求解. 【详解】（1）是严格减数列，理由如下： 由各项为正数，，即，即 所以是严格减数列. （2）把变为， 平方得， 即，所以是公差为4的等差数列， ，即， 即， 又，所以. （3）由（2）得，则，即， 设， 即， 倒序得， 按上述倒序且“错位对齐”的方法相加，， 依次下去，上下两行对应项之和都是19，把上述的两行对应项相加， 得，于是， 即． 【变式3】．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知、是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且． （1）求的值及的值； （2）已知，当时，，设，数列的前项和，若存在正整数，，使得不等式成立，求和的值； （3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】分组（并项）法求和、倒序相加法求和、求等比数列前n项和、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据点在直线上，设，利用，可得，分类讨论：①，；②时，，利用函数解析式，可求的值； （2）由（1）知，当时，，所以，，1，2，，，利用倒序相加法可得，从而可得数列的通项与前项和，利用化简即可求得结论； （3），．将所得的积排成如下矩阵：，在矩阵的左下方补上相应的数可得 由此可求得结论． 【详解】（1）根据点在直线上，设，则，， ，． ①当时，，； ②当时，， ； 综合①②得，． （2）由（1）知，当时，． ，，1，2，，， 时，① ② ①②得，，则． 又时，满足上式，． ，． ， ，， ，，为正整数，， 当时，，，． （3），． 将所得的积排成如下矩阵：，设矩阵的各项和为． 在矩阵的左下方补上相应的数可得 矩阵中第一行的各数和， 矩阵中第二行的各数和， 矩阵中第行的各数和， 从而矩阵中的所有数之和为． 所以． 【点睛】本题考查向量知识，考查数列的求和，考查倒序相减法，考查矩阵知识，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度大． 题型二 错位相减法求和 解｜题｜技｜巧 ① 列出前项和原式； ② 等式两边同乘等比数列公比，得到； ③ 错位对齐同次幂项，用作差； ④ 差值中间的项构成标准等比数列，套用等比求和公式计算； ⑤ 整理系数，化简求出。 易｜错｜点｜拨 （1）错位对齐不规范，导致同次幂项计算错误； （2）作差后最后一项极易遗漏负号； （3）混淆等比数列求和项数，多数为项，切勿误算为项； （4）等比数列公比时，不可使用错位相减法，需改用分组求和。 【典例1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【知识点】数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）分类讨论得出数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，从而可求得通项公式； （2）由（1）求出，用错位相减法求得和后，然后根据设新数列，结合数列单调性进而证明结论. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此； 当时，， 因为，所以，所以为常数， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此. 故数列的通项公式为 （2）由（1）知， ① ② ①②得， 所以 令， 则对恒成立， 所以时，， 所以当时，， 即当时， 【典例2】．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【知识点】错位相减法求和、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意，随机变量的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （2）根据题意 ，这人的合计得分恰为分，得到，结合乘公比错误相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以期望为. （2）解：因为这人的合计得分恰为分， 则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，即. 【变式1】．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知数列各项均为正数，且满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】错位相减法求和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据已知式子化简得出，即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一证明结果得出，即可得出，即可根据错位相减法得出答案. 【详解】（1）因为，则， 又，所以，即， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）得，则， ， ， 两式相减得 即. 【变式2】．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）先求得，然后利用求得. （2）利用错位相减法求得. 【详解】（1）由于，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 当时，， 所以， 也符合上式，所以. （2）， ，， 两式相减得 ， 所以. 【变式3】．（23-24高一下·上海浦东新·期末）已知数列 (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）证明：因为，所以，即， 又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）解：由（1）得， ， 则， ， 两式相减得， 所以． 【变式4】．（22-23高二下·上海闵行·期末）在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和； (3)记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数k的最大值． 【答案】(1) (2) (3)9 【知识点】数列不等式恒成立问题、分组（并项）法求和、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由等差数列的基本量法求得和，则得通项公式； （2）利用等比数列通项公式求出后，用分组求和法求得； （3）求出后用错位相减法求得，化简不等式为，引入函数，用作差法确定的单调性（需要对差再作差确定单调性、正负），得的正负后可得结论． 【详解】（1）设公差为，则，解得， 所以； （2）由题意，所以， ； （3）由（1）， ，， 相减得， ，由，得， 令，则， 设， 则， 当时，， 当时，，即， 当时，， ，，， 所以当时，，当时，， 当时，递减，当时，递增， ，，， 因此当时，，当时，， 所以满足的的最小值是9，即的最大值是9． 题型三 裂项相消法求和 答｜题｜模｜板 ① 拆解通项，务必提取固定系数； ② 展开求和式，逐项罗列拆分后的式子； ③ 消去中间项，遵循留头留尾、对称剩余原则整理结果。 易｜错｜点｜拨 （1）最易遗漏裂项后的固定系数，导致结果错误； （2）抵消后剩余的首尾项数量对称，切勿多删、少留项。 【典例1】．（23-4高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，则的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据数列的单调性求参数、裂项相消法求和、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】先根据数列的递推公式，利用裂项相消法求和即可得到，再先判断，通过计算可判断出，即可求出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以，即， 所以， 所以， 又因为，即， 所以，所以， ，，，，，， ，即，， ， 因此的整数部分是. 故选：C. 【典例2】．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为正整数，则___________． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和 【分析】应用裂项相消法求和即可. 【详解】由题设， 所以. 故答案为： 【典例3】．（2024高一下·上海松江·期末）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、由Sn求通项公式 【分析】（1）利用求得. （2）利用裂项求和法求得. 【详解】（1）当时，由，得， 则. 当时，有，符合上式. 综上，. （2）由（1）得，， 则 . 【典例4】．（22-23高一下·上海长宁·期末）设等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）先求出 , 而后求出公差; （2）结合 (1) 求出 , 而后根据 的正负进行讨论; （3）表示出 , 结合的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意, , 所以 , 设数列 的公差为 , 则有 , 得 , 所以 ; （2）结合（1）,, 所以， 由于 , 所以 , 且 是单调递增的, 当 , 显然 对 垣成立, 当 , 令 , 当 , 令 , 即 , 所以实数 的取值范围为 ; （3）结合（1），, 令 , 即 ,其中， 故即， 设，则， 故数列为递减数列，而，， 故的正整数解为，此时， 故即，由的单调性可得， 所以符合条件的数组 为 . 【点睛】思路点睛：不定方程的整数解问题，一般可利用因式分解、整除性等来处理，有时也可以根据解析式的特征合理构建数列，结合数列的单调性来处理. 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】D 【知识点】求两曲线的交点、裂项相消法求和、求等差数列前n项和 【分析】求出切线方程并与曲线联立，根据即可判断A；利用韦达定理即可判断B；利用对数的运算法则化简即可判断C；利用等差数列的前项和公式判断D. 【详解】由题意可知切线方程为， 联立得，， 则，即， 因，则，故A正确； 由韦达定理可得， 得，故B正确； ，故C正确； 因， 则，则，故D错误. 故选：D 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则______． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和、累加法求数列通项 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ． 故答案为：. 【变式3】．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】构造法求数列通项、裂项相消法求和、等差数列的简单应用 【分析】（1）依题意得，而，则数列为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消求和． 【详解】（1）解：由，得，得，而， 则数列为等差数列，其首项为1，公差为1， 则， 故的通项公式为：， （2）由（1）知，， 所以 ． 【变式4】．（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、等比中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得结果； （2）由等差数列的前项和公式及裂项相消法求前项和可得结果. 【详解】（1）由已知，，即， 解得（舍）或， . （2）由（1）得，， ， 【变式5】．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，最大值为674. 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用给定的递推公式求得，结合“当时，”进行计算即可. （2）在时，可得，再求和确定范围，按定义即可作答. （3）利用裂项相消法求和，再判断单调性即可求解作答. 【详解】（1）因为， 则当时，， 又因为， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时，， 则 当时，，即对任意的，都有， 所以 （3）由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立，于是得，解得，而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674. 题型四 分组（并项）法求和 解｜题｜技｜巧 拆分通项、分组计算，等差、等比数列分别求和，最后相加合并结果。奇偶分段数列可按奇数项、偶数项分组分别求和。 分两种情况讨论： ① 当为偶数时：两两配对求和，共组； ② 当为奇数时：前项两两配对，最后单独剩余一项计算。 【典例1】．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足：，设表示数列的前n项和．下列结论正确的是（    ） A．和都存在 B．和都不存在 C．存在，不存在 D．不存在，存在 【答案】A 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、极限 【分析】根据数列的通项公式，利用等比数列的前n项和公式与分组求和即可求出，再由极限的定义选出答案. 【详解】当时，， 当时， 所以，. 即和都存在. 故选：A. 【典例2】．（25-26高一下·上海普陀·期末）__________. 【答案】 【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和 【详解】 【典例3】．（24-25高一下·上海金山·期末）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 【答案】1012 【知识点】判断零点所在的区间、分组（并项）法求和 【分析】令，根据的单调性结合零点存在性定理得到方程存在唯一的实数根，再由可得当时，，从而，当时，，最后计算的前2025项和即可. 【详解】设，则函数单调递增， 且，故方程存在唯一的实数根， 且， 当时，，据此可得， 当时，，可得，从而， ，. 故答案为：1012. 【典例4】．（23-24高一下·上海金山·期末）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、对数的运算 【分析】（1）设数列的公比为q，由已知条件列方程组求和，可得数列的通项公式，再由得的通项公式； （2）由数列的通项，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的前项和公式求. 【详解】（1）设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. （2）， 所以 . 【变式1】．（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则_____ 【答案】 【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】由可得， ， ，解得， 故答案为： 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）计算：_____________. 【答案】 【知识点】数列周期性的应用、分组（并项）法求和 【分析】首先分析余弦型函数的周期性与对称性，结合函数的周期性、对称性计算可得. 【详解】因为函数的最小正周期， 令，解得，所以函数关于对称， 即，，，， ，，，， ，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 【变式3】．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可； （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 已知，，则，则，， 又因为，，则，， 根据等差数列的通项公式，则，即，解得， 所以等差数列的通项公式为. （2）由（1）知，，，则， 因为，（），所以， 则数列前项和为， 其中，， 因此，即数列的前项和为. 【变式4】．（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求； （2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. （2）由（1）可知：， 若n为偶数，则； 若n为奇数，则； 综上所述：. 【变式5】．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，，其中是正整数． (1)求的通项公式； (2)数列满足，且，，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用给定的前项和公式，结合求解即得. （2）求出，利用构造法求出，再利用分组求和法求出. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）依题意，，，由，得，解得， 则，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即， 所以数列的前项和. 【变式6】．（23-24高一下·上海·期末）如果有穷数列（m为正整数）满足条件，，，即，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列” (1)若是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，，依次写出的每一项； (2)若是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S； (3)设的前n项和为，且满足，其中是项数为100的“对称数列”的前50项，求的前n项和. 【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2； (2)67108861； (3) 【知识点】数列新定义、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，即可得到结果； （2）由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由递推公式可得，然后结合等比数列的求和公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得， 则数列为2，5，8，11，8，5，2. （2） （3），，， 当时，，， ， 当时，， 当时，， . . 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若等差数列首项为2，公差为2，其前项和记为，则数列前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和公式求出，从而得出的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列前项和. 【详解】等差数列前项，等差数列首项为2，公差为2，代入可得，所以，所以数列前项和为. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前项和的求法，以及裂项相消法求数列前项和. 2．数列满足，则数列的前项和等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和. 【详解】当为正奇数时，由题意可得，， 两式相减得； 当为正偶数时，由题意可得，， 两式相加得. 因此，数列的前项和为. 故选:A. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 3．已知等差数列的首项为4，公差为4，其前项和为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出数列前项和，再用裂项相消法即可求数列的前项和. 【详解】等差数列前项和公式为，又，，所以，所以，数列的前项和. 故选：A 【点睛】本题主要考查求数列前项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前项和. 4．已知某数列前项之和为，且前个偶数列的和为，则前个奇数项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算数列前项之和为，减去前个偶数列的和得到答案. 【详解】数列前项之和为，故数列前项之和为，前个偶数列的和为 则前个奇数项的和为 故选： 【点睛】本题考查了数列的前项和，意在考查学生的计算能力. 二、填空题 5．已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 【答案】 【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负得出数列和的最小值即可. 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. 6．已知数列满足且，则数列的前1001项的和是___________ 【答案】499 【详解】因为，所以， ，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 所以， 所以 7．若数列满足，，且对于都有，则________． 【答案】 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以 . 8．数列的前n项和为，若对任意恒成立，则=______． 【答案】1013 【分析】由题设有，根据的关系得，再应用分组求和求目标式的值. 【详解】由题设得，，故， 所以 ，即，故， 所以 . 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 9．著名的斐波那契数列满足：，．记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用递推公式列举出数列的前几项，归纳出和，求和得到，即可得到. 【详解】由递推公式可得： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …… 其中：，所以； ，所以； ，所以； ，所以； 由此归纳：.① 同理可归纳得：② ①+②得：. 所以. 故选：B 10．数列的通项公式，其前项和为，则等于 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据为周期函数， 得到 ，并项求和，即可求出的值． 【详解】因为为周期函数，周期为4，所以， ，故选B． 【点睛】本题主要考查数列求和方法——并项求和法的应用，以及三角函数的周期性，分论讨论思想，意在考查学生的推理论证和计算能力． 11．对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前项和，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知数列递推式可得数列{Sn2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得．由此可求 【详解】由，令 得，∵ ，得． 当 时， 即 ． 因此，数列 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴，即 ． 则 . 故选B. 【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题． 二、填空题 12．已知数列，当时，______. 【答案】99 【分析】裂项相消求和，再解方程即可. 【详解】， 则. 解得. 故答案为：99. 13．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 三、解答题 14．已知公比大于1的等比数列满足，且、、成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间（m为正整数）中的项的个数，求数列的前30项和． 【答案】(1) (2)94 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式. （2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前30项和. 【详解】（1）令公比大于1的等比数列的公比为q，由题意得 解得，所以； （2）由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； . 15．设函数，. (1)若，且函数与的图象有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点，求的值； (2)已知，对于满足（1）中条件的，求数列的前项和； (3)若正实数使得的图象关于直线对称，所有满足条件的构成的数列记为，且单调递增.求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据的值域可确定其必过或，依次代入可求得的值，结合可求得结果； （2）由（1）可得，根据的最小正周期，利用周期性可求得； （3）根据正弦型函数的对称性可求得，进而得到，采用裂项相消法，结合数列极限的思想可求得结果. 【详解】（1）的值域为， 若函数与的图象有正格点交点，则必过或； 若过点，则，解得：， 又，不合题意； 若过点，则，解得：， 又，，； 综上所述：. （2）由（1）得：， ； 令，则的最小正周期， . （3）由题意得：，即， ， ， ，. 16．设是数列的前项和，且是和2的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记； ①求数列的前项和； ②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）①由等比数列的前项和公式求解即可； ②由裂项相消法可求出，再结合的单调性即可求出答案. 【详解】（1）是和2的等差中项， ①， 当时，， 当时，②， ①-②得：， ， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， . （2）① ， ②由①可得：， ， 由于单调递增， 可得， 即， 则存在常数，使对恒成立， 可得，即的最小值为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 17．将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为__________. 【答案】/ 【分析】分为奇数和偶数，按照最优分解定义，求数列的通项，再求和. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 故数列的前2023项和为 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对新概念的理解，并对分奇数和偶数两种情况进行讨论，从而得到数列的通项公式. 二、解答题 18．在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为为等差数列，故，故， 设等差数列的公差为，则， 故，故. （2）由题设有，故， 故 . 19．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. (1)依次写出数列的前6项； (2)设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，，，， (2)当时，取到最小值，无最大值 【分析】（1）由题意写出数列和的通项公式，进而求出数列的前6项； （2）首先分组求和求出，然后利用确定单调性，确定的最值. 【详解】（1）等差数列的首项，公差为2， 等比数列的首项，公比为， 根据等差数列和等比数列的通项公式可得 ，， 又数列满足（为正整数）， 所以，，，，，， 所以数列的前6项依次为，，，，7，. （2） ， ， ， ，则单调递增， 则当时，取到最小值，无最大值. 20．已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）使用数列的定义求解； （2）使用错位相减法求解； （3）使用分组求和法计算，再分离参数转化为最值求解. 【详解】（1），， （2）由可得①，②， ②①得，因为，所以，已知，， 所以数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 因为，所以， 则③，两边同时乘以2得 ④，③④得 ， 所以. （3）由（2）知数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 则， 若对于任意，恒成立，则恒成立，令， ， 当时，，即； 当时，，即， 所以，则的最大值为，所以， 即的取值范围是. 21．新定义：若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，,,求数列的前项和； (2)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求数列的前2025项和； (3)若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可； （2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可； （3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合. 【详解】（1）若数列为1级等差数列，即对一切，都成立， 则数列为等差数列，设其公差为，由，可得， 则. （2）数列为2级等差数列， 且前四项分别为2，0，4，3，可得对一切，都成立， 由，，，，， 可得数列的奇数项依次构成首项为2，公差为2的等差数列；偶数项构成首项为0，公差为3的等差数列， 则 . （3）因是3级等差数列，则对一切，都成立， 即， 化简得：， 故得或. 当对恒成立时，可得； 由时，可得，解得. 故. 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列新定义，关键是对级等差数列概念的理解，通过特值代入发现规律，利用数列相关定义、公式等价转化，借助于函数的性质即可解决． 22．已知数列和满足，，，成立 (1)求：和的通项公式 (2)设，，求证：. (3)令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)；数列的最大值为，是第一项；最小值为，是第二项； 【分析】（1）将已知条件的两个式子进行加减运算可得和，进而可求得和； （2）根据条件变形，再利用错位相减法求出，进而得证； （3）分别讨论为偶数和奇数时的，进而可求出数列的最大值、最小值. 【详解】（1），， 两式相加得，，即， 是首项为，公比为的等比数列， ，① 两式相减得，，即， 是首项为，公差为的等差数列， ，② 联立①②可得，； （2），， ， ， ， ， 两式相减得， ， ， ，，，得证； （3）， 当是偶数时， ， 是偶数，，， ， ， 当是奇数时， ， 是奇数，，， ， ， 数列的最大值为，是第一项；最小值为，是第二项； 且数列的前项和的通项公式为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $