专题9 函数的实际应用（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 函数的实际应用 1．掌握一元二次函数的图象与性质，能解决一些相应的简单的实际问题； 2．能够利用分段函数解决一些简单的实际问题． 【考点1 分段函数】 分段函数 函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应的法则也不同，需要用不同的解析式来表示的函数称为分段函数． 分段函数是一个函数，而不是几个函数。 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集。 求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，再把代入到相应的解析式中进行计算． 【即时训练】 1．按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（ ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 2．某市的电费收费实行峰平谷标准，如下表所示： 时间段 电价 峰期 14：00-17：00 19：00-22：00 1.02元/度 平期 8：00-14：00 17：00-19：00 22：00-24：00 0.63元/度 谷期 0：00-8：00 0.32元/度 该市市民李丹收到11月的智能交费账单显示：电量520度（其中谷期电量170度），电费333.12元．请你根据以上信息计算李丹家的峰期用电量大约为（精确到整数）（    ） A．149度 B．179度 C．199度 D．219度 3．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 3% 超过3000元至12000元的部分 10% 超过12000元至25000元的部分 20% 有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（    ）元 A．1200 B．1040 C．490 D．400 4．某市出租车实行分段计价的收费标准，收费标准如下: （1）不超过3km时，按起步价10元收费; （2）超过3km后，超出部分按照2元/km收费. 试写出车费y（元）与路程x（km）之间的函数关系式. 5．某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为2.1元；路程超过8千米的部分，每千米车费为3.1元，若该乘客所付车费为23.7元，求出租车行驶的路程是多少？ 6．为推动绿色出行，某新能源汽车充电服务商制定了分段充电收费标准：当充电量（单位：千瓦时）时，收费标准为0.6元／千瓦时；当充电量时，超过50千瓦时的部分按0.5元／千瓦时收费． (1)写出充电所收费用的分段函数表达式； (2)若某车主一次充电花费了45元，求其充电量； (3)充电100千瓦时，需花费多少元？ 7．某AI科技公司依托人工智能算法与智能生产系统,研发并生产一种应用于高端芯片制造的稀有材料,该材料市场售价为每公斤5000元,受产能与技术限制,公司年产量上限为3吨,在生产运营中,公司除了每年固定的智能设备运营维护、研发投入等固定成本200万元外.还存在与产量直接挂钩的流动成本,流动成本y千元与年产量x吨的关系因生产规模效应呈现分段特征,当处于小规模生产阶段,即时,流动成本符合一次函数；当处于规模化生产阶段,即时,流动成本符合二次函数.部分生产数据AI系统记录如下： 年产量x吨 0 0.6 1 2 3 流动成本y千元 0 1470 2450 4700 6450 (1)y与x函数解析式： (2)年利润W（千元）关于年产量x（吨）的函数解析式（注：利润=销售收入-流动成本-固定成本）； (3)该公司每年应生产多少吨该材料才能使年利润最大？最大利润是多少？ 8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图像如图所示，过线段上一点作x轴的垂线l，梯形在直线L左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程. (1)当时，求s的值； (2)将路程s随时间t变化的函数关系表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距离M地，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多久时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由. 【考点2 二次函数】 二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在x∈(－∞，－)上是减函数， 在x∈[－，＋∞) 上是增函数 在x∈ (－∞，－)上是增函数， 在x∈[－，＋∞)上是减函数 最值 当x=－时，y有最小值 当x=－时，y有最大值 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 【即时训练】 1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润（利润收入成本），该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．万件 B．万件 C．万件 D．万件 2．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应为（　　）．    A． B． C． D． 4．某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．某汽车在同一时间内速度 （单位：km/h）与耗油量（单位：L）之间有近似的函数关系，则车速为__________km/h时，汽车的耗油量最少. 6．某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件那么要保证每天所赚的利润最大化，每件销售价为____________元． 7．某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出，租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？ 8．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化丁产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 9．如图所示，用长为的篱笆靠围墙围成中间有隔断的矩形养殖场地，设矩形的宽为，面积为.    (1)求与的函数关系式，并写出定义域； (2)当为何值时，最大？并求出最大值. 10．某企业举办庆祝“中华人共和国成立70周年”活动，特聘请某广告公司设计一块周长为米的矩形标语牌，书写“祖国万岁”，广告牌设计费为每平方米500元，设矩形的一边长为米，面积为平方米. (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)为使标语牌面积最大，标语牌的长和宽分别为多少米？求此时的设计费. 1.（2024·河北对口升学·真题T32）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 2.（2023·河北对口升学·真题T32）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 3.（2021·河北对口升学·真题T32）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素的影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 函数的实际应用 【复习目标】 1．掌握一元二次函数的图象与性质，能解决一些相应的简单的实际问题； 2．能够利用分段函数解决一些简单的实际问题． 【考点1 分段函数】 分段函数 函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应的法则也不同，需要用不同的解析式来表示的函数称为分段函数． 分段函数是一个函数，而不是几个函数。 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集。 求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，再把代入到相应的解析式中进行计算． 【即时训练】 1．按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（ ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 【答案】D 【分析】设男职工出生于公元年月，设退休延迟月数为，列出函数解析式，再求结论；或直接计算从1965年1月到1972年6月经过的“4个月”的“月数”，即得退休年龄. 法一：设男职工出生于公元年月，，，. 设退休延迟月数为， 当时，； 当时，； 当时，. 所以1972年6月出生的男职工退休延迟的时间为：（月）. 所以1972年6月出生的男职工退休年龄：61岁11个月. 法二：从1965年1月到1972年6月，共经过了个“4个月”的时间段， 故延迟退休23个月，即1年11个月，退休年龄为61岁11个月. 故选：D 2．某市的电费收费实行峰平谷标准，如下表所示： 时间段 电价 峰期 14：00-17：00 19：00-22：00 1.02元/度 平期 8：00-14：00 17：00-19：00 22：00-24：00 0.63元/度 谷期 0：00-8：00 0.32元/度 该市市民李丹收到11月的智能交费账单显示：电量520度（其中谷期电量170度），电费333.12元．请你根据以上信息计算李丹家的峰期用电量大约为（精确到整数）（    ） A．149度 B．179度 C．199度 D．219度 【答案】A 【分析】设出峰期电量x度，根据题意列方程求解即可. 【详解】设峰期电量x度，则平期电量度，从而有，解得． 故选：A. 3．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 3% 超过3000元至12000元的部分 10% 超过12000元至25000元的部分 20% 有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（    ）元 A．1200 B．1040 C．490 D．400 【答案】C 【分析】根据税款分段累计计算的方法，分段求得职工超出5000元的部分的纳税所得额，即可求解. 【详解】由题意，该职工八月份收入为12000元， 其中纳税部分为元， 其中不超过3000元的部分，纳税额为元， 超过3000元至12000元的部分，纳税额为元， 所以该职工八月份应缴纳个税为元. 故选:C. 4．某市出租车实行分段计价的收费标准，收费标准如下: （1）不超过3km时，按起步价10元收费; （2）超过3km后，超出部分按照2元/km收费. 试写出车费y（元）与路程x（km）之间的函数关系式. 【答案】 【分析】根据条件直接列出式子. 【详解】解:由题意得:当0<x≤3时，y=10； 当x>3时，y=10+2=2x+4. 所以车费y元与路程xkm之间的函数关系式为: . 5．某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为2.1元；路程超过8千米的部分，每千米车费为3.1元，若该乘客所付车费为23.7元，求出租车行驶的路程是多少？ 【答案】9千米 【分析】依据分段函数的求值去处理，即可求得出租车行驶的路程. 【详解】根据题意出租车收费（元）与行驶的路程（千米）之间的关系为 若出租车行驶的路程是8千米，则所付车费为20.6元，不符合题意， 则出租车行驶的路程超过8千米， 由，可得千米. 故出租车行驶的路程是9千米． 6．为推动绿色出行，某新能源汽车充电服务商制定了分段充电收费标准：当充电量（单位：千瓦时）时，收费标准为0.6元／千瓦时；当充电量时，超过50千瓦时的部分按0.5元／千瓦时收费． (1)写出充电所收费用的分段函数表达式； (2)若某车主一次充电花费了45元，求其充电量； (3)充电100千瓦时，需花费多少元？ 【答案】(1) (2)某车主一次充电花费45元，其充电量为80千瓦时 (3)充电100千瓦时，需花费55元 【分析】（1）根据充电量的的不同范围，对应不同单价列出分段函数； （2）先计算基准值，得出，则充电量一定大于50千瓦时，代入求解即可； （3）根据题意充电100千瓦时，符合函数，代入求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，. 故分段函数表达式为 （2）设充电量为千瓦时. 因为（元），，故， ，解得， 故某车主一次充电花费45元，其充电量为80千瓦时. （3）当时，， 所以充电100千瓦时，需花费55元． 7．某AI科技公司依托人工智能算法与智能生产系统,研发并生产一种应用于高端芯片制造的稀有材料,该材料市场售价为每公斤5000元,受产能与技术限制,公司年产量上限为3吨,在生产运营中,公司除了每年固定的智能设备运营维护、研发投入等固定成本200万元外.还存在与产量直接挂钩的流动成本,流动成本y千元与年产量x吨的关系因生产规模效应呈现分段特征,当处于小规模生产阶段,即时,流动成本符合一次函数；当处于规模化生产阶段,即时,流动成本符合二次函数.部分生产数据AI系统记录如下： 年产量x吨 0 0.6 1 2 3 流动成本y千元 0 1470 2450 4700 6450 (1)y与x函数解析式： (2)年利润W（千元）关于年产量x（吨）的函数解析式（注：利润=销售收入-流动成本-固定成本）； (3)该公司每年应生产多少吨该材料才能使年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)该公司每年应生产3吨该材料才能使年利润最大，最大利润是655万元. 【分析】（1）根据题意，结合一次函数、二次函数、分段函数求解析式，利用待定系数法，即可求解； （2）根据题意，结合等量关系“利润=销售收入-流动成本-固定成本”，及流动成本与年产量的函数关系式，即可求解； （3）根据题意，结合分段函数求最值，利用一次函数、二次函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意，将代入函数解析式得， 解得， 所以当时，； 将代入得， 解得， 所以当时，； 所以函数解析式为； （2）由题意，当时，利润； 当时，利润； 所以利润W（千元）关于年产量x（吨）的函数解析式为； （3）由题意，当时，函数单调增函数，故； 当时，函数， 故当时，利润取得最大值，即； 综上，该公司每年应生产3吨该材料才能使年利润最大，最大利润是6550千元，即655万元. 8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图像如图所示，过线段上一点作x轴的垂线l，梯形在直线L左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程. (1)当时，求s的值； (2)将路程s随时间t变化的函数关系表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距离M地，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多久时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由. 【答案】(1)24 (2) (3)会，沙尘暴将在30个小时后侵袭N城 【分析】（1）根据图像求出直线的解析式，算出时的值即可求解. （2）依次算出当、和时的v关于t的解析式，再根据及当和的最大距离即可求解. （3）根据（2）所得路程s随时间t变化的函数关系，依次判断当，和时s的值并与650进行比较，若存在比650大的值，则令，解出方程即可求解. 【详解】（1）由图像可知，当时， 直线的斜率为， 所以直线的解析式为， 所以当时，， 所以. （2）由图像可知，当时， 直线的斜率为， 所以直线的解析式为. 当时， 直线的斜率为， 所以直线的解析式为， 所以. 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以. （3）由（2）知. 当时，； 当时，， 当时，， 所以沙尘暴可以到达城. 令， 解得或. 因为， 所以沙尘暴将在30个小时后侵袭城. 【考点2 二次函数】 二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在x∈(－∞，－)上是减函数， 在x∈[－，＋∞) 上是增函数 在x∈ (－∞，－)上是增函数， 在x∈[－，＋∞)上是减函数 最值 当x=－时，y有最小值 当x=－时，y有最大值 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 【即时训练】 1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润（利润收入成本），该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．万件 B．万件 C．万件 D．万件 【答案】B 【分析】求出利润的表达式，利用二次函数的性质求解. 【详解】由题意可得，收入是万元，成本是万元， 所以利润， ∴当万件时，获取最大利润，最大利润为142万元． 故选：B． 2．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元，利用一次函数和二次函数的性质，分别求出当时和当时利润的最大值即可. 【详解】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元， 当时，，， 显然当时，有最大值，最大值为； 当时，， ， 显然当时，有最大值，最大值为. 所以该旅行社可获得利润的最大值为元. 故选：B. 3．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应为（　　）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由三角形相似列方程，再建立二次函数模型，最后由二次函数的顶点式求最值即可. 【详解】如图，由三角形相似得， ，得， 由，得， 所以， 所以当时，有最大值，此时.    故选：A. 4．某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据利润总价总成本列出解析式，根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】依题意，设安排生产x台， 则获得利润， 由二次函数性质可知，当台时，获得利润最大， 故选：C． 5．某汽车在同一时间内速度 （单位：km/h）与耗油量（单位：L）之间有近似的函数关系，则车速为__________km/h时，汽车的耗油量最少. 【答案】 【分析】根据汽车速度与耗油量的关系式，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】，可化简，， 故当时，汽车的耗油量最少， 故答案为：． 6．某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件那么要保证每天所赚的利润最大化，每件销售价为____________元． 【答案】 【分析】销售价格为每件元，销量为，建立销售价格和利润的函数关系式，然后再由二次函数的性质求最大值即可求解. 【详解】设销售价定为每件元，利润为元，则销量为， 由可得，， 利润为 ， 所以当销售价格为每件元时，每天所赚的利润最大， 故答案为：. 7．某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出，租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？ 【答案】当每套公寓租价为元时，租金总收入最大，最大收入为元 【分析】根据题意，分析得租出公寓的套数与租价的关系式，进而得到租金总收入关于租价的表达式，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】依题意，设每套公寓租价为元，总收入为元， 则，租出公寓套， 则， 所以当时，取得最大值，最大值为元， 即当每套公寓租价为元时，租金总收入最大，最大收入为元. 8．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化丁产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)年产量为吨时，生产每吨产品的平均成本最低为万元 (2)年产量为吨时，可获得最大利润万元 【分析】（1）根据题意列分式函数，再由基本不等式求最值即可. （2）设利润为，建立二次函数模型，再由二次函数的顶点式确定对称轴，由单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 生产每吨产品的平均成本为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以年产量为吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为万元. （2）设利润为， 则， 对称轴为，图象开口向下， 又当时，函数图象单调递增， 时，取最大值， 所以当年产量为吨时，可以获得最大利润万元. 9．如图所示，用长为的篱笆靠围墙围成中间有隔断的矩形养殖场地，设矩形的宽为，面积为.    (1)求与的函数关系式，并写出定义域； (2)当为何值时，最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2)当时，面积最大值是 【分析】（1）先根据题意表示出矩形的长为，再根据矩形的面积公式写出函数关系式即可； （2）利用配方法求二次函数的最值. 【详解】（1）因为矩形的宽为，根据题意可得矩形的长为， 所以矩形的面积， 又因为考虑实际意义，矩形的宽大于，矩形的长大于，矩形的面积大于， 所以可得，即， 解得， 所以与的函数解析式为. （2）因为与的函数解析式为， 通过配方得， 所以当时，面积最大，此时面积的最大值为. 10．某企业举办庆祝“中华人共和国成立70周年”活动，特聘请某广告公司设计一块周长为米的矩形标语牌，书写“祖国万岁”，广告牌设计费为每平方米500元，设矩形的一边长为米，面积为平方米. (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)为使标语牌面积最大，标语牌的长和宽分别为多少米？求此时的设计费. 【答案】(1) (2)当长和宽均为时，面积最大，此时设计费为元 【分析】（1）根据题目设矩形的长，利用矩形面积公式求与的函数关系式，在由边长为正数确定的取值范围； （2）由二次函数的性质，求出面积最大时的长和宽，再乘每平方单价即可得出设计费. 【详解】（1）由题知，矩形的一边长为米，则另一边长为， 所以标语牌面积为：. 因为边长为正数，所以，，即的取值范围为. 即. （2）由（1）可知， 当时最大，即长和宽均为时，面积最大值为4， 此时的设计费为元. 1.（2024·河北对口升学·真题T32）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 【解析】 【分析】设阴影部分的面积为，根据题意列出阴影部分面积的函数，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设阴影部分的面积为， 则， 所以当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 2.（2023·河北对口升学·真题T32）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【答案】当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大面积. 【详解】设矩形的长FG为x米，宽EF为y米， 因为切去的三个角都是等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 所以矩形的面积， 所以当时，函数有最大值， 即当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大， 最大面积是平方米. 3.（2021·河北对口升学·真题T32）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素的影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 【答案】（1） （2）当时，利润最大为（元） 【解析】 【分析】（1）根据已知函数为一次函数假设出函数解析式，结合已知条件用待定系数法即可求解; （2）利用已知条件求出利润与售价的关系式，再结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设（为常数）， 由题意可知， 所以. 【小问2详解】 设利润为（元）， 根据题意，得 ， 则该函数是关于的二次函数，开口向下，对称轴是， 所以当时，利润最大，此时（元）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $