第17卷 指、对数函数的实际应用 -考点训练卷 2027年吉林省（高职分类考试）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦指数与对数函数的实际应用，以三阶递进体系中基础层考点训练为核心，通过生活情境题实现概念理解到模型应用的逻辑递进，培养用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达现实世界的素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数应用|约8题|实际情境应用题（增长/衰减模型）|函数定义→数量关系→模型构建→应用求解| |对数函数应用|约9题|实际情境应用题（声强级/半衰期）|概念生成→公式推导→数据处理→问题解决| |函数性质|2题|函数奇偶性与图像识别|性质判定→图像特征→综合辨析|

编写说明：2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》 第17卷 指、对数函数的实际应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的时间.假设其对应的函数为，式中N（单位：字/分）表示某一英文打字水平，t（单位：小时）表示达到这一英文打字水平N所需的学习时间.若要达到81字/分的打字水平，则所需的学习时间是（    ） A．144小时 B．90小时 C．100小时 D．99小时 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数的运算即可求解. 【详解】因为， 当时，小时， 故选：A. 2．设某产品年月底价格为元()，在年的前个月，价格平均每月比上个月上涨，后个月，价格平均每月比上个月下降，经过这个月，年月底该产品的价格为元，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意，列出式子表示出的大小关系即可. 【详解】由题意，得. 故选：A． 3．某企业的成本（万元）与生产规模扩大的年数满足.若经过若干年后，成本降低到万元，那么大约经过了几年（    ）.（参考数据：） A．1 年 B．2 年 C．3 年 D．4 年 【答案】B 【分析】将代入到函数的表达式，再根据指数与对数的转化关系求解即可. 【详解】企业的成本（万元）与生产规模扩大的年数满足， 当时，，化简得. 两边取对数，，， 故大约经过了年. 故选：B. 4．在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【详解】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 5．通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量N与时间t（单位：年）有如下关系：，其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量．当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时m约为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数式与对数式得转化与运算，即可求值. 【详解】由题意，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 6．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，则下列函数模型中能较好反映销量(台)与投放市场的月数之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型函数模型的特点结合待定系数法即可得解. 【详解】某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，成倍数增长，符合指数型函数模型， 设， 所以，解得， 所以， 故选：. 7．城市的空气质量指数与空气中污染物浓度（单位：）的关系为.当为时，空气中污染物浓度约为（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出方程即可得解. 【详解】已知，代入， 得到，即，解得， 故选：. 8．比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可. 【详解】由指数函数的图象与性质可知：，，， ∴． 故选：B 9．中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水的温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知在的室温下，函数近似刻画了茶水温度y（单位：℃）随时间t（单位：）的变化规律．为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知及指数型函数的单调性进行计算求解. 【详解】由题可知，函数， 当时，， 当时，，已接近60， 当时，， 又函数在上单调递减， 所以，在四个选项中，时，茶水温度会更接近. 故ACD错误，B正确， 所以，为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置. 故选：B. 10．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100只，则引入7年后它们发展到（     ） A．300只 B．400只 C．600只 D．800只 【答案】A 【分析】由题知时，，从而可求得，令可求解. 【详解】由题知时，， 所以， 故，， 所以引入7年后它们发展到 （只）. 故选：A 11．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积（单位：）与经过的时间（单位：月）的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到.那么要使该植物在水面的覆盖面积达，至少要经过的时间约为（    ）参考数据：（） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 【答案】B 【分析】先求出，根据题目条件列出指数方程，再利用对数运算性质解方程即可. 【详解】当时，，则， 设需要经过个月该植物在水中域中的面积达到，则， 则， 故至少需要经过大约个月. 故选：B. 12．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义进行判断即可. 【详解】对于A，令，，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，令，，，所以是奇函数，故B错误； 对于C，令，，，所以是奇函数，故C错误； 对于D，令，，，所以是奇函数，故D错误. 故选：A. 13．如果一种放射性元素每年的衰减率是，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于（    ） A．lg B．lg C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算的性质求解即可. 【详解】设akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t， 因为这种物质每年的衰减率是， 可得，即， 两边取对数，，即， ∴. 故选：C． 14．新冠疫情影响经济发展，特别是对个体企业的冲击较大，某银行为响应国家号召，扶持个体企业的发展，对小微企业实行贴息贷款，若该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%，那么请你根据所学知识估算，该银行的年贷款利率下降了多少个百分点（    ） A．1.5 B．1.8 C．2.0 D．2.2 【答案】B 【分析】先求出月利率的下降百分点，再乘以即可得解. 【详解】该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%， 则月利率下降了， 所以该银行的年贷款利率下降了个百分点. 故选：B. 15．函数和在同一坐标系中的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据指数函数，对数函数的性质分析图像即可. 【详解】因为，为增函数，所以排除B，D选项， 又因为，所以为减函数，所以排除A选项， 由指数函数与对数函数的图像特点可知C选项满足题意． 故选:C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 16．一台机器的折旧率为每月，初始价值为 元，设使用 x 个月后机器的价值为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为  ___________ . 【答案】 【分析】由题可知每月剩余价值是上月的，根据指数函数的变化关系即可求解. 【详解】因为每月折旧率为，则每月剩余价值是上月的， 又初始价值为 10000 元，所以经过 x 个月后价值. 故答案为：. 17．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下： t(单位时间) 0 2 4 6 8 10 A(t) 320 226 160 115 80 57 从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)=________. 【答案】 4 (t≥0) 【解析】从题表中数据易知半衰期的单位时间，由指数函数可得A(t). 【详解】从题表中数据易知半衰期T为4个单位时间，由初始质量为A0=320，则经过时间t的剩余质量为A(t)=A0· (t≥0). 故答案为：4； (t≥0). 【点睛】本题考查函数模型的实际应用，关键在于理解其实际意义，属于基础题. 18．我国随着科学技术的进步，某厂生产的手机每隔2年价格将降低20%，若该厂生产的一款手机现价为3000元，那么4年后此款手机的价格是________. 【答案】元 【分析】根据题意利用指数函数的性质即可得解. 【详解】由题意可知，元. 故答案为：元. 19．为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为．设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第次改良后所排放的废气中含有的污染物量（单位：满足函数模型． （1）__________． （2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行__________次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标． （参考数据：） 【答案】 6 【分析】（1）根据题意将代入求解即可；（2）解不等式，结合对数运算求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，，即， 解得． （2）由（1）得，，整理得， ，即， 故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标． 故答案为：；6. 20．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为__________. 【答案】130 【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解. 【详解】因为，， 所以其相应的声强级为. 故答案为：130. 三、解答题:本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)128 (2)8 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数和指数的运算性质求解. 【详解】（1）. （2）. 22．我国研究人员屠呦呦发现从青蒿中提取的青蒿素抗虐性超强，几乎达到100%，据监测：某药物服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．    (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？ 【答案】(1)答案见解析 (2)小时 【分析】（1）根据图象求解析式即可； （2）根据函数的解析式求解临界值即可. 【详解】（1）由图可知，当时，， 当时，，代入点得： . 故. （2）每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，即时， 当时，， 当时， 结合图像可知，时，. 且. 故服药一次后治疗有效的时间是小时. 23．地震们强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅． (1)若一次地震测得，，该地震的震级是多少？（计算结果精确到，参考数据：）； (2)计算里氏级地震的最大振幅是里氏级地震最大振幅的多少倍． 【答案】(1)里氏级 (2) 【分析】（1）将，代入等式可得结果； （2）设里氏级地震的最大振幅为，里氏级地震最大振幅为，根据对数的运算性质计算出的值，可得结果. 【详解】（1）解：．． 因此，该地震的级数约为里氏级． （2）解：设里氏级地震的最大振幅为，里氏级地震最大振幅为， 则，，所以，所以，， 即里氏级地震的最大振幅是里氏级地震最大振幅的倍． 24．在机械加工中，某种材料的硬度与加工温度（单位：）满足. (1)当加工温度为53时，求材料的硬度. (2)若材料硬度要达到，则加工温度应为多少？ 【答案】(1)120. (2)59. 【分析】（）将代入中即可得解. （）根据题意列出方程即可得解. 【详解】（1）材料的硬度与加工温度（单位：）满足， 当时，. （2）因为， 则，即， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年吉林省高职分类考试《数学考纲百套卷》 第1卷 集合XX 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的时间.假设其对应的函数为，式中N（单位：字/分）表示某一英文打字水平，t（单位：小时）表示达到这一英文打字水平N所需的学习时间.若要达到81字/分的打字水平，则所需的学习时间是（    ） A．144小时 B．90小时 C．100小时 D．99小时 2．设某产品年月底价格为元()，在年的前个月，价格平均每月比上个月上涨，后个月，价格平均每月比上个月下降，经过这个月，年月底该产品的价格为元，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．某企业的成本（万元）与生产规模扩大的年数满足.若经过若干年后，成本降低到万元，那么大约经过了几年（    ）.（参考数据：） A．1 年 B．2 年 C．3 年 D．4 年 4．在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 5．通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量N与时间t（单位：年）有如下关系：，其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量．当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时m约为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，则下列函数模型中能较好反映销量(台)与投放市场的月数之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 7．城市的空气质量指数与空气中污染物浓度（单位：）的关系为.当为时，空气中污染物浓度约为（     ）. A． B． C． D． 8．比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 9．中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水的温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知在的室温下，函数近似刻画了茶水温度y（单位：℃）随时间t（单位：）的变化规律．为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 10．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100只，则引入7年后它们发展到（     ） A．300只 B．400只 C．600只 D．800只 11．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积（单位：）与经过的时间（单位：月）的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到.那么要使该植物在水面的覆盖面积达，至少要经过的时间约为（    ）参考数据：（） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 12．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 13．如果一种放射性元素每年的衰减率是，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于（    ） A．lg B．lg C． D． 14．新冠疫情影响经济发展，特别是对个体企业的冲击较大，某银行为响应国家号召，扶持个体企业的发展，对小微企业实行贴息贷款，若该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%，那么请你根据所学知识估算，该银行的年贷款利率下降了多少个百分点（    ） A．1.5 B．1.8 C．2.0 D．2.2 15．函数和在同一坐标系中的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 16．一台机器的折旧率为每月，初始价值为 元，设使用 x 个月后机器的价值为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为  ___________ . 17．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下： t(单位时间) 0 2 4 6 8 10 A(t) 320 226 160 115 80 57 从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)=________. 18．我国随着科学技术的进步，某厂生产的手机每隔2年价格将降低20%，若该厂生产的一款手机现价为3000元，那么4年后此款手机的价格是________. 19．为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为．设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第次改良后所排放的废气中含有的污染物量（单位：满足函数模型． （1）__________． （2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行__________次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标． （参考数据：） 20．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为__________. 三、解答题:本大题共4小题，每题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21．求下列各式的值： (1)； (2). 22．我国研究人员屠呦呦发现从青蒿中提取的青蒿素抗虐性超强，几乎达到100%，据监测：某药物服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．    (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？ 23．地震们强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅． (1)若一次地震测得，，该地震的震级是多少？（计算结果精确到，参考数据：）； (2)计算里氏级地震的最大振幅是里氏级地震最大振幅的多少倍． 24．在机械加工中，某种材料的硬度与加工温度（单位：）满足. (1)当加工温度为53时，求材料的硬度. (2)若材料硬度要达到，则加工温度应为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $