精品解析：重庆市巴蜀中学校2026届高三考前模拟预测数学试题

数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码区. 2.答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中， 公差. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数都是上的减函数， 因此函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在的区间为. 3. 某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【详解】由题分两类讨论，当班选到1位班干部发言有种选法，其余班级有种选法； 当班选到2位班干部发言有种选法，其余班级有种选法； 故共有种选法， 故选：C． 4. 已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【详解】由于，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图可得：，得，则， 将点代入整理得，于是， 由于，则令，得，于是． 6. 已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 7. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求导可知单调递增. 将不等式转化为，利用单调性得 ，解得. 【详解】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 8. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形的外接圆圆心为，连接，由勾股定理及球体积公式计算即可． 【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则， 设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则， 所以， 因为该艺术吊灯总高度为14，，所以， 设球半径为，则， 在中，，解得， 所以球的体积为， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，若相互独立，则不互斥，若互斥，则不相互独立，故A正确； 对于B，数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均数，是，故B错误； 对于C，在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，依据两点分布可得，故C正确； 对于D，由得，D错误. 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：， 令则不等式化为，结合 ，解得， 即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B项，由基本不等式，令，则， 整理得到，结合 ，解得 ，即， 当且仅当 时，等号成立，故B错误； 对于C项，先化简得到，将代入得到， 由选项 A 知，则，故， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D项，由得到，其中 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知复数满足，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解. 【详解】因为复数满足，所以，所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点M，N作准线的垂线段，利用抛物线定义结合直角三角形求解作答． 【详解】解：如图，过点M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B， 过N作于P，显然四边形是矩形， 因直线过抛物线的焦点，交抛物线于，由抛物线定义知，， 而，则， ， 设直线的倾斜角为，在，，则，． 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 【答案】（1），中位数为75 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）通过矩形面积和为1，可求，由中位数的计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【小问1详解】 每组小矩形的面积之和为1，， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． 【小问2详解】 由分层抽样可知， 成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， ， 0 1 2 16. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，、点在棱上． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）若二面角的大小为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知点E到平面ABCD的距离为，利用割补法求体积； （2）建立空间直角坐标系，设，，求平面BDE、平面BCD的法向量，利用空间向量结合二面角列方程求解. 【小问1详解】 因为，且平面，可知点E到平面ABCD的距离为， 所以． 【小问2详解】 在平面ABP内过点B作直线AP的平行线l， 以B为原点，分别以BC，BA，l所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设，，则， 可得， 设平面BDE的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 由题意可知：平面BCD的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以． 18. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②过定点 【解析】 【分析】（1）由长轴长得到，从而得到，由点在椭圆C上，将点代入椭圆方程，计算得到，从而得到椭圆的方程. （2）①按照直线，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0和直线，的斜率存在且不为0这两种情况讨论求解，当直线，的斜率存在且不为0时，设，，由得到，得到直线的斜率之积等于，从而可设直线，，直线和椭圆联立方程组得到，同理得到，计算求出的值.②设，将，代入椭圆方程，通过计算得到，从而可设直线，求出，直线和直线联立方程组求出点的横纵坐标，求出，求出的纵坐标，从而得到，由得到，从而得到直线恒过的定点. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4， 所以，所以， 因为点在椭圆C上， 所以，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①当直线，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0时， 不妨设直线的斜率一条不存在，直线的斜率为0， 则，，， ， 当直线，的斜率存在且不为0时， 设，，因为，所以， 设直线，， 联立方程得，所以， 所以， 同理， 所以. 综上可知，. ②设，将，代入椭圆方程， 得，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以直线， 同理， 联立，所以， 所以， 所以， 直线，令，则，则， 又因为，所以， 所以直线， 所以直线过定点. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式： ，③导数：定义双曲正弦函数． （1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)； （2）当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； （3）无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）平方关系：；和角公式：；或，导数：． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）当时，利用数学归纳法证得排除该可能；当，同理证得，从而利用换元法即可得解. 【小问1详解】 理由如下： 平方关系，； 和角公式：， 故； 导数：； 【小问2详解】 构造函数， 由(1)可知， ①当时，由，又因为，故，等号不成立， ，故为严格增函数， 此时，故对任意恒成立，满足题意； ②时，令，则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 (3)当时，存在，使得， 由数学归纳法证明：， 证明如下：①当时，成立， ②假设当(为正整数)时，，则 成立． 综上：． 所以，有，即． 当时，， 而函数的值域为， 则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得， 类比余弦二倍角公式，猜测． 证明如下： 类比时的数学归纳法，设， 易证， 所以若， 设，则，解得：或，即， 所以，于是． 综上：存在实数，使得成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码区. 2.答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 4. 已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知复数满足，则__________ 13. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 16. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，、点在棱上． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）若二面角的大小为，求的值． 18. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式： ，③导数：定义双曲正弦函数． （1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)； （2）当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； （3）无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $