专题2 充要条件（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 能正确地区分充分、必要、充要条件. 考点1 充要条件 知识梳理内容 1.一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，我们就说p可推出q，记作 ，读作“p推出q”. 2.(1)若p⇒q，且有q⇏p，则称p是q的 条件. (2)若p⇏q，且有q⇒p，则称p是q的 条件. (3)若p⇒q，且有q⇒p，即p⇔q，则称p是q的 条件. (4)若p⇏q，且有q⇏p，则称p是q的 条件. 注:若已知p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件. 【即时训练】 1.“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 2.设，则“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3.设命题，命题，则p是q的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 4.“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 5.已知，则“，”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 6.“角是钝角”是“角是第二象限角”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 7.“”是“”的(  )条件 A.充分 B.必要 C.充分必要 D.既不充分也不必要 8.“”是“x、y至少有一个为零”的(  )条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知命题：，命题：，则是的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 10.下列命题中，是的必要不充分条件的是(  ) A.， B.， C.是正数，是自然数 D. 11.已知，则“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 12.“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分也不必要条件 13.“函数的定义域为”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 14.“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 15.函数是偶函数的充要条件是(  ) A. B. C. D. 16.已知，为实数，则“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2 子集与推出的关系 对于集合,,如果,则 ；反之如果p⇒q,那么集合A一定是集合B的子集,如果A=B,则 ；如果p⇔q,则 .即A=B与p⇔q等价. 【即时训练】 17.已知集合，，则“”是“”的(  ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 18.设A、B为两个集合，则是“”的(  ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 19.“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 20.集合，的关系如图所示，则是的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 21.下列三个命题中真命题的个数是(  ) (1)若集合，则；(2)若全集，且，则；(3)若，则条件p是结论q成立的必要条件. A.0 B.1 C.2 D.3 1.(2026年山东省春季高考数学真题)已知直线m，n和平面，，且，，则是的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024年山东省春季高考数学真题)函数是偶函数的充要条件是(  ) A. B. C. D. 3.(2023年山东省春季高考数学真题)“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 能正确地区分充分、必要、充要条件. 考点1 充要条件 知识梳理内容 1.一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，我们就说p可推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”. 2.(1)若p⇒q，且有q⇏p，则称p是q的 充分不必要 条件. (2)若p⇏q，且有q⇒p，则称p是q的 必要不充分 条件. (3)若p⇒q，且有q⇒p，即p⇔q，则称p是q的 充要 条件. (4)若p⇏q，且有q⇏p，则称p是q的 既不充分也不必要 条件. 注:若已知p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件. 【即时训练】 1.“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【详解】，解得或， 当时，不等式成立，故充分性成立； 当不等式成立时，或者，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 2.设，则“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为等价于或， 又或，但或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A 3.设命题，命题，则p是q的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的概念逐项分析即可. 【详解】若，则， 由能推出，充分性成立， 若，则， 由能推出，必要性成立， 所以p是q的充要条件， 故选:C. 4.“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，即能推出，充分性成立； 若，则不一定有，如，即不能推出，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 5.已知，则“，”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念求解即可. 【详解】因为，充分性成立， 若，则只能说明异号，也可能是，必要性不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 6.“角是钝角”是“角是第二象限角”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件、象限角的定义判断. 【详解】若角是钝角，即，可知角是第二象限角，故充分性成立， 若角是第二象限角，则角不一定是钝角，如，它是第二象限角，但不是钝角，故必要性不成立， 综上，“角是钝角”是“角是第二象限角”的充分不必要条件. 故选:A. 7.“”是“”的(  )条件 A.充分 B.必要 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 故“”是“”的充分条件. 故选:A. 8.“”是“x、y至少有一个为零”的(  )条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出， 所以“”是“x、y至少有一个为零”的充要条件． 故选:C． 9.已知命题:，命题:，则是的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据指数函数单调性求得命题中不等式解集，然后根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】由在上单调递减，所以， 所以能推出，不能推出，所以是的充分不必要条件. 故选:A 10.下列命题中，是的必要不充分条件的是(  ) A.， B.， C.是正数，是自然数 D. 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】选项A.，即，.所以，但，符合. 选项B.；.那么，但推不出，即，是的充分不必要条件，不符. 选项C.是正数；是自然数.0是自然数，但0不是正数；又是正数，但不是自然数.故是的既不充分又不必要条件． 选项D.；.一定能推出，即； 但推不出，即，是的充分不必要条件，不符. 故选:A. 11.已知，则“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性以及充分性，必要性的定义判断即可. 【详解】由指数函数的单调性可知， 当时，函数单调递增，此时可得， 当时，函数单调递减，此时可得， 故既不能保证成立，同时也不能保证成立， ∴“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 12.“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断． 【详解】因为四条边相等的四边形不一定是正方形，故充分性不成立； “四边形是正方形”，则这个四边形的四条边肯定相等，故必要性成立； 所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选:B. 13.“函数的定义域为”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则恒成立，所以，解得， 由成立得一定成立，反之成立时，不一定成立， 所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 14.“”是“”的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念结合正弦函数的性质进行分析即可. 【详解】若， 则或， 则“”不能推出“”，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选:B. 15.函数是偶函数的充要条件是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选:A. 16.已知，为实数，则“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】因为“若，则”与“若，则”都为真命题，结合充要条件的定义可判断. 【详解】若，则有，所以，即. 所以“”是“”的充分条件； 若，则，即. 所以“”是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选:C. 考点2 子集与推出的关系 对于集合,,如果,则 ；反之如果p⇒q,那么集合A一定是集合B的子集,如果A=B,则 ；如果p⇔q,则 .即A=B与p⇔q等价. 【即时训练】 17.已知集合，，则“”是“”的(  ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合包含关系判断即可. 【详解】当时，集合，，此时，故充分性成立， 若，则集合或，所以或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:B. 18.设A、B为两个集合，则是“”的(  ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系和交集的运算和充要条件的概念分析即可. 【详解】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选:C. 19.“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据交集和并集的定义即可判断充分性和必要性． 【详解】解：“”表示同时属于和，此时一定属于“”，即； “”时，可能只属于或只属于，不一定属于“”，即； ∴“”是“”的充分不必要条件． 故选:A． 20.集合，的关系如图所示，则是的(  )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由韦恩图及充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】由韦恩图知当时，成立，当时，不一定成立， 所以是的充分不必要条件. 故选:. 21.下列三个命题中真命题的个数是(  ) (1)若集合，则；(2)若全集，且，则；(3)若，则条件p是结论q成立的必要条件. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系、全集与补集的概念以及充分条件与必要条件的定义，及可求解. 【详解】对于（1）：“3”为元素，应使用“”符号所以（1）为假命题； 对于（2）：全集，， 则，所以（2）为真命题； 对于（3）：因为，， 所以，即p是q成立的充分条件而非必要条件，所以（3）为假命题. 综上所述三个命题中真命题的个数是1个. 故选:B. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)已知直线m，n和平面，，且，，则是的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选:D. 2.(2024年山东省春季高考数学真题)函数是偶函数的充要条件是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以⇒ 故选:A. 3.(2023年山东省春季高考数学真题)“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与直线得位置关系和异面直线的概念即可求解. 【详解】若“直线没有公共点”，则“或互为异面直线”； 若“直线互为异面直线”，则一定能得到“直线没有公共点”． 所以“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的必要不充分条件. 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $