第5章 特殊平行四边形 期末复习高频考点核心知识清单-八年级数学下学期新教材浙教版

第5章 特殊平行四边形 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 特殊平行四边形定义 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 特殊平行四边形性质（期末必考表格） 图形 边 角 对角线 对称性 面积公式 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 中心对称 底 × 高 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 相等且互相平分 中心对称 + 轴对称（2 条） 长 × 宽 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相垂直平分，平分对角 中心对称 + 轴对称（2 条） 对角线 1× 对角线 2 正方形 四条边都相等 四个角都是直角 相等、垂直、平分、平分对角 中心对称 + 轴对称（4 条） 边长 ²；对角线 ² 3. 特殊平行四边形判定定理 矩形判定： ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 对角线相等的平行四边形是矩形； ③ 有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形判定： ① 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③ 四条边相等的四边形是菱形。 正方形判定： ① 有一组邻边相等的矩形是正方形； ② 有一个角是直角的菱形是正方形； ③ 对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。 4. 重要推论 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线性质推出）。 ②菱形的对角线把菱形分成 4 个全等的直角三角形。 ③正方形兼具矩形和菱形所有性质。 5. 包含关系 6. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①矩形：直角 + 对角线相等→求长度、角度、面积。 ②菱形：等边 + 对角线垂直→求边长、面积、周长。 ③正方形：矩形 + 菱形合体→所有性质全用。 ④判定口诀： 平行四边形 + 直角 = 矩形 平行四边形 + 邻边相等 = 菱形 矩形 + 邻边相等 = 正方形 菱形 + 直角 = 正方形 ⑤中点四边形： 对角线相等→中点菱形 对角线垂直→中点矩形 对角线相等且垂直→中点正方形 二、高频考点 + 典例 考点 1：矩形性质与计算（基础必拿分） 典题：如图，矩形的两对角线交于点，，设，矩形的面积为，则变量y与x的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，可得，， 所以，所以．故选：A． 考点 2：菱形性质与计算（高频填空） 典题：如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（   ） A．12 B．6 C．2.4 D． 【答案】B 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得：，， ∵菱形的两条对角线的长为a和b， ∴菱形的面积等于，故选：B． 考点 3：正方形性质与计算 典题：如图，已知在边长为2的正方形中，点E为对角线上一点，且，过点E作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为正方形，且边长为2，∴，， ∴， ∵四边形为正方形，∴， ∵，∴， 又∵，，∴， 在和中，， ∴，∴．故选C． 考点 4：中点四边形（易错题） 典题：若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【详解】解：设这个原四边形为四边形，其中点四边形为矩形， ∵四边形是矩形，∴， ∵分别为各边中点，∴（中位线性质）， ∴，则，∴， 结合四个选项，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A选项不符合题意； 矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； 菱形的对角线一定互相垂直，当原四边形是平行四边形，则对角线垂直的平行四边形是菱形， 梯形的对角线不一定互相垂直，故D选项不符合题意； 故选：C． 考点 5：特殊平行四边形判定（添加条件） 典题：如图，要使平行四边形是正方形，需增加条件．在条件①，②，③，④中选取两个作为条件，不正确的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 【答案】B 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当②时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意； B、四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当③时，菱形不一定是正方形，故此选项错误，符合题意； C、四边形是平行四边形， 当③时，平行四边形是菱形， 当②时，四边形是正方形，故此选项正确，不符合题意； D、当④时，平行四边形是矩形， 当③时，得出四边形是正方形，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 考点 6：图形运动（折叠 / 旋转） 典题：如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由折叠可知：，，，∴， 在和中，，∴， ∴，， 由折叠可得，， ∴，故结论②符合题意； ∵正方形边长是，∴， 设，则，， 由勾股定理得，即，解得， ∴，，， ∴，故结论①错误，不符合题意； ∴五边形的周长为，故结论③符合题意； 的面积为，故结论④符合题意； 综上，正确的结论为②③④，共三个，故选C． 考点 7：最值问题（菱形 / 矩形） 典题：如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是菱形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴是等边三角形， ∵，∴，∴,∴，∴， ∵，∴， ∴的最小值为．故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5章特殊平行四边形知识清单 一、 核心知识总结（必背·期末重点) 1.特殊平行四边形定义 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.特殊平行四边形性质（期末必考表格） 图形 边 角 对角线 对称性 面积公式 平行四边形 对边平行且相等 对角相等， 互相平分 中心对称 底×高 邻角互补 矩形 对边平行且相等 四个角都是 相等且互相平分 中心对称+轴对 长×宽 直角 称(2条) 菱形 四条边都相等 对角相等， 互相垂直平分， 中心对称+轴对 ×对角线1× 邻角互补 平分对角 称(2条) 对角线2 正方形 四条边都相等 四个角都是 相等、垂直、平 中心对称+轴对 边长：×对角 直角 分、平分对角 称(4条) 线2 3.特殊平行四边形判定定理 矩形判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形： ②对角线相等的平行四边形是矩形： ③有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形判定： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形： ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形： ③四条边相等的四边形是菱形。 正方形判定： ①有一组邻边相等的矩形是正方形： ②有一个角是直角的菱形是正方形： ③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。 4.重要推论 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线性质推出）。 ②菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形。 ③正方形兼具矩形和菱形所有性质。 5.包含关系 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平行四边形 矩形 菱形 6.期末复习总结归纳（考前速记卡） ①矩形：直角+对角线相等→求长度、角度、面积。 ②菱形：等边+对角线垂直→求边长、面积、周长。 ③正方形：矩形+菱形合体→所有性质全用。 ④判定口诀： 平行四边形+直角=矩形 平行四边形+邻边相等=菱形 矩形+邻边相等=正方形 菱形+直角=正方形 ⑤中点四边形： 对角线相等→中点菱形 对角线垂直→中点矩形 对角线相等且垂直→中点正方形 二、高频考点+典例 考点1：矩形性质与计算（基础必拿分) 典题：如图，矩形ABCD的两对角线AC、BD交于点O,∠AOB=60°，设AB=xCm,矩形ABCD的面积 为ycm,则变量y与x的函数关系式为() D A.y=v3x2 B.y 3 c.y-5 2 D.y 考点2：菱形性质与计算（高频填空） 典题：如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a-3)+√b-4=0,那么菱形的面积等于() A.12 B.6 C.2.4 D.6√2 考点3：正方形性质与计算 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典题：如图，已知在边长为2的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，且DE=DC,过点E作 EF⊥CE交AD于点F,则DF的长为() F A.2-② B.2-√2 C.22-2 D.2+2 考点4：中点四边形（易错题） 典题：若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是() A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.梯形 考点5：特殊平行四边形判定（添加条件） 典题：如图，要使平行四边形ABCD是正方形，需增加条件，在条件①AB=BC,②AC=BD,③ AC⊥BD,④∠ABC=90°中选取两个作为条件，不正确的是() A.①和② B.①和③ C.②和③ D.③和④ 考点6：图形运动（折叠/旋转） 典题：如图，已知正方形ABCD的边长为I2,BE=EC,将正方形的边CD沿DE折叠到DF,延长EF交 AB于G,连接DG.下列结论①GF=EF,②∠GDE=45°，③五边形AGECD的周长是44，④△DGE的 面积是60.正确的结论有() A G F B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点7：最值问题（菱形/矩形） 典题：如图，在菱形ABCD中，BC=2,∠C=120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP+PQ的最小值为() D C A.2 B.1 C.5 D.5 第5章 特殊平行四边形 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 特殊平行四边形定义 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 特殊平行四边形性质（期末必考表格） 图形 边 角 对角线 对称性 面积公式 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 中心对称 底 × 高 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 相等且互相平分 中心对称 + 轴对称（2 条） 长 × 宽 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相垂直平分，平分对角 中心对称 + 轴对称（2 条） 对角线 1× 对角线 2 正方形 四条边都相等 四个角都是直角 相等、垂直、平分、平分对角 中心对称 + 轴对称（4 条） 边长²；对角线² 3. 特殊平行四边形判定定理 矩形判定： ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 对角线相等的平行四边形是矩形； ③ 有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形判定： ① 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③ 四条边相等的四边形是菱形。 正方形判定： ① 有一组邻边相等的矩形是正方形； ② 有一个角是直角的菱形是正方形； ③ 对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。 4. 重要推论 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线性质推出）。 ②菱形的对角线把菱形分成 4 个全等的直角三角形。 ③正方形兼具矩形和菱形所有性质。 5. 包含关系 6. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①矩形：直角 + 对角线相等→求长度、角度、面积。 ②菱形：等边 + 对角线垂直→求边长、面积、周长。 ③正方形：矩形 + 菱形合体→所有性质全用。 ④判定口诀： 平行四边形 + 直角 = 矩形 平行四边形 + 邻边相等 = 菱形 矩形 + 邻边相等 = 正方形 菱形 + 直角 = 正方形 ⑤中点四边形： 对角线相等→中点菱形 对角线垂直→中点矩形 对角线相等且垂直→中点正方形 二、高频考点 + 典例 考点 1：矩形性质与计算（基础必拿分） 典题：如图，矩形的两对角线交于点，，设，矩形的面积为，则变量y与x的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 考点 2：菱形性质与计算（高频填空） 典题：如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（   ） A．12 B．6 C．2.4 D． 考点 3：正方形性质与计算 典题：如图，已知在边长为2的正方形中，点E为对角线上一点，且，过点E作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点 4：中点四边形（易错题） 典题：若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 考点 5：特殊平行四边形判定（添加条件） 典题：如图，要使平行四边形是正方形，需增加条件．在条件①，②，③，④中选取两个作为条件，不正确的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 考点 6：图形运动（折叠 / 旋转） 典题：如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点 7：最值问题（菱形 / 矩形） 典题：如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $