专题9 函数的实际应用（练习）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦函数实际应用，以分段函数、二次函数为核心，通过分层题组构建从基础到综合的应用能力进阶路径，强化数学建模与问题解决。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段函数|7选择/填空+3解答|涵盖行程、收费、利润等实际场景，需分段构建函数关系|从实际问题抽象分段函数模型，培养数学眼光观察数量关系| |二次函数|5选择/填空+5解答|涉及利润、面积最大化，结合几何与经济情境|通过建立二次函数模型解决最优化问题，体现数学思维的逻辑推理|

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9 函数的实际应用 【考点1 分段函数】 1．已知小勇家距离某景点，小勇骑自行车以的速度从家到景点，到达景点后游览了，之后又以的速度回家，若把与家的距离表示为时间的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0．在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（    ） A． B． C． D． 3．某城市家庭用水的使用量（单位：）和水费（单位：元）满足函数关系已知某家庭2024年前四个月的水费见下表所列.若5月份该家庭使用了的水，则5月份该家庭的水费为（    ） 月份 用水量（单位：） 水费（单位：元） 1月份 3.5 4 2月份 4 4 3月份 15 18 4月份 20 25 A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 4．某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为2.1元；路程超过8千米的部分，每千米车费为3.1元，若该乘客所付车费为23.7元，求出租车行驶的路程是_____. 5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是_____. 6．某商场元旦节期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，那么超过800元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 超过500元的部分 若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为______． 7．某商场春节期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过600元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 表 可以享受折扣优惠金额 不超过600元的部分 超过600元的部分 折扣率 若某顾客在此商场获得的折扣金额是100元，则此人购物所付金额是__________元. 【考点2 二次函数】 8．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 9．如图所示，已知一块矩形养鸡场一面靠墙（墙足够长），另外三面由篱笆围成，并且开有一个宽为1米的门（门不需要用篱笆材料），篱笆材料共有23米，则该养鸡场面积的最大值为（    ）平方米.    A．36 B．72 C．108 D．144 10．如图，古运河上有一座历史悠久的抛物线形石拱桥.当拱顶距离水面2米时，水面宽度为4米，则当水位上涨1米后，水面的宽度为（   ）    A．米 B．2米 C．米 D．4米 11．某公司销售一种节能灯，其成本为每件10元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数．不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为______元． 12．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________. 【考点1 分段函数】 13．为了响应国家关于“提升中国创造竞争力”的号召，某共有60名员工的公司，为了提高员工业务技术水平，公司聘请专业人进行培训．培训费用分为两个部分；一部分给每位参加员工支付每人400元的培训材料费，另外一部分给培训机构缴纳培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元，若参加培训员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训人员人数为人，此次培训总费用为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)公司此次培训的总费用最多需要多少元？ 14．一个工厂生产产品，每年需要固定投资万元，此外每生产件产品还需要增加投资万元，年产量件，当时，年销量总收入为万元；当时，年销量总收入为万元，需另增广告宣传费用万元. (1)写出该工厂生产并销售产品所得年利润万元与年产量件的函数解析式； (2)年产量为多少时，所得年利润最大. 15．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后，发现每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份，若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份.为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日净收入（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出）. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若每份套餐的售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份套餐售价最少不低于多少元？ (3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入.按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？ 【考点2 二次函数】 16．如图，某学校要用总长为的围栏材料靠旧墙（旧墙足够长）围成一个矩形训练场地，该场地中间用围栏材料隔开，分成两个面积相等的区域，其中与墙平行的一边为，与墙垂直的两边分别为和.设与墙垂直的一边的长度为，训练场地的面积为.    (1)求面积关于的函数关系式，并写出定义域； (2)当长为多少时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ 17．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲､乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元. (1)求甲､乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对.销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元. ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 18．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 19．某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 20．如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 1.（2024·河北对口升学·真题T32）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 2.（2023·河北对口升学·真题T32）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 3.（2021·河北对口升学·真题T32）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素的影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题9 函数的实际应用 【考点1 分段函数】 1．已知小勇家距离某景点，小勇骑自行车以的速度从家到景点，到达景点后游览了，之后又以的速度回家，若把与家的距离表示为时间的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出相应时间段的函数关系式即可求解. 【详解】小勇家距离某景点，小勇骑自行车以的速度从家到景点,这一段用时， 小勇与家的距离表示为时间函数为； 到达景点后游览了，这段时间小勇与家的距离恒为； 之后又以的速度回家，需要个小时到家，这段时间小勇与家的距离满足； 综上所述小勇与家的距离表示为时间函数为. 故选：D. 2．已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0．在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况，分别求对应的函数式，最后用分段函数表示即可. 【详解】由题可知， ①当，即时，； ②当时，； ③当，即时， ； 综上所述，. 故选：D 3．某城市家庭用水的使用量（单位：）和水费（单位：元）满足函数关系已知某家庭2024年前四个月的水费见下表所列.若5月份该家庭使用了的水，则5月份该家庭的水费为（    ） 月份 用水量（单位：） 水费（单位：元） 1月份 3.5 4 2月份 4 4 3月份 15 18 4月份 20 25 A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【答案】A 【分析】根据表格易知m的值，将3月份、4月份的用水量与水费代入函数，组成方程组，即可求得函数解析式，将5月份用水量代入函数解析式，即可求得水费. 【详解】由1月份2月份水费为4元得， 将3月份、4月份的用水量与水费代入， 可得即， 解得， 即 所以，5月份该家庭的水费为（元）． 故选：A. 4．某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为2.1元；路程超过8千米的部分，每千米车费为3.1元，若该乘客所付车费为23.7元，求出租车行驶的路程是_____. 【答案】9千米 【分析】依据分段函数的求值去处理，即可求得出租车行驶的路程. 【详解】根据题意出租车收费（元）与行驶的路程（千米）之间的关系为 ，即 若出租车行驶的路程是8千米，则所付车费为20.6元，不符合题意， 则出租车行驶的路程超过8千米，由，可得千米. 故答案为：9千米. 5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是_____. 【答案】300 【分析】设总成本为元，总利润为元，求得的解析式，利用一次函数与二次函数的性质求解． 【详解】设总成本为元，总利润为元，则， 当时， ， 所以当时，取得最大值25000； 当时， ，单调递减， 所以， 综上，当时，取得最大值25000． 故答案为：300． 6．某商场元旦节期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，那么超过800元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 超过500元的部分 若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为______． 【答案】1500元 【分析】设打折前所付金额为x，分情况讨论，写出分段函数解出打折前金额. 再减去折扣金额，即为实际所付金额. 【详解】不妨设打折前所付金额为x元，折扣金额为y元，定义域为， 可分为以下两种情况讨论： 若，则， 若，则， 即， 将代入，解得，不成立， 将代入，解得， 在定义域内，成立， 则实际所付金额为元. 故答案为：1500元. 7．某商场春节期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过600元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 表 可以享受折扣优惠金额 不超过600元的部分 超过600元的部分 折扣率 若某顾客在此商场获得的折扣金额是100元，则此人购物所付金额是__________元. 【答案】 【分析】设顾客购物打折前总金额为元，获得的折扣金额为元，分情况讨论，求出关于的分段函数，利用分段函数求出打折前金额，据此可求解. 【详解】设顾客购物打折前总金额为元，获得的折扣金额为元，由题意， ， 因为某顾客在此商场获得的折扣金额是100元，则 ①令，解得，不符合，舍去； ②令，解得，在定义域内，符合. 所以此人购物所付金额是元. 故答案为： 【考点2 二次函数】 8．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 9．如图所示，已知一块矩形养鸡场一面靠墙（墙足够长），另外三面由篱笆围成，并且开有一个宽为1米的门（门不需要用篱笆材料），篱笆材料共有23米，则该养鸡场面积的最大值为（    ）平方米.    A．36 B．72 C．108 D．144 【答案】B 【分析】设定与墙垂直面的长度为，得到与墙平行面的长度，得到该养鸡场面积的解析式，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】设该养鸡场面积为平方米， 设与墙垂直的一边长为米，则与墙平行边的长为米，即米， 由且，得， 由题意， ∵， ∴当时，有最大值为72， 故选：B． 10．如图，古运河上有一座历史悠久的抛物线形石拱桥.当拱顶距离水面2米时，水面宽度为4米，则当水位上涨1米后，水面的宽度为（   ）    A．米 B．2米 C．米 D．4米 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，得到的坐标，再求出抛物线解析式，再代入求解即可. 【详解】   如图，建立平面直角坐标系，以横轴轴通过，纵轴通过的中点以及点，如图所示， 因为，所以设抛物线为， 代入，得，解得，因此， 当水位上涨1米后，即，代入得，化简得，解得， 因此水面的宽度为米. 故选：C. 11．某公司销售一种节能灯，其成本为每件10元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数．不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为______元． 【答案】30 【分析】根据“利润=(销售单价每件销售成本)×销售量”列式可得到一元二次函数，再根据一元二次函数的性质分析求解即可. 【详解】节能灯销售单价元，成本为每件10元， 设该公司销售节能灯每月的利润为元， 则 ， 所以当销售单价时，有最大利润，利润最大为元. 故答案为：. 12．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________. 【答案】8.5 【分析】根据表格列出利润与定价的关系式，进而由二次函数的最值求解即可. 【详解】设定价为元，利润为元， 由表格可知，销售单价每增加一元时，其销售量减少40件； 则销售量关于的关系式为； 因为且，所以; 由题意可知：， 故当时，最大，且最大值为1210， 故答案为:8.5 【考点1 分段函数】 13．为了响应国家关于“提升中国创造竞争力”的号召，某共有60名员工的公司，为了提高员工业务技术水平，公司聘请专业人进行培训．培训费用分为两个部分；一部分给每位参加员工支付每人400元的培训材料费，另外一部分给培训机构缴纳培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元，若参加培训员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训人员人数为人，此次培训总费用为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)公司此次培训的总费用最多需要多少元？ 【答案】(1) (2)公司此次培训的总费用最多需要元. 【分析】（1）根据培训人数的不同列出分段函数易得答案； （2）根据二次函数和一次函数的单调性求出最值易得答案. 【详解】（1）因为若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元， 当时，， 当时，， 所以； （2）当时，是一次函数在定义域上是增函数， 所以当时，元， 当时，， 当时，元， 综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元. 14．一个工厂生产产品，每年需要固定投资万元，此外每生产件产品还需要增加投资万元，年产量件，当时，年销量总收入为万元；当时，年销量总收入为万元，需另增广告宣传费用万元. (1)写出该工厂生产并销售产品所得年利润万元与年产量件的函数解析式； (2)年产量为多少时，所得年利润最大. 【答案】(1) (2)年产量为件时，所得年利润最大，最大利润为万. 【分析】（1）根据年利润年销售总收入年总投资，确定分段函数解析式即可. （2）根据第（1）小问得到的分段函数解析式，分别求出函数的最值，即可得到结论． 【详解】（1）每年需要固定投资万元，每生产件产品还需要增加投资万元， 当时，年销量总收入为万元，利润 当时，年销量总收入为万元，需另增广告宣传费用万元， 利润， . （2）当时，的对称轴为，抛物线开口向下， 当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，函数的一次项系数为负，函数单调递减， ， ， 年产量为件时，所得年利润最大，最大利润为万. 15．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后，发现每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份，若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份.为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日净收入（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出）. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若每份套餐的售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份套餐售价最少不低于多少元？ (3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入.按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？ 【答案】(1) (2)每份套餐售价最少不低于9元. (3)份套餐的售价应定为12元，此时日净收入为1640元. 【分析】（1）由题意可知这是一个分段函数，要求函数关系式，分、两种情况，再根据题意列函数关系式即可； （2）由题可令，求得，取整数即可； （3）分别求、两种情况下的最大值可解. 【详解】（1）当时， 根据题意得； 当时，每日的销售量为， 由得. 故 根据题意得. 故y与x之间的函数关系式为 （2）因为每份套餐的售价不超过10元，净收入不少于800元， 所以， 解得，取整数， 所以每份套餐售价最少不低于9元； （3）因为，并且y随x的增大而增大， 所以当时，y的值最大，最大为1400； 因为是二次函数， 所以当时，有最大值， 因为要取整数， 所以或13， 又因为要吸引顾客，所以当时，有最大值，最大值为1640（元）. 【考点2 二次函数】 16．如图，某学校要用总长为的围栏材料靠旧墙（旧墙足够长）围成一个矩形训练场地，该场地中间用围栏材料隔开，分成两个面积相等的区域，其中与墙平行的一边为，与墙垂直的两边分别为和.设与墙垂直的一边的长度为，训练场地的面积为.    (1)求面积关于的函数关系式，并写出定义域； (2)当长为多少时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当长为时，训练场地的面积最大，最大面积是 【分析】（1）由，则，根据矩形的面积公式列式即可求解. （2）由（1）知，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又围栏材料总长为，故， 则矩形面积， 由实际意义得，解得， 所以. （2）由（1）知， 因为二次项系数，图像开口向下， 所以当时，， 此时. 故当长为时，训练场地的面积最大，最大面积是. 17．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲､乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元. (1)求甲､乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对.销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元. ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】(1)甲灯笼进价26元，乙灯笼进价35元 (2)①；②15元 【分析】（）设出未知数，根据题意列出方程即可得解. （）①根据题意列出函数解析式即可得解. ②根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设甲灯笼每对进价为元，则乙灯笼为元， 根据数量相同：，解得， 故甲灯笼进价26元，乙灯笼进价35元. （2）①售价为元，销量为对， 利润， 即， ②由题意，故， ，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为，所以函数在区间上单调递增， 故当时利润最大，此时售价为元. 18．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 【答案】(1)人 (2)门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元 【分析】（1）根据题意列式求值即可. （2）首先根据题意建立二次函数的模型，再由二次函数的最值公式确定最值即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以当天的游客数为人. （2）设门票价格为元，当天的收益为元， 由题意得，， 则当时，， 所以当门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元. 19．某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】(1). (2)，日销售利润最大为元. 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. （2）商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 20．如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】(1)当长为，宽为时，每间虎笼的面积最大. (2)每间虎笼长为，宽为，钢筋网的总长度最小. 【分析】（）根据题意设出虎笼的长宽，结合矩形面积公式写出每间虎笼面积的解析式，结合二次函数的性质即可得解. （）根据题意得出钢筋网总长的解析式，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）设每间虎笼平行于墙面的边长为，垂直于墙面的边长为， 则，即， 令每间虎笼的面积为， 则，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为， 所以垂直于墙面的边长为，此时， 所以当长为，宽为时，每间虎笼的面积最大. （2）设每间虎笼平行于墙面的边长为，垂直于墙面的边长为， 则， 设钢筋网总长为， 则， 当且仅当即或（舍）时，等号成立， 此时， 所以每间虎笼长为，宽为，钢筋网的总长度最小. 1.（2024·河北对口升学·真题T32）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 【解析】 【分析】设阴影部分的面积为，根据题意列出阴影部分面积的函数，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设阴影部分的面积为， 则， 所以当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 2.（2023·河北对口升学·真题T32）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【答案】当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大面积. 【详解】设矩形的长FG为x米，宽EF为y米， 因为切去的三个角都是等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 所以矩形的面积， 所以当时，函数有最大值， 即当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大， 最大面积是平方米. 3.（2021·河北对口升学·真题T32）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素的影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 【答案】（1） （2）当时，利润最大为（元） 【解析】 【分析】（1）根据已知函数为一次函数假设出函数解析式，结合已知条件用待定系数法即可求解; （2）利用已知条件求出利润与售价的关系式，再结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设（为常数）， 由题意可知， 所以. 【小问2详解】 设利润为（元）， 根据题意，得 ， 则该函数是关于的二次函数，开口向下，对称轴是， 所以当时，利润最大，此时（元）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $