专题02 认识三角形和四边形【期末复习重难点专题培优十二大题型】-2025-2026学年北师大版数学四年级下册期末真题汇编集训

**基本信息** 聚焦三角形和四边形核心知识，12类高频易错题型结合56道期末真题，实现讲练结合与分层提升 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |重点题型讲练|36题|三角形稳定性（斜拉桥应用）、内角和（折叠问题）、三边关系（钢条长度计算）、平行四边形特性（伸缩门设计）|以生活情境为载体，如“工人固定门框”“等腰梯形拼图形”，融合动手操作（画直角等腰三角形）与逻辑推理（多边形内角和探究）| |真题实战演练|20题|四边形分类、梯形特性、三角形综合应用（等腰三角形周长计算）|分层设计基础夯实与拓展拔尖题，汇编安徽、广东等地期末真题，如“直角三角形锐角度数求解”“平行四边形分割图形”|

2025-2026学年北师大版数学四年级下册期末复习重点难点专题培优真题练 专题02 认识三角形和四边形『期末复习重点难点专题培优』 【12个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 三角形的稳定性及应用 1 题型二 三角形的分类 2 题型三 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 2 题型四 画三角形 3 题型五 三角形的内角和 4 题型六 多边形的内角和 4 题型七 三角形三边关系 5 题型八 平行四边形的概念及特点 6 题型九 平行四边形的不稳定性及应用 7 题型十 梯形的概念及特点 7 题型十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 8 题型十二 四边形的分类及关系 9 优选真题 实战演练 10 【基础夯实 能力提升】 10 【拓展拔尖 冲刺满分】 12 题型一 三角形的稳定性及应用 【精讲】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【精练1】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）图形的性质在生活中的应用非常广泛，向阳路斜拉桥在建造上采用了三角形结构，这样的设计利用了三角形具有（    ）的性质。 A．内角和是180° B．稳定性 C．不稳定性 【精练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）想一想，画一画，选一选。 福福做了一个灯笼，它的底部框架如下图所示。他想加一根木条使框架更加牢固，可以怎么加？请在图中画出来。 题型二 三角形的分类 【精讲】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）你能一刀剪成吗？试着在图上画一画。 【精练1】（24-25四年级下·安徽六安·期末）一个三角形中最多有（    ）个钝角，最少有（    ）个锐角。以下答案正确的是（    ）。 A．1，1 B．1，2 C．2，2 【精练2】（24-25四年级下·陕西汉中·期末）看图填序号。 锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )。 题型三 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲】（25-26四年级下·河北秦皇岛·期末）小亮用一根48厘米长的铁丝围了一个等边三角形，等边三角形的每条边长是( )厘米，还可以用这根铁丝围成一个底边是18厘米，腰是( )厘米的等腰三角形。 【精练1】（24-25四年级下·山西运城·期末）在方格图中，画出一个三角形，同时满足下面的条件。 （1）这个三角形有两条边相等； （2）这个三角形是一个直角三角形。 【精练2】（24-25四年级下·陕西西安·期末）一个等腰三角形的周长是25厘米，底边是腰长的一半，腰长是________厘米。 题型四 画三角形 【精讲】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 【精练1】（23-24四年级下·江西九江·期末）在点子图上按要求画图。 【精练2】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 题型五 三角形的内角和 【精讲】（25-26四年级上·河北保定·期末）如图，将一张长方形纸的一角折叠。已知，那么( )。 【精练1】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）在一个三角形中，其中两个内角为70°与65°，则第三个内角的度数是( )°。按角分，这是一个( )三角形。 【精练2】如图，已知∠A＝70°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O＝( )°。 题型六 多边形的内角和 【精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝( )°。 【精练1】（24-25四年级下·河南郑州·期末）淘气知道三角形内角和是180°，于是他决定进一步探索四边形的内角和。 方法①：把原四边形的四个角剪下来拼在一起，拼成了一个_______角； 方法②：_______________________________________。 因此可以发现，四边形的内角和是_______°。 【精练2】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）如图，一块直角三角形纸片像这样剪下一个小直角三角形，根据内角和知识，剩下的这个阴影部分图形的内角和是( )°。 题型七 三角形三边关系 【精讲】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）现有6厘米和8厘米长的小棒各一根，再找一根围成一个三角形，这根小棒最长为( )厘米。（取整厘米数） 【精练1】（24-25四年级下·山西晋城·期末）爷爷家的太阳能热水器支架损坏了，需要更换钢条，钢条的长度可能为（    ）。 A．0.9米 B．2.7米 C．0.3米 D．以上都可以 【精练2】（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 题型八 平行四边形的概念及特点 【精讲】（25-26四年级上·河北邯郸·期末）学了第五单元《平行四边形和梯形》，你认为下面说法正确的是（    ）。 A．有一组对边平行的四边形叫梯形。 B．角的大小和边的长短有关系，边越长角越大。 C．任何一个梯形都不可能有两个直角。 D．平行四边形的高和对应的底互相垂直。 【精练1】（25-26四年级上·广东韶关·期末）动手操作并填一填。 (1)点A的位置用数对表示为( )。 (2)量一量，∠BAC＝( )度。 (3)如果有一点D，正好能与点A、B、C组成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示为( )。 【精练2】（24-25四年级下·四川成都·期末）如果在下面各图中分别画一条线段，能达到对应要求的是哪一个图？在括号填出正确的序号。 能分成两个直角三角形的是( )；能分成两个钝角三角形的是( )；能分成一个直角三角形和一个锐角三角形的是( )。 题型九 平行四边形的不稳定性及应用 【精讲】（24-25四年级下·广东清远·期末）王爷爷要给一块地围上篱笆，（    ）篱笆更牢固些。 A．B．C． D． 【精练1】（24-25四年级下·广东清远·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．图2斜拉桥虽然美观但是不牢固 B．平行四边形结构使伸缩门很灵活 C．图3被遮住的图形可能是平行四边形 D．两个完全一样的三角形一定能拼成一个三角形 【精练2】“数学来源于生活又运用于生活”，你能用所学的数学知识解释下面的生活现象吗？ 题型十 梯形的概念及特点 【精讲】（25-26四年级上·河北石家庄·期末）按要求在下面的平行四边形中画一条线段。 (1)分成两个平行四边形。 (2)分成两个直角梯形。 【精练1】（25-26四年级上·福建泉州·期末）画一画。 (1)淘气想在方格纸中画长方形，其中三个顶点的位置用数对表示分别是：A（2，6）、B（2，2）、C（7，2），第四个顶点的位置用数对表示应该是（    ）。 (2)淘气如果将顶点D的位置画在（7，8）的位置，请你连接AD和CD，这时淘气画的四边形ABCD是一个( )。 【精练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）下侧被长方形遮住的图形不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 题型十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【精讲】（24-25四年级下·山西晋城·期末）在点子图上画出一个等腰三角形和一个直角梯形。 【精练1】（24-25四年级下·河南周口·期末）如图，用同样的等腰梯形拼图形。如果用了7个等腰梯形，那么拼成的图形的形状是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 【精练2】（24-25四年级下·四川成都·期末）画一条直线，将一个平行四边形分成两个图形，这两个图形可能是以下选项中的（    ）。 ①等腰梯形和等腰三角形；②两个完全相同的三角形；③两个完全相同的直角梯形；④直角梯形和直角三角形；⑤两个等腰三角形。 A．①②③ B．①③④⑤ C．①②③④⑤ 题型十二 四边形的分类及关系 【精讲】（24-25三年级上·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【精练1】（23-24四年级上·陕西延安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【精练2】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）课堂上，老师和同学们玩一个“听指令做记号”的数画一个○，（    ）下面画的○最多。 指令 ①四边形 ②两组对边分别平行 ③邻边一定相等 ④有钝角 A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26四年级上·陕西西安·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．角的两边张开得越大，角越大 B．一条射线长6厘米 C．正方形是特殊的平行四边形 2．（25-26四年级下·甘肃张掖·期中）聪聪用一根木棍将一扇打开的玻璃窗支撑起来（如图），这样风就不易吹动窗户。这是利用了三角形具有( )的特性。我还知道生活中( )的设计也是利用了三角形的这个特性。 3．（25-26四年级下·河南商丘·期中）李伯伯想给家里的小山羊搭一个小房子，为了牢固稳定，房顶的框架要做成( )形；现有一根长5分米的木条和一根长8分米的木条，那么第三根木条长可能是( )分米。（木条长为整分米） 4．（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）一个平行四边形的一条边长15厘米，比邻边的一条边短4厘米，则这个平行四边形的周长是( )厘米。 5．（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）露出的是三角形的一个内角，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 6．（24-25四年级下·四川成都·期末）将一张长方形纸如下图折一折，已知∠1＝44°，则∠2＝（    ）°。（请列式计算） 7．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）求下面未知角的度数。 8．（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）“柳条搓线絮搓棉，搓够千寻放纸鸢。消得春风多少力，带将儿辈上青天。”爱学习的奇思读了明代艺术家徐渭佳作《风鸢图诗》，利用“六一”假期和哥哥成功制作了一个等腰三角形的风筝。已知这个等腰三角形风筝的底边长4分米，一条腰长8分米，这个等腰三角形的周长是多少分米？ 9．（24-25四年级下·陕西西安·期末）六一儿童节当天，四（2）班节目可谓精彩纷呈：跳竹竿舞、抛绣球、尝美食……最后玩起了猫抓老鼠的游戏，各个角色需要佩戴头饰。如图，老鼠头饰是一个直角三角形，另一个锐角是多少度？     10．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）我们通过折一折、撕一撕的方法可以得到三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是三位同学的探究过程。 （1）这三位同学的思考过程对吗？在对的里画“√”。 （2）妙想也呈现了自己的探究方法，如下： 180°×4－360°＝360° 你同意妙想的方法吗？请你试着说说她的思路。 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26四年级下·河北邢台·期末）如图，点B在∠A的边上不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接则形成的三角形可能是（    ）。 ①直角三角形    ②钝角三角形    ③锐角三角形    ④等腰三角形 A．只有③ B．有③② C．有①②③ D．①②③④ 2．（25-26四年级上·河北沧州·期末）把一个平行四边形的纸剪一刀，不可能出现的是（    ）。 A．两个三角形 B．两个平行四边形 C．一个三角形和一个平行四边形 D．两个梯形 3．（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图，被信封遮住的三角形是什么三角形。（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．一定是等腰三角形 E．前面几个答案都不对 4．（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）用一根长30厘米的铁丝正好围成一个上底是5厘米，下底是11厘米的等腰梯形，这个等腰梯形的一条腰长( )厘米。 5．如下图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)图中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是4cm，那么三角形的周长是( )cm。 6．（25-26四年级下·全国·期末）计算下面各三角形中∠1的度数。 （1）                （2） 7．（24-25四年级下·山西运城·期末）探秘多边形的内角和。 （1）回顾反思。这学期我们在探究三角形的内角和时，将三角形的三个内角剪一剪，拼成一个（    ）角（如下图），得到三角形的内角和是（    ）°。 （2）探究发现。在探究“四边形的内角和”时，同学们从不同角度去思考。试试看，你能读懂他们的想法吗？填一填。 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° （    ）°－360°＝（    ）° （3）迁移应用。请你选择一种方法探究五边形的内角和是多少？在下图中画一画，算一算。 我的思考： 8．（24-25四年级下·广东深圳·期末）美化城市生活，创建文明城市，为了营造良好的城市环境，某街道需要对部分花坛进行维修，图1、图2分别是张叔叔和王叔叔测量的两个三角形花坛各边的长。（单位：米） （1）你认为张叔叔和王叔叔谁测量的是对的？请说说你的理由。 （2）根据图3中的信息，求出∠1的度数。 9．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）风筝之都潍坊，万千风筝扶摇直上！奇思也加入了风筝节的创意比赛，他设计了一款等腰三角形造型的风筝。已知等腰三角形风筝的两条边分别长25厘米和40厘米，那么这个等腰三角形风筝的周长多少厘米？ 10．（25-26四年级上·河南商丘·期末）按要求做题。 （1）点B的位置用数对表示为（    ）。 （2）过点C画线段AB的垂线。 （3）过点B画线段AC的平行线。 （4）量一量，∠BAC＝（    ）°。 （5）如果在点B的右侧有一点D，正好能与点A，B，C围成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示为（    ）。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学四年级下册期末复习重点难点专题培优真题练 专题02 认识三角形和四边形『期末复习重点难点专题培优』 【12个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共56题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 三角形的稳定性及应用 1 题型二 三角形的分类 3 题型三 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 4 题型四 画三角形 5 题型五 三角形的内角和 7 题型六 多边形的内角和 8 题型七 三角形三边关系 10 题型八 平行四边形的概念及特点 12 题型九 平行四边形的不稳定性及应用 14 题型十 梯形的概念及特点 16 题型十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 19 题型十二 四边形的分类及关系 20 优选真题 实战演练 23 【基础夯实 能力提升】 23 【拓展拔尖 冲刺满分】 29 题型一 三角形的稳定性及应用 【精讲】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【答案】见详解 【思路引导】工人用木条固定长方形门框时，在门框上钉一根斜拉的木条，就和门框的两边构成了一个三角形。由于三角形具有稳定性，这种结构能有效防止门框变形，而原本长方形门框是四边形形态（属于不稳定结构）。据此解答。 【规范解答】答：因为长方形具有不稳定性的特点，而三角形具有稳定性，所以工人师傅建房时，常用木条固定门框。（合理即可） 【精练1】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）图形的性质在生活中的应用非常广泛，向阳路斜拉桥在建造上采用了三角形结构，这样的设计利用了三角形具有（    ）的性质。 A．内角和是180° B．稳定性 C．不稳定性 【答案】B 【思路引导】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。由题意得，斜拉桥的设计采用了三角形结构，这是利用了三角形的稳定性。 【规范解答】由分析得，向阳路斜拉桥在建造上采用了三角形结构，这样的设计利用了三角形具有稳定性的性质。 故答案为：B 【精练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）想一想，画一画，选一选。 福福做了一个灯笼，它的底部框架如下图所示。他想加一根木条使框架更加牢固，可以怎么加？请在图中画出来。 【答案】在框架的对角加一根木条，将底部正方形分成两个三角形；图见详解 【思路引导】利用三角形的稳定性；三角形稳定，因为它三条边首尾相接，形成了稳定结构。三角形的三个角固定了三条边的位置，使得整个结构在受力时，力的分布更加均匀，不易发生形变。其次，三角形的三条边相互支撑，一旦其中一条边受到拉力或压力，其他两条边会产生反作用力，相互抵消，从而保持整个结构的稳定。据此解答即可。 【规范解答】要使框架更牢固，根据三角形的稳定性，在框架的对角加一根木条，将底部正方形分成两个三角形。 或 题型二 三角形的分类 【精讲】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）你能一刀剪成吗？试着在图上画一画。 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，图一三角形，过三角形的一个顶点，画它的对边的垂线，就可以分成两个直角三角形。图二把平行四边形的两个锐角的顶点相连，沿其中一条对角线剪开，得到的两块恰好是完全一样、且都含有一个大于90° 内角的“钝角三角形”。图三把平行四边形的两个钝角的顶点相连，沿其中一条对角线剪开，得到的两块恰好是完全一样的“锐角三角形”。以此画图即可。 【规范解答】根据分析画图： （图一画法不唯一） 【精练1】（24-25四年级下·安徽六安·期末）一个三角形中最多有（    ）个钝角，最少有（    ）个锐角。以下答案正确的是（    ）。 A．1，1 B．1，2 C．2，2 【答案】B 【思路引导】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。据此作答。 【规范解答】锐角三角形有3个锐角，直角三角形有1个直角和2个锐角，钝角三角形有1个钝角和2个锐角。所以一个三角形中最多有1个钝角，最少有2个锐角。 故答案为：B 【精练2】（24-25四年级下·陕西汉中·期末）看图填序号。 锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )。 【答案】 ①②④ ③⑤⑦ ⑥ 【思路引导】锐角三角形：小于90°的角；直角三角形：等于90°的角；钝角三角形：大于90°而小于180°的角。①②④三角形的角的度数都小于90°，③⑤⑦三角形有等于90°的角，⑥三角形有大于90°而小于180°的角。 【规范解答】锐角三角形有①②④，直角三角形有③⑤⑦，钝角三角形有⑥。 题型三 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲】（25-26四年级下·河北秦皇岛·期末）小亮用一根48厘米长的铁丝围了一个等边三角形，等边三角形的每条边长是( )厘米，还可以用这根铁丝围成一个底边是18厘米，腰是( )厘米的等腰三角形。 【答案】 16 15 【思路引导】根据等边三角形和等腰三角形的特性来解此题，等边三角形三条边长度相等，已知总长度是48厘米，那么用48÷3就能求出每条边的长度；等腰三角形两条腰长度相等，已知底边是18厘米，那么用总长度48减去18，得出的结果再除以2就是腰的长度。 【规范解答】1.48÷3＝16（厘米） 2.（48−18）÷2 ＝30÷2 ＝15（厘米） 【精练1】（24-25四年级下·山西运城·期末）在方格图中，画出一个三角形，同时满足下面的条件。 （1）这个三角形有两条边相等； （2）这个三角形是一个直角三角形。 【答案】画图见详解 【思路引导】根据题意可知，这个三角形有两条这相等，即这个三角形是等腰三角形；这个三角形是一个直角三角形，即这个三角形中有一个角是直角；据此先在方格图上画一条一定长度的线段（如长4格），再以这条线段的一个端点为垂足，画一条相等长度（如长4格）的垂直线段，连接两条线段的另一端点，即画出一个等腰直角三角形。据此画图。 【规范解答】根据分析，画图如下： （答案不唯一） 【精练2】（24-25四年级下·陕西西安·期末）一个等腰三角形的周长是25厘米，底边是腰长的一半，腰长是________厘米。 【答案】10 【思路引导】三角形的周长是三条边相加的和，等腰三角形的两条腰相等。底边是腰长的一半，把底边长看作1份，则腰长为同样的2份，三条边一共是（1＋2＋2）份，5份是25厘米，用25除以5，求出1份的量是5厘米，即底边长是5厘米，再用5×2，即可求出腰长。 【规范解答】底边长：25÷（1＋2＋2） ＝25÷（3＋2） ＝25÷5 ＝5（厘米） 腰长：5×2＝10（厘米） 所以一个等腰三角形的周长是25厘米，底边是腰长的一半，腰长是10厘米。 题型四 画三角形 【精讲】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）只有一组对边平行的四边形是梯形，根据梯形定义画图（答案不唯一）； （2）等腰直角三角形的定义是：两条直角边相等的直角三角形，或一个角是直角的等腰三角形。根据等腰直角三角形的定义画图（答案不唯一）。 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图所示 【精练1】（23-24四年级下·江西九江·期末）在点子图上按要求画图。 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，在点阵上任选三个点，分别满足以下条件即可。 锐角三角形：三个内角都小于 90°。可以选取相对接近的三个点，使其互相连接后没有直角也没有钝角。 等腰直角三角形：先确定一条水平边与一条竖直边长度相等（如都取 2 个点的间隔），二者相交处为直角顶点，连接第三个点即可。 钝角三角形：选取两个较近的点和一个较远的点，使其中一角大于 90°即可。（比如先画一条相对较长的底边，再在该边以外的较远位置选第三点。） 【规范解答】根据分析画图如下： （画法不唯一） 【精练2】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 【答案】见详解 【思路引导】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。直角三角形中有一个直角，等腰三角形的两条腰相等。则谜语中大哥是直角三角形，小妹是等腰三角形。据此画图。 【规范解答】 （答案不唯一） 题型五 三角形的内角和 【精讲】（25-26四年级上·河北保定·期末）如图，将一张长方形纸的一角折叠。已知，那么( )。 【答案】 【思路引导】已知三角形的内角和是，用内角和减去直角和的度数，就能得出的度数。 【规范解答】 那么 。 【精练1】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）在一个三角形中，其中两个内角为70°与65°，则第三个内角的度数是( )°。按角分，这是一个( )三角形。 【答案】 45 锐角 【思路引导】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；三角形的内角和为180°。由题意得，在一个三角形中，其中两个内角为70°与65°，直接用180°减去两个内角的度数即可算出第三个角的度数。然后根据三个角的大小来判断三角形的类型即可。 【规范解答】180°－70°－65° ＝110°－65° ＝45° 三角形的三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 在一个三角形中，其中两个内角为70°与65°，则第三个内角的度数是45°，按角分，这是一个锐角三角形。 【精练2】如图，已知∠A＝70°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O＝( )°。 【答案】125 【思路引导】根据三角形的内角和是180°，已知∠A＝70°，首先求出∠ABC＋∠ACB的和，由于∠1＝∠2，∠3＝∠4，即可求出∠2＋∠4是多少度，∠O ＝180°﹣（∠2＋∠4），由此解答． 【规范解答】因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝70°， 所以∠ABC＋∠ACB＝180°﹣70°＝110°； 又因为∠1＝∠2，，∠3＝∠4，∠ABC＝∠1＋∠2，∠ACB＝∠3＋∠4， 所以∠2＋∠4＝110°÷2＝55°； ∠O ＝180°﹣（∠1＋∠2）＝180°﹣55°＝125°． 【考点剖析】此题的解答主要根据三角形的内角和是180度，已知两个内角的度数，求第三个内角的度数。 题型六 多边形的内角和 【精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝( )°。 【答案】240 【思路引导】等边三角形的三个角相等，都是60°。三角形内角和是180°，∠1是60°，等边三角形剩下的两个角的度数和是180°－60°＝120°。而剪去一个三角形，剩下的是一个四边形。四边形的内角和＝（边数－2）×180°。用四边形的内角和减去120°就是∠2＋∠3的度数之和。 【规范解答】180°－60°＝120° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－120°＝240° 所以，∠2＋∠3＝240°。 【精练1】（24-25四年级下·河南郑州·期末）淘气知道三角形内角和是180°，于是他决定进一步探索四边形的内角和。 方法①：把原四边形的四个角剪下来拼在一起，拼成了一个_______角； 方法②：_______________________________________。 因此可以发现，四边形的内角和是_______°。 【答案】 周 四边形可以分割成2个三角形，所以四边形的内角和是2个三角形内角和相加 360° 【思路引导】周角等于360°，也就是旋转一周所成的角。从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和。 【规范解答】（1）方法①：把原四边形的四个角剪下来拼在一起，拼成了一个周角； （2）方法②：四边形可以分割成2个三角形，所以四边形的内角和是2个三角形内角和相加，也就是；因此可以发现，四边形的内角和是360°。 【精练2】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）如图，一块直角三角形纸片像这样剪下一个小直角三角形，根据内角和知识，剩下的这个阴影部分图形的内角和是( )°。 【答案】360 【思路引导】由题意得，一块直角三角形纸片按图中的方式剪下一个小直角三角形，剩下的图形是一个四边形。四边形可以分成两个三角形，三角形的内角和为180°，直接用180°乘2即可算出阴影部分图形的内角和。 【规范解答】180°×2＝360° 故剩下的这个阴影部分图形的内角和是360°。 题型七 三角形三边关系 【精讲】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）现有6厘米和8厘米长的小棒各一根，再找一根围成一个三角形，这根小棒最长为( )厘米。（取整厘米数） 【答案】13 【思路引导】根据三角形三边关系，第三边必须小于另外两边之和，且大于两边之差。已知两边为6厘米和8厘米，8－6＝2（厘米），8＋6＝14（厘米），则第三边长度范围为2厘米＜第三边＜14厘米。取整厘米数时，最长应为13厘米。 【规范解答】8－6＝2（厘米） 8＋6＝14（厘米） 2厘米＜第三边长度＜14厘米 14－1＝13（厘米） 现有6厘米和8厘米长的小棒各一根，再找一根围成一个三角形，这根小棒最长为13厘米。（取整厘米数） 【精练1】（24-25四年级下·山西晋城·期末）爷爷家的太阳能热水器支架损坏了，需要更换钢条，钢条的长度可能为（    ）。 A．0.9米 B．2.7米 C．0.3米 D．以上都可以 【答案】A 【思路引导】结合图示信息可知，太阳能热水器的支架是一个三角形，根据三角形的三边关系可知，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以钢条的长度应该大于任意两边之差，小于任意两边之和，据此解答即可。 【规范解答】结合分析可知，（1.5－1.2）米＜钢条的长度＜（1.5＋1.2）米，即0.3米＜钢条的长度＜2.7米； A．0.3米＜0.9米＜2.7米，符合钢条的长度。 B．2.7＝2.7，不符合钢条的长度。 C．0.3＝0.3，不符合钢条的长度。 D．只有0.3米＜钢条的长度＜2.7米，才符合钢条的长度。 故答案为：A 【精练2】（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 【答案】（1）不能 （2）见详解 【思路引导】（1）观察图可知：一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，第一段是4份，第二段是2份，第三段是2份，三角形任意两边之和大于第三边，据此判断； （2）先确定剩余份数，再通过尝试不同分法，找到满足三角形三边关系的剪法即可。 【规范解答】（1）由分析可知：2＋2＝4 不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形。 （2）纸条共8份，截下第一段后剩余6份。要摆成三角形，需满足任意两边之和大于第三边。将6份分成两段，有下面几种可能： 1份和5份：1＋2＜5，不符合三角形三边关系； 2份和4份：2＋2＝4，不符合三角形三边关系； 3份和3份：2＋3＞3，符合三角形三边关系； 围成三角形的三段长度为2份、3份、3份，所以将6份从中间等分点剪开。 【考点剖析】掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键。 题型八 平行四边形的概念及特点 【精讲】（25-26四年级上·河北邯郸·期末）学了第五单元《平行四边形和梯形》，你认为下面说法正确的是（    ）。 A．有一组对边平行的四边形叫梯形。 B．角的大小和边的长短有关系，边越长角越大。 C．任何一个梯形都不可能有两个直角。 D．平行四边形的高和对应的底互相垂直。 【答案】D 【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 角的大小与角两条边的开口大小有关，开口越大角越大。 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形，直角梯形中最多有2个直角。 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底，高与对应的底互相垂直。 据此进行判断。 【规范解答】A．有一组对边平行的四边形叫梯形。选项说法缺少“只有”二字，故错误； B．角的大小和边的长短有关系，边越长角越大。角的大小与边的长短无关，故说法错误； C．任何一个梯形都不可能有两个直角。直角梯形有两个直角，故说法错误； D．平行四边形的高和对应的底互相垂直。此说法正确。 【精练1】（25-26四年级上·广东韶关·期末）动手操作并填一填。 (1)点A的位置用数对表示为( )。 (2)量一量，∠BAC＝( )度。 (3)如果有一点D，正好能与点A、B、C组成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示为( )。 【答案】(1)（3，6） (2)55 (3)（10，10） 【思路引导】（1）用数对表示位置时，表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号即可。 （2）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此量出角的度数即可。 （3）平行四边形的对边平行且相等。A与C在同一行，且D在B的右侧，则D与B在同一行；A与C相隔4个单位长度，则D在B的右侧的4个单位长度处，即D在第10列第10行，据此写出数对即可。（答案不唯一） 【规范解答】（1）点A的位置用数对表示为（3，6）。 （2）量一量，∠BAC＝55度。 （3）如果有一点D，正好能与点A、B、C组成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示为（10，10）。（答案不唯一） 【精练2】（24-25四年级下·四川成都·期末）如果在下面各图中分别画一条线段，能达到对应要求的是哪一个图？在括号填出正确的序号。 能分成两个直角三角形的是( )；能分成两个钝角三角形的是( )；能分成一个直角三角形和一个锐角三角形的是( )。 【答案】 ② ③ ① 【思路引导】只有一个角是直角的三角形是直角三角形；只有一个钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；长方形沿对角线分割可以分成两个直角三角形；平行四边形连接相对的钝角顶点可以分成两个钝角三角形；梯形从一个钝角顶点向对边作高可以分成一个直角三角形和一个锐角三角形。 【规范解答】如果在下面各图中分别画一条线段，能达到对应要求的是哪一个图？在括号填出正确的序号。 能分成两个直角三角形的是②；能分成两个钝角三角形的是③；能分成一个直角三角形和一个锐角三角形的是①。 题型九 平行四边形的不稳定性及应用 【精讲】（24-25四年级下·广东清远·期末）王爷爷要给一块地围上篱笆，（    ）篱笆更牢固些。 A．B．C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形具有稳定性不容易变形，平行四边形具有不稳定性容易变形的特征，要使篱笆更牢固，应使篱笆中形成许多三角形的结构，以增加其牢固性。据此解答。 【规范解答】A．篱笆搭成了长方形，容易变形，不牢固； B．篱笆搭成了三角形，不容易变形，更牢固； C．篱笆搭成了长方形，容易变形，不牢固； D．篱笆搭成了平行四边形，容易变形，不牢固。 所以，王爷爷要给一块地围上篱笆，篱笆更牢固。 故答案为：B 【精练1】（24-25四年级下·广东清远·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．图2斜拉桥虽然美观但是不牢固 B．平行四边形结构使伸缩门很灵活 C．图3被遮住的图形可能是平行四边形 D．两个完全一样的三角形一定能拼成一个三角形 【答案】B 【思路引导】三角形具有稳定性，不容易变形。平行四边形具有不稳定性，容易变形。平行四边形的两组对边平行且相等。一个三角形不一定能分成两个完成一样的三角形。据此分析四个选项，看谁正确即可。 【规范解答】A．图2斜拉桥是三角形，三角形具有稳定性。它美观也牢固，原题表述错误。 B．平行四边形具有容易变形的特征，它的结构使伸缩门很灵活。表述正确。 C．图3被遮住的图形有两条边不是互相平行的，不可能是平行四边形。原题表述错误。 D．两个完全一样的三角形不一定能拼成一个三角形。例如。所以原题表述错误。 故答案为：B 【精练2】“数学来源于生活又运用于生活”，你能用所学的数学知识解释下面的生活现象吗？ 【答案】见详解 【思路引导】（1）三角形具有稳定性，具有稳固、坚定、耐压的特点。许多结构都利用了三角形的稳定性。比如房屋的屋顶架构，自行车的车架。 （2）平行四边形具有易变形的特性，在生活中，伸缩门就是利用平行四边形易变形的特性设计的，还有一些折叠晾衣架，其结构中部分采用平行四边形框架。 【规范解答】（1）由分析可知，自行车的设计利用了三角形的稳定性。（答案不唯一） （2）由分析可知，移动门利用了平行四边形的易变形的特性。（答案不唯一） 题型十 梯形的概念及特点 【精讲】（25-26四年级上·河北石家庄·期末）按要求在下面的平行四边形中画一条线段。 (1)分成两个平行四边形。 (2)分成两个直角梯形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）平行四边形的核心特征是：两组对边分别平行且相等。要把一个大平行四边形分成两个小平行四边形，关键是画出的线段要和原平行四边形的一组对边平行。 （2）直角梯形的核心特征是：只有一组对边平行，且有两个直角。要把平行四边形分成两个直角梯形，需要画出的线段能同时让两个新图形都有直角，且只有一组对边平行。 【规范解答】（1）根据分析，作图如下：（答案不唯一） （2）根据分析，作图如下：（答案不唯一） 【精练1】（25-26四年级上·福建泉州·期末）画一画。 (1)淘气想在方格纸中画长方形，其中三个顶点的位置用数对表示分别是：A（2，6）、B（2，2）、C（7，2），第四个顶点的位置用数对表示应该是（    ）。 (2)淘气如果将顶点D的位置画在（7，8）的位置，请你连接AD和CD，这时淘气画的四边形ABCD是一个( )。 【答案】(1)（7，6） (2)梯形 【思路引导】（1）根据长方形的特点，一组对边平行且相等，四个角都是直角。在长方形中，AD边与BC边平行且相等，因此点D的列数应与点C相同，为7。CD边与AB边平行且相等，因此点D的行数应与点A相同，为6，即D（7，6），据此解答。 （2）根据梯形的意义，只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。A（2，6）、B（2，2）、C（7，2），D（7，8）AB边：点A和点B在第2列，是竖直线段；CD边：点C和点D在第7列，是竖直线段，AB边与CD边在同一平面内，两条竖直线段互相平行。AD边连接（2，6）和（7，8），是一条斜线段。BC边连接（2，2）和（7，2），是一条水平线段。因此，AD边与BC边不平行，据此解答。 【规范解答】（1）根据分析可知： 在长方形中，AD边与BC边平行且相等，点D的列数应与点C相同，为7；CD边与AB边平行且相等，点D的行数应与点A相同，为6，所以，第四个顶点的位置用数对表示应该是（7，6）。 如图所示： （2）根据分析可知： AB边与CD边互相平行，AD边与BC边不平行，所以，这时淘气画的四边形ABCD是一个梯形。 如图所示： 【精练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）下侧被长方形遮住的图形不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】D 【思路引导】观察图可知：这个图形有一个角是钝角，根据各选项中图形的特征分析选择即可。 【规范解答】A．如下图，在平行四边形中，有两个钝角。所以这个图形有可能是平行四边形。 B．如下图，在梯形中，有两个钝角。所以这个图形有可能是梯形。 C．钝角三角形中，有一个钝角。所以这个图形有可能是钝角三角形。 D．锐角三角形的三个角都是锐角，所以这个图形不可能是锐角三角形。 故答案为：D 题型十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【精讲】（24-25四年级下·山西晋城·期末）在点子图上画出一个等腰三角形和一个直角梯形。 【答案】见详解 【思路引导】等腰三角形：至少有两边相等的三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰。 直角梯形：有一个直角的梯形，属于四边形。它的两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等，一个腰上的其中一角是直角。据此画图。 【规范解答】如图所示： （答案不唯一） 【精练1】（24-25四年级下·河南周口·期末）如图，用同样的等腰梯形拼图形。如果用了7个等腰梯形，那么拼成的图形的形状是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 【答案】B 【思路引导】通过观察现有的图形，发现规律，奇数个等腰梯形拼成的图形是梯形，偶数个等腰梯形拼成的图形是平行四边形，7是奇数，则拼成的图形是梯形；据此解答。 【规范解答】如图，用同样的等腰梯形拼图形。如果用了7个等腰梯形，那么拼成的图形的形状是梯形。 故答案为：B 【精练2】（24-25四年级下·四川成都·期末）画一条直线，将一个平行四边形分成两个图形，这两个图形可能是以下选项中的（    ）。 ①等腰梯形和等腰三角形；②两个完全相同的三角形；③两个完全相同的直角梯形；④直角梯形和直角三角形；⑤两个等腰三角形。 A．①②③ B．①③④⑤ C．①②③④⑤ 【答案】C 【思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形，两条腰长度相等的梯形叫作等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 【规范解答】 由图可知，可以将一个平行四边形分成一个等腰梯形和一个等腰三角形； 由图可知，可以将一个平行四边形分成两个完全相同的三角形； 由图可知，可以将一个平行四边形分成两个完全相同的直角梯形； 由图可知，可以将一个平行四边形分成一个直角梯形和一个直角三角形。 由图可知，当平行四边形的两条邻边相等时，可以将一个平行四边形分成两个等腰三角形。 画一条直线，将一个平行四边形分成两个图形，这两个图形可能是等腰梯形和等腰三角形，或两个完全相同的三角形，或两个完全相同的直角梯形，或直角梯形和直角三角形，或两个等腰三角形。 故答案为：C 题型十二 四边形的分类及关系 【精讲】（24-25三年级上·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】四个角都是直角且四条边都相等的四边形是正方形；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形，一腰垂直于底的梯形叫直角梯形；据此分析每个选项。 【规范解答】 A．，可能是长方形，正方形，直角梯形，不符合； B．，可能是长方形，直角梯形，不符合； C．，一定是正方形；符合； D．，可能是长方形，正方形，直角梯形或者是有一个直角的普通四边形；不符合。 故答案为：C 【精练1】（23-24四年级上·陕西延安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【答案】B 【思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，把平行四边形对角连线会分成两个完全相同的三角形； 平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角相等；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形是长方形；正方形两组对边分别平行且相等、四个角都是直角； 角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小； 四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角；只有一组对边平行的四边形是梯形；不存在对边平行的四边形是不规则四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形；除了梯形和平行四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、 【规范解答】 A．两个完全一样的直角三角形才能拼成一个平行四边形，如图：这两个直角三角形就不能拼成一个平行四边形；原题说法不正确，不符合题意； B．长方形与平行四边形不同的是长方形的四个角都是直角，如果平行四边形的一个角是直角，那么其他三个角也是直角，这就符合长方形的特征，就是长方形了，当原来的平行四边形的邻边也相等时，它就成为一个正方形，所以原题说法正确，符合题意。 C．角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关；原题说法不正确，不符合题意； D．如图：，除了梯形和平行四边形是四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、不规则四边形等；原题说法不正确，不符合题意。 故答案为：B 【精练2】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）课堂上，老师和同学们玩一个“听指令做记号”的数画一个○，（    ）下面画的○最多。 指令 ①四边形 ②两组对边分别平行 ③邻边一定相等 ④有钝角 A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 【答案】B 【思路引导】长方形是四边形，也是两组对边分别平行，所以报①②时，长方形符合； 平行四边形是四边形，也是两组对边分别平行，也有钝角，所以报①②④时，平行四边行符合； 等腰梯形是四边行，有钝角，所以报①④时，等腰梯形符合。 【规范解答】由分析可知平行四边形画的○最多。 故答案为：B 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26四年级上·陕西西安·期末）下面说法错误的是（    ）。 A．角的两边张开得越大，角越大 B．一条射线长6厘米 C．正方形是特殊的平行四边形 【答案】B 【思路引导】根据角的定义，角的大小与两边张开的大小有关； 根据射线的定义，射线无限长，不可度量； 根据平行四边形的定义，正方形具备平行四边形的特征。逐项判断即可。 【规范解答】A．角的大小是由角的两边张开的大小决定的，与边的长短无关。两边张开得越大，角越大。此选项正确。 B．射线只有一个端点，向一端无限延伸，长度是无限的，无法测量。线段有两个端点，可以测量长度。所以射线长厘米的说法不符合射线的特征。此选项错误。 C．平行四边形是指两组对边分别平行且相等的四边形。正方形的两组对边分别平行，且四个角都是直角，四条边都相等，具备平行四边形的所有特征。此选项正确。 2．（25-26四年级下·甘肃张掖·期中）聪聪用一根木棍将一扇打开的玻璃窗支撑起来（如图），这样风就不易吹动窗户。这是利用了三角形具有( )的特性。我还知道生活中( )的设计也是利用了三角形的这个特性。 【答案】 稳定性 自行车车架（答案不唯一） 【思路引导】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。用一根木棍将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不易吹动窗户应用了三角形具有稳定性的特征。自行车车架、屋顶的三角架等应用了三角形稳定性的特征。 【规范解答】聪聪用一根木棍将一扇打开的玻璃窗支撑起来（如图），这样风就不易吹动窗户。这是利用了三角形具有（稳定性）的特性。我还知道生活中（自行车车架）的设计也是利用了三角形的这个特性。（答案不唯一） 3．（25-26四年级下·河南商丘·期中）李伯伯想给家里的小山羊搭一个小房子，为了牢固稳定，房顶的框架要做成( )形；现有一根长5分米的木条和一根长8分米的木条，那么第三根木条长可能是( )分米。（木条长为整分米） 【答案】 三角 12（答案不唯一） 【思路引导】三角形不易变形，具有稳定性；三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，为了牢固稳定，房顶的框架要做成三角形。 8－5＝3（分米） 8＋5＝13（分米） 3分米＜第三边＜13分米，所以第三根木条长可能是12分米。 4．（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）一个平行四边形的一条边长15厘米，比邻边的一条边短4厘米，则这个平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】68 【思路引导】平行四边形对边相等，周长等于相邻两条边长度和的2倍。先根据已知条件求出另一条边的长度，再代入公式计算周长。 【规范解答】15＋4＝19（厘米） （15＋19）×2 ＝34×2 ＝68（厘米） 5．（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）露出的是三角形的一个内角，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三个内角都是锐角的三角形，即为锐角三角形。据此进行判断。 【规范解答】因为此三角形只知道一个角为锐角，其他角可能有钝角或直角，也可能都是锐角，所以不一定就是锐角三角形。 故答案为：× 6．（24-25四年级下·四川成都·期末）将一张长方形纸如下图折一折，已知∠1＝44°，则∠2＝（    ）°。（请列式计算） 【答案】22 【思路引导】 为了便于计算，我们在图中标出∠3的位置。 根据长方形纸折叠的性质可知，重合的角和∠3度数相等，而且这两个角和∠1组成一个平角，即180°，那么∠3的度数等于180°减去∠1的度数再除以2。折出的三角形是直角三角形，根据三角形内角和的定义，用180°减去90°再减∠3的度数就得到∠2的度数。 【规范解答】180°－90°－[（180°－44°）÷2] ＝180°－90°－[136°÷2] ＝180°－90°－68° ＝90°－68° ＝22° 所以，∠2＝22°。 7．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）求下面未知角的度数。 【答案】∠A＝55°；∠B＝77°；∠C＝65° 【思路引导】本题可根据三角形内角和为180°以及平角为180°的性质，分别计算三角形中未知角的度数。 第一个三角形：已知三角形ABC是直角三角形，∠B＝90°，∠C＝35°，所以∠A＝180°－∠B－∠C。 第二个三角形：已知∠A＝48°，∠C＝55°，所以∠B＝180°－∠A－∠C。 第三个三角形：已知∠A＝60°，与125°角互补的∠ABC＝180°－125°＝55°，所以∠C＝180°－∠A－∠ABC。据此解答即可。 【规范解答】∠A＝180°－∠B－∠C ＝180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° ∠B＝180°－∠A－∠C ＝180°－48°－55° ＝132°－55° ＝77° ∠C＝180°－∠A－∠ABC ＝180°－60°－55° ＝120°－55° ＝65° 8．（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）“柳条搓线絮搓棉，搓够千寻放纸鸢。消得春风多少力，带将儿辈上青天。”爱学习的奇思读了明代艺术家徐渭佳作《风鸢图诗》，利用“六一”假期和哥哥成功制作了一个等腰三角形的风筝。已知这个等腰三角形风筝的底边长4分米，一条腰长8分米，这个等腰三角形的周长是多少分米？ 【答案】 20分米 【思路引导】这道题目主要是求等腰三角形的周长，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作等腰三角形的腰，第三条边为等腰三角形的底，等腰三角形的周长＝底边长＋腰长×2，已知等腰三角形底边长4分米，一条腰长8分米，所以另外一条腰长也为8分米，据此解答。 【规范解答】4＋8×2 ＝4＋16 ＝20（分米） 答：这个等腰三角形的周长为20分米。 9．（24-25四年级下·陕西西安·期末）六一儿童节当天，四（2）班节目可谓精彩纷呈：跳竹竿舞、抛绣球、尝美食……最后玩起了猫抓老鼠的游戏，各个角色需要佩戴头饰。如图，老鼠头饰是一个直角三角形，另一个锐角是多少度？     【答案】60度 【思路引导】直角三角形中有一个角是90度，所有三角形的三个内角和是180度，因此180－90－30（度）即为另一个锐角的度数。 【规范解答】由分析可得： 该直角三角形中有一个角是30度，那么另一个锐角是： 180－90－30＝60（度） 答：另一个锐角是60度。 10．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）我们通过折一折、撕一撕的方法可以得到三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是三位同学的探究过程。 （1）这三位同学的思考过程对吗？在对的里画“√”。 （2）妙想也呈现了自己的探究方法，如下： 180°×4－360°＝360° 你同意妙想的方法吗？请你试着说说她的思路。 【答案】（1）见详解 （2）同意。思路：把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【思路引导】（1）笑笑：通过将四边形的四个角折拼，形成一个周角（360°），方法正确，在□里画“√”。 淘气：将四边形分成两个三角形，因为一个三角形内角和是180°，所以两个三角形内角和是180°×2＝360°，方法正确，在□里画“√”。 奇思：将四边形分成三个三角形，三个三角形内角和是180°×3＝540°，但这种分法多算了中间的一个平角（180°），实际四边形内角和不是540°，方法错误。 （2）把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【规范解答】 （1） （2）答：同意妙想的方法。把四边形看作由4个三角形组成，4个三角形的内角和是180°×4，但这4个三角形的内角和中，中间的周角（360°）是重复计算的，所以用180°×4－360°，即可得到四边形的内角和为360°。 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26四年级下·河北邢台·期末）如图，点B在∠A的边上不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接则形成的三角形可能是（    ）。 ①直角三角形    ②钝角三角形    ③锐角三角形    ④等腰三角形 A．只有③ B．有③② C．有①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】①三角形按角分类：有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形；②三角形按边分类：有两条边相等的是等腰三角形；③动态点移动时，三角形的内角和边长会随之改变，可形成不同类型的三角形。结合点C的移动，分析∠B的大小变化和边的长度关系，即可得到结果。 【规范解答】点B固定，点C在∠A的另一条边上移动时： 当点C移动到合适位置时，∠B可以是直角，此时三角形为直角三角形，①可能； 当点C向左移动时，∠B会大于90°，此时三角形为钝角三角形，②可能； 当点C向右移动时，∠B会小于90°，且三个角均为锐角时，此时三角形为锐角三角形，③可能； 当点C移动到AC＝AB的位置时，三角形为等腰三角形，④可能。 因此，①②③④都可能。 2．（25-26四年级上·河北沧州·期末）把一个平行四边形的纸剪一刀，不可能出现的是（    ）。 A．两个三角形 B．两个平行四边形 C．一个三角形和一个平行四边形 D．两个梯形 【答案】C 【思路引导】解题时需要想象沿不同方向剪一刀后得到的图形形状，可以通过动手操作或画图辅助思考。 【规范解答】A．沿平行四边形的一条对角线剪一刀，可以把平行四边形分成两个三角形，情况可能出现，此选项错误； B．沿平行于平行四边形一组对边的直线剪一刀，可以把平行四边形分成两个平行四边形，情况可能出现，此选项错误； C．若剪一刀得到一个三角形，剪痕必须经过平行四边形的一个顶点。此时，若剪痕连接顶点和对边上一点，剩下的图形是梯形；若剪痕连接顶点和相邻边上一点，剩下的图形是五边形。无法得到一个三角形和一个平行四边形，情况不可能出现，此选项正确； D．沿平行四边形一组对边上任意两点（非顶点）连线剪一刀，且不平行于另两条边，可以把平行四边形分成两个梯形，情况可能出现，此选项错误。 3．（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图，被信封遮住的三角形是什么三角形。（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．一定是等腰三角形 E．前面几个答案都不对 【答案】B 【思路引导】三角形按照角分类，可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形； 三角形按照边分类，可以分为等边三角形和等腰三角形，三角形中两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形。 三角形的内角和是180°，直角是90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角，锐角是大于0°且小于90°的角，一个三角形中，如果出现一个直角或钝角，则另外的两个角必定是锐角，不可能再出现钝角或直角。据此分析解答。 【规范解答】A．由分析可知，要三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，图中已知其中一个角是直角，所以这个三角形不是锐角三角形；选项错误； B．由分析可知，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，图中已知角为直角，所以这个三角形一定是直角三角形，选项正确； C．由分析可知，要有一个角是钝角的三角形才是钝角三角形，由于已知其中一个角是直角，根据三角形的内角和是180°可知，有一个角是直角，则剩余的角不可能再出现一个钝角，所以这个三角形不可能是钝角三角形； D．由分析可知，两条边相等的三角形才是等腰三角形，由于图中三角形没有显示完全，不能确定是否为等腰三角形，选项错误； E．根据上述分析可知，B正确，所以E错误。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查三角形的分类，熟练掌握三角形分类以及三角形内角和等知识是解决此题的关键。 4．（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）用一根长30厘米的铁丝正好围成一个上底是5厘米，下底是11厘米的等腰梯形，这个等腰梯形的一条腰长( )厘米。 【答案】7 【思路引导】梯形周长＝上底＋下底＋两条腰长，等腰梯形两条腰长度相等。已知铁丝总长即为梯形周长，用周长依次减去上底、下底，再除以2，就能求出一条腰的长度。 【规范解答】30－5－11 =25－11 ＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 5．如下图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)图中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是4cm，那么三角形的周长是( )cm。 【答案】(1) 30 60 (2)12 【思路引导】   （1）根据折纸过程和图上所示可知：斜折上去的那条边b就是正方形下面那条边c，因为点A在对折的折痕上，所以a和b也相等，也就是a、b、c三条边相等，所以三角形是等边三角形，三个角都是60°。而∠2等于2个∠1，所以，∠1度数是∠2度数的一半，即60°除以2得30°。 （2）如果正方形的边长是4厘米，那么等边三角形的边长也是4厘米，所以三角形的周长就是4乘3得12厘米。据此解答。 【规范解答】（1）∠1＝60°÷2＝30°，∠2＝60° 所以，图中∠1等于30°，∠2等于60°。 （2）4×3＝12（厘米） 所以，三角形的周长是12厘米。 【考点剖析】本题主要考查角的综合计算及周长的计算。要仔细观察图中各边和各角之间的关系， 抓住等边三角形的特点解答问题。 6．（25-26四年级下·全国·期末）计算下面各三角形中∠1的度数。 （1）                （2） 【答案】（1）48° （2）32° 【思路引导】利用三角形内角和为180°及等腰三角形两底角相等的性质，计算∠1的度数。 【规范解答】（1）180°－45°－87° ＝135°－87° ＝48° （2）180°－74°×2 ＝180°－148° ＝32° 7．（24-25四年级下·山西运城·期末）探秘多边形的内角和。 （1）回顾反思。这学期我们在探究三角形的内角和时，将三角形的三个内角剪一剪，拼成一个（    ）角（如下图），得到三角形的内角和是（    ）°。 （2）探究发现。在探究“四边形的内角和”时，同学们从不同角度去思考。试试看，你能读懂他们的想法吗？填一填。 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° 四边形的内角和：180°×（    ）＝（    ）° （    ）°－360°＝（    ）° （3）迁移应用。请你选择一种方法探究五边形的内角和是多少？在下图中画一画，算一算。 我的思考： 【答案】（1）平；180 （2）见详解 （3）作图见详解；540° 【思路引导】（1）图中把三个内角拼成了一个平角，平角的度数是180°； （2）把四边形分成2个三角形，三角形的内角和为180°，所以四边形的内角和为180°×2；右边的同学把四边形分成了4个三角形，但是中间多了一个周角，周角的度数为360°，所以四边形的内角和为180°×4再减360°。 （3）可将五边形分成三个三角形，三角形的内角和为180°，所以五边形的内角和为180°×3。 【规范解答】（1）将三角形的三个内角剪一剪，拼成一个平角，平角的度为是180°，所以得到三角形的内角和是180°。 （2）根据分析： 四边形的内角和：180°×（  2  ）＝（ 360   ）° 四边形的内角和：180°×（  4  ）＝（  720  ）° （ 720  ）°－360°＝（ 360  ）° （3）如图，可将五边形分成3个三角形： 所以五边形的内角和＝180°×3＝540°。 8．（24-25四年级下·广东深圳·期末）美化城市生活，创建文明城市，为了营造良好的城市环境，某街道需要对部分花坛进行维修，图1、图2分别是张叔叔和王叔叔测量的两个三角形花坛各边的长。（单位：米） （1）你认为张叔叔和王叔叔谁测量的是对的？请说说你的理由。 （2）根据图3中的信息，求出∠1的度数。 【答案】（1）王叔叔；见详解 （2）70° 【思路引导】（1）根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断张叔叔和王叔叔测量的两个三角形是否准确。 （2）三角形的一个角和145°的角组成平角，平角等于180°，用180°－145°即可求出这个角的度数，根据三角形内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数，即可求出∠1的度数。 【规范解答】（1）9＋7＝16（米），16＜18，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 11＋6＝17（米），17＞13，11－6＝5（米），5＜13，能围成三角形。 答：王叔叔测量的是对的，因为张叔叔测量的三条边不能围成三角形，王叔叔的可以。 （2）180°－145°＝35° ∠1＝180°－35°－75°＝70° 答：∠1＝70°。 9．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）风筝之都潍坊，万千风筝扶摇直上！奇思也加入了风筝节的创意比赛，他设计了一款等腰三角形造型的风筝。已知等腰三角形风筝的两条边分别长25厘米和40厘米，那么这个等腰三角形风筝的周长多少厘米？ 【答案】90厘米或105厘米 【思路引导】已知等腰三角形的两条边是25厘米和40厘米，如果25厘米的边为三角形的腰，25＋25＝50（厘米），50厘米＞40厘米，符合三角形的要求；如果40厘米的边为三角形的腰，40＋40＝80（厘米），80厘米＞25厘米，也符合三角形的要求。因此三角形的三边之和有两种情况，分别相加即可。 【规范解答】根据分析： 当25厘米的边为三角形的腰时 25＋25＋40＝90（厘米） 当40厘米的边为三角形的腰时 40＋40＋25＝105（厘米） 答：这个等腰三角形风筝的周长是90厘米或105厘米。 10．（25-26四年级上·河南商丘·期末）按要求做题。 （1）点B的位置用数对表示为（    ）。 （2）过点C画线段AB的垂线。 （3）过点B画线段AC的平行线。 （4）量一量，∠BAC＝（    ）°。 （5）如果在点B的右侧有一点D，正好能与点A，B，C围成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示为（    ）。 【答案】（1）（6，3） （2）（3）见详解 （4）45 （5）（10，3） 【思路引导】（1）用数对表示位置时，表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （2）过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线。 （3）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线；据此画图。 （4）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此量出角的度数即可。 （5）平行四边形的对边平行且相等。A与C在同一行，且D在B的右侧，则D与B在同一行；A与C相隔4个单位长度，则D在B的右侧的4个单位长度处，即D在第10列第3行，据此写出数对即可。 【规范解答】（1）点B的位置用数对表示为（6，3）。 （2）（3）画图如下： （4）量一量，∠BAC＝45°。 （5）如果在点B的右侧有一点D，正好能与点A，B，C围成一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示为（10，3）。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $