精品解析：2026年上海市松江区民办茸一中学九年级下学期5月数学学科素养自我诊断

2025九年级数学学科素养自我诊断 （满分150分，考试时间100分钟） （2026.5） 同学们注意： 1．本次限时作业含三个大题，共25题；请按照由易到难的顺序答题，遇到难题可以暂时跳过； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答； 3．除第一、二大题外，其余各题都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列四个选项中所表示的数，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数．根据有理数和无理数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是分数，是有理数； B、是无限不循环小数，是无理数； C、是无限不循环小数，是无理数； D、，是无限不循环小数，是无理数． 2. 已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（ ） A. 该方程一定有两个相等的实数根； B. 该方程一定有两个不相等的实数根： C. 该方程一定有一个实数根为； D. 该方程一定有一个实数根为． 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，结合根的判别式判断各选项，代入的值结合已知条件即可得到结论． 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 3. 已知函数，下列关于该函数性质的描述不正确的是（ ）． A. 函数图象关于轴对称； B. 函数图象经过第一、二象限； C. 当时，随的增大而减小； D. 当时，图象有最低点． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的基本性质，利用函数的对称性、函数值符号、增减性、最值的相关知识逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知函数， A选项：∵对任意，都有， ∴函数图像关于轴对称，A选项正确； B选项：∵对任意实数，，可得， ∴恒成立，又可取正数也可取负数， ∴函数图象位于轴上方，经过第一、二象限，B选项正确； C选项：当时，∵增大则增大，随之增大， ∴反而减小，即随的增大而减小，C选项正确； D选项：∵， ∴，可得，当时，取得最大值，即时函数图象达到最高点，不是最低点， ∴ D选项不正确． 4. 某校开展“走进红色地标”研学活动，计划从“中共一大会址”、“中共二大会址”、“中共四大会址”这三个地标中随机选取两个作为参观地点，则“中共一大会址”被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过列表或画树状图列举出从三个地标中任选两个的所有等可能结果，再找出“中共一大会址”被选中的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】记“中共一大会址”为，“中共二大会址”为，“中共四大会址”为， 画树状图为： 由上可得，共有6种等可能结果，其中“中共一大会址”(即A)被选中的情况有4种， 故“中共一大会址”被选中的概率概率为． 5. 已知矩形，是对角线上一点，以点为圆心、为半径画圆，如果圆与矩形的边、所在的直线都相切，那么的值为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与直线相切的性质，可知圆心到和的距离都等于半径，结合在对角线上，利用坐标关系列方程即可求解. 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，. ∵ 四边形是矩形，，， ∴ 对角线过和， 设直线的解析式是，则， 解得：， 即：直线的解析式为， ∵ 与所在直线，所在直线都相切， ∴ 圆心到的距离等于半径，即的纵坐标为；圆心到的距离等于半径，即的横坐标为， ∴ 点坐标为， ∵ 在对角线上， ∴ 将点坐标代入的解析式得： ，整理得：， 解得：. 6. 已知命题①：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； 命题②：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形． 那么下列四个选项中，正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题； B. ①是假命题，②是真命题； C. ①和②都是真命题； D. ①和②都是假命题． 【答案】A 【解析】 【分析】命题①可根据平行四边形的定义证明，命题②可通过举反例判断，即可得到结果． 【详解】解：①设四边形中，，， ， ． ， ． ． ∴四边形是平行四边形． 故命题①是真命题． ②可构造反例说明命题②为假， 如图，四边形中，点是延长线上一点，且，，， ，， ， ， ． ，， ，， 即在四边形中，，， 而四边形不一定为平行四边形， 所以一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形为假命题． 综上所述，①是真命题，②是假命题． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】对等式两边同时平方去掉根号，转化为一元一次方程求解，检验后得到原方程的解. 【详解】解：， 两边同时平方，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，是原方程的解. 故答案为 ． 9. 不等式组的解集是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），得到不等式组的解集． 【详解】解：由 得：， 由 得： 所以，不等式组的解集为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是确定不等式组的解集． 10. 对于两个非零实数、，定义运算．如果，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则，得到关于的分式方程，解分式方程即可得到结果． 【详解】解：根据定义的运算，可得：， ∴，解得， 经检验，是原方程的解． 11. 如图，已知是的重心，，那么向量____________（用向量、表示）． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，根据重心分中线为的性质，可得为的中点，先求出，再求出中线向量，进而求出． 【详解】解：∵G为的重心，延长交于点D， ∴D为的中点（重心性质）． 又∵， ． 12. 随着经济的飞速发展，碳排放与能源问题日益凸显，资料显示，2025年全国太阳能发电量约为1.4万亿kWh，约占全国发电总量的10．那么2025年全国发电总量约为____________kWh．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题已知部分发电量和其占总发电量的百分比，先求出总发电量，再将结果用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：由题意得，2025年全国发电总量为：kWh， ∵， ∴2025年全国发电总量约为kWh． 13. 某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义与计算，根据平均数的运算性质，推导每个数据减去原平均数后新数据的平均数即可． 【详解】解：设原个数据分别为，原数据的平均数为，根据平均数的定义得  新数据为每个原数据减去原平均数，即，，，，设新数据的平均数为， 则  ． 14. 某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 【答案】0.45 【解析】 【分析】先根据已知样本容量求出使用寿命不低于1400小时的产品的频数，再利用频率公式计算所求频率． 【详解】解：∵样本容量为100， ∴使用寿命不低于1400小时的产品频数为：， ∴使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率为． 15. 一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，根据方位角得到直角三角形的内角，利用锐角三角函数求出的总长度，再根据平均速度公式计算结果． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 海里， 在中， ， ， 在 中， ， ， ∵航行时间为小时， ∴平均速度为（海里/小时）． 16. 如图，点、、均在的方格纸的格点上，那么的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，利用网格结构及勾股定理分别求出 、、 的长度，再利用勾股定理逆定理判定  为直角三角形，最后根据正切函数的定义求解． 【详解】解：设方格纸中小正方形的边长为，连接 ． 由勾股定理得：．．． ∴， ， ∴． ∴ 是直角三角形，且． 在 中， ． 17. 如图，已知正方形，点、分别在边、上，如果四边形是平行四边形，且面积是正方形面积的，那么四边形与的周长之比是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的面积比得出，假设，利用勾股定理求出，然后求出平行四边形和正方形的周长即可得出比值． 【详解】解：∵正方形和平行四边形同高， ∴， 假设，则， ∴， 由勾股定理得， ∴平行四边形的周长为， 正方形的周长为， ∴四边形与的周长之比为． 18. 如图，已知，，．点、、分别在边、、上，，是以为腰的等腰三角形，且，那么的值是____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】过点作于点，根据，设，则，由等腰三角形的性质得，根据是以为腰的等腰三角形，分两种情况讨论，当时，当时，证明即可求解 ． 【详解】解：如图，过点作于点， ． 设，则， ，， ， ． ， ． 如图，当时， ． ， ． ， ． ． ， ． 设，则， ，， ． 又， ， ， 即， ， ， ， ， ． 如图，当时， ． ， ． ． ， ． 设，则，， ，， ． 又， ， ， 即， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 解方程组：． 【答案】，，， 【解析】 【分析】先对原方程组中的第一个方程进行化简，然后分别重新组合，成为两个方程组，最后解这两个方程组即可． 【详解】解：方程可变形为， ∴或， 即或， ∴原方程组可变形为两个方程组，； 解方程组： 将①代入②得， 解得：， ∴， 即，； 解方程组： 将代入得， 解得：， ∴； ∴原方程组的解为，，，． 21. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上． （1）当点与原点的距离为时，求的值； （2）如图，点也在反比例函数图像上，射线与轴交于点．过点、向轴作垂线，垂足分别是点、，如果，试用表示四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，求出得到点的坐标，即可求解； （2）由平行线分线段成比例得，可得，可得，，，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得（负值已舍去）， ， ． 【小问2详解】 解：轴，轴， 轴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 22. 【情境描述】在某个物理光学实验中，需要将光源发出的光线经平面镜反射后，照射到目标点．我们知道光线反射时，入射角等于反射角． 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，平面镜放置在轴上（位置可以左右调整），光源在线段上． 【任务要求】 （1）当光源位于点时，如果从发出的光线经过平面镜上的点反射后照射到点，这样的点称为入射点，求点的坐标； （2）改变光源的位置，要使反射光线仍然照射到点，需要调整入射点的位置，并确保入射点在平面镜上．当光源在线段上移动时，要使从发出的光线经过平面镜反射后，总能照射到目标点，求平面镜长度的最小值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）如图，连接，过作于，交于，过作轴于，证明，进一步可得答案； （2）如图，当光源位于点时，反射点为，则，证明，可得，结合，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：如图，连接，过作于，交于，过作轴于， 结合光的反射原理可得：，， ∵点、， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：如图，当光源位于点时，反射点为，则， ∵， ∴， ∴， ∵，设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴当光源在线段上移动时，要使从发出的光线经过平面镜反射后，总能照射到目标点，平面镜长度的最小值为的长度，即最小值为. 23. 如图，已知梯形中，，．以点为圆心、为半径画弧，与直线的另一个交点记为点． （1）在图中作出点，并证明：； （2）设的中点为点，联结，如果，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的判定及性质、平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，即可得证； （2）联结、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，，设，根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质等求证即可. 【小问1详解】 解：如图，点为所求， 过点作， ， ， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由作图得， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 证明：联结、， 是的中点， ， 由（1）得，， ， ， ， ， （）， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 设， ， ， ，， ，， ， ， . 24. 在直角坐标平面中，已知点、点（如图）．抛物线与轴交于点，顶点为． （1）设直线与轴交于点，求的值； （2）如果点在的内部，求的取值范围，并用表示的面积； （3）是否存在这样的，使得点是的外接圆圆心，如果存在，求这时的正弦值；如果不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，且当时，点是的外接圆圆心， 【解析】 【分析】（1）利用抛物线解析式求出，坐标，利用，即可求出； （2）先求出直线解析式，再求出，的坐标，因为点在的内部，所以点只能在线段上运动（不包含端点），得出，解不等式组可求出的范围；过点作，利用是等腰直角三角形求出，，即可表示出； （3）由三角形的外接圆的定义可得：点是三边垂直平分线的交点，因为是等腰直角三角形，所以线段的垂直平分线即为二、四象限的角平分线，利用点在直线上，即可求出的值，再由由圆周角定理可得：，得出是等腰直角三角形，即，从而求出． 【小问1详解】 解：∵， ∴令，得：；令，得：， ∴，， 过点作轴，如图所示： ∵为抛物线二次项系数， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：， 设直线解析式为，将点、点代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在的内部， ∴点只能在线段上运动（不包含端点）， ∵轴， ∴， 在中，令，得：， ∴， ∴要使点只能在线段上运动（不包含端点），则， ∴， 过点作， ∵，，， ∴，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由三角形的外接圆的定义可得：点是三边垂直平分线的交点， 由（2）得：是等腰直角三角形， ∴由等腰三角形“三线合一”的性质可得：线段的垂直平分线即为二、四象限的角平分线，如图所示： ∴点在直线上， 将代入直线得：，解得：， ∴此时点为，点为， 又∵点为， ∴此时的垂直平分线为直线， ∴此时点也在的垂直平分线上， ∴此时， ∴以点为圆心，以为半径画圆，即为的外接圆， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴由圆周角定理可得：， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 综上：当时，点是的外接圆圆心，． 25. 如图，已知是半圆的直径，点、在半圆上，，联结． （1）求证：； （2）如果，求的长； （3）如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】（1）证明：如图1，联结， ， ． ， ， ， ； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）联结，利用证明即可； （2）联结，交于点，过点作于点，设的半径为，结合垂径定理和中位线的性质，在，，中利用勾股定理列方程求出，继而得解； （3）首先根据正多边形中心角的计算公式通过列方程求出的值，然后通过，，分别用半径表示出，最后代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，联结，交于点， ， ， 是半径， 是的中点，， 又∵是的中点， ． 如图2，过点作于点， 是的中点，， ∵是半圆的直径， ． 设的半径为，则，． 在 中，． 在 中，． 在 中，， ， 解得 或（不合题意，舍去）， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，联结，交于点． 为的内接正边形边长， ∴． 为的内接正边形边长， ∴． ， ． ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，． ． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ． 设，，则． 在和中， ， ， 即， ， 解得（负数已舍）． ． 在和 中， ， ， 即， ， 【点睛】本题综合考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、正多边形与圆、相似等知识．除了熟练掌握相关知识，能够结合条件构造辅助线，找到各个量之间的内在关系是解题的关键 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025九年级数学学科素养自我诊断 （满分150分，考试时间100分钟） （2026.5） 同学们注意： 1．本次限时作业含三个大题，共25题；请按照由易到难的顺序答题，遇到难题可以暂时跳过； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答； 3．除第一、二大题外，其余各题都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列四个选项中所表示的数，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（ ） A. 该方程一定有两个相等的实数根； B. 该方程一定有两个不相等的实数根： C. 该方程一定有一个实数根为； D. 该方程一定有一个实数根为． 3. 已知函数，下列关于该函数性质的描述不正确的是（ ）． A. 函数图象关于轴对称； B. 函数图象经过第一、二象限； C. 当时，随的增大而减小； D. 当时，图象有最低点． 4. 某校开展“走进红色地标”研学活动，计划从“中共一大会址”、“中共二大会址”、“中共四大会址”这三个地标中随机选取两个作为参观地点，则“中共一大会址”被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知矩形，是对角线上一点，以点为圆心、为半径画圆，如果圆与矩形的边、所在的直线都相切，那么的值为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 已知命题①：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； 命题②：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形． 那么下列四个选项中，正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题； B. ①是假命题，②是真命题； C. ①和②都是真命题； D. ①和②都是假命题． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：______． 8. 方程的解是____________． 9. 不等式组的解集是______________． 10. 对于两个非零实数、，定义运算．如果，那么____________． 11. 如图，已知是的重心，，那么向量____________（用向量、表示）． 12. 随着经济的飞速发展，碳排放与能源问题日益凸显，资料显示，2025年全国太阳能发电量约为1.4万亿kWh，约占全国发电总量的10．那么2025年全国发电总量约为____________kWh．（用科学记数法表示） 13. 某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 14. 某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 15. 一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 16. 如图，点、、均在的方格纸的格点上，那么的值为____________． 17. 如图，已知正方形，点、分别在边、上，如果四边形是平行四边形，且面积是正方形面积的，那么四边形与的周长之比是____________． 18. 如图，已知，，．点、、分别在边、、上，，是以为腰的等腰三角形，且，那么的值是____________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上． （1）当点与原点的距离为时，求的值； （2）如图，点也在反比例函数图像上，射线与轴交于点．过点、向轴作垂线，垂足分别是点、，如果，试用表示四边形的面积． 22. 【情境描述】在某个物理光学实验中，需要将光源发出的光线经平面镜反射后，照射到目标点．我们知道光线反射时，入射角等于反射角． 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，平面镜放置在轴上（位置可以左右调整），光源在线段上． 【任务要求】 （1）当光源位于点时，如果从发出的光线经过平面镜上的点反射后照射到点，这样的点称为入射点，求点的坐标； （2）改变光源的位置，要使反射光线仍然照射到点，需要调整入射点的位置，并确保入射点在平面镜上．当光源在线段上移动时，要使从发出的光线经过平面镜反射后，总能照射到目标点，求平面镜长度的最小值． 23. 如图，已知梯形中，，．以点为圆心、为半径画弧，与直线的另一个交点记为点． （1）在图中作出点，并证明：； （2）设的中点为点，联结，如果，求证：． 24. 在直角坐标平面中，已知点、点（如图）．抛物线与轴交于点，顶点为． （1）设直线与轴交于点，求的值； （2）如果点在的内部，求的取值范围，并用表示的面积； （3）是否存在这样的，使得点是的外接圆圆心，如果存在，求这时的正弦值；如果不存在，试说明理由． 25. 如图，已知是半圆的直径，点、在半圆上，，联结． （1）求证：； （2）如果，求的长； （3）如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $