专题02 万有引力与航天（期末复习专项训练）高一物理下学期沪科版

**基本信息** 以开普勒定律为起点，系统覆盖万有引力应用全链条，通过6大题型构建从概念理解到综合计算的递进训练，强化运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |开普勒三大定律|7题（选择+计算）|轨道规律辨析、面积定律应用|从运动描述到定量计算，衔接万有引力本质| |万有引力定律及计算|7题（选择+填空）|公式理解、引力大小分析|定律内涵→公式应用→天体受力分析| |万有引力定律的成就|5题（选择+填空）|中心天体质量/密度计算|引力提供向心力→黄金代换式应用| |宇宙速度|4题（选择+计算）|宇宙速度理解、卫星运动参量比较|第一宇宙速度推导→不同轨道速度关系| |卫星发射及变轨|5题（综合计算）|多轨道切换、周期/速度分析|圆轨道→椭圆轨道→变轨条件→运动参量关联| |天体机械能计算|5题（选择+计算）|动能与势能转化、机械能比较|引力势能公式→轨道变化中能量守恒|

专题02 万有引力与航天（专项训练） 题型1 开普勒三大定律 题型2 万有引力定律及其计算 题型3 万有引力定律的成就 题型4 宇宙速度 题型5 卫星的发射及变轨问题 题型6 天体中的机械能相关计算 题型1. 曲线运动的概念、特点 1．关于太阳系各行星的运动，下列说法正确的是（　　） A．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比 B．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 C．行星在近日点的速率比远日点的速率大 D．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于行星轨道的中心处 【答案】C 【详解】解：A．根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，即所有行星的轨道的半长轴 r 的立方与其公转周期T 的平方成正比，故A错误； B．所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，运动方向为轨迹上某一点切线方向，不一定与它和太阳的连线垂直，故B错误； C．根据开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，故离太阳越近，在相同时间内通过的路程越大，对应的平均速率也就越大，所以行星在近日点的速率大于在远日点的速率，故C正确； D．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故D错误。 2．如图示虚线为某彗星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。彗星沿图中箭头方向运行。该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该彗星位于轨道的（　　） A．ab之间 B．b点 C．bc之间 D．c点 【答案】C 【详解】解：根据开普勒第二定律可知，彗星在近日点的速度a点最大，远日点c的速度最小，由对称性可知，从a到c所用时间为二分之一周期，且从a到b所用时间小于从b到c所用时间，则该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期应位于bc之间，故C正确，ABD错误。 3．如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（　　） A．从P到M所用的时间等于 B．从Q到N阶段，速率逐渐变小 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N所用的时间等于 【答案】C 【详解】解：A．根据对称性可知，P→M→Q与P→N→Q的时间相等，均为，由于从P到Q阶段，速率逐渐变小，即P到M的平均速率大于M到Q的平均速率，所以从P到M所用的时间小于，故A错误； BC．从近日点到远日点，海王星与太阳之间的间距逐渐增大，万有引力做负功，可知从近日点到远日点，海王星的速度逐渐减小，即从P到Q阶段，速率逐渐变小，则从Q到N阶段，速率逐渐增大，故B错误，C正确； D．根据上述可知，从N→P→M过程的平均速率大于从M→Q→N的平均速率，即从N→P→M过程的时间小于，从M→Q→N过程的时间大于，则从M到N所用的时间不可能等于，故D错误。 4．若将太阳系行星轨道近似视作圆，轨道平均半径为R和绕日公转周期为T，下列关于常用对数lgR与lgT的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据开普勒第三定律有 变形得R3＝kT2 对两边取对数可得3lgR＝21gT+lgk 解得1g，故B正确，ACD错误。 5．如图，S1、S2、S3为火星与太阳连线在相等时间内扫过的任意三个面积，由开普勒行星运动定律可知（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S2＝S3 C．S1＝S2＜S3 D．S1＝S2＝S3 【答案】D 【详解】解：根据开普勒第二定律可知，火星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，则有S1＝S2＝S3，故ABC错误，D正确； 6．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 根据题中信息，试计算木星相邻两次冲日的时间间隔，哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的外行星是（　　） A．火星 B．木星 C．天王星 D．海王星 【答案】D 【详解】解：设地球的公转周期为T，木星的公转周期为T1，由开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期T的平方的比值都相等，可得木星与地球的周期关系为： 木星相邻两次冲日的时间间隔t1，则有： 解得：t1＝1.78T＝1.78年。 因海王星的轨道半径最大，故海王星的公转周期最大。 设地球外另一行星的周期为T′，则两次冲日时间间隔为t，则，可 得t，则T′越大，t越小，即地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。故D正确，ABC错误。 7．如图，某同学研究卫星先环绕地球运动，之后再做变轨的过程。设卫星质量为m，先在近地圆轨道上绕地球运行。已知地球质量为M，引力常量为G，地球半径为R。 （1）求卫星变轨前的运行速率v0； （2）研究变轨时，在地表附近的A点短暂启动发动机，使卫星进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知卫星的引力势能可表示为（r为卫星到地心的距离，设无限远处引力势能为零）。 Ⅰ.求卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值（保留三位小数）； Ⅱ.求变轨前卫星的机械能EA； Ⅲ.求短暂启动过程中发动机对卫星做的功W。（提示：结合开普勒第二定律va•ra＝vb•rb，其中ra、rb分别表示近地点和远地点与地球球心的距离） 【答案】（1）卫星变轨前的运行速率为； （2）Ⅰ.卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值为； Ⅱ.变轨前卫星的机械能为； Ⅲ.短暂启动过程中发动机对卫星做的功W为。 【详解】解：（1）卫星变轨前在近地轨道上环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得，解得； （2）Ⅰ.椭圆轨道的半长轴 由开普勒第三定律得 解得卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值； Ⅱ.变轨前卫星的动能为，变轨前卫星的引力势能为，变轨前卫星的机械能为EA＝EkA+EpA，解得； Ⅲ.变轨后卫星在椭圆轨道上运动，设其在A、B点的速度大小分别为vA、vB，变轨后卫星从A到B的过程，根据机械能守恒定律有 根据开普勒第二定律，取极短时间Δt，有 可得vA＝8vB 联立解得， 变轨的瞬间卫星的引力势能不变，根据功能关系，点火过程中发动机对卫星做的功为 解得。 题型2 万有引力定律及其计算 8．下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力 C．根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式F＝G得G，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关 【答案】B 【详解】解：A.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误； B.根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B正确； C.万有引力表达式适用于两质点之间的万有引力，当r趋近于零时，两物体已经不能够看为质点，该表达式不适用，可知，当r趋近于零时，不能够认为万有引力趋近于无穷大，故C错误； D.根据表达式，可以得到，但万有引力是一个常量，该常量与F、r、m1、m2无关，故D错误。 9．下列关于万有引力定律的说法中正确的是（　　） A．万有引力定律是卡文迪什发现的 B．万有引力定律公式中的引力常量G是没有单位的 C．万有引力定律只适用于天体间的相互作用 D．万有引力定律既适用于天体间的相互作用，也适用于地面上物体间的相互作用 【答案】D 【详解】解：A.万有引力定律是牛顿发现的，故A错误； B.根据万有引力定律，可知引力常量G的单位为N•m2/kg2，故B错误； CD.万有引力定律具有普适性，既适用于天体间的相互作用，也适用于地面上物体间的相互作用，故C错误，D正确。 10．对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什发现了著名的万有引力定律，设计了扭秤实验装置，测出了引力常量 B．根据表达式可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．万有引力恒量G的单位是N•m2•kg2 D．两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关 【答案】D 【详解】解：A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误； B．根据表达式 适用于质点间的引力计算，当r趋近于零时，物体不能再看成质点，万有引力公式已经不适用，故B错误； C．由万有引力公式 可得 则有万有引力恒量G的单位是N•m2•kg﹣2，故C错误； D．根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等，是一对作用力和反作用力，与两物体质量是否相等无关，故D正确。 11．2024年5月，太阳爆发大规模耀斑，引发地磁暴，使得近地航天器受到的阻力变大。此后某航天器轨道高度缓慢降低，但仍可近似为圆形轨道，则该航天器（　　） A．线速度减小 B．周期减小 C．向心加速度减小 D．动能不变 【答案】B 【详解】解：根据ma，可知，随r的减小，线速度越大，周期越小，向心加速度越大，动能因为线速度的增大而增大，故B正确，ACD错误。 12．（多选）要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法可行的是（　　） A．使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变 B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变 C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变 D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的 【答案】ABC 【详解】解：A.根据万有引力定律公式可知，使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故A正确； B.根据万有引力定律公式可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故B正确； C.根据万有引力定律公式可知，使两物体间的距离减少为原来的，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故C正确； D.根据万有引力定律公式可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的，两物体间的万有引力不变，故不可行，故D错误。 13．地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为（　　） A．81：1 B．27：1 C．9：1 D．3：1 【答案】C 【详解】解：设月球质量为M，则地球质量为81M，飞行器质量为m，飞行器距地心距离为r1，飞行器距月心距离为r2，由于地球对它的引力和月球对它的引力相等，根据万有引力定律得，可得，故ABD错误，C正确。 14．“中国天眼”发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，OE连线与其赤道平面的夹角为30°，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B．g C．g D．g 【答案】D 【详解】解：A位置的重力加速度为g，则质量为m的物体在A处受到的万有引力为：F万＝mg D位置的向心加速度为，则有：F万＝m•g+mRω2 在E位置，有：ma＝mRω2cos30° 则E位置的向心加速度为：ag，故D正确、ABC错误。 题型3 万有引力定律的成就 15．北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉发射中心点火升空，于15时50分成功对接天和核心舱前向端口。天和核心舱的运动可视为绕地球的匀速圆周运动。已知天和核心舱距地面高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。忽略地球自转，则该卫星运行周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：忽略地球自转时，地球表面物体的重力等于万有引力，即，解得地球质量 天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r＝R+h，由万有引力提供向心力有 解得运行周期，故ACD错误，B正确。 16．随着科技进步，可利用卫星来感知灌溉信息，智慧助农。一极地卫星在距地面高度为d、且通过地球南北两极正上方的圆轨道上运行，监测的农田南北长为L，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，该卫星通过农田正上方的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，得，地面上物体受到的重力等于万有引力，即，设卫星经过农田所用时间为t，则农田所对应圆心角，解得，故C正确，ABD错误。 17．设空间站质量为m，运行轨道离地面的高度为h，运行速度大小为v，地球半径为R，万有引力恒量为G，则地球的质量为 　　 ；已知地球和太阳间的距离r日地，太阳的半径R日，地球绕日公转周期为T，万有引力恒量为G，则太阳密度为 　　 （球体体积公式：V，R为球体半径）。 【答案】； 【详解】解：在空间站环绕地球做圆周运动时，其所需的向心力由万有引力提供，即，由此可解得地球的质量为。 对于地球围绕太阳的公转运动，同样由万有引力充当向心力，满足，解得太阳的质量。 已知太阳的体积公式为，结合密度公式，联立可得太阳的密度。 18．地球的自转周期为T1，近地卫星公转周期为T2，则他们的大小关系满足T1　＞　 T2（选填“＞”“＜”“＝”）；已知万有引力常量为G，则地球的密度约为 　　 （用前述字母表示）。 【答案】＞；。 【详解】解：地球同步卫星的周期等于地球的自转周期为T1，轨道半径大于近地卫星的轨道半径。 根据开普勒第三定律可得k，所以T1＞T2； 对于近地卫星，根据万有引力提供向心力，则有：mR，解得M 根据密度计算公式可得：ρ，其中V 联立解得：ρ。 19．已知地球近地卫星的周期为T1，同步卫星的周期为T2，万有引力常量为G，则地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设地球半径为R，对近地卫星，G，得M 根据密度公式，故A正确，BCD错误； 题型4 宇宙速度 20．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则地球的第一宇宙速度大小为 　 　 。地球静止同步卫星的轨道平面 　 　 （选填“一定”或“不一定”）与赤道平面共面。 【答案】；一定 【详解】解：第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，此时卫星轨道半径近似等于地球半 径R。卫星做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，根据牛顿第二定律有： 地球表面物体所受重力近似等于地球对它的万有引力，即： 化简得GM＝gR2 将GM＝gR2代入向心力公式，解得：。 地球静止同步卫星的周期与地球自转周期相同，且相对地球表面静止。卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，方向始终指向地心。若轨道平面不与赤道平面共面，卫星所受万有引力的方向（指向地心）与轨道平面的圆心（地心）不在同一直线上，无法提供指向轨道圆心的向心力，卫星将无法稳定运行。因此，同步卫星的轨道平面一定与赤道平面共面。 21．中国航天自主创新、稳步发展，从人造卫星、载人航天到探月探火，不断探索宇宙。 （1）从地表发射地球卫星的速度应 　 　 。 A.小于第一宇宙速度 B.大于第一宇宙速度并小于第二宇宙速度 C.大于第二宇宙速度 （2）（多选）卫星a、b分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道在同一平面内且相交于M、N两点。如图1，某时刻两卫星与地心恰好在同一直线上，则 　 　 。 A.卫星a的机械能小于卫星b的机械能 B.卫星a的速度大于卫星b的速度 C.卫星a的加速度大于卫星b的加速度 D.此后卫星a、b可能相撞 （3）如图2，飞行器在无动力状态下，沿地月转移轨道飞向月球。仅考虑地球和月球引力作用。 ①由于广义相对论效应，飞行器中的原子钟比地球表面的原子钟 　 　 。 A.快 B.慢 ②飞行器的速度 　 　 。 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 （4）地球质量是月球质量的81倍，地球半径可看成是月球半径的4倍，地球第一宇宙速度为7.9km/s。仅考虑月球引力作用，求从月表发射月球卫星的最小速度。（计算，结果保留2位有效数字） 【答案】（1）B；（2）BC；（3）①A；②D；（4）1.8km/s。 【详解】解：（1）第一宇宙速度是成为地球卫星的最小发射速度和最大环绕速度，第二宇宙速度是脱离地球的最小发射速度，即从地表发射地球卫星的发射速度范围介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故AC错误，B正确； 故选：B； （2）A、根据天体机械能的表达式：，可知其影响因素有中心天体质量、卫星质量、卫星半长轴，卫星a、b的质量未知，机械能相对大小不能确定，故A错误； B、由题意可知卫星a的圆轨道半径与卫星b的椭圆轨道的半长轴相等，根据开普勒第三定律，可得到两卫星的周期相等，而卫星a的轨迹比卫星b的轨迹长，即卫星a的平均线速度比卫星b的平均线速度大；卫星a的速度大小不变，即卫星a的线速度与平均线速度相等，卫星b沿椭圆轨道运动时，在图示位置的速度最小，此时的线速度比平均线速度小，即卫星a此时的速度比卫星b此时的速度大，故B正确； C、根据万有引力提供向心力，可得：，解得：，由图可知卫星a与地心的距离比卫星b与地心的距离小，两卫星的加速度大小满足：aa＞ab，故C正确； D、根据开普勒第三定律，可知两卫星的周期相等，即两卫星相对位置不变，初始两卫星不在同一位置，即之后两卫星也不会相撞，故D错误； 故选：BC； （3）①根据广义相对论，可知引力场越强的位置，时间越慢，即飞行器中的原子钟比地球表面的原子钟快，故A正确，B错误； 故选：A； ②根据飞行器的轨迹，可知其先远离地球，动能转化为势能，动能减小，速度减小；后靠近月球，月球的引力做正功，动能增大，速度增大，故ABC错误，D正确； 故选：D； （4）根据第一宇宙速度的意义，可知：，即第一宇宙速度的表达式：，结合地球的第一宇宙速度，即可得到月球的第一宇宙速度为：，即从月表发射月球卫星的最小速度为：v月＝1.8km/s。 22．中国航天科技逐梦星辰，从载人飞天到探火问月，续写强国航天新辉煌。2023年10月，“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后与在轨的“天宫”空间站核心舱对接，为之后空间科学实验和技术试验提供更多条件。已知“天宫”空间站在轨高度约为400km，下列说法正确的是（　　） A．空间站绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s B．空间站绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度 C．空间站绕地球运动的周期等于地球同步卫星的周期 D．“神舟十七号”飞船的发射速度一定大于地球的第二宇宙速度 【答案】B 【详解】解：A、7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星环绕的最大速度，所以空间站绕地球做圆周运动的速度小于7.9km/s，故A错误； B、根据牛顿第二定律可得ma， 解得a，天和空间站的轨道半径大于地球的半径，加速度小于地球表面的重力加速度，故B正确； C、根据万有引力提供向心力有得mr， 解得：T＝2π，可知空间站的周期小于地球同步卫星的周期，故C错误； D、第二宇宙速度为卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，根据地球宇宙速度的定义，可知“神舟十七号”飞船的发射速度必须大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故D错误。 题型5 卫星的发射及变轨问题 23．从我国第一颗人造地球卫星东方红一号的发射到北斗导航，再到天宫空间站，我国的航天技术经过五十多年的发展，已达到了世界领先水平。 （1）如图1所示，东方红一号卫星沿椭圆轨道绕地球运动，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，加速度分别为a1、a2，远地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则： ①用国际单位制中的基本单位导出引力常量G的单位为 　 　 。 A、N•m2•kg﹣2 B、kg3•m﹣1•s﹣2 C、m3•kg﹣1•s﹣2 ②v1　 　 v2，a2　 　 G，a2　 　 （选填：A.＞，B.＝，C.＜）。 ③卫星从近日点向远日点运动过程中，引力 　 　 （选填：A.做正功，B.做负功，C.不做功），卫星的机械能 　 　 （选填：A.增大，B.减小，C.不变）。 （2）“北斗”导航系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成。某一地球同步轨道卫星和一颗中轨道卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图2（a）所示。 ①（多选）地球同步轨道卫星运行的过程中，下列哪些物理量保持不变 　 　 。 A.动能 B.角速度 C.加速度 D.速度 ②同步轨道卫星和中轨道卫星绕地球做圆周运动的速度分别v1、v2，地球第一宇宙速度为v0，则v1　　 v2，v1　 　 v0。（选填：A.＞，B.＝，C.＜） ③月球绕地球公转的周期约为27天，则月球球心到地球球心的距离是地球同步卫星到地球球心距离的 　 　 。 A. B. C. D. ④若这两颗卫星之间的距离Δr随时间t变化的关系如图2（b）所示，则中轨道卫星的运行周期 T=　 　 h。 （3）2022年神舟十五号载人飞船与空间站组合体进行对接。图3中A表示神舟十五号，B表示天宫空间站，它们在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动。已知神舟十五号的轨道半径为r，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。 ①神舟十五号轨道处地球引力产生的加速度g′＝ 　 　 ，若神舟飞船内有一质量为m0的人站在可称体重的台秤上，台秤示数为 　 　 。 ②若神舟十五号质量为m，以无穷远处为零势能面，则神舟十五号的动能为 　 　 ，引力势能为 　 　 。 ③图中神舟十五号须通过 　 　 ，变轨后才能与空间站交会对接。（选填：A.加速，B、减速） 【答案】（1）①C；②A，B，A；③B，C。（2）①AB；②C，C；③C；④8。（3）①，0；②，；③A。 【详解】解：（1）①由万有引力公式变形得，国际单位中F的单位是kg•m/s2，r2的单位m2，M、m的单位kg，代入得，故AB错误，C正确。 故选：C。 ②由开普勒第二定律可知卫星在近地点速度大于远地点速度，即v1＞v2，故A正确； 由万有引力提供向心力，在远地点有，可得远地点的加速度，故B正确； 远地点卫星做近心运动，说明万有引力大于所需向心力，即，看得，故A正确。 故选：A，B，A。 ③卫星从近地点向远地点运动，引力方向与速度方向夹角大于90°，引力做负功，故B正确；卫星仅受引力作用，所以机械能守恒，故C正确。 故选：B，C。 （2）①A.同步卫星线速度的大小恒定不变，根据动能公式，可知卫星的动能大小保持不变，故A正确。 B.同步卫星的运行周期固定为24小时，根据角速度与周期的关系，角速度大小也恒定不变，故B正确。 C.卫星的向心加速度大小为，虽然大小不变，但加速度是矢量，其方向始终指向地心，时刻在发生变化，故C错误。 D.速度是矢量，同步卫星做圆周运动时，速度的方向时刻沿轨道切线变化，故D错误。 故选：AB。 ②根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力有，可得线速度。可知轨道半径越大线速度越小，同步轨道卫星的轨道半径大于中轨道卫星的轨道半径，所以同步卫星的线速度v1小于中轨道卫星的线速度v2，故AB错误，C正确。 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对应的轨道半径最小，线速度最大。同步轨道卫星的轨道半径远大于近地轨道半径，所以其线速度小于第一宇宙速度v0，故AB错误，C正确。 故选：C，C。 ③根据开普勒第三定律，绕同一中心天体运动的卫星，其轨道半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，即，由此可得轨道半径与周期的关系为。 已知月球绕地球公转的周期T月＝27天，地球同步卫星的周期T同＝1天，所以两者轨道半径之比为，故ACD错误，C正确。 故选：C。 ④两卫星绕行方向相同，从相距最近到下一次相距最近时，中轨道卫星比同步卫星多绕地球转了一圈，即多转过的角度为2π弧度。 由图2（b）可知，这个时间间隔为12小时。设中轨道卫星的周期为T，同步卫星的周期为T同＝24h，根据 角速度差的关系有，解得T＝8h，即中轨道卫星的周期为8h。 （3）①由引力提供向心力，在地球表面有，可得GM＝gR2；在神舟十五号轨道处有，可得轨道处的引力加速度； 飞船在轨道上做匀速圆周运动，处于完全失重状态，飞船内的人也随飞船一起做圆周运动，万有引力全部提供向心力，人对台秤没有压力，因此台秤示数为0。 ②由万有引力提供向心力有，可得动能； 取无穷远为零势能面，引力势能为。 ③神舟十五号的轨道半径小于天宫空间站的轨道半径，要与更高轨道的空间站对接，需要通过加速使飞船做离心运动，进入更高的轨道，故A正确，B错误。 故选：A。 24．如图所示，空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径为r。已知空间站的总质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。 （1）关于做匀速圆周运动的人造地球卫星，轨道越高，下列说法中正确的是 　 　 。 A.周期越大 B.角速度越大 C.线速度越大 D.向心加速度越大 （2）假如空间站受到宇宙尘埃的阻力影响，速度减小，空间站的运动情况 　 　 。 A.匀速圆周运动 B.离心运动 C.近心运动 D.减速圆周运动 （3）飞船从预定轨道Ⅰ的A点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ，与空间站实现对接。下列说法中正确的是 　 　 。 A.飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点时的加速度比飞船在圆轨道Ⅰ经过A点时的加速度大 B.飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点时的速度一定大于11.2km/s C.飞船沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅲ运行的周期 D.在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上飞船与地心连线在相等的时间内扫过的面积相等 （4）随着技术进步，为使宇航员更加适应长期的外太空生活，可以考虑将太空舱建成一个半径足够大的环形结构，绕着中心轴做匀速圆周运动来模拟重力。假定太空舱到中心轴半径为100m，为模拟地球9.8m/s2的重力加速度，此时： ①宇航员的脚应站在 　外　 （填“内”或“外”）舱壁上。 ②（计算）太空舱的转速多大？（保留3位有效数字） 【答案】（1）A。（2）C。（3）C。（4）①外。②太空舱的转速为0.0498r/s。 【详解】解：（1）根据mrω2ma可得ω，v，a，轨道越高，则轨道半径越大，可知角速度越小（周期越大），线速度越小，向心加速度越小，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （2）假如空间站受到宇宙尘埃的阻力影响，速度减小，万有引力大于所需向心力，则空间站做近心运动，故C正确，ABD错误。 故选：C。 （3）A.根据ma可知，飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点时的加速度和飞船在圆轨道Ⅰ经过A点时的加速度相等，故A错误； B.根据第二宇宙速度知识，可知飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点时的速度一定小于11.2km/s，故B错误； C.根据开普勒第三定律，飞船沿轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的半径，可知飞船沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅲ运行的周期，故C正确； D.根据开普勒第二定律，卫星在同一轨道上与地心连线在相等的时间内扫过的面积相等，可知在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上飞船与地心连线在相等的时间内扫过的面积不相等，故D错误。 故选：C。 （4）①当太空舱绕中心轴转动时，宇航员随舱一起做圆周运动，需要指向圆心的向心力。若宇航员站在外舱壁，外舱壁会对其施加指向圆心的支持力 （提供向心力），此时宇航员会感受到背离圆心的等效重力，与地球上重力方向（竖直向下）类似，从而模拟出“站立在地面”的效果。若站在内舱壁，支持力同样指向圆心，但等效重力方向会指向圆心，与模拟重力需求不符。因此，宇航员的脚应站在外舱壁上。 ②模拟重力时，向心加速度a＝g＝9.8m/s2，由a＝ω2r可得，代入a＝9.8m/s2，r＝100m，则ω＝0.313rad/s，由ω＝2πn可得，代入ω≈0.313rad/s，则n≈0.0498r/s。 25．如图所示，发射地球静止卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1（离地面高度可忽略），然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，轨道3离地面的高度为h。求：（用题目中的字母表示） （1）卫星在轨道1处的线速度大小v1； （2）卫星在轨道3的运行周期T3； （3）卫星在轨道2的运行周期T2。 【答案】（1）卫星在轨道1处的线速度大小为。 （2）卫星在轨道3的运行周期为。 （3）卫星在轨道2的运行周期为。 【详解】解：（1）卫星在近地轨道1上运行时，可认为其轨道半径等于地球半径R，此时卫星所受重力提供其做圆周运动的向心力， 根据牛顿第二定律可得，解得卫星在轨道1处的线速度大小为。 （2）卫星在轨道3上做圆周运动，万有引力提供向心力，有， 同时在地球表面处，重力加速度满足，将两式联立，解得卫星在轨道3的运行周期。 （3）椭圆轨道2的近地点与地心距离为R，远地点与地心距离为R+h，故其半长轴， 根据开普勒第三定律，有，代入第（2）问所求的T3，解得卫星在轨道2的运行周期。 26．如图所示，为某飞船着陆月球的过程，阴影部分表示月球，飞船在轨道半径为3R的圆形轨道Ⅰ上绕月球做匀速圆周运动，到达A点时经过短暂的点火减速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火减速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0。不考虑其它星体对飞船的影响，忽略月球自转，求： （1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比； （2）飞船在轨道Ⅰ的周期； （3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间。 【答案】（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比为； （2）飞船在轨道Ⅰ的周期为； （3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间为。 【详解】解：（1）设月球质量为M，飞船质量为m， 在圆轨道上，万有引力提供向心力，有：， 解得：， 由题知，轨道Ⅰ的半径r1＝3R，轨道Ⅲ的半径r3＝R， 则飞船在轨道Ⅰ的速度为：， 飞船在轨道Ⅲ的速度为：， 所以：； （2）在月球表面，重力近似等于万有引力，有：， 整理可得：， 飞船在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，轨道半径为R，根据万有引力提供向心力可得：， 联立解得：， 结合（1）可得，飞船在轨道Ⅰ的周期和轨道Ⅲ的周期的比例关系为：， 联立可得：； （3）飞船在轨道Ⅱ上运动，远月点到月球中心距离为3R，近月点到月球中心距离为R，则椭圆轨道的半长轴为：， 根据开普勒第三定律，有：， 联立可得：， 飞船从远月点A运动至近月点B的时间为：， 联立解得：。 题型6 天体中的机械能相关计算 27．（多选）2021年5月，我国“天问一号”探测器成功在火星上着陆，其发射过程可简化为如图：探测器首先在轨道Ⅰ（地球公转轨道）上运行，在P点加速后进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ的远日点Q恰在火星轨道上。探测器到达O点后再次调整速度，进入轨道Ⅲ（火星公转轨道）。关于探测器的运动，下列说法正确的有（　　） A．在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度 B．在轨道Ⅱ上经过P的动能大于在轨道Ⅲ上经过Q的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅰ上经过P的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P的加速度 【答案】BD 【详解】解：A.根据开普勒第二定律可知，在椭圆轨道Ⅱ上，经过P的速度大于经过Q的速度，故A错误； B.根据卫星变轨知识，探测器在P点对应的圆轨道线速度小于在Ⅱ轨道上经过P点的线速度，根据万有引力提供向心力可知，探测器在P点对应的圆轨道线速度又大于圆轨道Ⅲ上Q点的线速度，由动能表达式可知在轨道Ⅱ上经过P的动能大于在轨道Ⅲ上经过Q的动能，故B正确； C.根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅰ上运行的周期，故C错误； D.根据万有引力提供向心力有，解得，在轨道Ⅱ上经过P的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P点的加速度，故D正确。 28．浩瀚星空隐藏无穷奥秘，等待着人类去探索。 （1）火星和水星绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。下列说法正确的是　 　 。 A.水星周期较大 B.水星角速度较大 C.火星线速度较大 D.火星向心加速度较大 （2）飞船悬停在某星球表面，发动机向后喷出速度为v的气体，气体密度为ρ，喷口截面积S。 ①发动机的推力大小为　 ； ②发动机功率为　 　 。 （3）卫星的质量为m，在距地面高度h处绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，以地面为零势能面。 ①卫星的引力势能为　 　 ； ②若卫星的动能和引力势能相等，则其距地面高度为　 　 。 【答案】（1）B；（2）①ρSv2；②；（3）①；②。 【详解】解：（1）水星比火星离太阳更近，轨道半径更小。根据万有引力提供向心力： A、周期，半径越小周期越小，所以水星周期较小，故A错误； B、角速度，半径越小角速度越大，所以水星角速度较大，故B正确； C、线速度，半径越大线速度越小，所以火星线速度较小，故C错误； D、向心加速度，半径越大向心加速度越小，所以火星向心加速度较小，故D错误。 故选：B。 （2）①取时间Δt内喷出的气体为研究对象，质量Δm＝ρSvΔt。根据动量定理，有 即发动机的推力大小为ρSv2. ②发动机在时间Δt内喷出气体的动能为。根据功率的定义式，有 即发动机功率为. （3）①以地面为零势能面，卫星引力势能为卫星从地面移至距离地心R+h处引力做的负功，有 已知地球表面重力加速度为g，根据黄金代换公式GM＝gR2，有 即卫星的引力势能为. ②由和GM＝gR2，得，代入动能表达式，有 根据题意，卫星的动能和引力势能相等，且卫星到地心的距离r＝R+h，则 化简，得 即卫星距地面高度为. 29．2024年8月29日10点07分38秒，中国空间站过境连云港上空凌日，这仅仅0.5秒的震撼瞬间被地面摄影师精准定格。在照片上，中国空间站只是一个小点，但这凝聚了中国航天人三十年的追梦历程，承载着祖国航天事业的奋斗征程。 （1）如图2，地球外有A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，以下一定正确的是 　 　 。 A.A的加速度比B大 B.A的向心力比B大 C.A的周期比B大 D.以上均不对 （2）空间站凌日过程中，图3中表示太阳、地球、空间站三者位置关系的示意图合理的是 　 　 。 （3）（计算与论证）行星绕太阳运动的轨道为椭圆，椭圆有两个位于长轴AC上关于中心对称的焦点，太阳位于其中的一个焦点上如图。若该椭圆的半长轴为a，两焦点间距为2c，行星的质量为m，太阳的质量为M，行星的引力势能，r为行星到太阳的距离，r的倒数与行星速度v的平方满足如图关系，行星和太阳均视为质点。求： ①行星的机械能及图像斜率； ②仅由引力做功，从C点到A点通过动能定理结合图像，推理论证说明引力做功与引力势能变化量ΔEp的关系。 【答案】（1）卫星A的加速度比B大。 （2）表示太阳、地球、空间站三者位置关系的示意图为A。 （3）①行星的机械能为，图像斜率为； ②引力做功等于引力势能变化量的负值，引力做正功，引力势能减少。 【详解】解：（1）AD、由图2可知，卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径。根据万有引力提供向心力，可得加速度，由于rA＜rB，则aA＞aB，故A正确，D错误； B、由于卫星质量未知，无法比较向心力大小，故B错误； C、由可得周期，由于rA＜rB，则TA＜TB，故C错误； 故选：A。 （2）空间站“凌日”是指在地球上观测到空间站从太阳表面飞过的现象，此时太阳、空间站、地球三者应在同一直线上，且空间站必须位于太阳和地球之间。由图3可知，符合该位置关系的示意图是A，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （3）①根据能量守恒定律，行星在绕太阳运动的整个过程中机械能E保持不变。行星的机械能等于其动能与引力势能之和，即： 移项并整理得： 两边同除以GMm，得到与v2的线性关系式： 对比图5可知，该直线在纵轴上的截距为，即当v2＝0时，。代入截距条件有：，解得：。 因此，行星的机械能为；由线性方程可知，该图线的斜率为； ②行星从C点（远日点）运动到A点（近日点）的过程中，仅由引力做功。根据动能定理，引力做的功WG等于行星动能的变化量： 由①中的线性关系式，行星在A、C两点分别满足： 两式相减得： 两边同时乘以GMm，可得： 由于行星的引力势能公式为，上式左边可化为：﹣Ep1﹣（﹣Ep2）＝﹣（Ep1﹣Ep2）＝﹣ΔEp 其中ΔEp＝Ep1﹣Ep2为从C点到A点引力势能的变化量。将动能定理的关系代入，可得：WG＝﹣ΔEp 由此推论并说明：引力做的功等于引力势能变化量的负值，即引力做正功，引力势能减少。 30．如图所示为人造卫星的变轨示意图，其中1为近地轨道，3为地球的同步卫星轨道，2轨道分别在A处与B处和1轨道与3轨道相切。人造卫星从近地轨道最终进入同步卫星轨道需要在A和B两处分别点火以改变速度大小。 （1）人造卫星在1轨道上通过A点时的速率记为vA1，在2轨道上通过A点时的速率记为vA2，在2轨道上通过B点时的速率记为vB2，在3轨道上通过B点时的速率记为vB3，则这四个速率中最大的是 　 　 ，最小的是 　 　 。 A.vA1 B.vA2 C.vB2 D.vB3 （2）人造卫星在1轨道总机械能为E1，在3轨道总机械能为E3，则E1　 　 E3（选填A.“＞”，B.“＝”，C.“＜”）。 （3）（论证）对上面第（2）题中的选择作出解释。 （4）（计算）已知地球自转周期为24小时，地球半径为R＝6400km，求人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离。（地球表面重力加速度g＝9.8m/s2，结果保留3位有效数字） 【答案】（1）B，C。（2）（3）C，由于从轨道1变轨到轨道3需要两次在A、B点加速才能完成，火箭对卫星做正功。（4）人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离为3.60×107km。 【详解】解：（1）人造卫星在1轨道上通过A点时的速率记为vA1，在2轨道上通过A点时的速率记为vA2，在2轨道上通过B点时的速率记为vB2，在3轨道上通过B点时的速率记为vB3，根据卫星变轨知识，在A点卫星需要加速做离心运动才能进入轨道2，故为vA2＞vA1，同理在B点处，可知vB3＞vB2，在圆轨道上又有vA1＞vB3，则这四个速率中最大的是vA2，故B正确，ACD错误；最小的是vB2，故C正确，ABD错误。 故选：B。 故选：C。 （2）（3）同一人造卫星在1轨道总机械能为E1，在3轨道总机械能为E3，由于从轨道1变轨到轨道3需要两次在A、B点加速才能完成，火箭对卫星做正功，可知则E1＜E3，故C正确，AB错误。 故选：C。 （4）已知地球自转周期为24小时，地球半径为R＝6400km，设人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离为h，依题意有，又mg，g＝9.8m/s2，π＝3.14，联立得h≈3.60×107km。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 万有引力与航天（专项训练） 题型1 开普勒三大定律 题型2 万有引力定律及其计算 题型3 万有引力定律的成就 题型4 宇宙速度 题型5 卫星的发射及变轨问题 题型6 天体中的机械能相关计算 题型1. 曲线运动的概念、特点 1．关于太阳系各行星的运动，下列说法正确的是（　　） A．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比 B．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 C．行星在近日点的速率比远日点的速率大 D．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于行星轨道的中心处 2．如图示虚线为某彗星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。彗星沿图中箭头方向运行。该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该彗星位于轨道的（　　） A．ab之间 B．b点 C．bc之间 D．c点 3．如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（　　） A．从P到M所用的时间等于 B．从Q到N阶段，速率逐渐变小 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N所用的时间等于 4．若将太阳系行星轨道近似视作圆，轨道平均半径为R和绕日公转周期为T，下列关于常用对数lgR与lgT的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，S1、S2、S3为火星与太阳连线在相等时间内扫过的任意三个面积，由开普勒行星运动定律可知（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S2＝S3 C．S1＝S2＜S3 D．S1＝S2＝S3 6．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 根据题中信息，试计算木星相邻两次冲日的时间间隔，哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的外行星是（　　） A．火星 B．木星 C．天王星 D．海王星 7．如图，某同学研究卫星先环绕地球运动，之后再做变轨的过程。设卫星质量为m，先在近地圆轨道上绕地球运行。已知地球质量为M，引力常量为G，地球半径为R。 （1）求卫星变轨前的运行速率v0； （2）研究变轨时，在地表附近的A点短暂启动发动机，使卫星进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知卫星的引力势能可表示为（r为卫星到地心的距离，设无限远处引力势能为零）。 Ⅰ.求卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值（保留三位小数）； Ⅱ.求变轨前卫星的机械能EA； Ⅲ.求短暂启动过程中发动机对卫星做的功W。（提示：结合开普勒第二定律va•ra＝vb•rb，其中ra、rb分别表示近地点和远地点与地球球心的距离） 题型2 万有引力定律及其计算 8．下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力 C．根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式F＝G得G，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关 9．下列关于万有引力定律的说法中正确的是（　　） A．万有引力定律是卡文迪什发现的 B．万有引力定律公式中的引力常量G是没有单位的 C．万有引力定律只适用于天体间的相互作用 D．万有引力定律既适用于天体间的相互作用，也适用于地面上物体间的相互作用 10．对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什发现了著名的万有引力定律，设计了扭秤实验装置，测出了引力常量 B．根据表达式可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C．万有引力恒量G的单位是N•m2•kg2 D．两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关 11．2024年5月，太阳爆发大规模耀斑，引发地磁暴，使得近地航天器受到的阻力变大。此后某航天器轨道高度缓慢降低，但仍可近似为圆形轨道，则该航天器（　　） A．线速度减小 B．周期减小 C．向心加速度减小 D．动能不变 12．（多选）要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法可行的是（　　） A．使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变 B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变 C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变 D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的 13．地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为（　　） A．81：1 B．27：1 C．9：1 D．3：1 14．“中国天眼”发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，OE连线与其赤道平面的夹角为30°，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B．g C．g D．g 题型3 万有引力定律的成就 15．北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉发射中心点火升空，于15时50分成功对接天和核心舱前向端口。天和核心舱的运动可视为绕地球的匀速圆周运动。已知天和核心舱距地面高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。忽略地球自转，则该卫星运行周期为（　　） A． B． C． D． 16．随着科技进步，可利用卫星来感知灌溉信息，智慧助农。一极地卫星在距地面高度为d、且通过地球南北两极正上方的圆轨道上运行，监测的农田南北长为L，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转，该卫星通过农田正上方的时间为（　　） A． B． C． D． 17．设空间站质量为m，运行轨道离地面的高度为h，运行速度大小为v，地球半径为R，万有引力恒量为G，则地球的质量为 　　 ；已知地球和太阳间的距离r日地，太阳的半径R日，地球绕日公转周期为T，万有引力恒量为G，则太阳密度为 　　 （球体体积公式：V，R为球体半径）。 18．地球的自转周期为T1，近地卫星公转周期为T2，则他们的大小关系满足T1　 　 T2（选填“＞”“＜”“＝”）；已知万有引力常量为G，则地球的密度约为 　 　 （用前述字母表示）。 19．已知地球近地卫星的周期为T1，同步卫星的周期为T2，万有引力常量为G，则地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 题型4 宇宙速度 20．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则地球的第一宇宙速度大小为 　 　 。地球静止同步卫星的轨道平面 　 　 （选填“一定”或“不一定”）与赤道平面共面。 21．中国航天自主创新、稳步发展，从人造卫星、载人航天到探月探火，不断探索宇宙。 （1）从地表发射地球卫星的速度应 　 　 。 A.小于第一宇宙速度 B.大于第一宇宙速度并小于第二宇宙速度 C.大于第二宇宙速度 （2）（多选）卫星a、b分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道在同一平面内且相交于M、N两点。如图1，某时刻两卫星与地心恰好在同一直线上，则 　 　 。 A.卫星a的机械能小于卫星b的机械能 B.卫星a的速度大于卫星b的速度 C.卫星a的加速度大于卫星b的加速度 D.此后卫星a、b可能相撞 （3）如图2，飞行器在无动力状态下，沿地月转移轨道飞向月球。仅考虑地球和月球引力作用。 ①由于广义相对论效应，飞行器中的原子钟比地球表面的原子钟 　 　 。 A.快 B.慢 ②飞行器的速度 　 　 。 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 （4）地球质量是月球质量的81倍，地球半径可看成是月球半径的4倍，地球第一宇宙速度为7.9km/s。仅考虑月球引力作用，求从月表发射月球卫星的最小速度。（计算，结果保留2位有效数字） 22．中国航天科技逐梦星辰，从载人飞天到探火问月，续写强国航天新辉煌。2023年10月，“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后与在轨的“天宫”空间站核心舱对接，为之后空间科学实验和技术试验提供更多条件。已知“天宫”空间站在轨高度约为400km，下列说法正确的是（　　） A．空间站绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s B．空间站绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度 C．空间站绕地球运动的周期等于地球同步卫星的周期 D．“神舟十七号”飞船的发射速度一定大于地球的第二宇宙速度 题型5 卫星的发射及变轨问题 23．从我国第一颗人造地球卫星东方红一号的发射到北斗导航，再到天宫空间站，我国的航天技术经过五十多年的发展，已达到了世界领先水平。 （1）如图1所示，东方红一号卫星沿椭圆轨道绕地球运动，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，加速度分别为a1、a2，远地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则： ①用国际单位制中的基本单位导出引力常量G的单位为 　 　 。 A、N•m2•kg﹣2 B、kg3•m﹣1•s﹣2 C、m3•kg﹣1•s﹣2 ②v1　 　 v2，a2　 　 G，a2　 　 （选填：A.＞，B.＝，C.＜）。 ③卫星从近日点向远日点运动过程中，引力 　 　 （选填：A.做正功，B.做负功，C.不做功），卫星的机械能 　 　 （选填：A.增大，B.减小，C.不变）。 （2）“北斗”导航系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成。某一地球同步轨道卫星和一颗中轨道卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图2（a）所示。 ①（多选）地球同步轨道卫星运行的过程中，下列哪些物理量保持不变 　 　 。 A.动能 B.角速度 C.加速度 D.速度 ②同步轨道卫星和中轨道卫星绕地球做圆周运动的速度分别v1、v2，地球第一宇宙速度为v0，则v1　　 v2，v1　 　 v0。（选填：A.＞，B.＝，C.＜） ③月球绕地球公转的周期约为27天，则月球球心到地球球心的距离是地球同步卫星到地球球心距离的 　 　 。 A. B. C. D. ④若这两颗卫星之间的距离Δr随时间t变化的关系如图2（b）所示，则中轨道卫星的运行周期 T=　 　 h。 （3）2022年神舟十五号载人飞船与空间站组合体进行对接。图3中A表示神舟十五号，B表示天宫空间站，它们在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动。已知神舟十五号的轨道半径为r，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。 ①神舟十五号轨道处地球引力产生的加速度g′＝ 　 　 ，若神舟飞船内有一质量为m0的人站在可称体重的台秤上，台秤示数为 　 　 。 ②若神舟十五号质量为m，以无穷远处为零势能面，则神舟十五号的动能为 　 　 ，引力势能为 　 　 。 ③图中神舟十五号须通过 　 　 ，变轨后才能与空间站交会对接。（选填：A.加速，B、减速） 24．如图所示，空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径为r。已知空间站的总质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。 （1）关于做匀速圆周运动的人造地球卫星，轨道越高，下列说法中正确的是 　 　 。 A.周期越大 B.角速度越大 C.线速度越大 D.向心加速度越大 （2）假如空间站受到宇宙尘埃的阻力影响，速度减小，空间站的运动情况 　 　 。 A.匀速圆周运动 B.离心运动 C.近心运动 D.减速圆周运动 （3）飞船从预定轨道Ⅰ的A点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ，与空间站实现对接。下列说法中正确的是 　 　 。 A.飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点时的加速度比飞船在圆轨道Ⅰ经过A点时的加速度大 B.飞船在椭圆轨道Ⅱ经过A点时的速度一定大于11.2km/s C.飞船沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅲ运行的周期 D.在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上飞船与地心连线在相等的时间内扫过的面积相等 （4）随着技术进步，为使宇航员更加适应长期的外太空生活，可以考虑将太空舱建成一个半径足够大的环形结构，绕着中心轴做匀速圆周运动来模拟重力。假定太空舱到中心轴半径为100m，为模拟地球9.8m/s2的重力加速度，此时： ①宇航员的脚应站在 　外　 （填“内”或“外”）舱壁上。 ②（计算）太空舱的转速多大？（保留3位有效数字） 25．如图所示，发射地球静止卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1（离地面高度可忽略），然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，轨道3离地面的高度为h。求：（用题目中的字母表示） （1）卫星在轨道1处的线速度大小v1； （2）卫星在轨道3的运行周期T3； （3）卫星在轨道2的运行周期T2。 26．如图所示，为某飞船着陆月球的过程，阴影部分表示月球，飞船在轨道半径为3R的圆形轨道Ⅰ上绕月球做匀速圆周运动，到达A点时经过短暂的点火减速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火减速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0。不考虑其它星体对飞船的影响，忽略月球自转，求： （1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比； （2）飞船在轨道Ⅰ的周期； （3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间。 题型6 天体中的机械能相关计算 27．（多选）2021年5月，我国“天问一号”探测器成功在火星上着陆，其发射过程可简化为如图：探测器首先在轨道Ⅰ（地球公转轨道）上运行，在P点加速后进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ的远日点Q恰在火星轨道上。探测器到达O点后再次调整速度，进入轨道Ⅲ（火星公转轨道）。关于探测器的运动，下列说法正确的有（　　） A．在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度 B．在轨道Ⅱ上经过P的动能大于在轨道Ⅲ上经过Q的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅰ上经过P的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P的加速度 28．浩瀚星空隐藏无穷奥秘，等待着人类去探索。 （1）火星和水星绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。下列说法正确的是　 　 。 A.水星周期较大 B.水星角速度较大 C.火星线速度较大 D.火星向心加速度较大 （2）飞船悬停在某星球表面，发动机向后喷出速度为v的气体，气体密度为ρ，喷口截面积S。 ①发动机的推力大小为　 ； ②发动机功率为　 　 。 （3）卫星的质量为m，在距地面高度h处绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，以地面为零势能面。 ①卫星的引力势能为　 　 ； ②若卫星的动能和引力势能相等，则其距地面高度为　 　 。 29．2024年8月29日10点07分38秒，中国空间站过境连云港上空凌日，这仅仅0.5秒的震撼瞬间被地面摄影师精准定格。在照片上，中国空间站只是一个小点，但这凝聚了中国航天人三十年的追梦历程，承载着祖国航天事业的奋斗征程。 （1）如图2，地球外有A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，以下一定正确的是 　 　 。 A.A的加速度比B大 B.A的向心力比B大 C.A的周期比B大 D.以上均不对 （2）空间站凌日过程中，图3中表示太阳、地球、空间站三者位置关系的示意图合理的是 　 　 。 （3）（计算与论证）行星绕太阳运动的轨道为椭圆，椭圆有两个位于长轴AC上关于中心对称的焦点，太阳位于其中的一个焦点上如图。若该椭圆的半长轴为a，两焦点间距为2c，行星的质量为m，太阳的质量为M，行星的引力势能，r为行星到太阳的距离，r的倒数与行星速度v的平方满足如图关系，行星和太阳均视为质点。求： ①行星的机械能及图像斜率； ②仅由引力做功，从C点到A点通过动能定理结合图像，推理论证说明引力做功与引力势能变化量ΔEp的关系。 30．如图所示为人造卫星的变轨示意图，其中1为近地轨道，3为地球的同步卫星轨道，2轨道分别在A处与B处和1轨道与3轨道相切。人造卫星从近地轨道最终进入同步卫星轨道需要在A和B两处分别点火以改变速度大小。 （1）人造卫星在1轨道上通过A点时的速率记为vA1，在2轨道上通过A点时的速率记为vA2，在2轨道上通过B点时的速率记为vB2，在3轨道上通过B点时的速率记为vB3，则这四个速率中最大的是 　 　 ，最小的是 　 　 。 A.vA1 B.vA2 C.vB2 D.vB3 （2）人造卫星在1轨道总机械能为E1，在3轨道总机械能为E3，则E1　 　 E3（选填A.“＞”，B.“＝”，C.“＜”）。 （3）（论证）对上面第（2）题中的选择作出解释。 （4）（计算）已知地球自转周期为24小时，地球半径为R＝6400km，求人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离。（地球表面重力加速度g＝9.8m/s2，结果保留3位有效数字） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 万有引力与航天（专项训练） 题型1 开普勒三大定律 题型2 万有引力定律及其计算 题型3 万有引力定律的成就 题型4 宇宙速度 题型5 卫星的发射及变轨问题 题型6 天体中的机械能相关计算 题型1. 曲线运动的概念、特点 1． 【答案】C 2． 【答案】C 3． 【答案】C 4． 【答案】B 5． 【答案】D 6． 【答案】D 7． 【答案】（1）卫星变轨前在近地轨道上环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得，解得； （2）Ⅰ.椭圆轨道的半长轴 由开普勒第三定律得 解得卫星在近地轨道和在椭圆轨道环绕地球的周期比值； Ⅱ.变轨前卫星的动能为，变轨前卫星的引力势能为，变轨前卫星的机械能为EA＝EkA+EpA，解得； Ⅲ.变轨后卫星在椭圆轨道上运动，设其在A、B点的速度大小分别为vA、vB，变轨后卫星从A到B的过程，根据机械能守恒定律有 根据开普勒第二定律，取极短时间Δt，有 可得vA＝8vB 联立解得， 变轨的瞬间卫星的引力势能不变，根据功能关系，点火过程中发动机对卫星做的功为 解得。 题型2 万有引力定律及其计算 8． 【答案】B 9． 【答案】D 10． 【答案】D 11． 【答案】B 12． 【答案】ABC 13． 【答案】C 14． 【答案】D 题型3 万有引力定律的成就 15． 【答案】B 16． 【答案】C 17． 【答案】； 18． 【答案】＞；。 19． 【答案】A 题型4 宇宙速度 20． 【答案】；一定 21． 【答案】（1）B；（2）BC；（3）①A；②D；（4）1.8km/s。 22． 【答案】B 题型5 卫星的发射及变轨问题 23． 【答案】（1）①C；②A，B，A；③B，C。（2）①AB；②C，C；③C；④8。（3）①，0；②，；③A。 24． 【答案】（1）A。（2）C。（3）C。（4）①外。②太空舱的转速为0.0498r/s。 25． 【详解】解：（1）卫星在近地轨道1上运行时，可认为其轨道半径等于地球半径R，此时卫星所受重力提供其做圆周运动的向心力， 根据牛顿第二定律可得，解得卫星在轨道1处的线速度大小为。 （2）卫星在轨道3上做圆周运动，万有引力提供向心力，有， 同时在地球表面处，重力加速度满足，将两式联立，解得卫星在轨道3的运行周期。 （3）椭圆轨道2的近地点与地心距离为R，远地点与地心距离为R+h，故其半长轴， 根据开普勒第三定律，有，代入第（2）问所求的T3，解得卫星在轨道2的运行周期。 26． 【答案】（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比为； （2）飞船在轨道Ⅰ的周期为； （3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间为。 【详解】解：（1）设月球质量为M，飞船质量为m， 在圆轨道上，万有引力提供向心力，有：， 解得：， 由题知，轨道Ⅰ的半径r1＝3R，轨道Ⅲ的半径r3＝R， 则飞船在轨道Ⅰ的速度为：， 飞船在轨道Ⅲ的速度为：， 所以：； （2）在月球表面，重力近似等于万有引力，有：， 整理可得：， 飞船在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，轨道半径为R，根据万有引力提供向心力可得：， 联立解得：， 结合（1）可得，飞船在轨道Ⅰ的周期和轨道Ⅲ的周期的比例关系为：， 联立可得：； （3）飞船在轨道Ⅱ上运动，远月点到月球中心距离为3R，近月点到月球中心距离为R，则椭圆轨道的半长轴为：， 根据开普勒第三定律，有：， 联立可得：， 飞船从远月点A运动至近月点B的时间为：， 联立解得：。 题型6 天体中的机械能相关计算 27．（多选） 【答案】BD 28． 【答案】（1）B；（2）①ρSv2；②；（3）①；②。 29． 【答案】（1）卫星A的加速度比B大。 （2）表示太阳、地球、空间站三者位置关系的示意图为A。 （3）①行星的机械能为，图像斜率为； ②引力做功等于引力势能变化量的负值，引力做正功，引力势能减少。 【详解】解：（1）AD、由图2可知，卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径。根据万有引力提供向心力，可得加速度，由于rA＜rB，则aA＞aB，故A正确，D错误； B、由于卫星质量未知，无法比较向心力大小，故B错误； C、由可得周期，由于rA＜rB，则TA＜TB，故C错误； 故选：A。 （2）空间站“凌日”是指在地球上观测到空间站从太阳表面飞过的现象，此时太阳、空间站、地球三者应在同一直线上，且空间站必须位于太阳和地球之间。由图3可知，符合该位置关系的示意图是A，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （3）①根据能量守恒定律，行星在绕太阳运动的整个过程中机械能E保持不变。行星的机械能等于其动能与引力势能之和，即： 移项并整理得： 两边同除以GMm，得到与v2的线性关系式： 对比图5可知，该直线在纵轴上的截距为，即当v2＝0时，。代入截距条件有：，解得：。 因此，行星的机械能为；由线性方程可知，该图线的斜率为； ②行星从C点（远日点）运动到A点（近日点）的过程中，仅由引力做功。根据动能定理，引力做的功WG等于行星动能的变化量： 由①中的线性关系式，行星在A、C两点分别满足： 两式相减得： 两边同时乘以GMm，可得： 由于行星的引力势能公式为，上式左边可化为：﹣Ep1﹣（﹣Ep2）＝﹣（Ep1﹣Ep2）＝﹣ΔEp 其中ΔEp＝Ep1﹣Ep2为从C点到A点引力势能的变化量。将动能定理的关系代入，可得：WG＝﹣ΔEp 由此推论并说明：引力做的功等于引力势能变化量的负值，即引力做正功，引力势能减少。 30． 【答案】（1）B，C。（2）（3）C，由于从轨道1变轨到轨道3需要两次在A、B点加速才能完成，火箭对卫星做正功。（4）人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离为3.60×107km。 【详解】解：（1）人造卫星在1轨道上通过A点时的速率记为vA1，在2轨道上通过A点时的速率记为vA2，在2轨道上通过B点时的速率记为vB2，在3轨道上通过B点时的速率记为vB3，根据卫星变轨知识，在A点卫星需要加速做离心运动才能进入轨道2，故为vA2＞vA1，同理在B点处，可知vB3＞vB2，在圆轨道上又有vA1＞vB3，则这四个速率中最大的是vA2，故B正确，ACD错误；最小的是vB2，故C正确，ABD错误。 故选：B。 故选：C。 （2）（3）同一人造卫星在1轨道总机械能为E1，在3轨道总机械能为E3，由于从轨道1变轨到轨道3需要两次在A、B点加速才能完成，火箭对卫星做正功，可知则E1＜E3，故C正确，AB错误。 故选：C。 （4）已知地球自转周期为24小时，地球半径为R＝6400km，设人造卫星在3轨道上运动时离地表的距离为h，依题意有，又mg，g＝9.8m/s2，π＝3.14，联立得h≈3.60×107km。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $