【北师大版】期末模拟卷（3）-2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》（原卷版+解析版）

**基本信息** 精准覆盖《数学拓展模块一》1-10单元核心考点，贴合职教高考题型，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|充分条件、解三角形、数列、向量、立体几何等|第13题志愿者安排（排列组合）、15题统计指标（众数）体现应用意识，符合“用数学语言表达现实世界”| |填空|5/15|函数、向量共线、抛物线准线、正四棱锥线面角、三位偶数排列|第19题正四棱锥线面角考查空间观念，第20题排列组合强化逻辑推理| |解答题|4/40|等比数列（通项与求和）、三角函数（化简与性质）、抛物线与双曲线综合、正方体空间角及体积|第24题正方体综合题融合异面直线角、线面角及体积计算，层次分明，培养数学思维与空间想象|

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（北师大版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（3） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（北师大版）第1-10单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．“”的充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 2．在中，，是角，，所对的边，且，，，则等于（    ） A． B． C．或 D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，，，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，已知，，则该数列的前20项之和等于（     ） A．320 B．340 C．360 D．380 6．已知，，则（   ） A．4 B．2 C． D．3 7．已知向量，且，则（   ） A． B． C． D． 8．经过点且与有相同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或5 D． 10．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．已知直线平面，直线平面，有下面四个命题： ①   ②  ③   ④ 其中正确的两个命题是（   ） A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③ 12．若一元二次方程的一个虚根是，则（   ） A． B．1 C． D．2 13．某职业学校举行运动会，组委会需从甲，乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到检录处、统计处和宣传处这3个部门，每个部门安排1人．若甲不能安排在宣传处，则不同的安排方法种数是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 14．在的展开式中，常数项为第（   ）项. A．3 B．4 C．5 D．6 15．某商场要反映不同品牌冰箱的销售情况，以确定主推品牌，应选择的统计指标是（    ） A．算术平均数 B．加权平均数 C．中位数 D．众数 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知，若，则____________． 17．已知向量不共线，且，则___________. 18．已知抛物线的准线方程为是该抛物线上的点，则点到抛物线的焦点的距离为___________. 19．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 20．用0，1，2，3这四个数字可以组成________个无重复数字的三位偶数. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 22．已知函数 (1)将此函数化为的形式； (2)求该函数的周期与最大值； (3)求使函数取得最大值的角的集合 23．已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.求： (1)m的值及双曲线的离心率； (2)抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程. 24．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（北师大版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（3） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（北师大版）第1-10单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．“”的充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例排除ACD，再利用不等式的性质，结合充分必要条件的判断判断B，从而得解. 【详解】A，对于，取，满足，但， 即充分性不成立，故A错误； B，当时，必有，即充分性成立； 当时，取，此时不成立，即必要不成立； 因此是的充分不必要条件，故B正确； C，对于，取，满足，但， 即充分性不成立，故C错误； D，对于，取，则，不满足， 即充分性不成立，故D错误； 故选：B. 2．在中，，是角，，所对的边，且，，，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】由正弦定理可知，， 则，，， 因为，则等于或； 故选：C. 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦公式，结合三角函数的诱导公式，即可化简求值． 【详解】 ． 故选：D． 4．在等比数列中，，，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求值即可. 【详解】已知，是方程的两根， 所以，因为， 所以，则， 故选：C 5．在等差数列中，已知，，则该数列的前20项之和等于（     ） A．320 B．340 C．360 D．380 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式列方程，再根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得. 因此. 故选：C. 6．已知，，则（   ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据向量内积的运算律列方程求解即可. 【详解】已知，， 由， 即，得， 解得， 故选：D. 7．已知向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，求得x的值，结合向量坐标的线性运算，及向量模的坐标计算，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 8．经过点且与有相同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得，设出双曲线方程，将已知点代入，联立方程组，即可求出，继而求解. 【详解】因为双曲线方程， 所以， 设经过点且与有相同焦点的双曲线方程为， 则，即， 所以， 化简整理得， 即， 所以或（舍）， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 9．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或5 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线焦点在轴上时的标准方程求解. 【详解】∵方程表示焦点在轴上的双曲线， 可以得到，解得． 故选：D. 10．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据题意结合线面平行，面面平行的判定及性质即可得解. 【详解】A选择中，因为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行， 因为m，n未说明是两条相交直线，故错误； B选项中，因为，则内的任何直线都与平行，故正确； C选项中，若，，则或，故错误； D选项中，，，则或，故错误； 故选：B. 11．已知直线平面，直线平面，有下面四个命题： ①   ②  ③   ④ 其中正确的两个命题是（   ） A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③ 【答案】A 【分析】由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系及线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理即可求解. 【详解】①因为直线平面，若，则直线平面， 又因为直线平面，所以，故①正确； ②因为直线平面，若，则，又因为直线平面，所以， 故②正确； ③因为直线平面，若，则直线可能在平面内，也可能与平面平行， 又因为直线平面，所以与可能平行，可能相交，也可能异面，故③错误； ④因为直线平面，若，则直线可能在平面内，也可能与平面平行， 又因为直线平面，所以与可能平行，也可能相交，故④错误； 综上所述，正确的命题是①和②. 故选：A. 12．若一元二次方程的一个虚根是，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程在复数范围内根的性质，结合韦达定理求解即可. 【详解】一元二次方程的一个虚根是， 则另一个虚根为， 由韦达定理可得，，所以. 故选：C. 13．某职业学校举行运动会，组委会需从甲，乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到检录处、统计处和宣传处这3个部门，每个部门安排1人．若甲不能安排在宣传处，则不同的安排方法种数是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】根据题意分情况讨论特殊情况受限的排列问题，将所有情况相加，即可选出正确答案. 【详解】分两种情况： （1）当甲被选中时，甲不能安排在宣传处，则甲只能安排在检录处或统计处，有2种方法， 剩下2个部门，从乙、丙、丁3人中选2人进行排列，有种方法， 这种情况的方法数：种； （2）当甲不被选中时，乙、丙、丁3人安排到3个部门，即3人全排列，有种方法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：D. 14．在的展开式中，常数项为第（   ）项. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式通项求解即可. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，则常数项为第. 故选：C. 15．某商场要反映不同品牌冰箱的销售情况，以确定主推品牌，应选择的统计指标是（    ） A．算术平均数 B．加权平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【分析】根据算术平均数、加权平均数、中位数及众数的概念求解. 【详解】“确定主推品牌”需选择销量最高的品牌，对应“出现次数最多的品牌”，需用众数判断； 算术平均数、加权平均数计算的是平均销量，中位数反映中间销量，均无法体现“销量最高”， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．已知，若，则____________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，两角差的余弦公式，以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】因为，所以； 因为，所以，又，所以， 则， 则， 即，所以. 故答案为：． 17．已知向量不共线，且，则___________. 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理即可求解. 【详解】因为向量不共线，且， 所以有， 则，即，解得， 故答案为：. 18．已知抛物线的准线方程为是该抛物线上的点，则点到抛物线的焦点的距离为___________. 【答案】4 【分析】根据抛物线定义求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为， 则点到抛物线的焦点的距离为. 故答案为：4. 19．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据正四棱锥的性质即可得解. 连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又为正方形，，所以， 则， 在中，. 故答案为： 20．用0，1，2，3这四个数字可以组成________个无重复数字的三位偶数. 【答案】 【分析】根据题意分类讨论个位数字是和的情况即可排列数的计算即可得解. 【详解】当个位数字是，无重复数字的三位偶数的个数为； 当个位数字是，无重复数字的三位偶数的个数为， 所以共有个， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列，等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）设公比为，由，得，，． 则，解得，，所以数列的通项公式． （2）由（1）得， 则． 22．已知函数 (1)将此函数化为的形式； (2)求该函数的周期与最大值； (3)求使函数取得最大值的角的集合 【答案】(1) (2)周期为，最大值为. (3) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及辅助角公式求解即可. （2）根据（1）化简得到解析式以及正弦函数的周期、最大值求解即可. （3）根据整体换元法以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1） ， 满足，因此化简结果为. （2）已知，则最小正周期为， 最大值为. （3）令，解得， 因此函数取得最大值的角的集合为. 23．已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.求： (1)m的值及双曲线的离心率； (2)抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程. 【答案】(1)， (2)准线方程为，渐近线方程为 【详解】（1）先求出抛物线的焦点坐标，而后根据题意求出m的值，再根据双曲线的离心率公式求出双曲线的离心率； （2）根据抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程直接求解即可. （1）抛物线的焦点为， 由双曲线，可得，解得， 双曲线的，，则； （2）抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为. 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程和焦点坐标，考查了双曲线的离心率和渐近线方程，考查了数学运算能力，属于基础题. 24．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，可知（或其补角）是异面直线与所成的角； （2）先找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再根据直角三角形的性质求解正切值； （3）根据三棱锥体积公式进行计算. 【详解】（1）在正方体中，， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角. 因为正方体的各棱长都相等，且，是等腰直角三角形， 所以，即异面直线与所成的角为. （2）因为平面，所以是在平面内的射影， 则就是直线与平面所成的角. 在正方形中，，则， 所以，又因为， 在中，. （3）在正方形中，，则，， 则， 又平面，， 所以三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $