【内蒙古专用】期末模拟卷（1）（人教版）-2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》（原卷版+解析版）

**基本信息** 2025-2026学年高二下学期数学期末模拟卷，以人教版基础与拓展模块为基准，覆盖复数、立体几何等核心考点，贴合职教高考真题题型，助力学生高效期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|复数运算、椭圆离心率、充要条件判断|通过直线与圆相切等问题，考查推理能力与几何直观| |填空题|6/30|概率计算、二项式系数、空间角余弦值|结合录用毕业生等情境，体现数据意识与模型意识| |解答题|6/60|立体几何证明、数列求和、解三角形|分层设计如三棱锥证明与角度计算，培养运算能力与空间观念，贴合真题综合题型趋势|

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学》（人教版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学》人教版基础模块和拓展模块一全部章节。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．若复数，则（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念，复数模长公式即可求解. 【详解】因为，所以， 故， 则 故选：C. 2．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系确定的值，再由充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为圆， 所以该圆的圆心为，半径． 当“直线与圆相切”时， 根据得到，解得或， 所以充分性不成立， 反之，若“”可得直线为， 则圆心到直线的距离， 故该圆与直线相切， 所以必要性成立， 因此“直线与圆相切”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 3．已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分， 所以可得，即，从而， 故选：A. 4．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算任意抽取2个数的情况，再计算抽取2个数都是偶数的情况，最后根据古典概型的概率公式求解. 【详解】从6个数中不放回地取两个数有种情况， 两个数都是偶数有种情况， 所以两数都是偶数的概率为. 故选：D. 5．在▲ABC中，角的对边分别为，若，则▲ABC（    ）     A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 【答案】C 【分析】根据余弦定理，求得的符号，从而可得角的大小，然后判断三角形形状即可． 【详解】由，得， 由余弦定理得， 所以在▲ABC中，，即为钝角， 所以▲ABC一定是钝角三角形. 故选：C. 6．已知，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由二倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值即可. 【详解】， 代入，原式. 故选：C. 7．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，， 则，可能异面，可能平行，可能相交，故①是假命题， 若，，则，故②是真命题； 若，，则或，故③是假命题， 若，，则与可能平行，可能相交，故④是假命题， 所以正确的命题个数为1个， 故选：A. 8．记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2名老人相邻但不排在两端，则所有不同排法的种数是（     ） A．1440 B．960 C．720 D．420 【答案】B 【分析】根据排列数以及捆绑法，插空法求解即可. 【详解】5名志愿者和他们帮助的2名老人，共7人， 2名老人相邻但不排在两端， 将2名老人看作一个整体，方法数为， 先将5名志愿者进行全排列，方法数为， 5名志愿者除去首尾两个空位，中间共4个空位， 将2名老人“整体”看作1个人，插入到4个空位中，方法数为， 则所有不同排法的种数是. 故选：B. 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系及二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 即，所以. 故选：A. 10．在的二项展开式中，含项的系数是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的系数． 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，则，所以含项的系数为 故选；C. 11．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义找到所求线面角，再根据直角三角形边的关系求解即可. 【详解】连接，    因为长方体中，平面， 所以即体对角线与平面所成角， 因为，所以， 且长方体中，， 则中，，故为等腰直角三角形， 所以. 故选：B. 12．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线方程求出焦点坐标，根据题意可得抛物线的焦点坐标即可求解. 【详解】在双曲线中，，则，所以， 所以双曲线的左焦点为，则抛物线的焦点为， 设抛物线的方程为，焦点坐标为 又抛物线左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，则， 则抛物线方程为. 故选：D. 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．若，则______ 【答案】 【分析】先计算两个复数的差，再根据复数模的计算公式求解. 因为， 所以， 所以. 14．若某公司从甲、乙、丙、丁、戊五位大学毕业生中录用三人，若每个人被录用的机会均等，则甲、乙两人都被录用的概率为__________. 【答案】/0.3 【分析】根据题意结合古典概型公式及组合数的计算即可得解. 【详解】记“甲、乙两人都被录用”为事件， 所以， 故答案为：. 15．已知9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生，则不同的分配方法有_____种. 【答案】1680 【分析】根据分组分配问题求解即可. 【详解】9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生， 则不同的分配方法有种. 故答案为：1680. 16．已知展开式中的系数为5，则________． 【答案】 【分析】首先写出的展开式通项，再得出的系数，并由此列方程求解即可. 【详解】已知的展开式通项， 则中，当乘以得的系数为， 当乘以得的系数为， 所以的总系数为，即， 解得， 故答案为：. 17．“”是“”的______________条件 【答案】充要 【分析】根据对数函数的单调性和充要条件的概念分析即可. 【详解】已知在上是增函数， 所以若，则，故充分性成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充要. 18．如图，在正四棱锥中，已知侧棱与底面边长都是，则二面角的余弦为_______________.    【答案】 【分析】根据二面角概念找出二面角，再根据余弦定理求解即可. 【详解】取中点，连接. 因为棱锥为正四棱锥，所以是等边三角形. 是二面角的二面角， 又， . 故答案为：.    三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．已知=（2，1），. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据向量的模长公式计算即可. （2）根据向量平行可设，结合向量的模长公式求解即可. （3）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. （1）. （2）因为，设， 则，解得. 因此或. （3）由（1）知，. 因为， 则， 所以，所以. 又，所以. 故与的夹角为. 20．如图所示，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点．求证：    (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由中位线的性质可得，再结合线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明平面，再结合线面垂直的性质即可证明. 【详解】（1）在中，，分别是，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以． 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 21．在▲ABC中，、、所对的边分别为、、，若.求： (1)求的大小； (2)若，，求▲ABC的面积. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. （）根据三角形的性质确定，利用正弦定理求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）在▲ABC中，因为，又，则， 所以，因为， 所以或. （2）因为，，则，所以，即， 因为，即，则， 因为，所以，， 所以. 22．如图，在三棱锥中，是等边三角形，平面ABC，D是AB的中点，，． (1)求证：平面PCD； (2)求PD与平面ABC的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）首先找到PD与平面ABC的夹角，再放在中求解即可. 【详解】（1）平面，平面．． 又为等边三角形，是的中点．． 平面，平面，且． 平面． （2）平面，是在平面内的射影， 是与平面所成的角， 在等边中，，． 在中，，， ，即：与平面的夹角为． 23．已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等比数列的通项公式列出方程组求出首项与公比即可得解. （）根据等差数列的定义得出数列为等差数列，代入等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）等比数列的各项均为正数，且， 设公比为， 则，解得（舍）或， 当时，，解得， 所以. （2）， ，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 则. 24．在长方体中，，，M、N分别是、的中点.    (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，进而可得结论； （2）根据异面直线所成角的概念求解可得答案. 【详解】（1）连接， ∵M、N分别为、中点，∴， ∵，，∴为平行四边形， ∴，∴．    （2）连接， ∵，∴（或其补角）为异面直线与的所成角， ∵，，∴，， 由余弦定理得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学》（人教版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学》人教版基础模块和拓展模块一全部章节。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．若复数，则（    ） A． B． C． D．20 2．“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 4．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 5．在▲ABC中，角的对边分别为，若，则▲ABC（    ）     A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 6．已知，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 7．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2名老人相邻但不排在两端，则所有不同排法的种数是（     ） A．1440 B．960 C．720 D．420 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．在的二项展开式中，含项的系数是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 11．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 12．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．若，则______ 14．若某公司从甲、乙、丙、丁、戊五位大学毕业生中录用三人，若每个人被录用的机会均等，则甲、乙两人都被录用的概率为__________. 15．已知9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生，则不同的分配方法有_____种. 16．已知展开式中的系数为5，则________． 17．“”是“”的______________条件 18．如图，在正四棱锥中，已知侧棱与底面边长都是，则二面角的余弦为_______________.    三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．已知=（2，1），. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 20．如图所示，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点．求证：    (1)平面； (2)． 21．在▲ABC中，、、所对的边分别为、、，若.求： (1)求的大小； (2)若，，求▲ABC的面积. 22．如图，在三棱锥中，是等边三角形，平面ABC，D是AB的中点，，． (1)求证：平面PCD； (2)求PD与平面ABC的夹角. 23．已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 24．在长方体中，，，M、N分别是、的中点.    (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $