甘肃兰州市永登县第六中学2025-2026学年高一数学下学期期末考试模拟卷（5）

**基本信息** 本卷覆盖高一数学核心内容，以复数、向量、三角函数、立体几何、概率为主体，通过“方斗”文化情境、概率样本点分析等设计，融合数学眼光、思维与语言，实现基础巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数虚部、向量运算、三角函数求值、立体几何线面角、排列组合|第6题以古代“方斗”正四棱台为背景，考查表面积计算，渗透文化传承| |填空题|3题/15分|解三角形中线、三角恒等变换、立体几何点面距离|第14题直角三角板与平面成角问题，培养空间观念与几何直观| |解答题|5题/77分|解三角形、向量模与数量积、正方体与球、四棱台证明、概率事件表示|第19题通过抛掷骰子事件分析，训练用样本点表达随机事件，发展数学语言表达能力|

2025-2026学年高一数学下学期 期末考试模拟卷（5） （本试卷共5页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.已知复数满足，是的共轭复数，则的虚部为( ) A． B． C． D． 2.已知向量与，若，则实数( ) A． B． C． D． 3.若 ,则 ( ) A． B． C． D． 4.已知sinx－cosx＝，则sin＝(　　) A． B． C．－ D．－ 5. 如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点，的距离相等，则线段的长度的最小值为( ) A． B． C． D． 6. 我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台)，如果一个方斗的容积为28升(一升为一立方分米)，上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为( ) A． B． C． D． 7.已知直线 与平面 , 下列命题正确的是( ) A． 若 , 则 B． 若 , 则 C． 若 , 则 D． 若 , 则 8.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 10.已知，则( ) A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11.在 中, 若 , 则( ) A． 对任意的 , 都有 B． 对任意的 , 都有 C． 存在 , 使 成立 D． 存在 ,使 成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，为的中点，，则_______. 13. 已知，则 ______ 14.将一个直角三角板放置在桌面上方.如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中,内角 所对的边分别为 . (1)求角 ； (2)若点 在 上, ,求 . 16. 如图，在平行四边形中，已知，，. （1）求的模； （2）若，，求的值. 17. 已知一个正方体所有的顶点都在一个球面上，且这个球的体积是，求正方体的棱长． 18．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上.若，证明：平面； 19.在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”． (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B； (2)试判断事件A与事件B，事件A与事件C，事件B与事件C是不是互斥事件； (3)试用事件Aj表示随机事件A． 2025-2026学年高一数学下学期期末考试模拟卷（5）答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 【1题答案】D【2题答案】A【3题答案】D【4题答案】B【5题答案】A【6题答案】D 【7题答案】D【8题答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】ABD【10题答案】ABD【11题答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【13题答案】 【14题答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1) 由正弦定理及 得 , 所以 ,所以由余弦定理得 , 因为 ,所以 . (2)在 中, ,所以 , 又 , 在 中,由正弦定理得 . 16. 【解析】解：（1） （2）因为，， 所以 17【解析】解：设球的半径为，正方体棱长为，则， ， 又， ． 18.　 【解析】解：（1）证明：取的中点，连接，. 在四棱台中，四边形是梯形，，， 又点，分别是棱，的中点，所以，且. 在正方形中，，，又，所以. 从而，所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 19. 【解析】解：由题意可知试验E的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)． 因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)． 所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}． (2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}． 因为A∩B＝{(1，5)}≠，A∩C＝{(1，4)}≠，B∩C＝，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件． (3)因为事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”， 所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}， 所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6． 第3页/共9页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $